Chương II. LÝ THUYẾT GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC A. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ §1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. Dãy số và giới hạn của dãy số Định nghĩa 1. Dãy số là ánh xạ * : ( ) n a n a n a → = ¥ ¡ a Người ta thưòng ký hiệu dãy số là { } n a . Ta gọi mỗi số ; 1, 2, 3, n a n = là số hạng (hay phần tử) của dãy số; n là chỉ số của số hạng n a . Dãy số được xác định nếu ta biết số hạng tổng quát n a của nó. Định nghĩa 2. Số a∈¡ gọi là giới hạn của dãy số { } n a và ta viết ( ) lim , 0 : n n n n a a a a n N n N a a ε ε →∞ = → → ∞ ⇔ ∀ > ∃ ∀ ≥ − < . Nếu dãy { } n a có giới hạn là a ta nói dãy đó hội tụ về a . Nếu dãy không có giới hạn ta nói dãy phân kỳ. Định lý 1. Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất. Chứng minh. Thật vậy, giả sử dãy { } n a có hai giới hạn khác nhau là a và b . Khi đó chọn 0a b ε = − > . Bởi vì 1 1 lim : 2 n n n a a N n N a a ε →∞ = ⇒∃ ∀ ≥ − < , và 2 2 lim : 2 n n n a b N n N a b ε →∞ = ⇒ ∃ ∀ ≥ − < . Chọn { } 1 2 ax ,N m N N= thì với mọi n N≥ ta có: 2 2 n n n n a b a a a b a a a b ε ε ε ε = − = − + − ≤ − + − < + = Mâu thuẫn chứng tỏ điều phải chứng minh. Ví dụ 1. Dãy { } n a trong đó n a a= với mọi n , có giới hạn là a . Thật vậy, với mọi 0 1N n N ε > ∃ = ∀ ≥ ta có n a a a a ε − = − < . Do đó lim n n a a →∞ = . 1 Ví dụ 2. Dãy { } n a trong đó 1 n a n = , có giới hạn là 0 . Thật vậy, với mọi 0 ε > 1 1N n N ε   ∃ = + ∀ ≥     ta có 1 1 1 0 n a a n n N ε − = − = ≤ < . Do đó 1 lim 0 n n →∞ = . Ví dụ 3. lim 0 n n q →∞ = nếu 1q < + Nếu 0q = thì 0 n q = với mọi n . Do đó theo ví dụ 1, ta có lim 0 n n q →∞ = . + Nếu 0q ≠ thì với mọi 0 log 1 q N n N ε ε   > ∃ = + ∀ ≥   ta có log 0 q n n N q q q q ε ε − = ≤ < = . Ví dụ 4. Dãy { } ( 1) n n a = − không có giới hạn. Thật vậy, nếu dãy ( ) { } 1 n − có giới hạn là a , thì với 1 N n N ε = ∃ ∀ ≥ ta có: ( 1) 1 n a− − < . Khi đó, với n chẵn và n lẻ ta có 1 1 1a a− − = + < 1 1a− < . Điều đó đi đến mâu thuẫn 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2a a a a= + < − + + ≤ − + + < + = . Vậy dãy ( ) { } 1 n − không có giới hạn. 1. 2. Mở rộng khái niệm dãy số Định nghĩa 3. Dãy { } n a được gọi là có giới hạn là +∞ và ký hiệu là lim 0 : n n n a M N n N a M →∞ = +∞ ⇔ ∀ > ∃ ∀ ≥ > ; Dãy { } n a được gọi là có giới hạn là +∞ và ký hiệu là lim 0 : n n n a M N n N a M →∞ = −∞ ⇔ ∀ > ∃ ∀ ≥ < − . Chú ý. Mặc dù viết lim n n a →∞ = −∞ hoặc lim n n a →∞ = +∞ nhưng ta không gọi chúng là các dãy hội tụ mà gọi chúng phân kỳ đến ±∞ . Ví dụ 1. lim n n →∞ = +∞ . Thật vậy với mọi 2 0 1M N M n N> ∃ = + ∀ ≥ ta có 2 2 1n N M M M≥ = + > = 2 Ví dụ 2. ( ) lim 1 n n →∞ − = −∞ . Thật vậy với mọi 0 2M N M n N> ∃ = + ∀ ≥ ta có ( ) 2 2 1 1 2 1n M M M− ≤ − + = − − < − 1.3. Dãy bị chặn Định nghĩa 4. Dãy { } n a được gọi là bị chặn nếu tập { } : n a n∈¥ có tính chất tương ứng. Định lý 2. Mọi dãy hội tụ đều bị chặn Chứng minh. Giả sử lim n n a a →∞ = . Khi đó với 1 N n N ε = ∃ ∀ ≥ ta có 1 n n a a a a− ≤ − < . Từ đó ta nhận được 1 n a a< + với mọi n N≥ . Chọn { } 1 2 1 ax , , , , 1 N M m a a a a − = + thì rõ ràng n M a M− ≤ ≤ với mọi 1, 2, 3, n = 1.4. Dãy con và giới hạn riêng Định nghĩa 5. Cho dãy { } n a và dãy các số nguyên dương tăng nghiêm ngặt 1 2 n m m m< < < < . Ta gọi dãy mới { } n m a là dãy con của dãy { } n a , ký hiệu là { } { } n m n a a⊂ . Định nghĩa 6. Nếu dãy { } n m a hội tụ thì ta gọi giới hạn của nó là giới hạn riêng của dãy { } n a . Ví dụ 1. Cho dãy 1 1 1 1, , , , , 2 3 n . Khi đó dãy 1 1 1 1 , , , , , 2 4 6 2n là dãy con của nó. Ví dụ 2. Dãy { } { } 2 1n n a a + ⊂ . Nhưng dãy 1 1 2 2 , , , , a a a a không phải là dãy con của dãy { } n a . Chú ý. Hiển nhiên rằng 1. n m n≥ . 2. Mỗi dãy là dãy con của chính nó. 3. Nếu dãy { } { } n m n a a⊂ và { } { } n n k m n a a⊂ thì { } { } n k m n a a⊂ . Định lý 3. Mỗi dãy con { } n m a của một dãy hội tụ cũng là một dãy hội tụ và lim lim n m n n n a a →∞ →∞ = Chứng minh. Giả sử 3 lim 0 : n n n a a N n N a a ε ε →∞ = ⇔ ∀ > ∃ ∀ ≥ − < . Nhưng n m n N> ≥ nên ta cũng có n m a a ε − < Điều đó có nghĩa là lim n m n a a →∞ = . § 2. CÁC PHÉP TOÁN VÀ TÍNH CHẤT CỦA CÁC DÃY HỘI TỤ 1. Phép toán. Định lý 4. Nếu các dãy { } n a và { } n b hội tụ thì các dãy { } { } ; . ; n n n n n n a a b a b b   ±     (nếu 0 n b ≠ với mọi n ) cũng hội tụ và (i). ( ) lim lim lim n n n n n n n a b a b →∞ →∞ →∞ ± = ± (ii). ( ) lim . lim .lim n n n n n n n a b a b →∞ →∞ →∞ = (iii). lim lim lim n n n n n n n a a b b →∞ →∞ →∞   =  ÷   (nếu lim 0 n n b →∞ ≠ ). Chứng minh. Giả sử lim n n a a →∞ = và lim n n b b →∞ = . (i). Khi đó với mọi 0 ε > tồn tại số nguyên dương N sao cho , 2 2 n n a a b b ε ε − < − < ; với mọi n N≥ . Từ đó ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 n n n n n n a b a b a a b b a a b b ε ε ε ± − ± = − ± − ≤ − + − < + = . (ii). Bởi vì { } n a hội tụ nên theo Định lý 2, tồn tại 0M > sao cho n a M≤ với mọi 1, 2, 3, n = . Theo giả thiết, với mọi 0 ε > tồn tại số nguyên dương N sao cho ; n n a a b b M b M b ε ε − < − < + + ; với mọi n N≥ . Khi đó, với mọi n N≥ ta có ( ) ( ) . . . . . . n n n n n n n n a b a b a b b b a a a b b b a a − = − + − ≤ − + − . .M b M b M b ε ε ε < + = + + . Vậy ( ) lim . lim .lim n n n n n n n a b a b →∞ →∞ →∞ = . 