BÀI TOÁN VỀ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

7 1.2K 14
BÀI TOÁN VỀ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! https://www.facebook.com/LyHung95 DẠNG 1. KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với 3 ; ; 2 AD a BC a AB a = = = . Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD biết a) Góc giữa SC và đáy bằng 60 0 . b) Góc giữa SB và đáy bằng 30 0 . c) khoảng cách từ B tới mặt phẳng (SCD) bằng . 2 a d) kho ả ng cách gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng AB và SD b ằ ng 2a. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đ áy ABCD là hình bình hành v ớ i  0 ; 2 ; 60 AB a AD a BAD= = = . C ạ nh bên SC vuông góc v ớ i đ áy, góc gi ữ a SA và đ áy b ằ ng 45 0 . Tính th ể tích c ủ a kh ố i chóp S.ABCD và kho ả ng cách gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng SA và BD. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đ áy ABC là tam giác đề u c ạ nh a, I là trung đ i ể m c ủ a BC. G ọ i D là đ i ể m đố i x ứ ng c ủ a A qua I, SD vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng (ABCD). G ọ i K là hình chi ế u vuông góc c ủ a I lên SA, bi ế t . 2 a IK = Tính th ể tích kh ố i chóp S.ABCD và kho ả ng cách t ừ D đế n m ặ t ph ẳ ng (SBC) theo a. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân t ạ i A,  0 2 3; 120 BC a BAC= = , c ạ nh bên SA vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng đ áy và SA = 2a. Tính th ể tích kh ố i chóp S.ABC và d(A, (SBC)) Bài 2: (Trích đề thi Tốt nghiệp THPT 2009) Cho hình chóp S.ABC có m ặ t bên SBC là tam giác đề u c ạ nh a, c ạ nh bên SA vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng đ áy. Bi ế t góc  0 120 BAC = , tính th ể tích c ủ a kh ố i chóp S.ABC theo a và d(A,(SBC)) Bài 3: (Trích đề thi Tốt nghiệp THPT 2010) Cho hình chóp S.ABCD có c ạ nh đ áy a, c ạ nh bên SA vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng đ áy, góc gi ữ a mp(SBD) và m ặ t ph ẳ ng đ áy b ằ ng 0 60 .Tính th ể tích kh ố i chóp S.ABCD theo a. Bài 4: (Trích đề thi Tốt nghiệp THPT 2011) Cho hình chóp S.ABCD có đ áy ABCD là hình thang vuông t ạ i A và D v ớ i ; 3 AD CD a AB a = = = . C ạ nh bên SA vuông góc v ớ i đ áy và c ạ nh bên SC t ạ o v ớ i m ặ t đ áy m ộ t góc b ằ ng 0 45 . Tính th ể tích c ủ a kh ố i chóp S.ABCD theo a. Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đ áy ABC là tam giác vuông cân t ạ i B v ớ i BA = BC = a, SA ⊥ (ABC) và SB h ợ p v ớ i (SAB) m ộ t góc 30 0 . Tính th ể tích hình chóp đ ã cho. Tài li ệ u bài gi ả ng: 07. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – P1 Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! https://www.facebook.com/LyHung95 Đ/s: 3 2 . 6 a V = Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a, biết SA ⊥ (ABC) và SB hợp với đáy một góc 60 0 . a) Chứng minh các mặt bên của khối chóp là tam giác vuông. b) Tính thể tích khối chóp S.ABC. Đ/s: 3 6 . 24 a V = Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA ⊥ (ABC) và (SBC) hợp với (ABC) một góc 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC. Đ/s: 3 3 8 a V = Bài 7: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Biết AD = AB = a, CD = 2a, cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng đáy và SD = a. Tính thể tứ diện SABC theo a. Đ/s: 3 . 6 SABC a V = Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình thang cân đáy lớn AD = 2a, AB = BC = CD = a, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng 2 a . Tính thể tích của khối chóp đã cho. Đ/s: 3 3 2 . 