Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri Nguyªn Hµm vµ tÝch ph©n A. Vi ph©n I. Mét sè vÝ dô ®¸ng chó ý. 1. ( ) ( ) dxdxaxaxd = ′ +=+ 2. ( ) ( ) adxdxbaxbaxd = ′ +=+ , ( ) 0≠a . 3. ( ) ( ) ( ) dxbaxdxcbxaxcbxaxd += ′ ++=++ 2 22 ( ) xdxxd 2 2 =⇒ 4. ( ) ( ) dxxdxxxd .cossinsin = ′ = 5. ( ) ( ) ( ) dxx x dx dxxxd 2 2 tan1 cos tantan +== ′ = 6. ( ) ( ) x dx dxxxd 2 = ′ = 7. 2 . 11 x dx dx xx d −= ′       =       8. dx x dx x x x xd       −= ′       +=       + 2 1 1. 11 II. Mét sè tÝnh chÊt cña vi ph©n. 1. ( ) dvduvud ±=± 2. ( ) vduudvvud +=. ( ) vduvududv −=⇒ . ( ) kdukud =⇒ víi constk = 3. 2 v vduudv v u d − =       ⇒ 2 u kdu u k d −=       , víi constk = . 4. NÕu ( ) [ ] xufy = th× dxufdufdy xuu ′′ = ′ =  VÝ dô. Vd1. TÝnh vi ph©n cña c¸c hµm sè sau ( ) xy x x y xy tanln.3 1cos sin ln.2 12009sin.1 = + = += 1.6 cossin sin2cos .5 .4 sin ++= + + = = xxy xx xx y ey x ( ) 1 12 .9 2sin.8 1.7 2 12 − + = += += − x x y xy xy x VD2. TÝnh vi ph©n cña hµm sè x x y + − = 1 1 ln . B. Nguyªn hµm  Mét sè VÝ dô. Nguyªn hµm va TÝch ph©n toan hoc giai tich 12 1 of 59 Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri 1. += Cxxdx 2 2 3. += Cxxdx sincos 5. Cxdxx += cossin 2. Cx x dx += 2 4. Cx x dx += tan cos 2 6. Cx x dx += ln I. Các tính chất của nguyên hàm 1. ( ) ( ) ( ) xfdxxf = 2. ( ) ( ) ( ) 0. = adxxfadxxaf 3. ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) = dxxgdxxfdxxgxf 4. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) += += CxuFdxxuxufCtFdttf Chú ý : Vì ( ) dudxxu = nên tính chất 4 có thể viết dới dạng ( ) ( ) ( ) ( ) +=+= CuFduufCtFdttf , với ( ) xuu = Ví dụ. Một số bài toán sử dụng định nghĩa nguyên hàm. VD1. Kiểm tra xem hàm ( ) xF có phải là một nguyên hàm của hàm ( ) xf không? a. ( ) ( ) [ ] xxF lnlnln = và ( ) ( ) xxx xf lnln.ln. 1 = b. ( ) ( ) [ ] xxF sinlnln = và ( ) ( ) x x xf sinln cot = Chú ý : ( ) xF không là một nguyên hàm ( ) xf vì ( ) 0sinln1sin xx ( ) [ ] xsinlnln không tồn tại, tức là ( ) xF không tồn tại. c. ( ) ( ) 2 1ln xxxF ++= và ( ) 2 1 1 x xf + = VD2. Chứng minh rằng ( ) xF là một nguyên hàm của ( ) xf trên R, với : a. ( ) ( ) 22 ln axxxF ++= và ( ) 22 1 ax xf + = b. ( ) ( ) <+ + = 11 11 2 1 2 1 2 xnếuxx xnếue xF x và ( ) < = 112 1 1 2 xnếux xnếuxe xf x VD4. Cho ( ) ( ) x edcxbxaxxF . 23 +++= và ( ) ( ) x exxxxf .5292 23 ++= Tìm dcba ,,, để ( ) xF là nguyên hàm của ( ) xf trên R. II. Bảng các nguyên hàm Nguyên hàm va Tích phân toan hoc giai tich 12 2 of 59 Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri Các ví dụ. Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm. VD1. Tính các họ nguyên hàm sau ( ) dxxxx dxxx dxxx + + + )13(.3 )1(1.2 )(.1 32 2 2 2 3 ( ) ( ) dxxx dxx dxmx + 6 2 8 12.6 1.5 sin.4 VD2. Tính xdx9cos.1 ( ) dxxx 20072 1.2 tính tích nguyên hàm bằng phơng pháp đổi biến số Nguyên hàm va Tích phân toan hoc giai tich 12 3 of 59 Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thờng gặp Nguyên hàm của các hàm số hợp ( )( ) xuu = Cxdx += ( ) 1 1 1 + + = + C x dxx ( ) 0ln += xCx x dx Cedxe xx += ( ) 10 ln <+= aC a a dxa x x += Cxxdx sincos += Cxxdx cossin Cx x dx += tan cos 2 Cx x dx += cot sin 2 Cudu += ( ) 1 1 1 + + = + C u duu ( )( ) 0ln =+= xuuCu u du Cedue uu += ( ) 10 ln <+= aC a a dua u u += Cuudu sincos += Cuudu cossin Cu u du += tan cos 2 Cu u du += cot sin 2 Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri Ta phải tính tích phân bất định dạng : ( ) = dxxfI Có hai cách đổi biến số. Dạng 1. B1: Chọn hàm ( ) tu và đặt ( ) tux = . Tính ( ) dttudx = B2: Khi đó ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) dttgdttutufdxxfI = == B3: Tính tích phân bất định ( ) dttg B4: Thay lại biến cũ Chú ý : Một số dấu hiệu để chọn hàm ( ) tu Dấu hiệu Cách chọn 22 xa = = tvớitax tvớitax 0 22 cos sin 22 ax { } [ ] = = 2 0 0 22 \; cos \; sin tvới t a x tvới t a x 22 xa + <<= <<= tvớitax tvớitax 0cot 22 tan xa xa + hoặc xa xa + tax 2cos= ))(( xbax tabax 2 sin)( += Dạng 2. B1: Chọn hàm ( ) xv và đặt ( ) xvt = . Tính ( ) dxxvdt = B2: Biểu thị ( ) dxxf theo dtt, . Giả sử ( ) ( ) dttgdxxf = B3: Tính tích phân bất định ( ) = dttgI B4: Thay lại biến cũ. Các ví dụ. VD1. Tìm họ nguyên hàm = dxxI 2 1 . HD. Đặt tx sin= , 2 ; 2 t , Nguyên hàm va Tích phân toan hoc giai tich 12 4 of 59 Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri tdtdx cos= vµ tttx coscossin11 222 ==−=− Ta ®îc : ∫ ∫ ∫ = + === dt t tdttdttI 2 2cos1 coscos.cos 2 ( ) CxxxCttx Cttdttdt +−+=++= =+       +=+= ∫∫ 2 1 2 1 arcsin 2 1 cos.sin 2 1 arcsin 2 1 2sin 2 1 2 1 2cos 2 1 VD 2. CMR : Cxdx x I += − = ∫ arcsin 1 1 2 . HD. §Æt tx sin= ,       −∈ 2 ; 2 ππ t ; tdtdx cos= vµ tttx coscossin11 222 ==−=− Ta ®îc : CxCtdt t dtt I +=+=== ∫∫ arcsin cos cos (®pcm). TQ : C a x dx xa += − ∫ arcsin 1 22 , víi 0>a . HD. §Æt tax sin= ,       −∈ 2 ; 2 ππ t . VD3. T×m hä nguyªn hµm ( ) ∫ − = dx x I 3 2 1 1 . HD. §Æt tx sin= ,       −∈ 2 ; 2 ππ t ; tdtdx cos= vµ tttx coscossin11 222 ==−=− Ta ®îc : C x x C t t Ct t dt t dtt I + − =+=+=== ∫∫ 2 23 1 cos sin tan coscos cos VËy : C x x I + − = 2 1 VD4. CMR : Cx x dx I += + = ∫ arctan 1 2 ; HD. §Æt tx tan = ,       −∈ 2 ; 2 ππ t . ( ) dtt t dt dx 2 2 tan1 cos +== Nguyªn hµm va TÝch ph©n toan hoc giai tich 12 5 of 59 Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri CxCtdtdt t t I +=+== + + = arctan tan1 tan1 2 2 (đpcm) Tổng quát : C a x axa dx I += + = arctan 1 22 , với 0>a ; HD. Đặt tax tan = , 2 ; 2 t ). VD5. Tính tích phân bất định ( ) + = 3 2 1 x dx I . HD. Đặt tx tan= , 2 ; 2 t ; ( ) dtt t dt dx 2 2 tan1 cos +== và ( ) ( ) tt tx 3 3 2 3 2 3 2 cos 1 cos 1 tan11 = =+=+ Ta đợc : Ctdtt t dt t I +=== sincos cos cos 1 1 2 3 Do tx tan = và t t ttt 2 tan1 tan cos.tansin + == 2 1 sin x x t + = Do đó : C x x I + + = 2 1 VD6. Tìm họ nguyên hàm ( ) + = x dxx I 40 2009ln49 . HD. Đặt 49 .49 2009ln49 du x dx x dx duxu ==+= ( ) C x C u duu du uI + + =+=== 2009 2009ln49 4149 1 49 1 49 41 41 4040 Vậy : ( ) C x I + + = 2009 2009ln49 41 VD7. Tính tích phân bất định + = x dxx I 1 2 . HD. Đặt 11 2 =+= uxxu và ududx 2= Nguyên hàm va Tích phân toan hoc giai tich 12 6 of 59 Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri ( ) ( ) =++−=+−= − = ∫∫ Cuuuduuu u uduu I 2 3 4 5 2 122 2.1 3524 2 2 ( ) ( ) Cxxx ++++−+= 121 3 4 1 5 2 35 VD8. TÝnh tÝch ph©n bÊt ®Þnh ( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫ + + = + + = xx x x exex dxxe exx dxx I .1 .1 .1. .1 ; HD. §Æt x exu .= ( ) ( ) dxexdxexedu xxx 1+=+=⇒ ( ) ( ) ( ) = + −=       + −= + −+ = + = ∫∫∫∫∫ 11 11 1 1 1 u du u du du uu du uu uu uu du I C e e C u u Cuu x x + + =+ + =++−= 1 ln 1 ln1lnln . VD9. T×m hä nguyªn hµm : ∫ = x dx I sin . HD. §Æt 2 tan x t = ( ) 2 22 1 2 2 1 2 1 . 2 tan1 t dt dx dx tdx x dt + =⇒+=       +=⇒ Ta l¹i cã : 2 1 2 sin t t x + = Do ®ã : C x Ct t dt t dt t t I +=+== + + = ∫∫ 2 tanlnln 1 2 1 2 1 2 2 . VD10. T×m hä nguyªn hµm : ( ) ∫ += dxxxI x ln1 . HD. §Æt x xu = ( ) xxxu x lnlnln ==⇒ ( ) ( ) dxxxdxxududx x xx u du x ln1ln1 1 ln +=+=⇒       +=⇒ Tõ ®ã : CxCuduI x +=+== ∫ VD11. T×m hä nguyªn hµm : dx x xx I ∫ + = 2 3 cos1 sin.cos . HD. §Æt xu 2 cos1 += ( ) 2 cossinsincos2 du xdxxdxxxdu −=⇒−=⇒ = + − = + = ∫∫ dxxx x x x dxxxx I cossin cos1 cos1 cos1 .cossin.sin 2 2 2 2 Nguyªn hµm va TÝch ph©n toan hoc giai tich 12 7 of 59 Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri ( ) Cxx Cuudu u du du u u du u u ++= =+== = = 22 cos1cos1ln2 ln22 211 VD12. Tính tích phân bất định : ( )( ) ++ = 21 xx dx I . Nếu 1 02 01 > >+ >+ x x x , Đặt 21 +++= xxt = ++ +++ = + + + = dx xx xx dx xx dt 2.12 21 22 1 12 1 ( )( ) ( )( ) t dt xx dx dx xx t 2 21212 = ++ ++ = Ta đợc : CxxCt t dt I ++++=+== 21ln2ln2 2 Nếu 2 02 01 < <+ <+ x x x , Đặt ( ) ( ) 21 +++= xxt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ++ +++ = + + + = dx xx xx dx xx dt 2.12 21 22 1 12 1 ( )( ) ( )( ) t dt xx dx dx xx t 2 21212 = ++ ++ = Ta đợc : CxxCt t dt I ++=+== 21ln2ln22 Tính nguyên hàm Bằng Phơng pháp nguyên hàm từng phần Công thức nguyên hàm từng phần : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dxxuxvxvxudxxvxu = Nguyên hàm va Tích phân toan hoc giai tich 12 8 of 59 Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri Hay dới dạng thu gọn : = duvvudvu áp dụng. VD1. Tìm họ nguyên hàm = xdxxI sin. VD2. Tìm họ nguyên hàm = dxxeI x VD3. Tính tích phân bất định sau : + + = dxe x x I x . cos1 sin1 Giải : Đặt ( ) = + ++ = = + + = x x ev dx x xx du dxedv x x u 2 cos1 cossin1 cos1 sin1 Ta đợc ( ) = + ++ + + = dx x xx ee x x I xx 2 cos1 cossin1 . cos1 sin1 ( ) = + + + + + = dx x x edx x e e x x x x x 2 cos1 sin1 cos1 . cos1 sin1 ( ) dx x x eJe x x xx + + + + = 2 cos1 sin1 . cos1 sin1 , với dx x e J x + = cos1 Xét dx x e J x + = cos1 , ta có Đặt ( ) = + = = + = x x ev dx x x du dxedv x u 2 cos1 sin cos1 1 Do đó : ( ) dx x x ee x J xx + + = 2 cos1 sin . cos1 1 Từ đó : ( ) + + + + = dx x x ee x e x x I xxx 2 cos1 sin . cos1 1 . cos1 sin1 ( ) Ce x x dx x x e xx + + = + + . cos1 sin cos1 sin1 2 VD4. Tính = dxxxI .ln 2 ; (ĐS : C x x x I += 9 ln 3 33 ) VD5. Tính = xdxxI sin 2 ; (ĐS : CxxxxxI +++= cos2sin2cos 2 ) VD6. Tính ( ) dx x x I = 2 cos cosln . Nguyên hàm va Tích phân toan hoc giai tich 12 9 of 59 Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri HD. Đặt ( ) = == = = xv xdxdx x x du x dx dv xu tan tan cos sin cos cosln 2 Ta đợc : ( ) ( ) ( ) =+== dxxxxdxxxxxI 2 tancosln.tan.tantancosln.tan ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) Cxxxx dx x dx xx dxxxx ++= =+= =++= tancosln.tan cos cosln.tan 1tan1cosln.tan 2 2 VD7. Tính ( ) dxeeI xx += 1ln ; (ĐS : ( ) ( ) CeeeI xxx +++= 1ln.1 ). HD : Đặt ( ) ( ) = + = + + = = += x x x x x x x ev e dxe dx e e du dxedv eu 1 . 1 1 1ln VD8. Tính ( ) dxxI = lnsin HD : Đặt ( ) ( ) = = = = xv dx x x du dxdv xu lncos lnsin ĐS : ( ) ( ) [ ] Cx x Cxx x I + =+= 4 lnsin 2 2 lncoslnsin 2 ). VD9. Tìm họ nguyên hàm ( ) + = 2 2 2x dxex I x Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = + + = + = +=+= + = = 2 1 2 2 2 .2.2 2 . 22 2 2 2 x x xd x dx v dxexxdxexxedu x dx dv exu xxxx ĐS : ( ) Ce x x C x ex exI x x x + + =+ + = . 2 2 2 1 2 . Nguyên hàm các hàm hữu tỉ I. Một số nguyên hàm cơ bản ( ) 0arctan 1 .1 22 >+= + aC a x a ax dx Cbax abax dx ++= + ln 1 .2 Nguyên hàm va Tích phân toan hoc giai tich 12 10 of 59 [...]... J = 2 dx x 4x + 3 x a2 x 5x + 6 VD5 Tính các tích phân bất định sau dx x 4 x 3 x 2 + 3x 1 1 3 dx x ( x + 2009 ) x2 2x + 1 4x + 3 dx 4 2 dx 2 2 2 x + 3x 2 4x 9 Nguyên hàm va Tích phân toan hoc giai tich 12 12 of 59 Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri 2 Nguyên hàm dạng : R( x ) dx với Q( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d , Q( x ) Ta xét ba trờng hợp sau TH1 : Q( x ) có ba nghịêm... cơ bản dx dx = ln x + 1 x 2 + C = ln x + x 2 a 2 + C 2 2 2 1 x x a ( ) ( ) II Một vài dạng nguyên hàm hay gặp Cho R ( x, y ) là hàm hữu tỉ đối với x, y 1 Tích phân dạng x + dx R x, m x + Thờng đợc tính bằng cách đổi biến t = m x + x + Nguyên hàm va Tích phân toan hoc giai tich 12 18 of 59 Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri ( ) ).du ; I 2 Tích phân dạng R x, ax 2 + bx... ) F ( a ) b a Chú ý : Tích phân không phụ thuộc vào kí hiệu biến số, tức là ta có thể chọn bất kì một chữ số khác để thay cho x , ví dụ t, u, v Vậy ta có : b b b a a a f ( x )dx = f ( t )dt = f ( u)du = 2 Các tính chất của tích phân Nguyên hàm va Tích phân toan hoc giai tich 12 23 of 59 Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri a 1 f ( x )dx = 0 a a b b 2 a f ( x )dx = f ( x )dx b... tích phân bằng Phơng pháp tích phân từng phần Công thức tích phân từng phần b b b u( x ).v( x ).dx = [ u( x ).v( x ) ] a v( x ).u( x ).dx a a b Hay : b udv = uv a vdu a b a Các ví dụ Tính các tích phân sau Nguyên hàm va Tích phân toan hoc giai tich 12 28 of 59 Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri ln 2 2 3 I = e x sin xdx ; 5 I = x cos 2 xdx ; 0 6 I = ln x dx 1 x 1 4 ln(... dx 8 sin 5 xdx 2 sin 3 x cos xdx sin x m 3 sin 7 