CHƯƠNG VI CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HỢP Trong 5 chương trước ta đã khảo sát các đặc trưng của vật thể (điểm và vật rắn) trong một hệ qui chiếu. Trong thực tế, ta thường gặp phải các vật thể chuyển động trong nhiều hệ qui chiếu khác nhau và phải xác định các đặc trưng động học cho từng hệ qui chiếu. Chương này sẽ thiết lập mối quan hệ giữa các đặc trưng động học của vật thể (vận tốc, gia tốc…) trên nhiều hệ qui chiếu. §1 Các khái niệm và định nghĩa cơ bản 1. Các hệ qui chiếu tuyệt đối, tương đối Trong thực tế, ta gặp nhiều vật thể chuyển động trong nhiều hệ qui chiếu khác nhau. Chẳng hạn, một người đi trên một toa tàu đang chuyển động đối với nhà ga. Như vậy nếu lấy toa tàu là một hệ qui chiếu và nhà ga là một hệ qui chiếu khác thì người đi trên toa tàu sẽ xem như mô hình vật thể chuyển động trên hai hệ qui chiếu: hệ qui chiếu toa xe và hệ qui chiếu nhà ga. Khi giải quyết các bài toán kỹ thuật nhiều khi ta phải đưa thêm vào khảo sát một hệ qui chiếu, trong đó vật thể chuyển động đối với hệ qui chiếu đó trở nên đơn giản hơn so với chuyển động của nó đối với hệ qui chiếu ban đầu. Vì vậy việc khảo sát chuyển động của vật thể trên nhiều hệ qui chiếu có ý nghĩa quan trọng trong việc giải quyết các bài toán thực tiễn. Các hệ qui chiếu luôn luôn chuyển động đối với nhau, do vậy ta phải chọn một hệ quy ước là cố định và ký hiệu là hệ R 0 , còn các hệ khác gọi là hệ động và ký hiệu là R 1 , R 2 ,… Định nghĩa 6.1: Hệ qui chiếu cố định được gọi là hệ qui chiếu tuyệt đối; hệ qui chiếu động được gọi là hệ qui chiếu tương đối. 1 Như đã nói trong phần mở đầu, các vật thể được nghiên cứu dưới dạng hai mô hình: điểm và vật rắn. Sau đây, ta sẽ đưa vào định nghĩa chuyển động cho từng mô hình. 2. Các khái niệm chuyển động cho mô hình vật rắn. Định nghĩa 6.2: Chuyển động của vật rắn đối với hệ qui chiếu cố định (hệ qui chiếu tuyệt đối) được gọi là chuyển động tuyệt đối; chuyển động của vật rắn đối với hệ qui chiếu động (hệ qui chiếu tương đối) gọi là chuyển động tương đối và chuyển động của hệ qui chiếu động đối với hệ qui chiếu cố định được gọi là chuyển động theo. Định nghĩa 6.3: i) Các yếu tố động học của vật rắn (vận tốc góc, gia tốc góc) đối với hệ qui chiếu cố định được gọi là các yếu tố động học (vận tốc góc hoặc gia tốc góc) tuyệt đối. Để phân biệt người ta dùng chỉ số a để chỉ các yếu tố động học tuyệt đối. Vận tốc góc tuyệt đối ký hiệu là a ω r Gia tốc góc tuyệt đối ký hiệu là a ε r ii) Các yếu tố động học của vật rắn (vận tốc góc và gia tốc góc) đối với hệ qui chiếu động được gọi là các yếu tố động học tương đối. Các yếu tố động học được ký hiệu bằng chỉ số r, chẳng hạn Vận tốc góc tương đối được ký hiệu là r ω r Gia tốc góc tương đối được ký hiệu là