MỞ ĐẦU 1. Cơ học là khoa học nghiên cứu dạng chuyển động đơn giản nhất của vật chất. Dạng chuyển động này là sự dời chỗ của vật chất từ vị trí này sang vị trí khác trong không gian, theo thời gian và được gọi là chuyển động cơ học. 2. Cơ học lý thuyết là một phần Cơ học nghiên cứu các quy luật chung nhất về chuyển động cơ học. Để xây dựng được các quy luật chung này, ta phải trừu tượng hoá các thể vật chất đa dạng của thực tế thành các mô hình nghiên cứu bằng cách giữ lại các yếu tố cơ bản nhất, bỏ qua các yếu tố không đáng kể. Theo cách đó, vật chất chuyển động trong cơ học nói chung được gọi là các vật thể và được khảo sát trên hai mô hình cơ bản là chất điểm và hệ chất điểm, hay hệ cơ học. Chất điểm là một điểm hình học mang vật chất. Như thế, trong tính toán chất điểm được hiểu là không có kích thước, dùng để biểu diễn các vật thể có kích thước không đáng kể so với các kích thước khác của bài toán. Cơ hệ, hay hệ chất điểm là tập hợp các chất điểm mà chuyển động của chúng có liên hệ mật thiết với nhau. Trường hợp phổ biến khi nghiên cứu các hệ cơ học là khi khoảng cách giữa các chất điểm không thay đổi trong quá trình chuyển động. Các cơ hệ như thế được gọi là các vật rắn tuyệt đối. Trong thực tế, bất kỳ vật rắn nào khi chịu các tác dụng cơ học cũng đều có biến dạng. Tuy nhiên có rất nhiều trường hợp các biến dạng này rất bé, có thể bỏ qua nên mô hình vật rắn tuyệt đối phù hợp với thực tế và do đó có thể dùng để nghiên cứu. 3. Các định luật chung của Cơ học có vai trò quan trọng để nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên và kỹ thuật. Đó là những ứng dụng để giải quyết các bài toán phát sinh trong hầu hết các ngành công nghiệp hiện đại như chế tạo máy, xây dựng công trình, điều khiển tự động, công nghiệp vũ trụ, khí tượng, môi trường v.v… Ngày nay, trong điều kiện phát triển cao của khoa học và công nghệ, các định luật Cơ học càng có ý nghĩa to lớn trong việc tính toán, giải quyết các bài toán mới phức tạp hơn và khó khăn hơn nhiều. 4. Có thể coi Cơ học lý thuyết lập nên từ hai phần: Động học và Động lực học. Phần Động học nghiên cứu các đặc trưng chuyển động của các chất điểm và của các vật rắn, còn Động lực học dựa trên các đặc trưng này thiết lập các quy luật chung của Cơ học. Đó là các quy luật thể hiện quan hệ giữa các đặc trưng chuyển động và nguyên nhân gây ra chuyển động – các lực. Trong mỗi phần sẽ được trình bày các ví dụ áp dụng các quy luật đó vào các bài toán cụ thể. 1 PHẦN THỨ NHẤT ĐỘNG HỌC CHƯƠNG I ĐỘNG HỌC ĐIỂM Trong chương này ta sẽ xét xem chuyển động của một điểm được đặc trưng bằng những đại lượng nào và cách tính các đại lượng đó? § 1. Vị trí của điểm chuyển động 1. Chuyển động của điểm là sự dời chỗ của nó trong không gian theo sự trôi của thời gian. Ta quan niệm không gian