A Một số công thức phần xác suất I Xác suất biến cố: m(A) P(A) = n(A) * * P(B)+P(C) A=B+C ⇒ P(A)=P(B+C) = • B C xung khắc P(B)+P(C)-P(B.C) B C không xung khắc P(B).P(C) B C độc lập A=B.C ⇒ P(A)=P(B.C) = P(B).P(C/B)=P(C).P(B/C) B C không độc lập * A1 A A n =A1 +A + +A n * A + A + A n = A A A n * P(A)+ P (A ) =1 • Công thức Bernoulli: x Pn ( x ) = Cn p x (1 − p ) n −x , x = 0,1,2,…,n n • Cơng thức Xác suất đầy đủ: P(A) = ∑ P(Hi )P(A/H i ) i =1 • Công thức Bayes: P(H i )P(H i /A) P(H i )P(H i /A) P(H i /A) = = n P(A) ∑P(H i )P(H i /A) i= II Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất: Các tham số đặc trưng: E(X) = n x ∑ ipi X biến ngẫu nhiên rời rạc i= + ∞ ∫ xf(x) X biến ngẫu nhiên liên tục − ∞ n x ∑ i i= p i X biến ngẫu nhiên rời rạc E(X ) = +∞ ∫ −∞ x f ( x ) X biến ngẫu nhiên liên tục V(X)= E ( X − E ( X ) ) σ( X ) = V ( X ) Phạm Hương Huyền-TKT ( ) = E X − ( E( X ) ) ∀ i = 1,2, , n Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng: ♦X∼A(P) ⇒ X P 1-p p * P ( X = x ) = p x (1 − p ) 1− x x = 0;1 * E(X)=p ; V(X)=p(1-p) ; σ ( X ) = p (1 − p ) ♦ X∼B(n,p) ⇒ X … x … n P C p q n− C p1q n−1 … C x p x q n− x … C n p n q n n n n ( q=1-p ) * P( X = x ) = C nx p x ( − p ) * E(X)=np ; V(X)=npq ; n− x x = 0,1, , n σ ( X ) = npq x0 ∈ N * Mốt X∼B(n,p): x0 = np + p −1 ≤ x ≤ np + p ♦ X∼P(λ) ⇒ * P ( X = x ) = C p (1 − p ) x n x n− x λx e − λ ≈ x! ; x=0,1,2,… ( n lớn, p nhỏ; λ=np ) σ( X ) = λ * Mốt X∼P(λ): λ − ≤ x ≤ λ ; x0∈N * E(X)=V(X)=λ; (x − )2 μ − 2σ ♦ X∼N(µ,σ 2) ⇒ f(x) = e (σ>0) 2∏ * E(X)=µ ; V(X)=σ ; σ(X)=σ  b −µ   a −µ   −Φ   * P ( a < X < b) = Φ  0  σ   σ  b−  µ + ,5   σ  µ a −  0,5 −  Φ   σ   * P(Xa) ≈ ( ε   σ  ) * P X −µ U α ) =α U , 025 =1,96 ( * Định nghĩa: ( U , 05 =1,645 , ) • Giá trị tới hạn Khi bình phương: U∼N(),1) ; P T > Tα( n ) = α T1( n ) = − α n ) T( −α * Chú ý: , T∼T(n) ( Tα n ) ≈ U α ; ) P χ > χ α2( n ) = α n ≥ 30 χ2∼χ2(n) , • Giá trị tới hạn Fisher- Snedecor: ( n ,n ) * Định nghĩa: P F > Fα =α ( với ) , F ∼ F(n1,n2) (n Fα1 , n2 ) = (n2 , n1 ) F− α * Chú ý: III Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc X x1 … x2 … xi xn Tổng P(xn,y1) P(xn,y2) … P(xn,yj) … P(xn,ym) P(X=xn) P(Y=y1) P(Y=y2) … P(Y=yj) … P(Y=ym) Y P(x1,y1) P(x2,y1) P(x1,y2) P(x2,y2) … … … yj P(x1,yj) P(x2,yj) … … … ym P(x1,ym) P(x2,ym) Tổng P(X=x1) P(X=x2) • P xi , y j = P X = xi , Y y1 y2 ( • ) ( P(X = i x • P (( X … … … … … … … = yj ) = P (xi , ∑ m j= =xi ) / (Y = y j P(xi,y1) P(xi,y2) … P(xi,yj) … P(xi,ym) P(X=xi) ) yj ) )) = P ; (X … … … …… … … … P ( =y j Y =x i , Y = y j P (Y = y j ) • ) ) = P (x ∑ n i= i , y j µ XY = Cov ( X , Y ) = E ( ( ( X − E ( X ) )( (Y − E (Y ) ) ) = ∑∑ xi y j P ( xi , y j ) − E ( X ) E (Y ) n ã XY i =1 j =1 X ) ( ) ( σ Y = Phạm Hương Huyền-TKT m XY ) • V ( aX +bY ) = a 2V ( X ) +b 2V (Y ) + 2abCov ( X , Y ) III Một số quy luật số lớn: • Bất đẳng thức Trêbưsép: X bất kỳ; E(X), V(X) hữu hạn; ε>0 P ( X − E ( X ) < ε ) ≥1 − ⇔ P ( X − (X E ) V (X ) ε2 ≥ )≤ ε V (X ) ε • Định lý Trêbưsép: X1, X2,…, Xn độc lập đôi; E(Xi), V(Xi) hữu hạn ∀i=1,2,…,n; ε>0 1 n  n Lim P ∑i − ∑ X i ) <  X E( ε = n  n→ ∞ n i= i= 1   • Định lý Bernoulli: f tần suất xuất biến cố A lược đồ Bernoulli với tham số n, p ε > , ta có ε Lim P ( f − < )= p n→ ∞ B Một số cơng thức phần Thống kê tốn I Một số công thức mẫu: k x = ∑ i xi ; n n i =1 s= * * n Ms n −1 ; s *2 ; () Ms = x − x k = ∑ i ( xi − µ) n n i =1 Tần suất mẫu f hình ảnh tham số p tổng thể mẫu  σ  µ Tổng thể : X∼ N µ , σ ⇒ X ∼ N , n  ⇒     ( ( ) E X =µ * k x = ∑ i xi2 n n i =1 , ) ( ) V X = σ2 n pq    ⇒ E( f ) = p Tổng thể X∼A(p) ⇒ f ∼ N p, n   ( n đủ lớn) II Một số công thức ước lượng: Ước lượng giá trị tham số µ quy luật N ( µ , σ ) Phạm Hương Huyền-TKT , V( f ) = pq n Trường hợp biết σ (ít gặp) Cơng thức KTC đối xứng KTC ước lượng x− σ n Uα < µ < x + σ µ< x+ σ n n Uα Trường hợp chưa biết σ (thường gặp) n ≤ 30 Uα s x− n n>30 s Tα( n −1) < µ < x + n µ< s x + n Tα( n −1) x − s n Uα < µ < x + µ < x+ s µ > x− (n Tα −) s µ max KTC ước lượng µ > x− µ Cơng thức xác định n * σ Uα n 4σ 2 ≥ Uα / I 02 µ > n x− kích thước mẫu (n*) cho: Giữ nguyên độ tin cậy (1-α ) muốn độ dài khoảng tin cậy đối xứng I ≤ I0 n Tα( n −1) 4s (Tα( n −1) ) /2 I0 ≥ * s ε Chú ý : n * ≥ Ước lượng giá trị tham số p quy luật A(p) f− KTC đối xứng KTC ước lượng KTC ước lượng p max Phạm Hương Huyền-TKT n Uα < p < f + ≥ n f (1 − f ) Uα n p>f − n* f (1 − f ) p< f + p Công thức xác định kích thước mẫu (n*) cho: Giữ nguyên độ tin cậy (1-α) muốn độ dài khoảng tin cậy đối xứng I ≤ I0 f (1 − f ) f (1 − f ) n f (1 − f I0 Chú ý : ε = I Uα )U2 α/ n n Uα Uα 4s 2 Uα / I 02 I = s Uα n Uα Chú ý: Nếu P= M ước lượng M qua P N (quan hệ M P thuận chiều), ước N lượng N qua P M (quan hệ N P ngược chiều) Ước lượng giá trị tham số σ quy luật N μ, σ Công thức Trường hợp biết µ Trường hợp chưa biết µ (ít gặp) (thường gặp) n s *2 n s *2 ( n −1) s ( n −1) s 2 < < (n ) ns *2 (n − ) s < (n −) σ *2 (n − ) s > 2(n− ) 2(n ) χ α χ− α χ α Một số công thức kiểm định giả thuyết thống kê ♦Kiểm định tham số quy