4 ABCD a V = Bài 9: Cho hình tứ diên ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a. Gọi O là trung điểm của BD, E là điểm đối xứng của C qua O. Biết AE vuông góc với mặt phẳng (ABD) và khoảng cách từ AE đến BD bằng 4 3a . Tính th ể tích c ủ a kh ố i t ứ di ệ n ABCD. Đ/s: 3 3 . 32 ABCD a V = Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đ áy ABCD là hình ch ữ nh ậ t; SA ⊥ (ABCD); AB = SA = 1; 2 AD = . G ọ i M, N l ầ n l ượ t là trung đ i ể m c ủ a AD và SC; I là giao đ i ể m c ủ a BM và AC. Tính th ể tích kh ố i t ứ di ệ n ANIB. Đ/s: 2 36 AINB V = LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! https://www.facebook.com/LyHung95 DẠNG 1. KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY (tiếp theo) Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Gọi M là trung điểm của SC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM biết 2 2; 4 ; 5 . SO a AC a AB a = = = Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều cạnh a, đáy lớn là AD = 2a và SA vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng 2. a Gọi I là trung điểm của AD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BI và SC theo a. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AB = a, BC = a,  0 90 BAD = , cạnh 2 SA a = và SA vuông góc với đáy, tam giác SCD vuông tại C. Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Tính thể tích của tứ diện SBCD và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD). Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,  0 60 BAD = , SA vuông góc mặt phẳng (ABCD), SA = a. Gọi C′ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC′ và song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B′, D′. Tính thể tích của khối chóp S.AB′C′D′. Hướng dẫn giải: Ta có ∆SAC vuông tại A ⇒ 2 2 2 = + = SC SA AC a ⇒ AC′ = 2 SC = a ⇒ ∆SAC′ đề u Vì (P) ch ứ a AC′ và (P) // BD ⇒ B′D′ // BD. G ọ i O là tâm hình thoi ABCD và I là giao đ i ể m c ủ a AC′ và B′D′ ⇒ I là tr ọ ng tâm c ủ a ∆SBD. Do đ ó: 2 2 3 3 ′ ′ = = B D BD a . Mặt khác, BD ⊥ (SAC) ⇒ D′B′ ⊥ (SAC) ⇒ B′D′ ⊥ AC′ Do đó: S AB'C'D' = 2 1 . 2 3 ′ ′ ′ = a AC B D . Đườ ng cao h c ủ a kh ố i chóp S.AB′C′D′ chính là đườ ng cao c ủ a tam giác đề u SAC′ ⇒ 3 2 = a h . V ậ y th ể tích c ủ a kh ố i chóp S. AB′C′D′ là 3 ' ' ' 1 3 . 3 18 AB C D a V h S= = . BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: (Khối A – 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạch a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD, H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc (ABCD) và 3. SH a= Tính thể tích của khối chóp SCDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. Đ/s: 3 5 3 2 3 ; . 14 19 a a V d= = Bài 2: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, 3 BC a = , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM. Tài liệu bài giảng: 07. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – P2 Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! https://www.facebook.com/LyHung95 Đ/s: 3 3 5 a V = Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông tâm O. Các mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy (ABCD). Cho AB = a, 2. SA a= Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Tính thể tích khối chóp O.AHK theo a. Đ/s: 3 2 27 a V = Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và SC. Tính thể tích tứ diện BDMN và khoảng cách từ D đến mp(BMN). Đ/s: 3 6 ; . 