đề thi thử đại học - NĂM 2010 Môn Toán (Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề). I: PHầN CHUNG CHO TấT Cả THí SINH . Câu I Cho hàm số 1 12 + = x x y có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số . 2. Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B . Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. Câu II 1. Giải phơng trình: xx xx 2sin 2 1 cos2) 2 cos 2 (sin3 33 += 2. Giải hệ phơng trình : =++ =++ 0222 0964 22 224 yxyx yyxx . Câu III 1.Tính tích phân sau: 2 0 3sinx cos sinx cos 2 x I dx x = + + 2. Cho 0 x y z< : Chng minh rng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 z y z x y z x z x z z x y xy x y z z x y xy x y x y + + + + + + + + + + + + + + Câu IV Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lợt là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a thể tích khối chóp S.AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). II, PHầN RIÊNG. (Thí sinh chỉ làm một trong 2 phần ; phần 1 hoặc phần 2 ) Phần 1( Dành cho thí sinh theo chơng trình chuẩn ) Câu Va 1. Cho ng trũn (C): x 2 + y 2 - 2x + 4y - 4 = 0 v ng thng d: x + y + m = 0. Tỡm m trờn ng thng d cú duy nht mt im A m t ú k c hai tip tuyn AB, AC ti ng trũn (C) (B, C l hai tip im) sao cho tam giỏc ABC vuụng. 2. Vit phng trỡnh ng thng d i qua im ( ) 4; 5;3M - - v ct c hai ng thng: 2 3 11 0 ': 2 7 0 x y d y z + + = + = v 2 1 1 '': 2 3 5 x y z d - + - = = - . .Câu VIa Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt : x10 1).12(48 22 ++=++ xxmx . Phần 2 ( Dành cho thí sinh theo chơng trình nâng cao ) . Câu Vb 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; -2); P(2;0); Q(1;2) lần lợt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD. Hãy lập phơng trình các cạnh của hình vuông. 2. ) Trong khụng gian Oxyz cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cú A(0;0;0); B(1;0;0); D(0;1;0),A(0;0;1). im M l trung im ca AB , N l tõm hỡnh vuụng ADDA a) Vit phng trỡnh mt cu (S) i qua C,DM,N b) Tớnh bỏn kớnh ng trũn l giao ca mt cu (S) vi mt cu i qua A,B,C,D CâuVII.b ( 1,0 điểm) Tớnh tng: 0 4 8 2004 2008 2009 2009 2009 2009 2009 S C C C C C= + + + + + ******** Hết ******** Kỳ thi thử đại học- cao đẳng năm 2010 Hớng dẫn chấm môn toán đề chính thức Câu Nội dung Điểm I.1 Khảo sát hàm số y= 1 12 + x x 1,00 1. Tập xác định: R\{1} 2. Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: 22 )1( 3 )1( )12()1(2 ' = + = xx xx y Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-; 1) và (1;+) . Cực trị : Hàm số đã cho không có cực trị 0,25 . Tiệm cận: = + = 1 12 limlim 1 1 x x y x x += + = + + 1 12 limlim 1 1 x x y x x Do đó đờng thẳng x=1 là tiệm cận đứng 2 1 12 limlim = + = x x y x x Vậy đờng thẳng y= 2 là tiệm cận ngang 0,25 * Bảng biến thiên: x - 1 + y' - - y 2 - + 2 3* Đồ thị : HS tự vẽ đồ thị hàm số. 0,5 I.2 Với M bất kì (C), tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B. Tìm M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. 