và thời gian trong Cơ học Newton là tuyệt đối, t.l. không gian có ba chiều, đẳng hướng ; thời gian trôi đều từ quá khứ đến hiện tại và sang tương lai, hơn nữa, cả không gian và thời gian không phụ thuộc vào vật chất chuyển động trong đó. Để xác định vị trí của điểm, thoạt tiên ta cần lấy một vật làm mốc. Vật làm mốc đó được gọi là hệ quy chiếu. Người ta thường gắn vào các hệ quy chiếu các hệ toạ độ khác nhau để tính toán, nên trong nhiều trường hợp ta thường đồng nhất khái niệm hệ quy chiếu và hệ toạ độ. 2. Lấy điểm O thuộc hệ quy chiếu, nối O với điểm chuyển động M ta được vectơ OM , ký hiệu là r  xác định vị trí của điểm chuyển động. Vectơ r  sẽ thay đổi theo thời gian, do đó là hàm của thời gian, ký hiệu là t. Như thế nếu biết quy luật thay đổi của vectơ r  theo t )(trr  = (1) ta sẽ biết quy luật chuyển động của M, nên phương trình (1) gọi là phương trình chuyển động của điểm dưới dạng vectơ. Đường cong do điểm vạch ra trong không gian khi chuyển động được gọi là quỹ đạo chuyển động của điểm. 3. Ta gắn vào hệ quy chiếu hệ toạ độ đề các Oxyz có gốc tại O. Khi đó điểm M sẽ xác định bằng các toạ độ x,y,z, còn vectơ r  có thể viết dưới dạng zyx ezeyexr  ++= , (2) ở đây các thành phần x, y, z là các hàm của thời gian t 2 O x y z e x e y e z H1.1 z y x O M Quỹ đạo H1.2      = = = )( )( )( tzz tyy txx (3) Hệ phương trình (3) được gọi là phương trình chuyển động của điểm dưới dạng toạ độ Đề các. Khử t từ các phương trình (3) ta thu được dạng hiện của phương trình quỹ đạo của điểm. 4. Trong nhiều trường hợp, ta biết trước quỹ đạo chuyển động của điểm, do đó ta có thể sử dụng ngay quỹ đạo chuyển động để xác định vị trí của điểm. Trên quỹ đạo, ta lấy điểm 1 O làm gốc và định ra hướng dương, còn phía ngược lại là hướng âm. Như vậy, tại mỗi điểm của đường cong ta đã gán cho một số đại số có trị số bằng độ dài cung từ gốc đến điểm đó và với dấu tương ứng với phía của đường cong mà điểm đang ở đó. Ta ký hiệu số này là s và gọi là toạ độ cong của điểm. Khi điểm chuyển động, toạ độ cong s sẽ biến đổi theo t, và do đó là hàm của t )(tss = (4) Phương trình (4) xác định vị trí của điểm nên là phương trình chuyển động của nó. (4) được gọi là phương trình chụyển động của điểm dưới dạng tự nhiên. 5. Ngoài các dạng phương trình trên, trong những trường hợp cụ thể người ta có thể sử dụng các hệ toạ độ khác như hệ toạ độ cực, toạ độ trụ, hoặc toạ độ cầu và nói chung, có thể sử dụng một bộ tham số độc lập nào đó để xác định vị trí của điểm. § 2. Vận tốc chuyển động của điểm 1. Định nghĩa. Vận tốc chuyển động của điểm là đại lượng đặc trưng cho độ nhanh chậm và chiều chuyển động của điểm. Nó được ký hiệu bởi v  và xác định bằng công thức r dt rd v     == (5) 2. Từ (5) và (2) ta có thể tính được zyx ezeyexrv         ++== (6) và do đó có thể