r ε r iii) Các yếu tố động học của hệ qui chiếu động so với hệ qui chiếu cố định được gọi là các yếu tố động học theo. Các yếu tố động học theo được ký hiệu bằng chỉ số e, chẳng hạn Vận tốc góc của hệ qui chiếu động so với hệ qui chiếu cố định ký hiệu là e ω r 2 Gia tốc góc của hệ qui chiếu động so với hệ qui chiếu cố định ký hiệu là e ε r … Trong nhiều trường hợp để chỉ rõ các yếu tố động học của vật trong hệ qui chiếu nào ta còn dùng ký hiệu hệ qui chiếu viết ở giá trên bên trái của đại lượng động học, chẳng hạn 0 1 , R R ω ω r r để chỉ vận tốc góc của vật tương ứng đối với hệ qui chiếu R 0 và R 1 . Như thế thì 0 1 ; . R R a r ω ω ω ω = = r r r r 3. Các khái niệm chuyển động cho mô hình điểm. Giả sử M là điểm chuyển động được khảo sát trong các hệ qui chiếu cố định R 0 và hệ qui chiếu động R 1 . Ta có các định nghĩa sau đây Định nghĩa 6.4: Chuyển động của điểm M đối với hệ qui chiếu cố định R 0 gọi là chuyển động tuyệt đối; chuyển động của điểm M đối với hệ qui chiếu động R 1 gọi là chuyển động tương đối. 3 z e r x e r y e r 0 z e r 0 x e r 0 y e r O 0 x 0 y 0 z 0 z y x M O Định nghĩa 6.5: i) Vận tốc và gia tốc của điểm M đối với hệ qui chiếu cố định R 0 gọi là vận tốc và gia tốc tuyệt đối, ký hiệu là a v r và a w r . ii) Vận tốc và gia tốc của điểm M đối với hệ qui chiếu động R 1 tương ứng gọi là vận tốc và gia tốc tương đối, ký hiệu là r v r và r w r . iii) Vận tốc và gia tốc của điểm M * thuộc hệ động , tại thời điểm khảo sát trùng với điểm M tương ứng được gọi là vận tốc và gia tốc theo, ký hiệu là e v r và e w r . Từ các định nghĩa trên ta suy ra 0 0 0 0 0 0 0 a x y z dO M dx dy dz v e e e dt dt dt dt = = + + uuuuur r r r r (6.1) 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 a x y z d O M d x d y d z w e e e dt dt dt dt = = + + uuuuur r r r r (6.2) r x y z dOM dx dy dz v e e e dt dt dt dt = = + + uuuur r r r r (6.3) 2 2 2 2 2 2 2 2 r x y z d OM d x d y d z w e e e dt dt dt dt = = + + uuuur r r r r (6.4) * 0 y x z e de dO O de dedOM v x y z dt dt dt dt dt = = + + + uuuuur uuuur r r r r (6.5) 2 2 2 2 2 * 0 2 2 2 2 2 w y x z e d e d O O d e d ed OM x y z dt dt dt dt dt = = + + + uuuuur uuuur r r r r (6.6). Chú ý: Trong trường hợp hệ động chuyển động tịnh tiến vận tốc và gia tốc của mọi điểm của hệ động là như nhau. Khi đó vận tốc và gia tốc theo có thể lấy là vận tốc và gia tốc của điểm bất kỳ thuộc hệ động. Ví dụ 6.1. Khảo sát chuyển động của giọt mưa đối với người đi bộ và mặt đất. Giả sử giọt mưa rơi trong điều kiện không có gió. Hệ quán tính cố định ta gắn vào mặt đất, 4 còn hệ động gắn vào người đi bộ. Như vậy chuyển động, vận tốc và gia tốc tuyệt đối của giọt mưa so với mặt đất là chuyển động, vận tốc và gia tốc tuyệt đối và đây là chuyển động thẳng