ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH – NĂM 2010 MÔN TOÁN 8 ( Thời gian làm bài 120 phút ) Bài 1: ( 4 điểm ) Số N có dạng x y z p q r ( p,q,r là các số nguyên tố. x,y,z là các số nguyên dương ) và pq-r =3; pr-q = 9. Biết các số ; ; N N N p q r tương ứng có ít ước số hơn ước số của N là 20;12 và 15. Tìm N ? Bài 2 : ( 3 điểm ) a, Cho các số a,b,c thoả mãn ( ) 2 0, , 2b a b c c ac bc ab≠ + ≠ = + − . Chứng minh rằng ( ) ( ) 2 2 2 2 a a c a c b c b b c + − − = − + − b, Cho đa thức ( ) 4 3 2 axP x x x x b= + − + + và ( ) 2 2Q x x x= + − . Tìm a và b để đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x). Bài 3 : ( 4 điểm ) a, Giải phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 1 5 3 7 297x x x x− + − + = b, Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) sao cho 3 1 x x xy + − là số nguyên dương. Bài 4 :(4 điểm ) Cho a,b,c,d là các số dương . Chứng minh rằng : 0 a b b c c d d a b c c d d a a b − − − − + + + ≥ + + + + Bài 5 ( 5 điểm ) Cho tam giác ABC cân tại A có AB=AC=a ; BC=c . Đường phân giác trong BD của tam giác ABC có độ dài bằng cạnh bên của tam giác ABC . chứng minh rằng ( ) 2 1 1 b b a a b − = + . ………………… Giám thị không giải thích gì thêm……………………… ĐÁP ÁN Bà i Nội dung Điểm 1 +Ta có ( ) ( ) 3 1 6 9 pq r p r q pr q − =  ⇒ + − =  − =  - Vì 1 3 2, 5, 7 2 3 7 x y z p p q r N+ ≥ ⇒ = = = ⇒ = - Khi đó số các ước của N bằng (x+1)(y+1)(z+1) - Số các ước tương ứng của , , 2 5 7 N N N tương ứng là : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ; 1 1 ; 1 1 1 1 1 1 1 20 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 15 x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z + + + + + + + + + − + + =  ⇒ + + + − + + =   + + + − + + =  - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 20 1 1 12 2, 4, 3 1 1 15 y z x z x y z x y + + =  ⇔ + + = ⇔ = = =   + + =  - Vậy N= 2 4 3 2 5 7 857500= 1 1 1 1 2 a, Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a c a c c a c a c ac bc ab a c a c b c a + − = + − + − = + − + − + − = − − + - Chứng minh TT : ( ) ( ) ( ) 2 2 2b b c b c b c a+ − = − − + - Suy ra dpcm b, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 2 2 0 1 1 2 4 2 P Q x x x p x Q x P a b a a b b =  = − + ⇒ ⇔  − =   + = − =   ⇔ ⇔   − + = − =   M 1 0,5 0,5 1 3 a. PT đã cho ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 5 4 21 297 4 32 4 6 0 4 32 0 4 8 4 6 0 x x x x x x x x x x x x x x ⇔ + − + − = ⇔ + − + + =  + − = =  ⇔ ⇔   = − + + =   0,5 1 Vậy nghiệm của PT là x=4; x=-8 b, Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 1 1 ; ; 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x Z x x xy x xy xy x xy x xy xy x x y xy x y xy x y z xy z Z + + + ∈ ⇒ + − − = − ⇒ + − ⇒ + + − − ⇒ + − ⇒ + − ⇒ + = − ∈ M M M M M Ta có PT x+y+z=xyz. Do vai trò x,y,z như nhau , giả sử { } 2 3 3 1;3 1;2;3 x y z xyz x y z x yz z z yz y ≥ ≥ ⇒ = + + ≤ ⇒ ≥ ≥ ⇒ = ≥ ⇒ ∈ - Nếu y=1 thì x+2=x ( loại) - Nếu y=2 thì x=3 - Nếu y=3 thì x=2 ( loại vì x y≥ ). Vậy (x,y,z)=( 3;2;1) và các hoán vị của nó. 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 4 VT= ( ) ( ) ( ) ( ) 4 1 1 1 1 4 4 4 . . 4 0 a c b d c a d b b c c d d a a b a c b d b c d a c d a b a c b d a b c d a b c d + + + + + + + − + + + +     = + + + + + −  ÷  ÷ + + + +     ≥ + + + − = + + + + + + Dấu = xảy ra khi a=b=c=d 1 1 1 1 5 A H b D B a C -Vẽ đường cao BH suy ra AH=AD/2 - Do BD là phân giác trong của tam giác ABC ( ) 2 1 DA b DA DC b b DA DC a b a a b a b = ⇒ = = ⇒ = + + -Tam giác HAB vuông tại H ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 AD AB BH AH BH b⇒ = + ⇒ = − -TT ta có ( ) 2 2 2 2 2 2 . 3 2 4 AD AD BH a b a b b AD   = − − = − + −  ÷   Từ (1),(2) và (3) ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 . b b b a b a b b a b b a a b − + = − ⇔ − = + + 0,5 1 1 1 1,5 . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH – NĂM 2010 MÔN TOÁN 8 ( Thời gian làm bài 120 phút ) Bài 1: ( 4 điểm ) Số N có dạng. chứng minh rằng ( ) 2 1 1 b b a a b − = + . ………………… Giám thị không giải thích gì thêm……………………… ĐÁP ÁN Bà i Nội dung Điểm 1 +Ta có ( ) ( ) 3 1 6 9 pq r p r q pr q − =  ⇒ + − =  − =  - Vì 1. x+2=x ( loại) - Nếu y=2 thì x=3 - Nếu y=3 thì x=2 ( loại vì x y≥ ). Vậy (x,y,z)=( 3;2;1) và các hoán vị của nó. 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 4 VT= ( ) ( ) ( ) ( ) 4 1 1 1 1 4 4 4 . . 4 0 a c b d c a d b b