luật phân phối gốc Bài toán kiểm định tham số µ quy luật N ( µ , σ ) : a Bài tốn so sánh µ với giá trị thực cho trước µ Trường hợp σ biết (ít gặp) Cặp giả thuyết cần kiểm Miền bác bỏ giả thuyết H0 định H0: µ = µ   x −µ n   Wα = = U ; U >U α  H1: µ > µ σ     H0: µ = µ   x −µ n   Wα =  = U ; U U α /  µ ≠ µ0 H1: σ     Trường hợp σ chưa biết (thường gặp) Cặp giả thuyết Miền bác bỏ giả thuyết H0 cần Trường hợp n ≤ 30 Trường hợp n>30 kiểm định H0: µ = µ   x − µ0 n   Wα = T = ; T > Tα( n −1)  µ > µ0 H1: ( ) ( ( (   Phạm Hương Huyền-TKT )   s ) ) ( H0: µ = µ H1: µ < µ H0: µ = µ H1: µ ≠ µ ( ) ( )  x − µ0  Wα = T = s   n   ; T < −Tα( n −1)    ) ( )   x − µ0 n   Wα = U = ; U > Uα  s       x − µ0 n   Wα = U = ;U < −U α  s     ( b Bài tốn so sánh hai tham số µ1 với µ quy luật phân phối chuẩn Trường hợp σ 12 , σ 22 biết (ít gặp) Cặp giả thuyết cần kiểm Miền bác bỏ giả thuyết H0 định H0: µ1 = µ     H1: µ1 > µ x −x   H0: H1: H0: H1: Wα =  = U ; U >U α  2 σ1 σ2   +   n1 n2       µ1 = µ x1 − x   Wα =  = U ; U U α /  µ1 ≠ µ 2 σ1 σ   +   n1 n2   2 Trường hợp σ , σ chưa biết; n1 ≥ 30 , n2 ≥ 30 (thường gặp) Cặp giả thuyết cần kiểm định H0: µ1 = µ H1: µ1 > µ H0: H1: )    x − µ0 n x − µ0 n     ( n −1)  Wα = T = ; T > Tα /  Wα = U = ; U > Uα /  s s         µ1 = µ µ1 < µ Phạm Hương Huyền-TKT Miền bác bỏ giả thuyết H0     x1 − x   Wα =  = U ; U >U α  2 s1 s   +   n1 n2       x1 − x   Wα =  = U ;U µ Wα    = = T    Wα    = T =     µ1 = µ µ1 < µ H0: µ1 = µ H1: µ1 ≠ µ Wα k = (n 2 s1 s2 + n1 n2 chưa biết Miền bác bỏ giả thuyết H0 Cặp giả thuyết cần kiểm định H0: H1: x1 − x    ; U >Uα /        = = T    x1 −x 2 s1 s2 + n1 n2 x1 − x 2 s1 s2 + n1 n2 2 s1 s2 + n1 n2 ; c =    ; T < Tα )  − (k      ( )  ; T >Tαk  /    x1 −x (n1 − )(n − ) 1 − )c +(n1 − )(1 −c ) 1    ; T > α ) T (k    (s 2 s1 / n1 / n1 ) +(s / n ) Bài toán kiểm định tham số σ quy luật N ( µ , σ ) : a Bài toán so sánh σ với giá trị thực cho trước σ 02 Cặp giả thuyết cần kiểm Miền bác bỏ giả thuyết H0 định H0: σ = σ 02  ( n −1) s ; χ > χ 2( n −1)  Wα = χ =  α H1: σ > σ 02  Phạm Hương Huyền-TKT σ0   ( n −1) s ; χ < χ 2( n −1)  Wα = χ =  1−α σ0   H0: σ = σ 02 H1: σ < σ 02  ( n − 1) s Wα =  χ = σ 02  H0: σ = σ H1: σ ≠ σ 02 2 ;  χ > χ α2 (/n−1) hay χ < χ 12−(αn−1)  /2  b Bài toán so sánh hai tham số σ 12 với σ 22 quy luật phân phối chuẩn Cặp giả thuyết cần Miền bác bỏ giả thuyết H0 kiểm định H0: σ 12 = σ 22  s1 (n 1 Wα = = ; F >Fα −, n2 − ) F H1: σ 12 > σ 22  H0: σ 12 = σ 22 H1: σ 12 < σ 22 H0: σ 12 = σ H1: σ ≠ σ 2 Wα s2  s1 1  = = ; F F ( n1 − 1, n − 1) 1− α / hay F < F Bài toán kiểm định tham số p quy luật A(p): a Bài toán so sánh giá trị tham số p với giá trị thực p0 cho trước: Cặp giả thuyết cần Miền bác bỏ giả thuyết H0 kiểm định H0: p = p0 H1: p > p0 H0: H1: p = p0 p < p0 H0: p = p0 H1: p ≠ p0 Phạm Hương Huyền-TKT      ( f − p0 ) n   Wα = = U ; U >U α  p (1 − p )       ( f − p0 ) n   Wα = = U ; U   Wα = = U U α/  p0 (1 −p0 )        b Bài toán so sánh hai tham số p1 với p quy luật Không-Một Cặp giả thuyết cần Miền bác bỏ giả thuyết H0 kiểm định         f1 − f  =  Wα = U ; U α Wα = U = U    f 1−f  +   n  1   n2   + 1   f −f    n  n2           f1 − f Wα = = U ; U > α/  U 1     f −f  +   n  n2     H0: p1 = p H0: pp1 = pp < H1: p1 > p ( H0: p1 = p H1: p1 ≠ p Trong đó: f ( ( ) ) ) n f +2 f n =1 n1 + n ♦ Kiểm địnhphi tham số • Kiểm định dạng quy luật phân phối gốc: * Cặp giả thuyết cần kiểm định: H0: X ∼ Quy luật A H1: X ∼ Quy luật A (Xét quy luật A rời rạc) * Miền bác bỏ giả thuyết H0: k  (ni − i′)2 n  Wα = χ =  ∑ n′  i= i  χ ;  > αk − −)  χ( r    Trong đó: k Mẫu ngẫu nhiên chiều X X(n); xi xuất ni lần ; ∑n i =1 i = n ; ni′ = np i ; pi = P( X = xi ) ; r số tham số quy luật A cần ước lượng, tham số quy luật A ước lượng phương pháp ước lượng hợp lý tối đa; • Kiểm định tính độc lập hay phụ thuộc dấu hiệu định tính: * Cặp giả thuyết cần kiểm định: H0: X , Y độc lập H1: X , Y phụ thuộc * Miền bác bỏ giả thuyết H0: Phạm Hương Huyền-TKT 10 Wα k  h  nij  = χ =  n ∑ −  i = ∑i m j    j= n   ; χ   1 >χ (( h − )( k − ))  α   Trong đó: Mẫu ngẫu nhiên chiều X,Y X(n); giá trị (xi,yj )xuất nij lần; h n ∑ i= ij =m j , k n ∑ j= ij =ni , h k ∑ n ∑ i= j= h ij k i= j= =∑ i =∑ j =n n m • Kiểm định Jarque-Bera dạng phân phối chuẩn: H0 : X tuân theo quy luật phân phối chuẩn +> H1: X không tuân theo quy luật phân phối chuẩn    a3 (a −  3) Wα = JB =  n + ; JB > α  χ2(2) → MBB H0 :   24 6    ( a3 hệ số bất đối xứng, a4 hệ số nhọn) - Phạm Hương Huyền-TKT 11 ... Định lý Bernoulli: f tần suất xuất biến cố A lược đồ Bernoulli với tham số n, p ε > , ta có ε Lim P ( f − < )= p n→ ∞ B Một số công thức phần Thống kê tốn I Một số cơng thức mẫu: k x = ∑ i xi ;...2 Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng: ♦X∼A(P) ⇒ X P 1-p p * P ( X = x ) = p x (1 − p ) 1− x x = 0;1 * E(X)=p ; V(X)=p(1-p)...   ( n đủ lớn) II Một số công thức ước lượng: Ước lượng giá trị tham số µ quy luật N ( µ , σ ) Phạm Hương Huyền-TKT , V( f ) = pq n Trường hợp biết σ (ít gặp) Cơng thức KTC đối xứng KTC ước