đứng theo chiều từ trên xuống. Chuyển động của hạt mưa so với người đi bộ là chuyển động tương đối. Trong trường hợp này người đi bộ sẽ nhận thấy hạt mưa rơi xiên góc từ phía trước và từ trên xuống. Ví dụ 6.2. Tay quay OA quay xung quanh trục O với vận tốc góc 1 ω làm con chạy A trượt dọc theo máng trượt động O 1 B, và do đó làm cho máng trượt quay xung quanh trục O 1 song song với trục O với vận tốc góc 2 ω . Cơ cấu này là cơ cấu culit trong máy bào ngang để truyền chuyển động quay toàn vòng của tay quay OA thành chuyển động chuyển động quay hoặc chuyển động lắc của culit O 1 B xung quanh O 1 . Khi tính toán các đại lượng động học của culit O 1 B, người ta thường đạt bài toán dưới dạng chuyển động phức hợp của điểm A (con trượt A) đối với hai hệ qui chiếu: Hệ qui chiếu cố định được chọn là giá OO 1 , còn hệ qui chiếu động được chọn là culit O 1 B. Như thế chuyển động của hệ động là chuyển động theo. Vận tốc góc của nó là vận tốc góc theo e ω : 2e ω ω = . Chuyển động của điểm A so với giá sẽ 5 r v r a v r e v r 1 ω O O 1 A B O 1 O A B a) b) Sơ đồ động của cơ cấu culit là chuyển động tuyệt đối. Đó là chuyển động tròn với tâm là O, và bán kính OA. Vận tốc tuyệt đối a v r của điểm A vuông góc với OA. Chuyển động của điểm A so với culit O 1 B là chuyển động tương đối. Đó là chuyển động thẳng dọc theo O 1 B. Vận tốc tương đối r v r của điểm A hướng dọc theo O 1 B. Vận tốc của điểm A * thuộc culit 1 O B trùng với điểm A (ở đây có điểm A thuộc OA và A * thuộc 1 O B ) gọi là vận tốc theo e v r của điểm A. Rõ ràng điểm A * chuyển động tròn với tâm là O 1 và bán kính là 1 O A . Do đó vận tốc này vuông góc với 1 O B . Bài tập 1. Để truyền chuyển động tịnh tiến khứ hồi theo phương nằm ngang thành chuyển động khứ hồi theo phương thẳng đứng, người ta dùng cơ cấu cam. Cam là một nửa vòng tròn chuyển động khứ hồi theo phương ngang. Cần AB tựa đầu A vào cam và nhờ chuyển động của cam mà chuyển động lên xuống theo phương thẳng đứng. Lấy A làm điểm khảo sát. Hãy chọn các hệ toạ độ thích hợp và chỉ rõ các loại chuyển động, vận tốc và gia tốc trong trường hợp này. 2. Để truyền chuyển động quay giữa hai trục song song, người ta dùng cơ cấu chữ thập có sơ đồ chỉ ra trên hình vẽ. Tay quay AB quay xung quanh trục O 1 với vận tốc góc 1 ω . Hãy chọn điểm khảo sát, các hệ toạ độ cố định, hệ toạ độ động và chỉ rõ các loại chuyển động, vận tốc và gia tốc của điểm A (hoặc điểm B) của cơ cấu này. 3. Một tấm có hình dạng nửa hình tròn được gắn bản lề vào các tay quay 1 O A và 2 O B , sao cho 1 2 O A O B= và 1 2 O O AB= . Trên cung tròn AB có điểm M chuyển 6 B A O O 1 A B động. Hãy chỉ ra các hệ toạ độ cố định, hệ toạ độ động và phân tích các chuyển động, vận tốc và gic tốc của điểm M trong các hệ toạ độ đó. 4. Cơ cấu điều tiết ly tâm có sơ đồ biểu diễn ở hình vẽ. Đòn 1 OO được gắn chặt vào trục thẳng đứng zz và quay xung quanh trục này với vận tốc góc 0 ω . Các thanh OA và 1 O B có độ dài bằng l gắn bản lề vào các điểm O và O 1 còn đầu kia gắn bản lề vào thanh AD và BE. Các thanh AD và BE lại gắn bản lề vào ống DE. Các thanh OA và 1 O B quay tương ứng xung quanh O và O 1 với cùng vận tốc góc 1 ω . Hãy chọn các hệ toạ độ cố định, hệ toạ độ động và phân tích các chuyển động, vận tốc và gia tốc của các điểm A và B trong các hệ toạ độ. 5. Hãy đưa vào các hệ toạ độ cố định và chuyển động để phân tích các vận tốc và gia tốc của các điểm A và B trong cơ cấu culit ở hình vẽ. 7 O 1 O 2 O M A B 0 ω O 1 z z E D O A B ϕ y x D P B A O 1 O O C u r 6. Máy nén khí có rãnh cong CD quay xung quanh trục O với vận tốc góc ω . Khí chạy trong rãnh với vận tốc u = const. Biết phương pháp tuyến chính của quỹ đạo cong là CP uuur và bán kính cong là .CP OC r ρ = = . Hãy phân tích các đại lượng động học của hạt khí khi lọt vào rãnh (tại C). 7. Tam giác vuông ABC có AB = 2a = 20cm, α = 60 0 quay quanh trục CB theo phương trình 2 10 2t t ϕ = − . Trên AB có điểm M dao động xung quanh điểm O theo phương trình cos 3 a t π ξ = . Hãy đưa vào các hệ toạ độ cố định , hệ toạ độ động và phân tích các đặc trưng động học của điểm M trong các hệ toạ độ đó. 8. Một chiếc ống có dạng nửa vòng tròn bán kính R quay đều với vận tốc góc 0 ω quanh đường kính AB. Trong ống có viên bi chuyển động với vận tốc u không đổi. Hãy đưa vào các hệ toạ độ cố định , hệ toạ độ động và phân tích các đại lượng động học của viên bi đó. 8 M M A ξ C B ϕ α O O O 1 u r Hình bài tập 7 Hình bài tập 8 §2 Hợp vận tốc và gia tốc của điểm 1. Hợp vận tốc. 1.1. Định lý 6.1. Tại mỗi thời điểm vận tốc tuyệt đối bằng tổng hình học vận tốc tương đối vận tốc theo. a r e v v v= + r r r (6.7) Chứng minh Xét điểm M chuyển động đối với hệ Oxyz và hệ Oxyz chuyển động đối với hệ 0 0 0 0 O x y z . Ta có 0 0 O M O O OM= + uuuuur uuuur uuuur hay là 0 0 x y z O M O O xe ye ze= + + + uuuuur uuuur r r r Đạo hàm hai vế theo thời gian 0 0 . y x z x y z de dO M dO O de de dx dy dz x y z e e e dt dt dt dt dt dt dt dt = + + + + + + uuuuur uuuur r r r r r r Chú ý đến các công thức (6.1), (6.3) và (6.5) ta có ngay a r e v v v= + r r r 9 O 0 x 0 y 0 z 0 z y x M O 1.2. Ví dụ. Ví dụ 6.3. Giả sử giọt mưa trong ví dụ 6.1 rơi với vận tốc là u, còn người chuyển động với vận tốc v. Cần che ô thế nào để người không bị ướt. Bài giải Ta chọn hệ toạ độ động và hệ toạ độ cố định như trong ví dụ 6.1: Hệ toạ độ cố định gắn vào mặt đất, hệ toạ độ động gắn vào người. Khi đó vận tốc của hạt mưa đối với mặt đất là u là vận tốc tuyệt đối. Vận tốc của người la vận tốc theo còn