Gợi ý giải đề thi môn toán khối A - 2008 ĐỀ BÀI PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số ( ) ( ) 2 2 mx 3m 2 x 2 y 1 x 3m + − − = + , với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =1. 2. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 45 o . Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình 1 1 7 4sin x 3 sin x 4 sin x 2 π   + = −  ÷ π     −  ÷   2. Giải hệ phương trình ( ) 2 3 2 4 2 5 x y x y xy xy 4 5 x y xy 1 2x 4  + + + + = −     + + + = −   Câu III (2 điểm) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng x 1 y z 2 d : 2 1 2 − − = = 1. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d. 2. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất. Câu 4 (2 điểm) 1. Tính tích phân 4 6 0 tg x I dx cos2x π = ∫ 2. Tim các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt: 4 4 2x 2x 2 6 x 2 6 x m (m )+ + − + − = ∈¡ PHẦN RIÊNG thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu: V.a hoặc V.b Câu V.a. Theo chương trình không phân ban (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình chính tắc của elíp (E) biết rằng (E) có tâm sai bằng 5 3 và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20. 2. Cho khai triển (1 + 2x) n = a 0 + a 1 x + . . . + a n x n , trong đó n ∈ N* và các hệ số a 0 , a 1 , . . . , a n thỏa mãn hệ thức a 0 + 1 a 2 + . . . n n a 2 = 4096. Tìm số lớn nhất trong các số a 0 , a 1 , . . . , a n . Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 điểm) 1. Giải phương trình log 2x – 1 (2x 2 + x – 1) + log x+ 1 (2x – 1) 2 = 4. 2. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’, B’C’. BÀI GIẢI Câu I: 1) Khi m =1: 2 x x 2 4 y x 2 x 3 x 3 + − = = − + + +  TXĐ: =D R { } 3−  ( ) 2 2 x 6x 5 y x 3 + + ′ = + . y 0 ′ = ( ) ( ) x 1 y 1 1 x 5 y 5 9  = − ⇒ − = − ⇔  = − ⇒ − = −    Tiệm cận o x 3 lim y →− = ∞ ⇒ tiệm cận đứng : x = -3 o x 4 lim 0 x 3 →∞ = ⇒ + tiệm cận xiên : y = x – 2 o x x lim y , lim y →−∞ →+∞ = −∞ = +∞ , x 3 x 3 lim y , lim y − + →− →− = −∞ = +∞ Bảng biến thiên Đồ thị: Trang 1 2. ( ) 2 2 mx 3m 2 x 2 6m 2 y mx 2 x 3m x 3m + − − − = = − + + + Gọi (C m ) là đồ thị hàm số. (C m ) có tiệm cận đứng 1 d : x 3m 0 + = và có tiệm cận xiên 2 d : mx y 2 0− − = 1 m m 0 3   ≠ ∧ ≠  ÷   Ycbt 0 2 m cos45 m 1 ⇔ = + 2 m 2 2 m 1 ⇔ = + 2 m 1 ⇔ = m 1⇔ = ± (nhận). Câu II: 1) 1 1 7 4sin x 3 sin x 4 sin x 2 π   + = −  ÷ π     −  ÷   1 1 4sin x (1) sin x cos x 4 π   ⇔ + = − +  ÷   Điều kiện: m x 2 π ≠ (1) cos x sin x 4sin x sin x cos x 4 π   ⇒ + = − +  ÷   2 sin x 2sin x sin 2x 0 4 4 π π     ⇔ + + + =  ÷  ÷     ( ) 2 sin x 1 2 sin 2x 0 4 π   ⇔ + + =  ÷   sin x 0 4 1 2 sin 2x 0  π   + =   ÷ ⇔     + =  x k 4 x k ( ) 8 5 x k 8 −π  = + π   −π  ⇔ = + π   π  = + π   thoûa dk 2. Hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 2 2 5 