CHƯƠNG 5 Mã hóa kênh truyền 1  Khái niệm về mã phát hiện sai và sửa sai. – Cơ chế phát hiện sai của mã hiệu. – Khả năng phát hiện và sửa sai. – Hệ số sai không phát hiện được.  Mã khối tuyến tính – Định nghĩa – Ma trận kiểm tra – Mạch mã hóa – Giải mã – Syndrome và sự phát hiện lỗi – Sửa lỗi Nội dung 2 Vấn đề 3 Lỗi khi truyền dữ liệu trên một hệ thống truyền tin: • Lỗi khi truyền tin là một điều khó tránh. • Nguyên nhân: Do nhiễu bên ngoài xâm nhập, tác động lên kênh truyền, làm thông tin truyền đi bị sai. 1 → 0 0 → 1 • Việc khắc phục và kiểm soát lỗi là một vấn đề hết sức quan trọng. Nguyên lý mã hóa kiểm soát lỗi 4 • Nguyên lý chung là thêm vào tập mã cần truyền một tập bit kiểm tra nào đó để bên nhận có thể kiểm soát lỗi. • Bên phát: Bổ sung thêm thông tin (thêm bit) vào bit cần gửi. • Bên thu: Nhận thông tin bổ sung ở phía phát, kiểm tra, phát hiện và sửa lỗi. Với n-k: bit kiểm tra Bộ mã KSL + (n-k) bit k bit Thông tin k+n-k = n bit Phát Thu  Dạng sai lầm của mã hiệu được truyền tuỳ thuộc tính chất thống kê của kênh:  sai độc lập dẫn đến sai ngẫu nhiên: 1 hoặc 2 sai.  Sai tương quan dẫn đến sai chùm (sai cụm)  Người ta thống kê: sai ngẫu nhiên xẩy ra 80%, sai chùm xảy ra 20%.  Xác suất xuất hiện một từ mã n ký hiệu có t sai bất kỳ: p(n,t) = C n t p s t (1-p s ) n-t 5 Khái niệm về mã phát hiện sai và sửa sai.  Số từ mã có thể có: N 0 = 2 n  Số từ mã mang tin: N = 2 k .  Số từ mã không dùng đến: 2 n –2 k (số tổ hợp cấm)  Để mạch có thể phát hiện hết i lỗi thì phải thỏa mãn điều kiện:  Trong đó E Σ = E 1 + E 2 + . . . + E i  E 1 , E 2 , . . E i là tập hợp các vector sai 1,2 . . .i lỗi.  Để phát hiện và sửa hết sai 1 lỗi ta có: 6 Cơ chế phát hiện sai của mã hiệu.    E n k 1 2 2 1 2 2   n n k  Trọng số Hamming của vector t: ký hiệu: w(t) được xác định theo số các thành phần khác không của vector.  Ví dụ: t 1 = 1 0 0 1 0 1 1  w(t 1 ) = 4  Khoảng cách giữa 2 vector t 1 , t 2: ký hiệu, d(t 1 , t 2 ) được định nghĩa là số các thành phần khác nhau giữa chúng.  Ví dụ: t 2 = 0 1 0 0 0 1 1  d(t 1 , t 2 ) = 3 chúng khác nhau ở vị trí 0, 1 và 3  Khoảng cách Hamming giữa 2 vector mã t 1 , t 2 = trọng số của vector tổng t 1  t 2 : d(t 1 , t 2 )=w(t 1  t 2 ) . t 1 = 1 0 0 1 0 1 1  t 2 = 0 1 0 0 0 1 1 t 1  t 2 = 1 1 0 1 0 0 0  w(t 1  t 2 ) = 3 = d(t 1 , t 2 ) Khả năng phát hiện và sửa sai  Điều kiện để một mã tuyến tính có thể phát hiện được t sai: d  t+1  ví dụ: t = 1  d  2; t = 2  d  3 t = 5  d  6  Điều kiện để một mã tuyến tính có thể phát hiện và sửa được t sai: d  2t + 1 t = 1  d  3; t = 2  d  5; t = 5  d  11 8 Điều kiện phát hiện sai  Ví dụ: đối với bộ mã (5,2) có trọng số Hamming w =2 ta xác định được hệ số sai không phát hiện được: p’ = C 2 1 pqC 3 1 pq 2 + C 2 2 p 2 C 3 2 p 2 q nếu p = 10 -3  p’  6p 2 = 6.10 -6 nghĩa là có 10 6 bit truyền đi, 10 3 bit bị sai thì có 6 bit sai không phát hiện được. 9 Hệ số sai không phát hiện được • Gọi từ mã phát đi là T. • Gọi từ mã nhận được là R • Gọi từ mã sai do đường truyền gây ra là E. phương trình đường truyền: R = T  E T = R  E E = T  R  Đối với mã nhị phân 3 phương trình trên tương đương nhau. 10 Phương trình đường truyền [...]... rn-kp00 + rn-k-1p10 + + rn-ipk-1,0 S1 = r1 + rn-kp01 + rn-k-1p11 + + rn-ipk-1,1  …………… (5) Sn-k-1 = rn-k-1 + rn-kp0,n-k-1 + rn-k+ip11 + + rn-ipk-1,n-k-1 Từ (5) tương tự như mạch mã hóa, ta có mạch tính Syndrome như sau: 32 Mạch tính Syndrome r0 r1 rn-k rn-1 P0,n-k-1 p00 p01 Pk-1,1 pk-1,0 + so Pk-1,n-k-1 + + sn-k-1 s1 33 Ví dụ:  Tính Syndrome của mã khối tuyến tính C(7,4) với ma trận H đã... s(v)=0  Từ ma trận H(n-k)n thành phần của Syndrome như sau: S0 = v0p00 + v1p10 + + vk-1pk-1,0 + vk S1 = v0p01 + v1p11 + + vk-1pk-1,1 + vk+1 …………… Sn-k-1 = v0p0,n-k-1 + v1p1,n-k-1 + + vk-1pk-1,n-k-1 + vn-1 30 Phương pháp giải mã mã khối tuyến tính: – Gọi từ mã phát đi : t = (t0 t1 tn-1) (1) – Gọi từ mã thu được: r = (r0 r1 rn-1) (2) – Vector sai : e = (e0 e1 en-1) (3) – Trong đó ei... sn-k-1) (4) gồm n-k thành phần – S=0 nếu và chỉ nếu r là từ mã phát (r  t) hoặc là tổ hợp tuyến tính của các từ mã (gọi là vector sai khơng phát hiện được) – S  0 thì r khơng phải là từ mã phát đi (r  t) và do đó có sai (e  0) 31 Phương pháp giải mã mã khối tuyến tính Từ ma trận kiểm tra thành phần của Syndrome như sau: S0 = r0 + rn-kp00 + rn-k-1p10 + + rn-ipk-1,0 S1 = r1 + rn-kp01 + rn-k-1p11... Gkxn là ma trận có kích thước (n-k)n sao cho : G x HT = 0 • Ma trận sinh hệ thống có dạng Gkxn = [Ikk|Pk(n-k)] thì ma trận H(n-k)n = [Pk(n-k)T | I(n-k)(n-k)] Trong đó: I(n-k)(n-k) là ma trận đơn vị kích thước (n-k)(n-k), còn Pk(n-k)T là ma trận chuyển vị của ma trận Pk(n-k) 27 Cho G khơng hệ thống, tính H? • VD: trên Z3, cho ma trận sinh của một mã như sau đương • Ta chuyển thành ma trận sinh của mã hệ... (gi0, gi1… gi(n-1)) với i = 0, 1, …, k-1 g 0 ( n 1)  g1( n 1)      g ( k 1)( n 1)   13 Cách mã hóa • Nếu u = (a0,a1,…,ak-1) , với ai =0/1 và 0i k-1, là thơng tin cần được mã hóa • Gọi t là từ mã phát đi: t = t0 t1 ….tn-1 , Với tj = 0 hoặc 1 và 0  j  k-1 thì từ mã w tương ứng với t được hình thành bằng cách lấy t x G w = t x G = a0g0 + a1g1 +…+ ak-1gk-1 • Vì các từ mã tương ứng với các... mã có một trong hai dạng sau: • Dạng 1: Từ mã bao gồm phần thơng tin k bit đi trước và phần còn lại (gồm n-k bit) đi sau (phần này còn được gọi là phần dư thừa hay phần kiểm tra) k bit thơng tin n - k bit kiểm tra • Dạng 2: Ngược lại của dạng 1, từ mã bao gồm phần kiểm tra đi trước và phần thơng tin đi sau n - k bit kiểm tra k bit thơng tin 19 Ma trận sinh hệ thống  G k  n  I kk | Pk ( n  k ) ... chỉ nếu 2k từ mã hình thành một khơng gian vectơ k chiều 2n, gồm tất cả các vectơ n thành phần trên trường Galois sơ cấp GF(2) ( bao gồm 2 phần tử {0,1} với 2 phép tính + và *) • Mã tuyến tính C(n,k) có mục đích mã hóa những khối tin (hay thơng báo) k bit thành những từ mã n bit Hay nói cách khác trong n bit của từ mã có chứa k bit thơng tin • Ví dụ: C (7,4): Từ mã dài 7 bit Thơng tin cần truyền: 4 bit... thành phần, cho nên tồn tại k từ mã độc lập tuyến tính (g0,g1,…,gk-1) sao cho mỗi từ mã trong C là một tổ hợp tuyến tính của k từ mã này : w  a0 g 0  a1 g1   ak 1 g k 1 (ai {0,1}i  0,1, , k  1) • k từ mã này tạo thành một ma trận sinh cấp k x n như sau: Gk n  g 0   g 00 g   g 10  1          g k 1   g ( k 1) 0  g 01 g11  g ( k 1)1 Với: gi = (gi0, gi1… gi(n-1))... phép biến đổi sơ cấp biển đổi các ma trận sinh sau thành ma trận sinh hệ thống G 4 7 1 1 1 0   1 0  1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1  0  1 G 47 1 0   0  1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1  0 1 1 0 0 1  0 0 1 0 1 1 • Khơng phải mọi ma trận sinh đều có thể biến đổi thành ma trận sinh hệ thống 24 Phát hiện sai và sửa sai • Ngun lý phát hiện sai: Kiểm tra xem tổ hợp nhận có phải... • Ngun lý sửa sai: Kiểm tra xem tổ hợp nhận có khoảng cách Hamming gần với từ mã nào nhất, thì đó chính là từ mã đúng đã phát đi • → Ngun lý khoảng cách Hamming tối thiểu  Khơng gian bù trực giao: • Cho S là một khơng gian k chiều của khơng gian V n chiều Gọi Sd là tập tất cả các vectơ v trong V sao cho: u  S ,u  v  0 • Sd được chứng minh là một khơng gian con của V và có số chiều là n-k • Sd . dạng 1, từ mã bao gồm phần kiểm tra đi trước và phần thông tin đi sau. . k bit thông tin n - k bit kiểm tra n - k bit kiểm tra k bit thông tin Ma trận sinh hệ thống 20 • Ví dụ:               1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 )74(ht G Mã. mã hóa những khối tin (hay thông báo) k bit thành những từ mã n bit. Hay nói cách khác trong n bit của từ mã có chứa k bit thông tin. • Ví dụ: C (7,4): Từ mã dài 7 bit. Thông tin cần truyền:. vào bit cần gửi. • Bên thu: Nhận thông tin bổ sung ở phía phát, kiểm tra, phát hiện và sửa lỗi. Với n-k: bit kiểm tra Bộ mã KSL + (n-k) bit k bit Thông tin k+n-k = n bit Phát Thu  Dạng sai lầm