n x cos 2 xdx 6 VD2 CMR : Hàm số f ( x ) = tan 2 xdx 9 tan 3 xdx a sin x + b cos x có nguyên hàm dạng c sin x + d cos x Nguyên hàm va Tích phân toan hoc giai tich 12 15 of 59 Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri F ( x ) = Mx + N ln c sin x + d cos x + C Trong đó M, N là các hằng số HD : Ta tìm M, N sao cho a sin x + b cos x = M ( c... siêu việt Các nguyên hàm cơ bản 1 e x dx = e x + C e u du = e u + C ax au u 2 a dx = + C a du = +C ln a ln a Ví dụ x VD1 Tính tích phân bất định sau : I = dx e e x x 2 Nguyên hàm va Tích phân toan hoc giai tich 12 16 of 59 Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri x x HD Đặt u = e 2 du = 1 e 2 dx dx = 2du 2 u 1 2 du du = 2 2 Ta đợc : I = 2 u u u u ( u 1) Ta tìm A, B, C sao cho : 1... I= = = dt = = x x ( 9 + e )e t ( t + 9 ) 9 ( t + 9 ) t 9 t t +9 1 t 1 ex = ( ln t ln t + 9 ) + C = ln + C = ln x +C 9 t+9 9 e +9 VD4 Tính HD : I= 1 1+ x ln dx 1 x2 1 x Nguyên hàm va Tích phân toan hoc giai tich 12 17 of 59 Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri 1 2 2.dx du = dx = 1+ x 2 1 + x (1 x ) 1 x2 u = ln 1 x Đặt 1 x dv = dx dx 1 1+ x 1 1+ x = ln = ln v = 1 x2 ... các tích phân bất định sau dx dx 1 I = 2 2 I = 2 3 x + x +1 x 2x + 2 mx + n dx Nếu nguyên hàm có dạng : I = 2 ax + bx + c Trớc tiên ta tìm A, B sao cho dx 4x2 4x + 5 Nguyên hàm va Tích phân toan hoc giai tich 12 11 of 59 Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri I= mx + n 2 ax + b 1 ax 2 + bx + c dx = A ax 2 + bx + c dx + B ax 2 + bx + c dx Tức là tìm A, B sao cho : mx + n = A( ax... Nếu q : Đặt x = t s với s là BCNN của mẫu số của p và r r +1 : Đặt a + b x p = t s , s là mẫu số của q Nếu p r +1 + q : Đặt ax p + b = t s , s là mẫu số của q Nếu p Nguyên hàm va Tích phân toan hoc giai tich 12 19 of 59 Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri Các Ví dụ VD1 CMR ( dx ) = ln x + 1 + x 2 + C 1 + x2 C1: Sử dụng định nghĩa nguyên hàm C2 : Đặt 1 + x 2 = x + t t = x +... udu I= 2 = 4 = 4 2 ( u + 1) 2 ( u + 1) 2 u ( u + 1) du du 1 = 4 ln u + 1 + = 4 +C= 2 u +1 u + 1 ( u + 1) = 4 ln 4 x + 1 + VD4 Tính I = 4 4 +C x +1 dx x2 + 2x + 5 Nguyên hàm va Tích phân toan hoc giai tich 12 20 of 59 Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri HD : Đặt x 2 + 2x + 5 = x + u x = u 2 + 2u + 5 du ( u + 1) 2 2 u 2 + 2u + 5 2 x + 2x + 5 = 2( u + 1) u2 5 2( u + 1) Ta . hàm va Tích phân toan hoc giai tich 12 6 of 59 Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri ( ) ( ) =++−=+−= − = ∫∫ Cuuuduuu u uduu I 2 3 4 5 2 122 2.1 3524 2 2 ( ) ( ) Cxxx ++++−+= 121 3 4 1 5 2 35 VD8 ) + 94 .2 2009 .1 2 x dx xx dx + + + + dx xx x dx xx xxxx 232 34 .4 12 13 .3 2 2 234 Nguyên hàm va Tích phân toan hoc giai tich 12 12 of 59 Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri 2. Nguyên. ) dxxx dxx dxmx + 6 2 8 12. 6 1.5 sin.4 VD2. Tính xdx9cos.1 ( ) dxxx 20072 1.2 tính tích nguyên hàm bằng phơng pháp đổi biến số Nguyên hàm va Tích phân toan hoc giai tich 12 3 of 59 Nguyên