biểu diễn vận tốc của điểm bằng trị số v và các côsin chỉ phương sau đây 222 zyxv   ++= , (7a) 3 s O1 M H1.3 Quỹ đạo ( ) ( ) ( )            ++ = ++ = ++ = 222 222 222 ,cos ,cos ,cos zyx z ev zyx y ev zyx x ev z y x             (7b) 3. Bây giờ ta tìm biểu thức vận tốc khi biết phương trình chuyển động của điểm dưới dạng tự nhiên )(tss = . Rõ ràng, vectơ định vị r  có thể được coi là hàm của thời gian thông qua biến trung gian s , t.l. [ ] )(tsrr  = Do đó, theo định nghĩa dt sd sd rd dt rd v   == . Nhận thấy rằng, s MM s srssr sd rd ss ∆ = ∆ −∆+ = →∆→∆ 1 00 lim )()( lim  , nên sd rd  tiếp tuyến với quỹ đạo tại M, luôn luôn hướng về phía dương của quỹ đạo và có mô đun bằng đơn vị. Ta ký hiệu vectơ này là τ  và gọi là vectơ tiếp tuyến đơn vị. Như thế, ττ    s dt sd v == . (8) Do quỹ đạo biết trước, vận tốc của điểm được xác định hoàn toàn bởi s  , nên đôi khi để đơn giản ta có thể coi định nghĩa vận tốc của điểm là đại lượng sv  = τ (8’) còn trị số của nó là sv  = . 4. Tóm tắt. Vận tốc của điểm được định nghĩa bằng công thức (5), và được áp dụng tính toán bằng các công thức (7a), (7b) khi cho chuyển động qua các toạ độ Đề các hoặc công thức (8’) khi cho chuyển động của điểm qua toạ độ cong s của nó. § 3. Gia tốc chuyển động của điểm 1. Định nghĩa. Gia tốc chuyển động của điểm là đại lượng đặc trưng cho sự biến đổi của vận tốc, t.l. sự biến đổi độ nhanh chậm và chiều chuyển động. Nó được xác định bởi công thức: dt vd w   = r dt rd    == 2 2 (9) 2. Từ định nghĩa, chú ý đến công thức vận tốc (6) ta rút ra zyx ezeyexvw         ++== (10) 4 r(s) s r(s+ ) s M 1 M s O O 1 H1.4 τ  Do đó ta suy ra 222 zyxw   ++= , (11a) ( ) ( ) ( )            ++ = ++ = ++ = 222 222 222 ,cos ,cos ,cos zyx z ew zyx y ew zyx x ew z y x             , (11b) 3. Ta thiết lập công thức tính gia tốc khi cho chuyển động của điểm theo toạ độ cong của nó. Trước hết ta đưa vào một số đặc trưng hình học của đường cong. 3.1. Một số đặc trưng hình học của đường cong. - Mặt phẳng mật tiếp với đường cong tại mỗi điểm. Như đã nói ở trên, tại mỗi điểm của đường cong có một tiếp tuyến đơn vị )(s τ  . Ở hai vị trí liên tiếp M và 1 M có toạ độ cong là s và ss ∆+ ta có các tiếp tuyến đơn vị tương ứng )(s τ  và )( ss ∆+ τ  . Tại M ta vẽ vectơ đơn vị )( ssMP ∆+= τ  . Các vectơ )(s τ  và MP sẽ tạo thành mặt phẳng ∏ . Mặt phẳng giới hạn của mặt phẳng ∏ khi 0→∆s ( MM → 1 ) gọi là mặt phẳng mật tiếp của đường cong tại M. Dễ thấy rằng đối với đường cong phẳng, mặt phẳng mật tiếp của đường cong tại mỗi điểm chính là mặt phẳng chứa đường cong đó. Trong trường hợp tổng quát, mặt phẳng mật tiếp là mặt phẳng tiếp xúc với đường cong tại nhiều điểm nhất so với các mặt phẳng tiếp xúc khác. - Độ cong của đường cong. Do τ  là hàm của toạ độ cong s , nên ta tính đạo hàm của nó theo s : = ∆ −∆+ = →∆ s sss sd d s )()( lim 0 τττ  s KP s ∆ →∆ 0 lim . Từ đây, ta có thể suy ra rằng sd d τ  là vectơ nằm trong mặt phẳng mật tiếp, vuông góc với tiếp tuyến đơn vị )(s τ  hướng về phía lõm của quỹ đạo. Thật vậy, từ hình vẽ ta thấy, KP hướng vào phía lõm của quỹ đạo và tạo với )(s τ  góc 22 ϕπ α ∆ −= , trong đó ϕ ∆ là góc lập bởi hai vectơ tiếp tuyến đơn vị )(s τ  và )( ss ∆+ τ  . Khi MM → 1 , )( ss ∆+ τ  )(s τ  → , nên 2 π α → , t.l. )(s sd d τ τ   ⊥ . Bây giờ, ta đặt vectơ đơn vị n  nằm trong mặt phẳng mật tiếp vuông góc với )(s τ  và gọi là vectơ đơn vị pháp tuyến chính của quỹ đạo tại M. Như thế sd d τ  cộng tuyến với )(sn  nên ta đặt 5 s K P M M 1 Δφ τ  α 1 τ  H1.5 nk sd d   = τ , (12) k được gọi là độ cong của đường cong. Từ (12), ta có sd d k τ  = , nên sss KP k sss ∆ ∆ = ∆ ∆ = ∆ = →∆→∆→∆ ϕ ϕ τ 000 lim 2 sin2 limlim  , Vậy độ cong của đường cong tính bằng công thức s k s ∆ ∆ = →∆ ϕ 0 lim (13) Đại lượng nghịch đảo của độ cong, ký hiệu là k/1, = ρρ gọi là bán kính cong của đường cong. Hình 6.Hệ toạ độ tự nhiên Hình 7. Độ cong của đường tròn Để minh hoạ, ta xét hai trường hợp đặc biệt khi đường cong quỹ đạo là đường thẳng và đường tròn bán kính R (H.7). Trong trường hợp quỹ đạo là đường thẳng ta thấy ngay k = 0 và ∞= ρ . Trong trường hợp quỹ đạo là đường tròn, thì ϕ ∆ có giá trị bằng góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OM và 1 OM ,t.l ),( 1 OMOM∠=∆ ϕ do đó, RsR s s OMOM s k sss 1 . lim ),( limlim 0 1 0 = ∆ ∆ = ∆ ∠ = ∆ ∆ = →∆→∆∆ ϕ . (14) 3.2. Gia tốc của điểm theo toạ độ cong. Từ các công thức (8) và (9), ta có ( ) sd d ss dt sd sd d ss dt d sss dt d w τ τ τ τ τ ττ                2 +=+=+== . Thay biểu thức sd d τ  bằng biểu thức (12) của nó, ta được n s sw      ρ τ 2 += , (15) hay là 6 n  τ  b  O M1 M Δs Δφ O M1 M Δs Δφ n v sw    ρ τ 2 += . (15’) Biểu thức (15) hay (15’) là biểu thức gia tốc của điểm theo toạ độ cong. 3.3. Gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến và gia tốc toàn phần Ta gọi τ τ    sw = , (16) là gia tốc tiếp tuyến. Rõ ràng, dt dv sw ==  τ sẽ cho ta biết tốc độ biến thiên của trị số vận tốc theo thời gian. Như vậy, gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự biến đổi độ nhanh chậm của điểm chuyển động. Thành phần n v w n  ρ 2 = , (17) gọi là gia tốc pháp tuyến. Ta có, ρ / 2 vw n = cho ta biết sự biến thiên về chiều của vận ốc. Chẳng hạn, nếu điểm chuyển động trên đường thẳng ∞= ρ , 0= n w , còn nếu chuyển động trên các đường tròn với vận tốc v = const thì đường tròn có bán kính nhỏ, chiều vận tốc thay đổi nhanh và ngược lại đường tròn có bán kính lớn chiều vận tốc sẽ thay đổi chậm. Hình 8 Tổng các gia tốc tiếp tuyến và pháp tuyến gọi là gia tốc toàn phần của điểm. n www  += τ , (18) 22 n www += τ . (19) 4. Tóm tắt. Gia tốc của điểm được định nghĩa