x y xy x y xy 4 (I) 5 x y xy 4 −  + + + + =   ⇔  −  + + =   . Đặt : 2 u x y v xy  = +   =   . ( ) 2 2 2 2 5 u 1 v u 0 u uv v u uv u 0 4 (I) 5 5 5 u v u v u v 4 4 4 −    + − = + + = + − =     ⇔ ⇔ ⇔    − − − + = + =    + =     2 2 u 0 v u 1 5 5 u v u v 4 4 = = −     ⇔ ∨  −  − + = + =     1 u 0 u 2 5 3 v v 4 2 −  = =     ⇔ ∨  −  − =   =    3 3 5 x x 1 4 3 y 25 2 y 16  = =     ⇒ ∨   − =   = −    Câu III 1. Gọi H là hình chiếu của A lên (d) ⇒H(1+2t;t;2+2t) ⇒ ( ) AH 2t 1;t 5;2t 1= − − − uuur ( ) d a 2;1;2= uur d AH a⊥ uuur uur ( ) ( ) 2 2t 1 t 5 2 2t 1 0⇔ − + − + − = t 1⇔ = ⇒H(3;1;4) 2. pttq của (d); x 2y 1 0 2y z 2 0 − − =   − + =  (α) có dạng: ( ) ( ) ( ) 2 2 m x 2y 1 n 2y z 2 0 m n 0− − + − + = + ≠ Trang 2 O -3 -2 y -1 2 -9 -5 -2 x y’ y -∞ +∞ -3-5 -1 0 0 − +− + -9 -1 -∞ -∞ +∞ +∞ CĐ CT ( ) mx 2n 2m y nz m 2n 0⇔ + − − − + = ( ) 2 2 9 m n d A, 5m 8mn 5n − ⇒ α = − + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 81 m 2mn n d A, 5m 8mn 5n − + ⇒ α = − + *n = 0⇒ ( ) 2 81 d A, 5 α = ⇒ ( ) 9 d A, 5 α = (1) *n ≠ 0⇒ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 81 m 2mn n d A, 5m 8mn 5n − + α = − + ( ) 2 2 2 m m 81 2 1 n n d A, m m 5 8 5 n n     − +    ÷       ⇒ α =   − +  ÷   Đặt 2 2 t 2t 1 f (t) 5t 8t 5 − + = − + Với m t n = ( ) 2 ' 2 2 2t 2 f (t) 5t 8t 5 − = − + Bảng biến thiên suy ra: f(t) ≤ 2 9 ⇒ d(A, )α ≤ 3 2 với n 0∀ ≠ (2) (1) và (2) suy ra ( ) max ,( )d A α = 3 2 , xảy ra khi: t 1= − ⇔ m 1 n = − . Cho n = -1⇒ m =1 ⇒ phương trình (α) cần tìm: x - 4y +z - 3= 0 Cách khác Gọi ( ) 0 α là mp chứa (d), vuông góc AH. ( ) α là mp chứa (d), K là hình chiếu vuông góc của A lên ( ) α . Ta có: ( ) ( ) = ≤ =,( ) ,( ) 0 d A AK AH d A α α ( ) max ,( )d A AH α ⇒ = , xảy ra khi ( ) ( ) 0 α α ≡ Vậy pt ( ) α cần tìm: 4 3 0x y z− + − = Câu IV: 1) 6 4 0 tg x I dx cos2x π = ∫ = 6 4 2 2 0 tg x(1 tg x) dx 1 tg x π + − ∫ . Đặt t = tgx ( ) 2 dt 1 tg x dx→ = + 3 3 4 2 0 t I dt 1 t = − ∫ = 3 3 3 3 2 3 2 0 0 1 1 1 t 1 t 1 dt t t ln 3 2 t 1 t 1   −   − + + = − + +    ÷ + −     ∫ ( ) 3 3 1 3 3 10 3 1 ln ln 2 3 27 3 2 27 2 3 3   − − = − + + ÷= − −  ÷ +   2) 4 4 2x 2x 2 6 x 2 6 x m (1)+ + − + − = . ĐK: 0 x 6≤ ≤ Xem hàm số [ ] 4 4 y 2x 2x 2 6 x 2 6 x , x 0;6= + + − + − ∈ ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4 1 1 1 1 y , x 0;6 2x 6 x 2 2x 2 6 x ′ = + − − ∈ − − α A d 0 α H K Trang 3 x y 0 0 6 π 3 3 x f(t) -∞ 0 + − ∞ -1 1 0 + 2 9 1 5 1 5 0 f’(t) ( ) ( ) 3 3 4 4 1 1 1 1 1 2 2x 6 x 2x 6 x      ÷ = − + −  ÷  ÷ −    ÷ −   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4 3 3 4 6 x 2x 6 x 2x 2x 6 x 2. 2x . 6 x − − − − = + − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 4 4 4 4 4 3 3 4 6 x 6 x .2x 2x 6 x 2x 6 x 2x 2x. 6 x 2. 2x . 