24 6 BMND a a V d = = Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD, I là giao điểm của SC và (AMN). Chứng minh rằng SC vuông góc với AI và tính thể tích khối tứ diện MBAI. Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang,   0 90 BAD ABC= = , AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc v ớ i đ áy ABCD, SA = 2a. G ọ i M, N l ầ n l ượ t là trung đ i ể m các c ạ nh SA, SD. Ch ứ ng minh BCNM là hình ch ữ nh ậ t. Tính th ể tích kh ố i chóp S.BCNM theo a. Đ/s: 3 3 BMND a V = Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có m ặ t đ áy (ABC) là tam giác đề u c ạ nh a. Chân đườ ng vuông góc h ạ t ừ S xu ố ng m ặ t ph ẳ ng (ABC) là m ộ t đ i ể m thu ộ c BC. Tính kho ả ng cách gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng BC và SA bi ế t SA=a và SA t ạ o v ớ i m ặ t ph ẳ ng đ áy m ộ t góc b ằ ng 30 0 . Đ/s: 3 . 4 a d = Gọi chân đường vuông góc hạ từ S xuống BC là H. Xét ∆SHA(vuông tại H) 0 3 cos30 2 a AH SA = = Mà ∆ABC đều cạnh a, mà cạnh 3 2 a AH = => H là trung điểm của cạnh BC => AH ⊥ BC, mà SH ⊥ BC => BC⊥(SAH) Từ H hạ đường vuông góc xuống SA tại K => HK là khoảng cách giữa BC và SA => 0 3 AHsin30 2 4 AH a HK = = = Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA bằng 3 4 a H A C B S K LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! https://www.facebook.com/LyHung95 DANG 2. KHỐI CHÓP CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là một điểm trên cạnh BC sao cho 2 0 IB IC + =    . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của AI. Tính thể tích khói chóp S.ABC biết a) góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0 b) khoảng cách từ A tới (SBC) bằng 3 . 6 a Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đ áy ABCD là hình thoi c ạ nh tâm O, bi ế t 2 ; 2 3. AC a BD a= = Hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của OB. Tính thể tích khói chóp S.ABCD biết a) góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 0 b) góc giữa (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 0 c) khoảng cách từ A tới (SBC) bằng 2 . 4 a d) khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SB bằng 3 . 4 a Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đáy AD và BC. Mặt phẳng SAD vuông góc với mặt đáy của hình chóp, cho biết AB = BC = CD = a, SA = SD = AD = 2a. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b) Tính thể tích khối chóp S.ABC. Lời giải a) Kẻ SH vuông góc AD do (SAD)⊥(ABCD) nên SH⊥(ABCD) vậy SH là đường cao của khối chóp. Mặt khác SA = SD = AD nên H là trung điểm của AD và SH = . Nối HB, HC tứ giác ABCH là hình bình hành do AH song song và bằng BC ta lại có AB = BC nên AHBC là hình thoi vậy AB=HC=a hay tam giác HCD đều Vậy ABCD là nữa lục giác đều. . b) Khối chóp S.ABC có chiều cao SH và diện tích tam giác ABC bằng với diện tích tam giác ABH và bằng Tài liệu bài giảng: 07. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – P3 Thầy Đặng Việt Hùng A B C D H S LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! https://www.facebook.com/LyHung95 Vậy . BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD. a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm của cạnh AB. b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Đ/s: 3 3 . 6 a V = Bài 2: Cho t ứ di ệ n ABCD có ABC là tam giác đề u, BCD là tam giác vuông cân t ạ i D, (ABC) ⊥ (BCD) và AD h ợ p v ớ i (BCD) m ộ t góc 60 0 . Tính th ể tích t ứ di ệ n ABCD. Đ /s: 3 3 . 9 a V = Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đ áy ABCD là hình ch ữ nh ậ t, ∆ SAB đề u c ạ nh a và n ằ m trong m ặ t ph ẳ ng vuông góc v ớ i (ABCD). Bi ế t r ằ ng (SAC) h ợ p v ớ i (ABCD) m ộ t góc 30 0 . Tính th ể tích kh ố i chóp S.ABCD . Đ /s: 3 3 . 