bởi biểu thức vw   = và được tính toán dựa vào các công thức (12), (13), (16), (17), (18), (19). § 4. Khảo sát tính chất các chuyển động. 1. Tính chất nhanh chậm. Định nghĩa. Chuyển động của điểm được gọi là nhanh dần (chậm dần), nếu trị số vận tốc tăng (giảm) theo thời gian, và là đều nếu trị số vận tốc không đổi. 2. Điều kiện để điểm chuyển động nhanh dần (chậm dần). Định lý. Điều kiện để điểm chuyển động nhanh dần (chậm dần) là 0. > wv  , ( 0. < wv  ) (20) hay cũng thế 7 τ W  W  n W  n  τ  0> τ wv  , ( 0< τ wv  ). (20’) Hình 9. Vận tốc và gia tốc của điểm trong các chuyển động nhanh dần và chậm dần Về mặt hình học, các công thức (20) và (20’) nói lên rằng trong trường hợp điểm chuyển động nhanh dần góc lập bởi vận tốc và gia tốc là nhọn, hay vận tốc và gia tốc tiếp tuyến cùng chiều và ngược lại điểm chuyển động chậm dần thì góc giữa vận tốc và gia tốc là tù hay vận tốc và gia tốc tiếp tuyến ngược chiều. Chứng minh. Do v tăng, nên 22 vv  = cũng tăng, ta suy ra đạo hàm của chúng theo thời gian sẽ nhận dấu dương ( ) 0 2 > dt vd  . Tính đạo hàm này cho ta (20) ( ) wv dt vd   20 2 =< . Chú ý rằng n www  += τ , τ  ⊥ n w , nên < 0 ττ wvwwvwv n  =+= )( . 3. Các chuyển động đặc biệt 3.1. Chuyển động đều. Trong trường hợp này, trị số vận tốc không đổi, do đó, theo (8’) ta được v dt sd = , Suy ra Cvtvdts +== ∫ trong đó C là hằng số tích phân. Để xác định ta cần biết vị trí ban đầu của điểm, t.l. tại thời điểm 0 ,0 sst == , rồi thay vào công thức trên, ta được 0 svts += . 3.2. Chuyển động biến đổi đều. Chuyển động biến đổi đều là chuyển động trong đó gia tốc tiếp của điểm không đổi. Theo (20’) để chuyển động là nhanh dần đều thì dấu của gia tốc tiếp và vận tốc ban đầu phải như nhau, còn trong trường hợp trái lại, điểm chuyển động chậm dần đều. Thoạt tiên ta xét trường hợp chuyển động nhanh dần đều. Không giảm tính tổng quát, ta giả sử điểm chuyển động về phía dương của quỹ đạo. Khi đó, 0> τ w , 0 0 >v . Từ phương trình τ w dt sd = 2 2 , ta rút ra 1 Ctwdtw dt sd +== ∫ ττ . Thay giá trị ban đầu 0 ,0 vvt == ta được 8 v  W  v  W  0 vtw dt sd += τ từ đó suy ra 20 2 0 2 )( Ctv t wdtvtws ++=+= ∫ ττ . Thay giá trị ban đầu 0 ,0 sst == ta nhận được 00 2 2 stv t ws ++= τ . 4. Các ví dụ Ví dụ 1. Viết phương trình chuyển động, quỹ đạo, vận tốc, gia tốc của điểm M nằm trên vành bánh xe lăn không trượt trên đường ray thẳng nằm ngang và bán kính cong quỹ đạo của nó. Cho biết bán kính bánh xe là R , tâm C của bánh xe chuyển động với vận tốc không đổi u . Bài giải Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy như sau: Trục Ox hướng theođường ray, điểm O ta chọn trùng với vị trí ban đầu của điểm M. Với cách chon đó, dựa vào giả thiết bánh xe chuyển động lăn không trượt ta suy ra độ dài cung MP (độ dài cung tròn nối điểm M đang xét đến điểm tiếp xúc hiện thời P của bánh xe với mặt đường) bằng khoảng cách OP. Trục Oy vuông góc với Ox hướng lên trên. 9 v  PO x y M W  α Hình 10 Từ đó ta tính được PNOPONx −== , β cosRRy += α cosRR −= = OP Đd α RMP =)( ; Mặt khác utOP = . Từ đó suy ra R ut = α . t R u RRPN sinsin. == α . Do đó phương trình chuyển động của điểm M thuộc vành bánh xe là:        −= −= t R u RRy t R u Rutx cos sin . (a) Có thể coi hệ (a) là phương trình quỹ đạo của điểm dưới dạng tham số. Tại các thời điểm u k t π 2 = ∗ điểm M tiếp xúc với mặt đường, và tại các điểm u k t π )1(2 + = ∗ , điểm M ở vị trí cao nhất. Vận tốc của điểm M { }       −== t R u ut R u uuyxv sin,cos,   , t R u uuuyxv cos2 22222 −+=+=  = =− t R u u cos22 t R u ut R u ut R u u 2 sin2 2 sin2.2)cos1(2 2 ==−= . ( ) t R u t R u u t R u u v x ev x sin 2 sin2 cos1 ,cos =       − ==   , ( ) t R u t R u u t R u u v y ev y 2 cos 2 sin2 sin ,cos ===   . Từ đây ta thấy vectơ vận tốc luôn luôn nằm trên đường thẳng nối từ M đến điểm cao nhất của bánh 10 [...]... phương của hệ R giữa các phần tử của ma trận A có 6 hệ thức 2 2 2 a 11 + a 21 + a 31 = 1 (1. 4.a) 2 2 2 a12 + a 22 + a32 = 1 (1. 4.b) 2 2 2 a13 + a 23 + a33 = 1 (1. 4.c) a 11 a12 + a 21 a 22 + a 31 a32 = 0 (1. 4.d) a 11 a13 + a 21 a 23 + a 31 a33 = 0 (1. 4.e) a12 a13 + a 22 a 23 + a32 a33 = 0 (1. 4.f) Như thế, vị trí của vật rắn có thể xác định bằng 12 tham số, trong đó có 6 hệ thức phụ thuộc Điều đó nói lên rằng... cấp ba:       cos(e x , e xo ) cos(e y , e x0 ) cos(e z , e x0 )   0  0  0   cos(e x , e y ) cos(e y , e y ) cos(e z , e y )        cos(e x , e z0 ) cos(e y , e z0 ) cos(e z , e z0 )    Theo định nghĩa tích vô hướng ta còn có thể viết A dưới dạng  a 11 A = a 21   a 31  a12 a 22 a32 a13  a 23  =  a33   14 (1. 2)  a 11 a12 A = a 21 a 22   a 31 a32   0 trong đó... Oo o ex ex o ey yo x xo Hình 2 .1 đơn vị của các trục toạ độ của hệ R đối với hệ R0 : { { { } } }        e x = cos(e x , e x0 ), cos(e x , e y0 ), cos(e x , e z0 )        e y = cos(e y , e x0 ), cos(e y , e y0 ), cos(e y , e z0 )        e z = cos(e z , e x0 ), cos(e z , e y0 ), cos(e z , e z0 ) (1. 1a) (1. 1b) (1. 1.c) 1. 2 Ma trận cosin chỉ phương 1. 2 .1 Chín thành phần nói trên của... e) = λ2 (e.e) = λ2 e 2 nên λ2 = 1 , hay là λ = 1 Ta còn phải chứng minh có ít nhất một giá trị riêng bằng 1 Theo tính chất của giá trị riêng của các ma trận thực thì det A = 1 2 λ3 = 1 phải có ít nhất một giá trị riêng thực, nên giá trị riêng này, chẳng hạn 1 , phải bằng hoặc là 1 hoặc là − 1 Nếu 1 = 1 thì định lý được chứng minh, còn nếu 1 = 1 thì λ 2 λ3 = 1 Từ đây ta lại thấy các giá trị... nhận được ϖ xy + ϖ yx = 0 , ϖ xz + ϖ zx = 0 , Đặt ω x = ϖ yz = −ϖ zy ; 17 ϖ yz + ϖ zy = 0 (1. 9) (1. 10.a) ω y = ϖ zx = −ϖ xz (1. 10.b) (1. 10.c) ω z = ϖ xy = −ϖ yx 2.2 Định nghĩa vận tốc góc của vật rắn Ta gọi vectơ     ω = ω x ex + ω y e y + ω z ez , (1. 11) trong đó các thành phần ω x , ω y , ω z được xác định từ các biểu thức (1. 10) là vận tốc góc của vật rắn 2.3 Tính chất của vận tốc góc của vật...   0 (1. 3)  (e x , e y ) (e y , e y ) ( e z , e y )        (e x , e z0 ) (e y , e z0 ) (e z , e z0 )    o hướng của các vectơ eα và eβ Nếu ta đưa vào ký hiệu ma a13  a 23  =   a 33  trận cột của vectơ:  a 11   a12   a13  a  a    e1 =  21  , e2 =  22  , e3 = a 23   a 31   a32   a33        thì ma trận A cũng còn viết dưới dạng A = [e1 e2 e3] 1. 2.2 Do... trận cô sin chỉ phương có dạng cos ϑ − sin ϑ 0 Az0 (ϑ ) =  sin ϑ cos ϑ 0    0 0 1   2 Vận tốc góc của vật rắn 2 .1 Trước hết ta nhận xét rằng giữa các vectơ đơn vị chỉ phương của hệ R gắn chặt vào vật xảy ra các hệ thức:    e y2 = 1 , e x2 = 1 , e z2 = 1 , (1. 6.a)    ex e y = 0 , e y ez = 0 ex ez = 0 , (1. 6.b) Do đó, bằng cách đạo hàm ba đẳng thức đầu (1. 6.a), ta rút ra:   de x ... do 1. 2.3 Ma trận cô sin chỉ phương có một số tính chất quan trọng sau đây Tính chất 1 Định thức của A bằng đơn vị: det A = 1 (1. 5)    Chứng minh Nhắc lại rằng tích hỗn hợp của ba vectơ a , b và c có các thành phần tương ứng là ( a x , a y , a z ) , ( bx , b y , bz ) và ( c x , c y , c z ) có dạng ax   a b × c = ay az ( ) bx by bz cx cy , cz do đó,      a 11 det A = a 21 a 31 a12 a 22 a32 a13... = ω a 2 + h 2 = const,    x − aϕ sin ϕ − a sin ϕ cos( v , e x ) = = = v ϕ a2 + h2  a2 + h2    y aϕ cos ϕ a cos ϕ cos( v , e y ) = = = v ϕ a2 + h2  a2 + h2 12    z hϕ cos( v , e x ) = = = v ϕ a2 + h2  h a2 + h2 = const Điều này chứng tỏ rằng quỹ đạo của điểm có độ nghiêng đối với mặt phẳng đáy Oxy không đổi Gia tốc chuyển động của điểm { }   w = { , , } = − aω 2 cos ϕ ,− aω 2 sin... trường hợp này ma trận cô sin chỉ phương có dạng 0 1 0 cos ϕ Ax0 (ϕ ) =   0 sin ϕ 0  − sin ϕ    cos ϕ  b) Phép quay cơ bản quanh trục O0 y 0 một góc ψ Trong trường hợp này ma trận cô sin chỉ phương có dạng z zo zo z zo z y y y yo x xo x xo yo yo xo (a) (b) Hình 2.2 Các phép quay cơ bản 16 x (c)  cosψ 0 sinψ  Ay0 (ψ ) =  0 1 0    − sinψ 0 cosψ    c) Phép quay cơ bản quanh trục O0 z . thức 1 2 31 2 21 2 11 =++ aaa (1. 4.a) 1 2 32 2 22 2 12 =++ aaa (1. 4.b) 1 2 33 2 23 2 13 =++ aaa (1. 4.c) 0 32 312 2 211 211 =++ aaaaaa (1. 4.d) 0 33 312 3 211 311 =++ aaaaaa (1. 4.e) 0 3332232 213 12 =++. cấp ba: =           = 3332 31 2322 21 1 312 11 aaa aaa aaa A           ),cos(),cos(),cos( ),cos(),cos(),cos( ),cos(),cos(),cos( 000 000 00 zzzyzx yzyyyx xzxy o xx eeeeee eeeeee eeeeee    (1. 2) Theo. 2 .1 đơn vị của các trục toạ độ của hệ R đối với hệ 0 R : { } ),cos(),,cos(),,cos( 000 zxyxxxx eeeeeee  = (1. 1a) { } ),cos(),,cos(),,cos( 000 zyyyxyy eeeeeee  = (1. 1b) { } ),cos(),,cos(),,cos( 000 zzyzxzz eeeeeee  =