vận tốc của giọt mưa đối với người là vận tốc tương đối. Ta cần tìm vận tốc tương đối này của hạt mưa để chọn cách che ô hợp lý. Theo công thức (6.7) a r e v v v= + r r r Suy ra ( ) r a e a e v v v v v= − = + − r r r r r Ta suy ra cách vẽ r v r . Từ điểm A bất kỳ ta vẽ a v u= r r , rồi đặt liên tiếp . e v v− = − r r Nối A với mút của v − r ta được r v r . Góc nghiêng giữa r v r và phương nằm ngang là a e v u tg v v α = = Công thức này chỉ ra rằng ta cần che ô nghiêng góc với phương nằm ngang góc α có u tg v α = để hạt mưa không rơi vào người. Ví dụ 6.4. Một ống tròn bán kính R quay đều quanh trục O với vận tốc góc 0 ω . Một dòng chất lỏng chuyển động đều trong ống với vận tốc u = const. Tìm vận tốc của hạt lỏng đối với giá cố định của máy. Bài giải 10 r v r a v r A e v r [...]... trục toạ độ, ta được n n wax = wex + wrx + wcx hay wax = wen sin α + wrn + wc = −ω02 R 5 R R 5 + u2 + 2ω0u R u2 = −ω R + 2ω0u + R 2 0 2 2 way = − wey = −ω0 R 5. cos α = - 0 R 5 2R = −2ω02 R R 5 Vậy 2  u2  2 wa = 4ω R +  + ω0 R + 2ω0u ÷ R  4 0 2 16 Ví dụ 6.7 B A Tính gia tốc góc của cần lắc O1B trong ví dụ 6 .5 Cho biết tay quay OA có vận tốc góc ω0 và gia ε0 ω0 tốc góc ε 0 theo các chiều chỉ ra... M * cách trục quay một đoạn MI * : − − MI * = BC + CM * cos 600 1 = 0, 05 + 0, 2 = 0,15m 2 Vậy r ve tiếp tuyến với đường tròn tâm I, bán kính B R1 = 0,15m nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục quay C r ve I ve = ω0 R1 = 0 ,5. 0, 15 = 0, 0 75 m s r vr hướng dọc theo CD và có trị số là u − r r Rõ ràng ve ⊥ vr , nên M r v Ar A D va = v + v = 0, 0 75 + 0, 2 = 0, 2136 2 e 2 r 2 2 c Giải bài toán gia tốc Áp... r vr = u Đã biết Ta có: r r ve = vM * vM * = OM ω0 = ω0 4 R 2 + R 2 = Rω0 5 r vM * ⊥ OM Áp dụng công thức r r r va = vr + ve Chiếu công thức này lên hệ trục Oxy, ta được vax = ve cos α = ω0 R 5 2R = 2 Rω0 R 5 vay = u + ve sin α = u + ω0 R 5 R R 5 = u + ω0 R Vậy 11 2 2 2 va = vax + vay = 4 R 2ω0 + ( u + ω0 R ) 2 Ví dụ 6 .5 Tay quay OA quay xung quanh trục O làm cho cần O1B quay xung quanh O1 song... do đó we = 0 Còn wen hướng từ M vào I và có trị số wen = ω02 R1 = 0 ,52 .0, 15 = 0, 03 75 − r wr là gia tốc của điểm M so với khung Chuyển động tương đối là chuyển động thẳng đều nên wr = 0 − r r wc là gia tốc coriolis Theo phương pháp Jucovski ta tìm được chiều wc như hình vẽ r r wc = 2ωe vr sin ( ωe , vr ) = 2ω0 u.sin 300 1 wc = 2.0 ,5. 