1,00 Gọi M + 1 3 2; 0 0 x x (C) * Tiếp tuyến tại M có dạng: 1 3 2)( )1( 3 0 0 2 0 ++ = x xx x y Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B nên tọa độ A; B có dạng là: A + 1 6 2;1 0 x B(2x 0 -1; 2) ; I(1; 2) * Ta có: S IAB = 2 1 . IA. IB= 63.212 1 6 2 1 0 0 == x x (đvdt) 0,25 0,25 * IAB vuông có diện tích không đổi => chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA= Câu Nội dung Điểm IB (HS tự chứng minh). = += = 31 31 12 1 6 0 0 0 0 x x x x * Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện M 1 ( 32;31 ++ ) M 2 ( 32;31 ) Khi đó chu vi AIB = 6234 + 0,5 II.1 Giải phơng trình lợng giác x2sin 2 1 xcos2) 2 x cos 2 x (sin3 33 += ( ) xcosxsin2 2 x cos 2 x sin1 2 x cos 2 x sin3 += + ( ) + += + 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x cosxsin2xsin 2 1 1 2 x cos 2 x sin3 0 2 3 2 x cos 2 x sin)xsin2( 2 x sin 2 x cos = +++ 1,00 * x x x x sin cos 0 sin 0 k x k2 (k ) 2 2 2 4 2 4 2 = = = = + ữ Z * 2xsin0xsin2 ==+ (vô nghiệm) 0,5 * 22 3 4 xsin 2 3 42 x sin2 2 3 2 x cos 2 x sin = += +=+ (vô nghiệm) Vậy nghiệm của phơng trình là: ( ) x k2 k 2 = + Z 0,5 II.2 Giải hệ phơng trình: =++ =++ 0222 0964 22 224 yxyx yyxx * Hệ phơng trình tơng đơng với =++ =+ 022)2( 4)3()2( 22 222 xyx yx 2 2 2 2 2 ( 2) ( 3) 4 ( 2 4)( 3 3) 2 20 0 x y x y x + = + + + = Dat 2 2 3 x u y v = = * Thay vào hệ phơng trình ta có: 2 2 4 . 4( ) 8 u v u v u v + = + + = 2 0 u v = = hoặc 0 2 u v = = 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 C©u Néi dung §iÓm thÕ vµo c¸ch ®Æt ta ®îc c¸c nghiÖm cña hÖ lµ : 2 3 x y =   =  ; 2 3 x y = −   =  ; 2 5 x y  =   =   ; 2 5 x y  = −   =   ; III.1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 2 0 0 0 2 2 0 0 sinx cos 2 2 cos sinx 2 sinx cos 2 cos sinx 2 2 sinx cos 2 sinx cos 2 2ln sinx cos 2 2 2 2 os( ) 1 4 x x I dx x x dx dx dx x x dx x c x π π π π π π π π + + − − − = + + − = − − + + + + = − + + −   − +  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 0 1 2 ln(1 2) ln(1 2) 2 2 os ( ) 2 8 dx x c π π π   = − + − + −   − ∫ 2 0 tan( ) 2tan 2 2 8 2 8 x π π π π π = − − = − 0,25 0,25 0,25 0,25 C©u Néi dung §iÓm III.2 1,00 IV TÝnh thÓ tÝch khèi chãp Ta cã c¸c tam gi¸c SMN vµ AMN c©n t¹i S vµ A. Gäi I lµ trung ®iÓm cña MN suy ra SI ⊥ MN vµ AI ⊥ MN. Do (SBC) ⊥ (AMN) nªn SI ⊥ (AMN). Do ®ã MN.AI.SI 6 1 S.SI 3 1 V AMNAMN.S == 1,00 S A C B M N I K Cho 0 x y z< ≤ ≤ : Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 z y z x y z x z x z z x y xy x y z z x y xy x y x y   + − − + + − + + + + +     + + +   ≤ + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y z x x y z x z y x y z y z x z y z x x y x y x y ⇔ + + − + + + + − + + + + + + + ≤ + + + (1) Đặt a=(2z+y); b=2z+x; c=2x+y Từ (1) 3 2 2 ab a b c b a c abc c c ⇔ − + − + ≤ + ( ) ( ) 2 2 2a c b c b c a c c ab ab c⇔ − + − + ≤ + (2) Ta có: 2 2 (3) 2 b c c b c b c ab a c b c − + − ≤ = ⇔ − ≤ Tương tự: ( ) 4 2 ab b c a c− ≤ ( ) 2 2 5c ab c ab≤ + Cộng (3); (4); (5) ta được: ( ) ( ) 2 2 2a c b c b c a c c ab ab c− + − + ≤ + đpcm Dấu bằng xảy ra khi: a=b=2c a. 2z+y=2z+x=4x+2y b. x=y= 2 5 z 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu Nội dung Điểm Gọi K là trung điểm của BC suy ra I là trung điểm của SK, mà AI SK nên tam giác ASK cân tại A. Do đó 2 3a AKSA == 0,5 0,5 MN = 4 a MN 2 1 NI, 2 a BC 2 1 === , 4 3a 2 SA 2 SC SN === 4 2a 16 a 16 a3 NISNSI 22 22 === 1,00 4 10a 8 a 4 a3 SISAAI 22 22 === . Vậy 96 5a 2 a 4 10a 4 2a 6 1 V 3 AMN.S == 0, 5 0, 5 Chú ý: Thí sinh có thể sử dụng công thức: 4 1 SC SN . SB SM . SA SA V V ABC.S AMN.S == 1,00 + Ta có: (d 1 ) // (d 2 ) ( HS phải chứng minh đợc) 0,25 Va 1.( 1 im) T phng trỡnh chớnh tc ca ng trũn ta cú tõm I(1;-2), R = 3, t A k c 2 tip tuyn AB, AC ti ng trũn v ACAB => t giỏc ABIC l hỡnh vuụng cnh bng 3 23= IA VIa = = == 7 5 6123 2 1 m m m m 1,00 Nhận xét : 10x 48 2 ++ x = 2(2x+1) 2 +2(x 2 +1) Phơng trình tơng đơng với : 2 ( 02) 1 12 () 1 12 2 2 2 =+ + + + + x x m x x . Đặt t x x = + + 1 12 2 Điều kiện : -2< t 5 . Rút m ta có: m= t t 22 2 + Lập bảng biến thiên của hàm số trên ( ] 5,2 , ta có kết quả của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt là: 5 12 4 < m hoặc -5 < 4<m 0,25 0,75 Câu Nội dung Điểm Vb.1 Trong mặt phẳng với hệ Oxy cho hình vuông ABCD biết các điểm M(2;1) ; N(4; -2) ; P(2; 0); Q(1; 2) lần lợt thuộc cạnh AB; BC; CD và AD. Hãy lập phơng trình các cạnh của hình vuông trên. 1,00 + Giả sử đờng thẳng AB qua M và có véc tơ pháp tuyến là );( ban (a 2 + b 2 0) => véc tơ pháp tuyến của BC là: );( 1 abn .Phơng trình AB có dạng: a(x-2) +b(y-1)= 0 ax + by -2a-b =0 BC có dạng: -b(x- 4) +a(y+ 2) =0 - bx + ay +4b + 2a =0 Do ABCD là hình vuông nên d(P; AB) = d(Q; BC) 0,5 Hay = = + + = + ab ab ba ab ba b 2 43 2222 Tr ờng hợp 1: b= -2a; Phơng trình các cạnh cần tìm là: AB: x- 2y = 0 ; CD : x- 2y-2 =0 BC: 2x +y 6= 0; AD: 2x + y -4 =0 Tr ờng hợp 2: b= -a . Khi đó AB: -x + y+ 1 =0 BC: -x y + 2= 0 AD: -x y +3 =0 CD: -x + y+ 2 =0 0,25 0,25 Vb 2 Cho (): = += += 4 21 3 z ty tx ; () += = += uz uy ux 42 2 22 Viết phơng trình đờng vuông góc chung của () và () 1,0 0 + Gọi đờng vuông góc chung của () và () là d Khi đó [ ] )1;2;4(', 2 1 == uuu d + Gọi () là mặt phẳng chứa () và (d) thì () qua N(3; -1; 4) và có véc tơ pháp tuyến: [ ] )10;1;2(, 1 == d uun Vậy phơng trình của () là: 2x- y + 10z - 47 =0 + Gọi () là mặt phẳng chứa () và (d) thì () qua M(-2; 0; 2) và có véctơ pháp tuyến: [ ] )12;18;6(,' 2 == d uun Vậy phơng trình của () là: x + 3y- 2z + 6 =0 Do đó đờng vuông góc chung của và là giao tuyến của hai mặt phẳng: 2x y + 10z 47 = 0 và x + 3y 2z + 6 =0 +Lập phơng trình tham số của (d).(HS tự làm) 0,25 0,25 0,25 0,25 VIIb Ta cú: 2009 0 1 2009 2009 2009 2009 2009 (1 ) i C iC i C+ = + + + 0 2 4 6 2006 2008 2009 2009 2009 2009 2009 2009 1 3 5 7 2007 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 ( ) C C C C C C C C C C C C i + + + + + + + Thy: 1 ( ) 2 S A B= + , vi 0 2 4 6 2006 2008 2009 2009 2009 2009 2009 2009 A C C C C C C= + + + 0 2 4 6 2006 2008 2009 2009 2009 2009 2009 2009 B C C C C C C= + + + + + + Ta cú: 2009 2 1004 1004 1004 1004 (1 ) (1 )[(1 ) ] (1 ).2 2 2i i i i i+ = + + = + = + . 0,25 0,25 0,25 C©u Néi dung §iÓm Đồng nhất thức ta có A chính là phần thực của 2009 (1 )i+ nên 1004 2A = . + Ta có: 2009 0 1 2 2 2009 2009 2009 2009 2009 2009 (1 ) x C xC x C x C+ = + + + + Cho x=-1 ta có: 0 2 2008 1 3 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 C C C C C C+ + + = + + + Cho x=1 ta có: 0 2 2008 1 3 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 ( ) ( ) 2C C C C C C+ + + + + + + = . Suy ra: 2008 2B = . + Từ đó ta có: 1003 2007 2 2S = + . 0,25 Chý ý häc sinh lµm c¸ch kh¸c kÕt quÈ ®óng vÉn ®îc ®iÓm tèi ®a . ******** Kỳ thi thử đại học- cao đẳng năm 2010 Hớng dẫn chấm môn toán đề chính thức Câu Nội dung Điểm I.1 Khảo sát hàm số y= 1 12 + x x 1,00 1. Tập xác định: R{1} 2. Sự biến thi n: + Chi u biến thi n:. . Câu I Cho hàm số 1 12 + = x x y có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số . 2. Với điểm M bất kỳ thu c đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B . Gọi I là. mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; -2); P(2;0); Q(1;2) lần lợt thu c cạnh AB, BC, CD, AD. Hãy lập phơng trình các cạnh của hình vuông. 2. ) Trong khụng gian Oxyz