4 a V = Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình ch ữ nh ậ t có AB = 2a, BC = 4a, (SAB) ⊥ (ABCD), hai m ặ t bên (SBC) và (SAD) cùng h ợ p v ớ i đ áy ABCD m ộ t góc 30 0 . Tính th ể tích kh ố i chóp S.ABCD. Đ /s: 3 8 3 . 9 a V = Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông c ạ nh a, SA ⊥ (ABCD), góc gi ữ a (SBC) và m ặ t đ áy là 30 0 , g ọ i M thu ộ c SA sao cho 1 . 3 SM SA = a) Ch ứ ng minh r ằ ng BD ⊥ (SAC). b) Tính th ể tích c ủ a S.ABCD theo a. c) Tính th ể tích c ủ a kh ố i chóp SMBD theo a. Bài 6: (Khối B – 2008) Hình chóp S.ABCD có đ áy là hình vuông c ạ nh 2a; ; 3 SA a SB a = = và (SAB) vuông (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN. Bài 7: (Khối A – 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc v ới mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! https://www.facebook.com/LyHung95 Đ/s: 3 2 39 3; . 13 a V a d= = Bài 8: (Khối A – 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đ áy ABCD là hình thang vuông t ạ i A và D , AB = AD = 2 a , CD = a , góc gi ữ a hai m ặ t ph ẳ ng ( SBC ) và ( ABCD ) b ằ ng 60 0 . G ọ i I là trung đ i ể m c ủ a c ạ nh AD . Bi ế t hai m ặ t ph ẳ ng ( SBI ) và ( SCI ) cùng vuông góc v ớ i ( ABCD ), tính th ể tích kh ố i chóp SABCD theo a . Đ /s: 3 3 15 . 5 a V = Bài 9: Cho hình chóp S. ABC có đ áy là tam giác ABC đề u c ạ nh a , tam giác SAC cân t ạ i S và n ằ m trong m ặ t ph ẳ ng vuông góc v ớ i ( ABC ). Tính V S.ABC trong các tr ườ ng h ợ p: a) 3. SB a= b) SB t ạ o v ớ i m ặ t đ áy m ộ t góc 30 0 . Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đ áy ABCD là hình ch ữ nh ậ t, AB = 2 AD = 2 a. Tam giác SAD cân t ạ i S và n ằ m trong m ặ t ph ẳ ng vuông góc v ớ i ( ABCD ). Tính . S ABCD V bi ế t SB t ạ o v ơ i đ áy m ộ t góc 30 0 . Bài 11: (Khối A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đ áy là hình vuông c ạ nh a, m ặ t bên SAD là tam giác đề u và n ằ m trong m ặ t ph ẳ ng vuông góc v ớ i đ áy. G ọ i M, N, P l ầ n l ượ t là trung đ i ể m c ủ a các c ạ nh SB, BC, CD . Ch ứ ng minh AM vuông góc v ớ i BP và tính th ể tích c ủ a kh ố i t ứ di ệ n CMNP . Hướng dẫn giải: N M P H C A D B S Ch ứ ng minh ( ) ( ) ( ) //( ) BP SHC BP AMN SHC AMN ⊥  ⇒ ⊥   BP AM ⇒ ⊥ T N M P H C A D B S T là trung đ i ể m c ủ a HB thì ( ) MT ABCD ⊥ 3 1 3 . 3 96 CMNP CNP a V MT S ∆ = = Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, 3, ,( ) ( ), AB a AD a SAC ABCD SA a = = ⊥ = tam giác SAC vuông tại S. Tính . S ABCD V . Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD là hình vuông cạnh a, ( ) ( ) SAB ABCD ⊥ , tam giác SAB cân tại S, M là trung điểm của CD, mặt phẳng (SBM) tạo với mặt đáy (ABCD) góc 0 60 . Tính . S ABCD V . . Tính th ể tích h nh chóp đ ã cho. Tài li ệ u bài gi ả ng: 07. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – P1 Thầy Đặng Việt H ng LUYỆN THI ĐẠI H C MÔN TOÁN – Thầy H ng Chuyên đề H nh h c không. 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. LUYỆN THI ĐẠI H C MÔN TOÁN – Thầy H ng Chuyên đề H nh h c không gian Tham gia khóa TOÁN. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – P3 Thầy Đặng Việt H ng A B C D H S LUYỆN THI ĐẠI H C MÔN TOÁN – Thầy H ng Chuyên đề H nh h c không gian Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! https://www.facebook.com/LyHung95

Ngày đăng: 07/07/2014, 23:41

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan