Khoa Xỏy Dổỷng Thuớy Lồỹi - Thuớy ióỷn Bọỹ mọn: Cồ Sồớ Kyợ Thuỏỷt Thuớy Lồỹi CHặNG IV CHUYỉN ĩNG TH & LẽP BIN *** 4.1 CHUYỉN ĩNG TH I. Khaùi nióỷm vóử lổu sọỳ II. Caùc tờnh chỏỳt cồ baớn cuớa chuyóứn õọỹng thóỳ III. Nguyón lyù JU-CP-SKI IV. Thóỳ phổùc V. Mọỹt vaỡi vờ duỷ haỡm phổùc trong doỡng chaớy thóỳ phúng 4.2 LẽP BIN I. Sổùc caớn do ma saùt II. Sổùc caớn do õọỹ chónh aùp suỏỳt III. Sổùc caớn do ma saùt vaỡ aùp suỏỳt IV. Phổồng trỗnh lồùp bión cuớa Prandtl Baỡi giaớng Thuớy Lổỷc 1 Trang 66 Khoa Xỏy Dổỷng Thuớy Lồỹi - Thuớy ióỷn Bọỹ mọn: Cồ Sồớ Kyợ Thuỏỷt Thuớy Lồỹi 4.1 CHUYỉN ĩNG TH I. Khaùi nióỷm vóử lổu sọỳ: B Cho trổồỡng vectồ ),,( wvuV r , ngổồỡi ta õởnh nghộa v r M A lổu sọỳ vectồ doỹc theo õổồỡng bỏỳt kyỡ (C) nọỳi lióửn õióứm A vaỡ õióứm B bồới tờch phỏn : == c s c ds.Vsd.V r r Hay: = ++ c )dz.wdy.vdx.u( Tờch phỏn nỏửy coù thóứ tờnh toaùn, õỷc bióỷt õọỳi vồùi nhổợng õổồỡng voỡng kheùp kờn. Vờ duỷ doỡng chaớy coù õổồỡng doỡng õọửng tỏm, vỏỷn tọỳc V = .r D r 1 A v A B C (C 1 ) r 2 Lổu sọỳ doỹc theo õổồỡng (C 1 ) laỡ : 2 1111 2.2 11 rrrdsVdsV cc s ==== Nhổ vỏỷy: tng theo bỗnh phổồng baùn kờnh . 1 Lổu sọỳ doỹc theo õổồỡng ABCD laỡ : )rr(.wr r.wr r.w ABCD 2 1 2 21122 == Chuù yù: Giaù trở õọứi dỏỳu khi õọứi chióửu õổồỡng cong (C) . II. Caùc tờnh chỏỳt cồ baớn cuớa chuyóứn õọỹng thóỳ - Trong trổồỡng hồỹp tọứng quaùt, tờch phỏn = c sd.v r r phuỷ thuọỹc õổồỡng õi tổỡ A õóỳn B. óứ tờch phỏn nỏửy chố phuỷ thuọỹc õióứm A vaỡ B thỗ bióứu thổùc u.dx + v.dy + w.dz laỡ vi phỏn toaỡn phỏửn cuớa haỡm sọỳ naỡo õoù, õióửu nỏửy dỏựn õóỳn : 0 = Vtor r (4.1) - Doỡng chaớy thoớa tờnh chỏỳt nỏửy goỹi laỡ doỡng chaớy khọng xoaùy vaỡ haỡm sọỳ thoớa maợn tờnh chỏỳt : z w, y v, x u = = = (4.2) Hay : = dag r V r r (4.3) Doỡng chaớy coỡn õổồỹc goỹi laỡ doỡng chaớy coù thóỳ vỏỷn tọỳc hay doỡng chaớy thóỳ, vaỡ chuùng ta seợ coù: (4.4) == B A AB )z,y,x()z,y,x(sd.V r r Khi õổồỡng cong kheùp kờn thỗ = 0 ọỳi vồùi chỏỳt loớng khọng neùn, tổỡ phổồng trỗnh lión tuỷc divV = 0, ta coù õổồỹc : Baỡi giaớng Thuớy Lổỷc 1 Trang 67 Khoa Xáy Dỉûng Thy Låüi - Thy Âiãûn Bäü män: Cå Såí K Thût Thy Låüi 0 2 2 2 2 2 2 = ∂ ϕ∂ + ∂ ϕ∂ + ∂ ϕ∂ =ϕ∆ zyx (4.5) Hay : ∆ϕ = 0. Váûy hm säú ϕ tha phỉång trçnh Laplace hay ϕ l hm säú âiãưu ha. Trong chuøn âäüng phàóng thç: dϕ = u x .dx + u y .dy = dy. y dx. x ∂ ∂ ϕ + ∂ ∂ ϕ Nãúu ϕ = const, thç: dϕ = 0 v 0= ∂ ∂ ϕ + ∂ ∂ϕ dy. y dx. x (4.6) Âáy l phỉång trçnh âỉåìng âàóng thãú lỉu täúc trong chuøn âäüng phàóng. Ta lải cọ phỉång trçnh âỉåìng dng trong chuøn âäüng phàóng : u x .dy - u y .dx = 0 (4.7) Nãúu tçm âỉåüc hm Ψ(x,y) sao cho : yx u x ,u y −= ∂ ∂ψ = ∂ ∂ψ (4.8) Thç phỉång trçnh âỉåìng dng ca chuøn âäüng phàóng s l : 0= ∂ ∂ϕ + ∂ ∂ψ dy. y dx. x , hồûc dΨ = 0 (4.9) Do âọ Ψ(x,y) = const, nãn trë âỉåìng dng khäng âäøi dc theo mäùi âỉåìng dng. Tỉì (4.2) v (4.8) ta cọ mäúi liãn hãû : yx ∂ ∂ ∂ ∂ϕ Ψ = v xy ∂ ∂ ∂ ∂ϕ Ψ −= (4.10) Do âọ : y . yx . x ∂ ∂ψ ∂ ∂ϕ = ∂ ∂ ψ ∂ ∂ϕ (4.11) Âiãưu náưy cọ nghéa l hai h ϕ v Ψ trỉûc giao nhau trong chuøn âäüng thãú phàóng v âỉåüc gi l nhỉỵng hm säú liãn hiãûp. Biãøu thỉïc (4.10) l âiãưu kiãûn Cosi - Riemann cho phẹp ỉïng dủng hm phỉïc âãø nghiãn cỉïu chuøn âäüng thãú . Màût khạc, ta cọ lỉu lỉåüng : dQ = u x .dy - u y .dx (4.12) M u x = x u y y ∂ ∂ ∂ ∂ Ψ −= Ψ , Nãn dQ = ψ= ∂ ∂ψ + ∂ ∂ψ ddx. x dy. y (4.13) Do âọ : (4.14) 12 2 1 21 ψ−ψ=ψ= ∫ ψ ψ ψ−ψ dQ Âiãưu náưy cọ nghéa hiãûu säú nhỉỵng trë säú hm säú dng cho ta lỉu lỉåüng cháút lng chy giỉỵa hai âỉåìng dng âọ. Âọ l nghéa ca hm säú dng. Bi ging Thy Lỉûc 1 Trang 68 Khoa Xỏy Dổỷng Thuớy Lồỹi - Thuớy ióỷn Bọỹ mọn: Cồ Sồớ Kyợ Thuỏỷt Thuớy Lồỹi 3. Nguyón lyù Ju-cọỳp-ski óứ dỏựn õóỳn nguyón lờ Ju-cọỳp-ski , ta xeùt mọỹt cổớa chồùp coù mỷt cừt ngang nhổ hỗnh veợ, caùc chồùp caùch nhau õoaỷn t cho rũng doỡng chaớy qua cổớa chồùp laỡ ọứn õởnh, phúng, khọng xoaùy, trổỷc giao vồùi õổồỡng sinh cổớa chồùp . Y Y R B A X X D O t t V 1 U 1 =u 2 2 2 2 v u V C 1 1 1 v u V v m V 2 - Aùp duỷng õởnh lyù õọỹng lổồỹng õọỳi vồùi mỷt bao ABCD coù õọỹ daỡy õồn vở caùc caỷnh AB,CD õuớ xa cổớa chồùp, õóứ coù aùp suỏỳt vaỡ vỏỷn tọỳc khọng õọứi. Chióỳu phổồng trỗnh õọỹng lổồỹng lón truỷc ox , ta coù: .Q(v 2 - v 1 ) = (.t.u 2 ).u 2 - (.t.u 1 ).u 1 (4.15) F = -X + (p 1 - p 2 ).t (4.16) Nón : .t.