4 (iii). Từ (ii) ta chỉ cần chứng minh 1 1 lim n n b b →∞ = . Bởi vì 0b ≠ và lim n n b b →∞ = nên với 0 ε > tồn tại số nguyên dương N sao cho 2 . 2 n b b b ε − < và 2 n b b b− < ; với mọi n N≥ . Từ 2 n n b b b b b− ≤ − < , ta suy ra 2 n b b > ; với mọi n N≥ . Do đó 2 . 1 1 2 . . . 2 n n n n n b b b b b b b b b b b b b ε − − − = = < Vậy 1 1 lim n n b b →∞ = . Định nghĩa. Nếu lim , lim n n n n a A b B →∞ →∞ = = thì ta gọi ( ) lim n n n a b →∞ ± có dạng A B± ; ( ) lim . n n n a b →∞ có dạng .A B và lim n n n a b →∞ có dạng a b . Định lý 5. Ta có thể mở rộng cho các dạng sau đây (i). a + ∞ = +∞ (ii). a − ∞ = −∞ (iii). ( ) 0 . 0 khi a a khi a +∞ >  +∞ =  −∞ <  (iv). 0 a = ±∞ (v). 0 a = +∞ Ngoài ra ta cũng có các dạng chưa xác định sau đây, gọi là các dạng vô định 0 ; 0. ; ; 0 ∞ ∞ − ∞ ∞ ∞ Ví dụ 1. 1 1 , 1 n n a n b n n n     = + = − + +         . Rõ ràng ( ) lim n n n a b →∞ − có dạng ∞ − ∞ . Ta có ( ) lim 1 n n n a b →∞ − = . Ví dụ 2. 2 1 , n n a b n n     = =         . Ta có lim n n n a b →∞ có dạng 0 0 và lim 2 n n n a b →∞ = . 2. Tính chất về giới hạn 5 Định lý 6. Nếu lim n n a a →∞ = thì dãy { } n a hội tụ và có lim n n a a →∞ = . Chứng minh. Bởi vì lim n n a a →∞ = nên với mọi 0 ε > tồn tại số nguyên dương N sao cho n a a ε − < ; với mọi n N≥ . Khi đó ta cũng có n n a a a a ε − ≤ − < ; với mọi n N≥ . Như vậy lim n n a a →∞ = . Định lý 7. Nếu lim ; lim n n n n a a b b →∞ →∞ = = và n n a b≤ ; với mọi n thì a b≤ . Chứng minh. Giả sử trái lại a b> . Khi đó với 0 0 2 b a ε − = > tồn tại số nguyên dương N sao cho 0n a a ε − < và 0n b b ε − < ; với mọi n N≥ . Từ đó ta suy ra 0N a a ε > − và 0N b b ε < + . Ta đi đến mâu thuẫn 0 0N N b b a a ε ε < + = − < . Định lý 8 (giới hạn kẹp). Nếu lim lim n n n n a b β →∞ →∞ = = và n n n a c b≤ ≤ với mọi n thì dãy { } n c cũng hội tụ và lim n n c β →∞ = . Chứng minh. Bởi vì n n n a c b β β β − ≤ − ≤ − với mọi n nên { } ax , n n n c m a b β β β − ≤ − − . Từ giả thiết lim lim n n n n a b β →∞ →∞ = = suy ra với mọi 0 ε > tồn tại số nguyên dương N sao cho n a β ε − < và n b β ε − < ; với mọi n N≥ . Do đó ta cũng có n c β ε − < ; với mọi n N≥ Điều đó có nghĩa rằng lim n n c β →∞ = . Ví dụ . Tìm giới hạn 2 2 2 2 2 2 1 2 lim n n n n n n n n →∞   + + + + + +  ÷  ÷   . Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 . . n n n n n n n n n n n n n n + + + + + ≤ + + + ≤ hay 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 n n n n n n n n n + + + + ≤ + + + ≤ + Từ đó suy ra 6 2 2 2 2 2 2 1 2 lim 1 n n n n n n n n →∞   + + + + + + =  ÷  ÷   § 3. TIÊU CHUẨN HỘI TỤ CỦA DÃY SỐ 3.1. Tiêu chuẩn hội tụ đơn điệu Định nghĩa 1. Dãy { } n a được gọi là (i). tăng nếu 1 2 n a a a≤ ≤ ≤ ≤ ; giảm nếu 1 2 n a a a≥ ≥ ≥ ≥ . (ii). tăng thực sự nếu 1 2 n a a a< < < < ; giảm thực sự nếu 1 2 n a a a> > > > Dãy tăng hay giảm gọi chung là dãy đơn đơn điệu. Nhận xét. Dãy tăng luôn bị chặn dưới, dãy giảm luôn bị chặn trên. Định lý 9. Một dãy đơn điệu hội tụ nếu và chỉ nếu nó là dãy bị chặn. Chứng minh. Điều kiện cần. Được suy từ Định lý 2 mà không cần đến giả thiết dãy đó là đơn điệu. Điều kiện đủ. Trước hết ta chứng minh dãy { } n a đơn điệu tăng và bị chặn trên là hội tụ. Ký hiệu { } * : n A a n = ∈ ¥ . Theo nguyên lý supremum tồn tại supa A= . Khi đó với mỗi 0 ε > tồn tại 0 n sao cho 0 n a a ε > − . Từ đó với mọi 0 n n≥ ta có 0 n n a a a a a ε ε − < ≤ ≤ < + Do đó n a a ε − < . Như vậy lim n n a a →∞ = . Trường hợp dãy { } n a giảm và bị chặn dưới được chứng minh tương tự. Ví dụ 1. Xét sự hội tụ của dãy 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 3 n a n   = + + + +     . Hiển nhiên dãy trên là tăng. Mặt khác với mọi n ta có 1 1 1 1 1.2 2.3 ( 1). n a n n ≤ + + + − 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 2 3       = − − + − + + −  ÷  ÷  ÷       1 2 2 n = − < . Như vậy dãy { } n a bị chặn. Do đó dãy đã cho hội tụ. Ví dụ 2. Xét dãy sự hội tụ của dãy 1 1 n n a n       = +    ÷       Trước hết ta chứng minh dãy đã cho tăng. Thật vậy, theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có 7 0 1 2 2 1 1 1 1 1 . . . n n n n n n n C C C C n n n n   + = + + + +  ÷   2 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1 . . . 1.2 1.2 n n n n n n n n n n − − = + + + + 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 . 1 1 2! ! n n n n n n −         = + + − + + − − −  ÷  ÷ ÷  ÷         Tương tự ta cũng có 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 . 1 1 1 2! 1 ! 1 1 1 n n n n n n n n + −           + = + + − + + − − −  ÷  ÷  ÷ ÷  ÷ + + + + +           1 1 2 1 . 1 1 ( 1)! 1 1 1 n n n n n       + − − −  ÷  ÷  ÷ + + + +       Các số hạng trong khai triển 1 1 1 1 n n +   +  ÷ +   đều lớn hơn hoặc bằng các số hạng tương ứng trong khai triển 1 1 n n   +  ÷   . Ngoài ra khai triển 1 1 1 1 n n +   +  ÷ +   còn nhiều hơn một số hạng dương. Vì vậy 1 1 1 1 1 1 n n n n +     + < +  ÷  ÷ +     Cũng theo khai triển trên ta có 1 1 1 1 1 1 2! ! n n n   + ≤ + + + +  ÷   1 1 1 2 1.2 2.3 ( 1).n n ≤ + + + − 1 1 1 1 1 2 1 2 2 3 1n n       = + − + − + + −  ÷  ÷  ÷ −       1 3 3 n = − < . Theo tiêu chuẩn đơn điệu dãy đã cho hội tụ. Định nghĩa 2. 