0, 2 = 0, 01 m 2 s 2 r Nhận xét rằng ở vế phải của phương trình... các ẩn cần tìm 3.2 Ví dụ 6.8 Khung hình thang ABCD quay xung quanh trục thẳng đứng AB với vận tốc góc ω0 = 5 / s không đổi Trên cạnh CD của khung có điểm M chuyển động từ điểm C với vận tốc u = 0, 2 m s = const Tính vận tốc và gia tốc (tuyệt đối ) của điểm M sau 1 giây B C · Cho biết: BC = 0, 05m; CDA = 600 Bài giải a Phân tích chuyển động của điểm M u A D Ta chọn hệ cố định gắn vào giá cố định, hệ... tốc góc ω0 nên ε 0 = 0 , và do đó 15 y τ we = OM ε 0 = 0 r u r wen có chiều từ M đến O và có trị số 2 wen = ω02 OM = ω0 R 5 r wr là gia tốc của hạt nước đối với ống Theo đầu bài ra, hạt nước chuyển động đều với vận tốc r không đổi u theo ống tròn nên wr cũng chỉ có một rn wr M rn we α ω0 thành phần gia tốc pháp tuyến r r wr = wrn ; wrn = r wc O u2 R x r r wc là gia tốc coriolis Do đây là chuyển động phẳng... của điểm bất kỳ thuộc hệ động Như thế, trong trường hợp này r r r wa = we + wr (6.10) 2.2 Phương pháp thực hành xác định gia tốc coriolis 14 Vì gia tốc coriolis được xác định bởi biểu thức vectơ (6.9) nên trong các tính r toán thực hành để tìm chiều của wc dễ xảy ra nhầm lẫn Jucovski N.E đã nêu cách  vr r xác định chiều wc như sau a) Đối với các hệ chuyển động trong một mặt phẳng, r ta chỉ cần quay vectơ... theo chiều quay của r r r r ωe , nên dựa vào chiều vr và ω1 đã tìm được trong ví dụ 6 .5, ta tìm được chiều wc như hình vẽ, còn trị số wc = 2ωe vr = 2 ω0 ω0 ω2 a = 0 a 2 2 2 rτ Để xác định gia tốc góc ε1 của thanh O1B ta cần tìm thành phần we Muốn vậy, ta chiếu (a) lên phương O1 y vuông góc với O1B , ta được n τ wτ cos β − wa sin β = we − wc ; a β= ε 0 a α = 300 Do đó 2 ω2 3 1 − ω02 a = ε1a 3 − 0 a... chiếu động và con chạy A (thuộc tay quay OA) làm điểm khảo sát Áp dụng công thức r r r va = vr + ve , trong đó r r va = v A : va = ω0 OA = ω0 a r r vr là vận tốc của điểm A đối với thanh O1 B nên vr hướng dọc theo O1 B r r r ve = v A* , trong đó A* thuộc thanh O1 B nên ve vuông góc với O1 B và ve = ωO1B OA; O1 A = a 3 r r r r r Chiếu công thức va = vr + ve lên phương ve và vr ta được va cos 300 = ve... 2.0 ,5. 0, 2 = 0, 01 m 2 s 2 r Nhận xét rằng ở vế phải của phương trình (b) chỉ còn hai thành phần là wen và r wc ; đồng thời các thành phần này lại vuông góc với nhau, do đó wa = (w ) n 2 e + wc2 = 0 ,54 .0, 152 + 0, 012 = 0, 03881 21 Bài tập 10 Chép lại các bài tập từ 1 – 8 phần vận tốc, chỉnh lý, đưa thêm dữ kiện để trở thành các bài toán về gia tốc 22 . ex rx c w w w w= + + hay 2 2 0 0 sin 5. 2 5 n n ax e r c R u w w w w R u R R α ω ω = + + = − + + 2 2 0 0 2 u R u R ω ω = − + + 2 2 2 0 0 0 2 5. cos - 5. 2 . 5 ay ey R w w R R R R ω α ω ω = − =. * MI : * * 0 .cos60 1 0, 05 0,2. 0, 15 . 2 MI BC CM m = + = + = Vậy e v r tiếp tuyến với đường tròn tâm I, bán kính 1 0,15R m= nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục quay. 0 1 . 0 ,5. 0, 15 0,0 75 . e m v. khí có rãnh cong CD quay xung quanh trục O với vận tốc góc ω . Khí chạy trong rãnh với vận tốc u = const. Biết phương pháp tuyến chính của quỹ đạo cong là CP uuur và bán kính cong là .CP