6 x   − + − + − +   = − − +   − −     . ( ) ( ) 4 4 6 x 2x 6 x 2x 0 y 0 x 2 x 0;6 x 0;6  − =  − − =   ′ = ⇔ ⇔ ⇔ =   ∈ ∈     Bảng biến thiên: (1) có đúng 2 nghiệm thực phân biệt ( ) ( ) 4 4 2 6 6 1 m 3 2 2⇔ + ≤ < + (nhìn bảng biến thiên) (HS có thể chứng tỏ y 0 y ′′ ′ < ⇒ nghịch biến trên (0;6) và do ( ) y 2 0 ′ = nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình y 0 ′ = ) Câu Va. 1. Phương trình chính tắc có dạng: 2 2 2 2 x y 1(a b 0) a b + = > > 5 c 5 a 5 e c 3 a 3 3 = ⇔ = ⇔ = Chu vi hình chữ nhật cơ sở bằng 20 a b 5⇔ + = b 5 a⇔ = − (0 < a < 5) 2 2 2 a b c− = ( ) 2 2 2 5a a 5 a 9 ⇔ − − = 2 a 18a 45 0⇔ − + = a 15⇔ = (loại) hay a = 3 (nhận) Phương trình chính tắc elip là 2 2 x y 1 9 4 + = 2. ( ) n 2 n 0 1 2 n 1 2x a a x a x a x+ = + + + + (1) Chọn 1 x 2 = , ( ) n n 1 2 0 n a a a 1 2 a 2 4 2 ⇒ = + + + + n 12 2 4096 2⇔ = = n 12⇔ = , ( ) 12 12 k k k 12 k 0 1 2x C 2 x = + = ∑ Có k k k 12 a C .2= Xét a k ≤ a k+1 (k = 0, . . . ,11) ⇔ k ≤ 23 3 ⇔ k ≤ 7 ⇒ { 0 8 9 12 a a a a < < ≥ ≥ a 8 = 2 8 . 8 12 C >2 9 9 12 9 C a= Vậy số lớn nhất trong các số a 0 ,a 1 ,. . .,a 12 là 8 8 8 12 a C 2= Câu V.b: 1) ĐK: 1 x 2 x 1  >    ≠  . Pt ( ) ( ) ( ) 2 2x 1 x 1 log 2x 1 x 1 log 2x 1 4 − + ⇒ − + + − = ( ) ( ) 2x 1 x 1 1 log x 1 2log 2x 1 4 − + ⇔ + + + − = ( ) ( ) 2x 1 2x 1 2 log x 1 3 0 log x 1 − − ⇔ + + − = + ( ) ( ) 2 2x 1 2x 1 log x 1 3log x 1 2 0 − − ⇔ + − + + = ( ) ( ) 2x 1 2x 1 x 2 log x 1 1 5 x 4 log x 1 2 x 0 (loai) − − =    + =  ⇔ ⇔ =   + =    =  Vậy pt có 2 nghiệm x = 2 hay 5 x 4 = 2) Gọi M là trung điểm BC ∆vuông AMA ’ : ' 2 '2 2 A M AA AM= − ' 2 2 2 2 A M 4a a 3a = − = ⇒ A ’ M a 3= ' ' ABC A ABC 1 V S .A M 3 ∆ = . ' 1 1 . AB.AC.A M 3 2 = . 1 .a.a 3.a 3 6 = . 3 a 2 = Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ A(0;0;0) , B(a;0;0) , C(0; a 3 ;0) Trang 4 y x z A S B S C S A’ S B’ S C’ S M S x y’ y 0 6 2 0 + − 4 4 12(1 12) + 4 4 2 6( 6 1) + 3( 2 2) + a a 3 A ; ;a 3 2 2   ′  ÷  ÷   , a a 3 M ; ;0 2 2    ÷  ÷   Đường thẳng AA’ có vtcp là ( ) a 1; 3;2 3= r Đường thẳng B’C ‘có vtcp là ( ) b 1; 3;0= − r (do B’C’//BC) Gọi ϕ là góc giữa 2 đường thẳng AA’ và B’C’ có ( ) = = = r r r r r r . 1 cos cos , 4 . a b a b a b ϕ NGƯỜI GIẢI ĐỀ: Th.s Phan Trường Linh, Tôn Thất Tứ, Th.s Trần Nhân. Trung Tâm BDVH SÀI GÒN TRI THỨC Trang 5 . = ⇒ A ’ M a 3= ' ' ABC A ABC 1 V S .A M 3 ∆ = . ' 1 1 . AB.AC .A M 3 2 = . 1 .a. a 3 .a 3 6 = . 3 a 2 = Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ A( 0;0;0) , B (a; 0;0) , C(0; a 3 ;0) Trang. bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc c a đỉnh A trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm c a cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A .ABC và tính. (loai) − − =    + =  ⇔ ⇔ =   + =    =  Vậy pt có 2 nghiệm x = 2 hay 5 x 4 = 2) Gọi M là trung điểm BC ∆vuông AMA ’ : ' 2 '2 2 A M AA AM= − ' 2 2 2 2 A M 4a a 3a =