Trần Văn Đồng (b) - Trường THCS Thạch Kim - Lộc Hà - Hà Tónh DỰNG TAM GIÁC ĐỀU TRONG CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH SỐ ĐO GÓC, SO SÁNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG( CHỨNG MINH CÁC TAM GIÁC ĐẶC BIỆT) A. Đặt vấn đề: Trong chương trình Toán THCS, các bài toán về tam giác cân là các bài toán hay và khó; đặc biệt là các bài toán về tính số đo góc hoặc so sánh độ dài đoạn thẳng là những bài toán rất hay, đòi hỏi người học phải có tư duy sáng tạo nhanh nhẹn, óc quan sát thông minh, kỹ năng nhận dạng bài toán chính xác để từ đó tìm ra cách giải nhanh và gọn nhất Bài 1: Cho ∆ ABC cân tại A có µ B = 60 0 . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC Tính số đo của · ACD , · ADC Giải * Cách 1: Dựng tam giác đều BEC sao cho E nằm trong ∆ ABC Ta có: · ABE = · BAC = 20 0 và BE = CE = BC = AD ∆ AEB = ∆ AEC (c-c-c) ⇒ · BAE = · CAE ⇒ AE là tia phân giác của · BAC ⇒ · BAE = · CAE = 10 0 ∆ ABE = ∆ CAD (c-g-c) ⇒ · ACD = · BAE = 10 0 ⇒ · ADC = 150 0 * Cách 2: Dựng tam giác đều AFD sao cho F nằm trên nửa mp bờ AB không chứa điểm C ⇒ ∆ ADC = ∆ FDC (c-c-c) ⇒ CD là tia phân giác của góc ACF ⇒ · ACD = 1 2 · ACF (1) và · CDF = 20 0 ⇒ ∆ ACF = ∆ BAC (c-g-c) ⇒ · ACF = · BAC = 20 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra · ACD = 10 0 ⇒ · ADC = 150 0 * Cách 3: Dựng tam giác đều AKD sao cho K nằm trên nửa mp bờ AC không chứa điểm D ⇒ · KAD = 80 0 ⇒ ∆ AKD = ∆ CAB (c-g-c) ⇒ · AKD = 20 0 ⇒ · CKD = 40 0 ∆ AKD = ∆ CAB (c-g-c) ⇒ ∆ CKD cân tại K và có · CKD = 40 0 nên · CDK = 70 0 ⇒ · ACD = 10 0 ⇒ · ADC = 150 0 Chuyên đề: Dựng tam giác đều trong bài toán tính số đo góc, so sánh đoạn thẳng 1 D K C B A D E C B A D F C B A Trần Văn Đồng (b) - Trường THCS Thạch Kim - Lộc Hà - Hà Tónh Bài 2 (Đảo lại của bài 1): Cho Cho ∆ ABC cân tại A có µ A = 20 0 . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho · ACD = 10 0 Tính độ dài AD biết BC = a Hướng dẫn: Dựng tam giác đều BEC (Như bài 1) ta chứng minh được ∆ ABE = ∆ CAD (c-g-c) suy ra AD = BE = BC = a Các cách khác giải tương tự Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Ở miền trong hình vuông dựng ∆ AEB cân tại E sao cho · AEB = 150 0 Chứng minh rằng: ∆ CDE là tam giác đều Giải Dựng tam giác đều AFE sao cho E thuộc miền trong của tam giác AED ∆ AEB cân tại E và có · AEB = 150 0 nên suy ra · · EAB = EBA = 15 0 ⇒ · DAE = 75 0 ⇒ · FAD = 15 0 ⇒ ∆ EAB = ∆ FAD (c-g-c) ⇒ ∆ FAD cân tại F ⇒ · FDA = · FAD = 15 0 và · AFD = · AEB = 150 0 Ta có: · DFE = 360 0 - ( · FAE + · AFD ) = 150 0 ⇒ ∆ FED = ∆ FAD (c-g-c) ⇒ · · FDE = FDA = 15 0 và ED = AD = CD ⇒ ∆ CED cân tại D (1) Mặt khác · EDA = · · FDE + FDA = 30 0 ⇒ · EDC = 60 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra ∆ CDE là tam giác đều Mở rộng bài toán: có thể thêm yêu cầu: Tính số đo của góc AED Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A có µ A = 100 0 . Qua B dựng tia Bx sao cho · CBx = 30 0 Tia phân giác của góc ACB cắt tia Bx tại D a) So sánh CD với CA b) Tính số đo của góc BDA Giải a) Dựng tam giác đều BEC sao cho E và A cùng nằm trên nửa mp bờ BC Ta suy ra EA là đường trung trực của BC suy ra EA là tia phân giác của góc BEC suy ra · AEB = · AEC = 30 0 Chuyên đề: Dựng tam giác đều trong bài toán tính số đo góc, so sánh đoạn thẳng 2 F E D C B A x E D C B A Trần Văn Đồng (b) - Trường THCS Thạch Kim - Lộc Hà - Hà Tónh ∆ ABC cân tại A có µ A = 100 0 nên suy ra · ACB = · ABC = 40 0 ⇒ · · · ECA = ACD = DCB = 20 0 suy ra ∆ DBC = ∆ AEC (g-c-g) ⇒ CD = CA b) Ta có · BDA = 180 0 - ( · ABD + · BAD ) (1) Mà · · · ABD = ABC - DBC = 10 0 (2) · · · BAD = BAC - DAC = · BAC - · 0 180 - ACD 2    ÷  ÷   = 100 0 - 0 0 180 - 20 2    ÷   = 20 0 (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra · BDA = 180 0 - ( · ABD + · BAD ) = 180 0 - (10 0 + 20 0 ) = 150 0 * Mở rộng bài toán: Có thể thay kết luận bằng yêu cầu: Tính số đo các góc ADC; BAD Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A có µ A = 40 0 . Trên tia phân giác AD của góc A lấy điểm E sao cho · ABE = 30 0 ; trên cạnh AC lấy điểm F sao cho · CBF = 30 0 a) Chứng minh : AE = AF b) Tính số đo của · BEF Giải a) Ta có : · FBA = 40 0 = · BAC ⇒ ∆ BFA cân tại F ⇒ FA = FB ⇒ F thuộc đường trung trực của AB (1) AH là phân giác của · BAC nên · BAE = 20 0 Dựng tam giác đều ABD sao cho D nằm trên nửa mp bờ AC không chứa điểm B thì D thuộc đường trung trực của AB (2) và · FAD = 20 0 Từ (1) và (2) suy ra DF là đường trung trực của AB ⇒ DF là tia phân giác của góc ADB ⇒ · · ADF = BDF = 30 0 Suy ra ∆ FAD = ∆ EAB (g-c-g) ⇒ AE = AF b) Ta có · DFA = · DFB = 130 0 ; · EFA = 80 0 nên suy ra · EFB = 20 0 , · EBF = 10 0 Trong ∆ BFE thì · BEF = 180 0 - ( · EBF + · EFB ) = 150 0 Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại B có µ B = 80 0 . Điểm I nằm ở miền trong tam giác sao cho · IAC = 10 0 ; · ICA = 30 0 Chuyên đề: Dựng tam giác đều trong bài toán tính số đo góc, so sánh đoạn thẳng 3 // // H F E D C B A Trần Văn Đồng (b) - Trường THCS Thạch Kim - Lộc Hà - Hà Tónh Tính số đo của · BIA Giải * Cách 1: Dựng tam giác đều AKC sao choK và B cùng nằm trên nửa mp bờ AC thì: ∆ BAK = ∆ BCK (c-c-c) ⇒ · · · BAK = BCK = IAC = 10 0 và · · BKA = BKC = 30 0 ∆ BAK = ∆ IAC (g-c-g) ⇒ AB = AI ⇒ ∆ BAI cân tại A có · BAI = 40 0 ⇒ · · AIB = ABI = 70 0 * Cách 2: Vẽ tia Ax hợp với AB sao cho · BAx = 10 0 , Ax cắt tia phân giác BH tại K ⇒ KAH = 60 0 Trong ∆ AHK có · AHK = 90 0 , · KAH = 60 0 nên suy ra · AKH = 30 0 ⇒ AK = 2 AH ⇒ AK = AC ⇒ ∆ BAK = ∆ IAC (g-c-g) ⇒ AB = AI ⇒ ∆ BAI cân tại A có · BAI = 40 0 ⇒ · · AIB = ABI = 70 0 (Đây chính là cách dựng nửa tam giác đều AHK) * Mở rộng: Bài toán này có thể thay yêu cầu trên bằng : Chứng minh tam giác AIB cân hoặc tính số đo của góc BIC, góc IBC Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A có µ A = 20 0 Trên AB lấy điểm E sao cho · ECB = 50 0 Trên AC lấy điểm D sao cho · DBC = 60 0 Tính số đo của · BDE Giải Vẽ tamgiác đều ABF sao cho F nằm trên nửa mp bờ AC không chứa điểm B Gọi giao điểm của BF và AC là K Ta có · CBK = 20 0 ; · DBK = 40 0 · BKC = 180 0 - ( · CBK + · BCK ) = 80 0 ⇒ ∆ CBK cân tại K ⇒ BK = BC (1) · BEC = 180 0 - ( · CBE + · BCE ) = 50 0 ⇒ ∆ CBE cân tại B ⇒ BE = BC (2) Chuyên đề: Dựng tam giác đều trong bài toán tính số đo góc, so sánh đoạn thẳng 4 K I C B A x I H B C A K K 80 40 60 40 50 20 40 20 20 50 F E D C B A Trần Văn Đồng (b) - Trường THCS Thạch Kim - Lộc Hà - Hà Tónh Từ (1) và (2) suy ra BE = BK ⇒ ∆ KBE cân tại B và · EBK = 60 0 ⇒ ∆ KBE là tam giác đều ⇒ BK = EK (3) Ta có · BDC = 180 0 - ( · CBD + · BCD ) = 40 0 ∆ BKD có · · KBD = KDB = 40 0 nên ∆ BKD cân tại K ⇒ BK = DK (4) Từ (3) và (4) suy ra EK = DK ⇒ ∆ EKD cân tại K và có · EKD = 180 0 - ( · BKC + · BKE ) = 40 0 nên · KDE = 70 0 mà · BDC = 40 0 nên · BDE = 30 0 Bài tập tương tự: Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại C có C = 100 0 . Qua A và B lần lượt vẽ tia AL(L ∈ BC) và BK (K ∈ AC) sao cho · LAB = 30 0 ; · KBA = 20 0 . Gọi M là giao điểm của AL và BK. Tính số đo của các góc ACM, BCM Hướng dẫn: Dựng tam giác đều ADB sao cho D và C cùng thuộc nửa mp bờ AB Chứng minh ∆ AMB = ∆ DCB để suy ra ∆ BMC cân tại B Kết quả: · ACM = 20 0 ; · BCM = 80 0 Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A có µ A = 80 0 . Trên AC lấy điểm K sao cho · CBK = 10 0 Trên BK lấy điểm M sao cho · CAM = · CBK . Tính số đo của · CMB ; · CMA Chuyên đề: Dựng tam giác đều trong bài toán tính số đo góc, so sánh đoạn thẳng 5 . Tónh DỰNG TAM GIÁC ĐỀU TRONG CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH SỐ ĐO GÓC, SO SÁNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG( CHỨNG MINH CÁC TAM GIÁC ĐẶC BIỆT) A. Đặt vấn đề: Trong chương trình Toán THCS, các bài toán về tam giác. cân tại E sao cho · AEB = 150 0 Chứng minh rằng: ∆ CDE là tam giác đều Giải Dựng tam giác đều AFE sao cho E thuộc miền trong của tam giác AED ∆ AEB cân tại E và có · AEB = 150 0 nên suy. = 20 0 , · EBF = 10 0 Trong ∆ BFE thì · BEF = 180 0 - ( · EBF + · EFB ) = 150 0 Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại B có µ B = 80 0 . Điểm I nằm ở miền trong tam giác sao cho · IAC =