(u 2 2 -u 1 2 ) = -X + (p 1 - p 2 ).t (4.17) Doỡng chaớy ọứn õởnh nón: t.u 1 = t.u 2 u 1 = u 2 (4.18) Nhổ vỏỷy : X = (p 1 - p 2 ).t (4.19) Chióỳu phổồng trỗnh õọỹng lổồỹng lón truỷc oy ta coù : (.t.u 2 ).v 2 - (.t.u 1 ).v 1 = - Y (4.20) Vaỡ vỗ u 1 = u 2 nón : Y = .t.u 1 (v 1 - v 2 ) (4.21) Mỷt khaùc tổỡ phổồng trỗnh Becnoulli ta coù: p 1 + 22 2 2 2 2 1 V. p V. += (4.22) Baỡi giaớng Thuớy Lổỷc 1 Trang 69 Khoa Xỏy Dổỷng Thuớy Lồỹi - Thuớy ióỷn Bọỹ mọn: Cồ Sồớ Kyợ Thuỏỷt Thuớy Lồỹi Hay : 22 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 )v u ( p )v u ( p + += + + (4.23) Nón : 2 2 1 2 2 21 )vv.( pp = (4.24) Khổớ p 1 - p 2 giổợa phổồng trỗnh (4.19) vaỡ (4.24) õổồỹc caùc thaỡnh phỏửn cuớa lổỷc R (cuớa chỏỳt loớng taùc duỷng lón cổớa chồùp): 2 2121 )vv).(vv.(t. X + = )vv( u .t.Y 211 = Ta coù lổu sọỳ doỹc ABCD theo chióửu muợi tón: = -t.v 1 + BC + t.v 2 + DA Vỗ : BC = AD = - DA , nón = t.(v 2 - v 1 ) Nón: + = . vv X 2 21 (4.25) Y = - .u 1 . (4.26) ỷt 2 21 VV V m rr r + = , coù : u m = u 1 ; v m = 2 21 vv + Nón : X = .v m . (4.27) Y = -.u 1 . (4.28) Ta thỏỳy: R r trổỷc giao vồùi (do coù tờch vọ hổồùng bũng khọng) vaỡ modun: R = .V m V r m . Tổỡ õoù, ta coù nguyón lyù Kutta - Ju-cọỳp-ski: Khi ta õóứ cọỳ õởnh mọỹt laù cổớa chồùp vaỡ õổa caùc laù khaùc ra xa vọ cuỡng, sổỷ lóỷch goùc do doỡng chaớy laỡ bũng khọng ( )VV 21 rr = t = thỗ : v 1 = v 2 u 1 = u 2 = V Lổu sọỳ = t.(v 2 - v 1 ) khọng xaùc õởnh, giaớ sổớ noù coù giaù trở hổợu haỷn thỗ lổỷc luọn luọn thúng goùc vồùi vectồ thaỡnh phỏửn X trióỷt tióu. R r m V r R r Lổỷc nỏng lón cổớa chồùp lng truỷ trón õồn vở chióửu daỡi laỡ : R = .V. (4.29) ởnh lyù Kutta - Ju-cọỳp-ski Nóỳu mọỹt vỏỷt lng truỷ õỷt trong doỡng chaớy phúng, ọứn õởnh coù õổồỡng sinh thúng goùc vồùi doỡng chaớy, Doỡng chaớy laỡ khọng xoaùy bón ngoaỡi vỏỷt nỏửy, Vỏỷn tọỳc V ồớ vọ cuỡng coù cổồỡng õọỹ vaỡ phổồng cọỳ õởnh, Baỡi giaớng Thuớy Lổỷc 1 Trang 70 Khoa Xáy Dỉûng Thy Låüi - Thy Âiãûn Bäü män: Cå Såí K Thût Thy Låüi • Lỉu säú vectå váûn täúc quanh váût cọ giạ trë Γ. Váût náưy s bë tạc dủng lãn mäüt håüp lỉûc R båíi cháút lng cọ âàûc tênh:  Hỉåïng ca nháûn âỉåüc bàòng cạch quay vectå mäüt gọc R r V r 2 π theo chiãưu ngỉåüc våïi lỉu sä,ú  Âäü låïn l ρ.V.Γ.L, våïi L l chiãưu di váût. 4. Thãú phỉïc - Chụng ta xẹt trỉåìng håüp dng chy phàóng dỉìng ca cháút lng l tỉåíng khäng nẹn. Táút c cạc âỉåìng dng song song våïi mäüt màût phàóng no âọ, ta gi l màût phàóng (x,y) cho nãn ϕ chè phủ thüc x v y: y v x v yx ∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ == , (4.30) Khi âọ bi toạn tçm trỉåìng täúc âäü âån gin âi ráút nhiãưu nhåì ỉïng dủng âỉåüc hm biãún phỉïc. Chụng ta láúy hm phỉïc: W = Ψ + iϕ phủ thüc vo biãún säú phỉïc no âọ: z = x + iy ⇒ W = W(z) - Cạc biãún säú x v y l âäüc láûp, vç váûy trong trỉåìng håüp täøng quạt giạ trë âảo hm dz dW cọ thãø phủ thüc vo váún âãư cạc vi phán dx v dy trong biãøu thỉïc dz = dx + idy, tỉïc l phủ thüc vo chiãưu ca vectå dz trong màût phàóng phỉïc. Hm W(z) gi l gii têch, nãúu nhỉ âảo hm dz dW khäng phủ thüc vo chiãưu ca dz. Âi lm sạng t nhỉỵng âiãưu kiãûn phi ạp âàût cho Ψ v ϕ trong trỉåìng håüp âọ. Chụng ta viãút vi phán dW trong cạc âiãưu kiãûn x,y khäng âäøi : dx). x i x ()dW( x ∂ ∂ϕ + ∂ ∂ψ = dy). y i y ()dW( y ∂ ∂ ϕ + ∂ Ψ∂ = (4.31) - Âãø cho giåïi hản dz dW täưn tải v khäng phủ thüc vo x v y (riãng biãût nhau), âiãưu cáưn thiãút l cạc hãû säú trỉåïc dx v idy cng nhỉ trỉåïc idx v dy trong cạc vi phán (4.31) bàòng nhau. yx , yx ∂ Ψ ∂ −= ∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ = ∂ Ψ∂ (4.32) ( Âáy chênh l âiãưu kiãn Cauchy - Riemann ) Nãúu nhỉ cạc âiãưu kiãûn âọ tha mn thç : Bi ging Thy Lỉûc 1 Trang 71 Khoa Xáy Dỉûng Thy Låüi - Thy Âiãûn Bäü män: Cå Såí K Thût Thy Låüi dz) y i y (dz). x i x ()idydx).( x i x (dW ∂ Ψ∂ − ∂ ∂ ϕ ≡ ∂ ∂ ϕ + ∂ Ψ ∂ =+ ∂ ∂ϕ + ∂ Ψ∂ = tỉïc l täưn tải giåïi hản âån giạ: dz dW . Khỉí Ψ khi (4.32), ta tçm tháúy : 0 2 2 2 2 = ∂ ϕ∂ + ∂ ϕ∂ yx (4.33) Thnh thỉí hm ϕ cọ thãø âỉåüc chn lm hm thãú cho dng chy phàóng. Âäúi våïi hm Ψ cng váûy. Tỉì âiãưu kiãûn Cauchy - Riemann chụng ta nháûn âỉåüc hãû thỉïc sau : 0= ∂ Ψ∂ ∂ ∂ϕ + ∂ Ψ∂ ∂ ∂ϕ y . yx . x (4.34) - Âiãưu âọ cọ nghéa l cạc Gradient ca ϕ v Ψ vng gọc våïi nhau. Khi âọ cạc âỉåìng âàóng trë ca ϕ v Ψ cng vng gọc våïi nhau, thnh ra ∇ϕ hỉåïng theo âỉåìng Ψ = const v ∇Ψ hỉåïng theo ϕ = const. Nhỉ váûy trãn màût thnh vạch cỉïng phi cọ Ψ = const, vç khi âọ vectå ∇ϕ = 0 khäng cọ thnh pháưn phạp tuún âäúi våïi vạch. - Lỉåïi cạc âỉåìng thàóng vng gọc våïi nhau x = const, y = const âỉåüc ạnh xả qua lỉåïi cạc âỉåìng cong ϕ = const, Ψ = const; nhỉng cạc âỉåìng cong náưy cng vng gọc våïi nhau. Vç váûy phãúp biãún âäøi W = W(z) gi l bo giạc, tỉïc l váùn giỉỵ ngun hçnh dả ng ca cạc pháưn tỉí vä cng nh cạc màût phàóng ạnh xả. - Chụng ta nháûn xẹt ràòng ϕ v Ψ cọ thãø âäøi chäù cho nhau, tỉïc coi cạc âỉåìng Ψ = const l cạc âỉåìng âàóng thãú, cn ϕ = const l cạc âỉåìng dng. Âiãưu náưy tỉång ỉïng våïi thay âäøi âiãưu kiãûn biãn. Dng cháút lng nhåït khi chy qua váût cn ràõn, cọ thãø khạc ráút nhiãưu våïi dng chy thãú mä t åí âáy. Nhỉng trong cháút lng siãu chy Heli, tênh cháút thãú nghiãm ngàût váùn âỉåüc thỉûc hiãûn. Ngoi ra tải mäüt säú vng ca dng chy cháút lng thỉûc, bỉïc tranh gáưn giäúng nhỉ dng chy thãú. Mäüt vi vê dủ hm phỉïc trong dng chy thãú phàóng a - Do ìng chy song phàóng. Xẹt hm W(z) = ϕ + iΨ = V.z = V ( x + iy ) ÅÍ âáy V = const Ta cọ ϕ = V.x Ψ = V.y Âỉåìng âàóng thãú ϕ = const ⇒ x = const, âọ l nhỉỵng âỉåìng song song trủc y. Âỉåìng dng Ψ = const ⇒ y = const, âọ l nhỉỵng âỉåìng song song trủc x. b - Âiãøm ngưn v âiãøm tủ. Bi ging Thy Lỉûc 1 Trang 72 Khoa Xỏy Dổỷng Thuớy Lồỹi - Thuớy ióỷn Bọỹ mọn: Cồ Sồớ Kyợ Thuỏỷt Thuớy Lồỹi ióứm nguọửn laỡ õióứm maỡ tổỡ õoù chỏỳt loớng chaớy õi theo phổồng baùn kờnh, coỡn õióứm tuỷ laỡ õióứm maỡ chỏỳt loớng tổỡ moỹi hổồùng chaớy vóử theo phổồng baùn kờnh. Xeùt haỡm phổùc : W(z) = + i = Clogz W(z) = C.Logre = C ( Logr + i. ), vồùi C sọỳ thổỷc. i Ta coù = C.Logr = C. Log 22 yx + x y arctg.C.C == Vỏỷy: Nhổợng õổồỡng õúng thóỳ = const laỡ nhổợng õổồỡng voỡng troỡn õọửng tỏm coù r = const. Nhổợng õổồỡng doỡng laỡ nhổợng õổồỡng coù const x y = õi qua tỏm caùc õổồỡng troỡn. ỏy laỡ doỡng chaớy theo phổồng baùn kờnh cuớa õióứm nguọửn hay õióứm tuỷ Vỏỷn tọỳc r C drr drC r V const == = = 1 . . Lổu lổồỹng tọứng cọỹng : q v = 2 r.V = 2 C. Do õoù : C = 2 v q Nóỳu C > 0 thỗ q > 0, ta coù õióứm nguọửn. C < 0 thỗ q < 0, ta coù õióứm tuỷ. Haỡm giaới tờch seợ laỡ : W(z) = Logz q v . 2 Baỡi giaớng Thuớy Lổỷc 1 Trang 73 Khoa Xỏy Dổỷng Thuớy Lồỹi - Thuớy ióỷn Bọỹ mọn: Cồ Sồớ Kyợ Thuỏỷt Thuớy Lồỹi 4.2 LẽP BIN I. Khaùi nióỷm Khi doỡng chaớy bao quanh vỏỷt rừn, do aớnh hổồớng ma saùt vồùi thaỡnh rừn, hỗnh thaỡnh lồùp moớng saùt thaỡnh, coù chióửu daỡy rỏỳt beù, gradient vỏỷn tọỳc lồùn, goỹi laỡ lồùp bión; mióửn coỡn laỷi coù lổu tọỳc lồùn hồn gradient vỏỷn tọỳc beù, thổồỡng laỡ chaớy rọỳi, goỹi laỡ doỡng ngoaỡi (Hỗnh 3.4). Chióửu daỡy lồùp bión thổồỡng gọửm lồùp moớng chaớy tỏửng t rỏỳt saùt vồùi thaỡnh rừn vaỡ lồùp moớng chuyóứn tióỳp ct tổỡ chaớy tỏửng sang chaớy rọỳi: = t + ct (3.34) Doỡng chaớy bao vỏỷt rừn, ngoaỡi sổùc caớn do ma saùt, coỡn coù sổùc caớn gỏy ra do õọỹ chónh lóỷch aùp suỏỳt trổồùc vaỡ sau vỏỷt caớn (Hỗnh 3.5), hoỷc họựn hồỹp giổợa lổỷc ma saùt vaỡ õọỹ chónh aùp suỏỳt (Hỗnh 3.6) O V t V O t c c P 1 H ỡnh 3.4 Hỡnh 3.5 0 0 V P 1 P 2 P 2 < P 1 Trong lồùp bión gradient vỏỷn tọỳc coù trở sọỳ lồùn, lổu tọỳc thay õọứi rỏỳt nhanh tổỡ trở sọỳ zero trón mỷt vỏỷt rừn, õóỳn vỏỷn tọỳc V cuớa doỡng ngoaỡi õi tồùi, taỷi khoaớng caùch õuớ xa vỏỷt, chổa bở nhióựu õọỹng bồới vỏỷt. Chióửu daỡy lồùp bión õổồỹc tờnh tổỡ mỷt vỏỷt rừn õóỳn õióứm trong doỡng bao coù lổu tọỳc u = u = 0,99V. Bón ngoaỡi lồùp bión aớnh hổồớng cuớa lổỷc ma saùt coù thóứ boớ qua, chỏỳt loớng xem nhổ khọng nhồùt, giọỳng chuyóứn õọỹng thóỳ (Hỗnh 3.7). H ỡnh 3. 6 Baỡi giaớng Thuớy Lổỷc 1 Trang 74 Khoa Xỏy Dổỷng Thuớy Lồỹi - Thuớy ióỷn Bọỹ mọn: Cồ Sồớ Kyợ Thuỏỷt Thuớy Lồỹi Profile vn tc dũng d d Profile vn tc lp biờn Hỡnh 3.7 y x t ng vin ca lp biờn B dy lp biờn Trong lồùp bión chaớy tỏửng , ổùng suỏỳt ma saùt trong chỏỳt loớng laỡ do tờnh nhồùt gỏy ra: t dn du . à = ( 3.35 ) Trong lồùp bión chaớy rọỳi , ổùng suỏỳt chuớ yóỳu do maỷch õọỹng rọỳi cuớa doỡng chaớy (Hỗnh 3.8): ct dn du = ( 3.36) vồùi: . à , õổồỹc goỹi hóỷ sọỳ nhồùt õọỹng lổỷc vaỡ hóỷ sọỳ nhồùt rọỳi õọỹng hoỹc. Vỗ doỡng chaớy tổỡ traùi qua phaới nón chióửu daỡy lồùp bión mồớ rọỹng dỏửn. Lp biờn ri V V u B dy ln dũng ** Lp mng sỏt thnh y V Lp biờn chy tng Chuyn tiộp V V Hỗnh 3.8 Hỗnh 3.9 a/ Bóử daỡy dởch chuyóứn *: Xeùt doỡng chaớy nhồùt, khọng neùn (Hỗnh 3.9), do aớnh hổồớng cuớa lồùp bión maỡ õổồỡng doỡng bở lóỷch khoới phổồng ban õỏửu vaỡ lỏỳn vaỡo doỡng ngoaỡi mọỹt õoaỷn * theo phổồng truỷc y . Vỗ thóỳ bóử daỡy dởch chuyóứn * coỡn õổồỹc õổồỹc goỹi laỡ chióửu daỡy lỏỳn doỡng; noù õổồỹc tờnh tổỡ cỏn bũng khọỳi lổồỹng: Baỡi giaớng Thuớy Lổỷc 1 Trang 75 [...]... hãû phỉång trçnh náưy, Prandtl nháûn âỉåüc hãû thäúng phỉång trçnh låïp biãn phàóng chy táưng nhỉ sau: ∂u x ∂u y + =0 (3.39) ∂x ∂y ∂u ∂u ∂2u 1 ∂p u x x + u y x = − + ν 2x (3 .40 ) ∂x ∂y ρ ∂x ∂y Hãû phỉång trçnh (3.39) v (3 .40 ) phi tha mn âiãưu kiãûn sau: - Trãn màût váût ràõn cäú âënh: y = 0 , u x = uy = 0 - Trong dng ngoi: y → ∞ , ux = V Hãû phỉång trçnh náưy khäng khẹp kên, do âọ mún gii cáưn phi . 22 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 )v u ( p )v u ( p + += + + (4. 23) Nón : 2 2 1 2 2 21 )vv.( pp = (4. 24) Khổớ p 1 - p 2 giổợa phổồng trỗnh (4. 19) vaỡ (4. 24) õổồỹc caùc thaỡnh phỏửn cuớa lổỷc R (cuớa chỏỳt loớng taùc duỷng. - (.t.u 1 ).u 1 (4. 15) F = -X + (p 1 - p 2 ).t (4. 16) Nón : .t.(u 2 2 -u 1 2 ) = -X + (p 1 - p 2 ).t (4. 17) Doỡng chaớy ọứn õởnh nón: t.u 1 = t.u 2 u 1 = u 2 (4. 18) Nhổ vỏỷy :. dc theo mäùi âỉåìng dng. Tỉì (4. 2) v (4. 8) ta cọ mäúi liãn hãû : yx ∂ ∂ ∂ ∂ϕ Ψ = v xy ∂ ∂ ∂ ∂ϕ Ψ −= (4. 10) Do âọ : y . yx . x ∂ ∂ψ ∂ ∂ϕ = ∂ ∂ ψ ∂ ∂ϕ (4. 11) Âiãưu náưy cọ nghéa l hai