1 lim 1 n n e n →∞   + =  ÷   , người ta chứng minh được e là số vô tỷ 2,718281828 e = Định nghĩa 3. Ta gọi logarit cơ số e là logarit tự nhiên hay logarit Nepier. Thay cho cách viết log e x ta viết là ln x . 3.2. Tiêu chuẩn Cauchy 8 Định nghĩa 4. Dãy các đoạn thẳng [ ] { } , n n a b được gọi là dãy đoạn thắt nếu thoả mãn hai điều kiện sau (i). [ ] [ ] 1 1 , , n n n n a b a b + + ⊂ với mọi 1, 2, 3, n = (ii) ( ) lim 0 n n n b a →∞ − = . Bổ đề 1 (Cantor). Nếu [ ] { } , n n a b là một dãy đoạn thắt thì tồn tại điểm chung duy nhất thuộc mọi đoạn. Chứng minh. Theo giả thiết 1 2 2 1 n n a a a b b b≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ Do đó tập { } : * n A a n N= ∈ bị chặn trên. Gọi supc A= . Hiển nhiên rằng n n a c b≤ ≤ với mọi 1, 2, 3, n = Vậy [ ] , n n c a b∈ với mọi 1, 2, 3, n = Mặt khác, giả sử còn có [ ] ' , n n c a b∈ với mọi 1, 2, 3, n = thì ' 0 n n c c b a− ≤ − → khi n → ∞ . Do đó 'c c≡ . Bổ đề 2 (Bolzano-Weierstrass). Từ mọi dãy bị chặn đều rút ra được một dãy con hội tụ. Chứng minh. Giả sử dãy { } n a bị chặn. Khi đó tồn tại hai số a và b sao cho n a a b≤ ≤ với mọi 1, 2, 3, n = Chia đoạn [ ] ,a b thành hai phần bằng nhau. Ít nhất một trong hai đoạn phải chứa vô số số phần tử của dãy { } n a , ta gọi đoạn đó là 1 ∆ . Lại chia 1 ∆ thành hai phần bằng nhau, một trong hai đoạn đó gọi là 2 ∆ phải chứa vô số số phần tử của dãy { } n a . Tiếp tục mãi quá trình đó ta được dãy các đoạn thắt [ ] 1 2 , n a b ⊃ ∆ ⊃ ∆ ⊃ ⊃ ∆ ⊃ Trong đó [ ] , n n n a b∆ = và 0; 2 n n n b a b a n − − = → → ∞ . Theo Bổ đề 1, tồn tại điểm α chung cho mọi đoạn và lim lim n n n n a b α →∞ →∞ = = . Ta rút ra một dãy con của dãy { } n a như sau: trong 1 ∆ lấy một phần tử bất kỳ ký hiệu là 1 m a , trong 2 ∆ lấy một phần tử bất kỳ ký hiệu là 2 m a sao cho 2 1 m m> (điều đó thực hiện được vì 2 ∆ chứa vô số số phần tử của dãy { } n a ). Tiếp tục quá trình đó ta được một dãy con { } { } n m n a a⊂ . Bởi vì n m n> nên n n m m n a ∈∆ ⊂ ∆ . Do đó 9 n n m n a a b α α ≤ ≤ ↓ ↓ Từ đó suy ra lim n m n a α →∞ = . Ví dụ. Dãy ( ) { } 1 n n a = − bị chặn rút ra được các dãy con hội tụ là { } 2 1 ; n a = { } 2 1 1 n a + = − với 2 lim 1 n n a →∞ = và 2 1 lim 1 n n a + →∞ = − Định lý 10 (Tiêu chuẩn Cauchy). Dãy { } n a hội tụ khi và chỉ khi với mọi 0 , : m n N m n N a a ε ε > ∃ ∀ ≥ − < Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử lim n n a a →∞ = . Khi đó với mọi 0 ε > cho trước luôn tồn tại số nguyên dương N để với mọi n N≥ ta có 2 n a a ε − < Như vậy, với mọi m N≥ ta cũng có 2 m a a ε − < . Từ đó suy ra 2 2 m n m n m n a a a a a a a a a a ε ε ε − = − + − ≤ − + − < + = ; với mọi ,m n N≥ . Điều kiện đủ. Trước hết ta chú ý rằng dãy { } n a bị chặn. Theo giả thiết với 1 ε = tồn tại số nguyên dương N sao cho 1 m n a a− < với mọi ,m n N≥ . Đặc biệt 1 1 1 n N N n N a a a a a− < ⇔ − < < − với mọi n N≥ . Điều đó chứng tỏ { } n a bị chặn. Theo Bổ đề Bolzano-Weierstrass, từ dãy { } n a trích ra được dãy con { } n m a hội tụ. Giả sử lim n m n a a →∞ = . Khi đó với mọi 0 ε > tồn tại số nguyên dương N để với mọi n N≥ ta có 2 n m a a ε − < Bởi vì n m n N≥ ≥ nên theo giả thiết 10 [...]... x) < − A →+∞ 1 x Ví dụ 1 lim e = 1 x →±∞ 15 Thật vậy với mọi ε > 0 tồn tại M = 1 > 0 sao cho với mọi x > M ta có ln (1 + ε ) 1 x e − 1 < eln (1+ ε ) − 1 = (1 + ε ) − 1 = ε Với mọi ε > 0 tồn tại M = − 1 1 > 0 sao cho với mọi x < − M = ln (1 − ε ) ln (1 + ε ) ta có 1 x ε > 0 > e − 1 > eln (1 ε ) − 1 = (1 − ε ) − 1 = −ε Ví dụ 2 lim ln x →+∞ 1 = −∞ x Thật vậy, với mọi A > 0 tồn tại M = ln 1 1 > 0 sao cho... cos x Ví dụ 2 Tính lim x →0 1 − cos x Ta có 1 − cos x 1 − cos x = 1 − cos x 1 − cos x 1 + cos x ( )( ) x2 x Bởi vì 1 − cos x : nên ; 1 − cos x : 2 2 x2 1 − cos x x 0 2 lim = lim = lim = = 0 x →0 1 − cos x x →0 x x →0 2 1 + cos x 1 + cos x 2 ( ) ( ) C HÀM SỐ LIÊN TỤC § 1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ PHÉP TOÁN TRÊN CÁC HÀM SỐ LIÊN TỤC 1. 1 Định nghĩa hàm số liên tục Định nghĩa 1 Cho hàm số y = f ( x ) xác định... dương N1 sao cho xn > N + 1 ; với mọi n ≥ N1 Với mỗi xn ta tìm được m > N sao cho m < xn ≤ m + 1 Từ đó ta có xn m m +1 1   1 1   1 + ÷ < 1 + ÷ < 1 + ÷ xn   m +1   m x  1 Do đó lim 1 + ÷ = e x→ + ∞ x  Trường hợp x → −∞ Đặt x = −t ta có x −t −t  1  1  t 1 lim 1 + ÷ = lim 1 − ÷ = lim  ÷ x→ − ∞ t→ + ∞ x  t→+ ∞  t    t  t t 1 1   t   = lim  lim ÷ = t → + ∞ 1 +... β ( x) = sin x; γ ( x) = 1 − cos x; µ ( x) = tagx − sin x; η ( x) = x 2 là các VCB khi x → 0 Ta có β ( x) sin x = lim = 1 ; nên α ( x) : β ( x) 1 lim x →0 α ( x ) x →0 x x2 2. sin γ ( x) 1 − cos x 2 2 = 1 ; nên γ ( x) và η ( x) là các lim = lim = lim x →0 η ( x ) x →0 x →0 x2 x2 2 lim (ii) α ( x) và β ( x ) là các VCB cùng bậc nếu x → x VCB cùng bậc  tagx − sin x   1  − 1 = 0 , nên µ ( x) = 0 (... tại x→ x0 f ( x) = l 16   1 x Ví dụ 1 lim  x sin ÷ = 0 x →0 Thật vậy, ta có 1 ≤ x ; với mọi x ≠ 0 x 1  Bởi vì lim ( − x ) = lim ( x ) = 0 nên lim  x sin ÷ = 0 x →0 x →0 x →0 x  x  1 Ví dụ 2 lim 1 + ÷ = e x→ ± ∞ x  Trường hợp x → +∞ Từ định nghĩa số e , ta dễ dàng suy ra rằng − x ≤ x sin n +1 n Lấy dãy tuỳ ý 1    1 lim 1 + ÷ = lim 1 + ÷ = e n →∞  n + 1  n→∞  n  mà xn →... ; với mọi n ≥ N Điều đó có nghĩa là f ( xn ) → l ε Ví dụ 1 lim ( 2 x + 3) = 5 Bởi vì với mọi ε > 0 chọn δ = để với mọi x ∈ ¡ x 1 2 mà 0 < x − 1 < δ thì ta có ε =ε 2 Ví dụ 2 lim sin x = 0 Bởi vì với mọi ε > 0 chọn δ = ε để với mọi x ∈ ¡ mà x →0 0 < x − 0 < δ thì ta có sin x − 0 ≤ x < δ = ε ( 2 x + 3) − 5 = 2 x − 2 = 2 x − 1 < 2 Định lý 1 Giới hạn của hàm số nếu có là duy nhất Chứng minh Giả sử... tồn tại c1 , c2 ∈ [ a, b ] sao cho f (c1 ) = m, f (c2 ) = M Theo định nghĩa của supremum, với mỗi số nguyên dương n tồn tại xn ∈ [ a, b ] sao cho 1 1 M − < f ( xn ) ≤ M < M + n n { xn } ⊂ [ a, b] ta lại trích ra được dãy xn → c2 ∈ [ a, b ] Bởi tính liên tục của hàm số f ( x) Từ dãy con { x } ⊂{ x } nk n sao cho và 1 1 < f xn k < M + , nk nk suy ra M = f (c2 ) Việc chỉ ra sự tồn tại của c1 được tiến... ±∞ Ví dụ 1 Hàm số Ta có  1  f ( x) = sign x =  0  1  khi x < 0 khi x = 0 khi x > 0 lim signx = 1 ≠ si gn ( x0 ) = 0 ≠ 1 = lim signx + x →0 − Vậy x = 0 là điểm gián đoạn loại I của hàm số đã cho Ví dụ 2 Hàm số  sin x  f ( x) =  x 0  x →0 x≠0 x=0 22 sin x = 1 ≠ f (0) Vậy x = 0 là điểm gián đoạn bỏ được của hàm số đã x →0 x Ta có lim cho Ví dụ 3 Hàm số x>0 x≤0 ln x f ( x) =  1 Ta có lim...   t  t t 1 1   t   = lim  lim ÷ = t → + ∞ 1 + ÷ t→ + ∞ t − 1    t 1 1   1 + ÷= e  t 1 2. 2 Các phép toán Định lý 6 Cho hàm y = f ( x ) xác định trên tập X \ { x0 } và z = g ( y ) xác định trên miền chứa f ( X ) Khi đó, nếu tồn tại lim thì x→ x0 ( g o f ) ( x) = B lim f ( x) = A và lim g ( y ) = B , y→ A x → x0 17 Định lý 7 Cho các hàm f ( x ) và g ( x ) xác định trên tập hợp X... chưa chắc đúng 1 , x ∈ ( 0; + ∞ ) x δ ' δ Với ε 0 = 1 và δ > 0 tuỳ ý ∃xn = , xn = (với số tuỳ ý n ≥ δ ) ta có n 2n δ δ δ x − x' = − = . hạn 2 2 2 2 2 2 1 2 lim n n n n n n n n →∞   + + + + + +  ÷  ÷   . Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 . . n n n n n n n n n n n n n n + + + + + ≤ + + + ≤ hay 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 n n. có 7 0 1 2 2 1 1 1 1 1 . . . n n n n n n n C C C C n n n n   + = + + + +  ÷   2 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1 . . . 1. 2 1. 2 n n n n n n n n n n − − = + + + + 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 . 1 1 2! ! n n. cũng có 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 . 1 1 1 2! 1 ! 1 1 1 n n n n n n n n + −           + = + + − + + − − −  ÷  ÷  ÷ ÷  ÷ + + + + +           1 1 2 1 . 1 1 ( 1) ! 1 1 1 n n