Những sai lầm thuộc phần này liên quan tới sự hiểu biết không đúng các khái niệm và vận dụng sai các định lí, qui tắc phơng pháp. Sai lầm 1. Không hiểu đúng khái niệm, kí hiệu Ví dụ 1. Chứng minh : ( ) (1 ) x F x x e = + là một nguyên hàm của ( ) x f x xe = . Từ đó hãy tìm nguyên hàm của ( ) ( 1) x g x x e = . Một học sinh có lời giải nh sau: Ta có: ' ( ) (1 ). . ( ) x x x F x e x e x e f x = + + = = , suy ra F(x) là một nguyên hàm của f(x). Ta có: ( ) ( 1). x g x dx x e dx = . (1 ). (1 ). . . = = + + + = + + = x x x x x x x x e dx e dx x e C e C x e e x e (?) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên và cho lời giải đúng. (!) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm: Đã viết cùng một hằng số C cho hai phép tính nguyên hàm. Lời giải đúng là: ( ) ( 1). . x x x g x dx x e dx x e dx e dx = = 1 2 1 2 (1 ). (1 ). x x x x x e C e C x e e C C = + + + = + + + . x x e C = + (với 1 2 C C C= ). Ví dụ 2. Kiểm tra ( ) ln(ln(sin ))F x x= có phải là nguyên hàm của cot ( ) ln(sin ) gx f x x = hay không. Một học sinh có lời giải nh sau: [ ] [ ] ' ' ' ' 1 1 (sin ) ( ) ln(ln(sin ) . ln(sin ) . ln(sin ) ln(sin ) sin x F x x x x x x = = = cos cot ( ) sin .ln(sin ) ln(sin ) x gx f x x x x = = = . Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x). (?) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên. (!) Nguyên nhân sai lầm: Vì ln(sin ) ln1 0x < = Không tồn tại ln(ln(sin ))x . Vậy F(x) không tồn tại nên không thể là nguyên hàm của f(x). Ví dụ 3. Tính tích phân 0 2 1 2 2 dx I x x = + + . Một học sinh có lời giải nh sau: 0 0 2 2 1 1 0 ( 1) 1 0 1 2 2 ( 1) 1 4 dx dx I arctg x arctg arctg x x x = = = + = = + + + + . (?) Hãy tìm nguyên nhân thiếu sót trong lời giải trên và cho lời giải đúng. (!) Nguyên nhân thiếu sót: Trong cách tính nguyên hàm ta đã dùng kết quả biểu diễn theo arctg là khái niệm không có trong sách giáo khoa hiện thời. Lời giải đúng: Đặt 2 2 1 (1 ) (1 )u x tgt du tg t dt u dt= + = = + = + 0 1 4 4 2 2 2 2 1 0 0 0 ( 1) (1 ) 4 ( 1) 1 1 1 4 0 d x du u dt I dt t x u u + + = = = = = = + + + + . Ví dụ 4. Tính tích phân 8 2 4 16 = x I dx x . Một học sinh có lời giải nh sau: 8 8 2 2 2 4 4 16 16 = = x x x I dx dx x x . Đặt 2 2 16 16 = = = xdx t x dt xdx tdt x . 8 4 3 4 3 2 2 2 2 2 4 0 0 4 316 16 1 4 16 16 4 0 x x t dt t I dx dt t arctg x t t = = = = ữ + + 4 4 3 3 = . (?) Hãy tìm nguyên nhân thiếu sót và sửa thiếu sót đó. (!) Nguyên nhân thiếu sót: Trong cách tính nguyên hàm ta đã dùng kết quả biểu diễn theo arctg là khái niệm không có trong sách giáo khoa hiện thời. Lời giải đúng: Đặt 2 4 4sin cos cos t x dx dt t t = = 3 3 3 2 2 2 2 0 0 4sin 1 16( 1) 4 4 (1 ) 1 4 cos cos . cos o t I dt tg tdt tg t dt t t t = = = + [ ] 4 4 4 3 3 3 0 = = tgt t . Ví dụ 5. Tính tích phân 2 2 2 ( 1) dx I x = + Một học sinh có lời giải nh sau: 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 1 1 4 1 2 ( 1) ( 1) 1 3 3 dx d x I x x x + = = = = = + + + . (?) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên và cho lời giải đúng? (!) Nguyên nhân sai lầm: Do hàm số 2 1 ( 1) y x = + gián đoạn trên đoạn [ ] 2;2 nên không sử dụng đợc công thức Niutơn- Laipnit để tính tích phân trên. Lời giải đúng: Do hàm số 2 1 ( 1) y x = + không xác định tại [ ] 1 2;2x = nên gián đoạn trên [ ] 2;2 . Do đó tích phân trên không tồn tại. Chú ý: Có thể nhận xét 2 1 1 lim ( 1) x x = + + nên hàm số không bị chặn trên [ ] 2;2 , do đó tích phân này không tồn tại. Sai lầm 2. Không bảo đảm tính lôgic của lời giải Ví dụ 1. Tính 3 (2 1)x dx+ . Một học sinh có lời giải nh sau: Ta có: 4 3 (2 1) (2 1) 4 x x dx C + + = + . (?) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên và cho lời giải đúng. (!) Nguyên nhân sai lầm: Lời giải trên đã vận dụng công thức 1 1 n n x x dx C n + = + + với 1n . Lời giải đúng: Ta có: 3 3 3 (2 1) 1 (2 1) (2 1) (2 1) (2 1) 2 2 d x x dx x x d x + + = + = + + 4 (2 1) 8 x C + = + . Ví dụ 2. Tính tích phân 0 1 sin dx I x = + . Một học sinh có lời giải nh sau: Đặt 2 x t tg= thì 2 2 2 2 1 1 ; 1 1 sin (1 ) dt t dx t x t + = = + + + 2 2 2 2 2 2( 1) ( 1) 1 sin (1 ) 1 1 2 = = + + = + = + + + + + dx dt t d x C C x x t t tg . 0 2 2 2 0 1 sin 0 1 1 1 2 2 dx x x tg tg tg = = + + + + + . Do 2 tg không xác định nên tích phân trên không tồn tại. (?) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên và cho lời giải đúng? (!) Nguyên nhân sai lầm: Đây là sai lầm của nhiều bạn hay dùng công thức lợng giác để biểu diễn sinx, cosx, tgx, cotgx qua 2 x tg . Việc 2 tg không xác định ở trên chỉ suy ra đợc tích phân đã cho không tính đợc bằng phơng pháp đó. Lời giải đúng: 2 0 0 0 ( ) 2 4 1 sin 1 cos( ) cos ( ) 2 2 4 x d dx dx I x x x = = = + + ( ) ( ) 2 0 2 4 4 4 x tg tg tg = = = . Chú ý: Chúng ta lu ý rằng trong chơng trình toán phổ thông không trình bày về tích phân suy rộng. Ví du 3. Tính tích phân 4 2 0 6 9I x x dx= + . Một học sinh có lời giải nh sau: 4 4 4 2 2 0 0 0 6 9 ( 3) ( 3)I x x dx x dx x dx= + = = 4 2 0 4 ( 3) 1 9 ( 3) ( 3) 4 0 2 2 2 x x d x = = = = . (?) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên và cho lời giải đúng. (!) Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi 2 ( 3) 3x x = , với [ ] 0;4x là không tơng đơng. Lời giải đúng: 4 4 4 2 2 0 0 0 6 9 ( 3) 3I x x dx x dx x dx= + = = [ ] 3 4 2 2 0 3 3 4 ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) 0 3 2 2 x x x d x x d x = + = + 9 1 5 2 2 = + = . Ví dụ 4. Tính tích phân 0 2 2 ( 1)I x dx = + . Một học sinh có lời giải nh sau: Đặt 2 ( 1) 2( 1)u x du x dx= + = + . Với 2x = thì 1; 0= =u x thì u = 1 Do đó 0 1 1 2 2 1 1 1 ( 1) 0 2 2 udu I x dx udu u = + = = = (?) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên và cho lời giải đúng. (!) Nguyên nhân sai lầm: Vì 2 ( 1)u x= + không phải là hàm số đơn điệu trên [ ] 2;0 nên không thể đổi biến, đổi cận nh lời giải trên đợc. Nếu muốn đổi biến thì phải viết tích cần tính thành tổng của hai tích phân mà 2 ( 1)u x= + đơn điệu. Lời giải trên còn sai lầm khi viết 2( 1) 2 du du dx x u = = + , nh vậy từ 2 ( 1)u x= + suy ra 1x u+ = , điều này chỉ xảy ra khi 1x . Lời giải đúng: 0 1 0 2 2 2 2 2 1 ( 1) ( 1) ( 1)I x dx x dx x dx = + = + + + Xét 1 2 1 2 ( 1)I x dx = + , đặt 2 ( 1) 2( 1)u x du x dx= + = + , do [ ] 2; 1 x nên 1 0x + . Vậy 1 2 du x u dx u + = = , với 2x = thì 1u = ; với 1x = thì 0u = . Do đó 3 0 1 2 1 1 0 1 1 0 2 3 3 2 udu u u I du u = = = = . Xét 0 2 2 1 ( 1)I x dx = + , đặt 2 ( 1)u x= + , với 1x nên 2 du dx u = . Đổi cận tích phân: 1 0; 0 1x u x u= = = = . Do đó 3 1 1 2 2 0 0 1 1 0 2 3 3 2 udu u u I du u = = = = . Suy ra 1 2 2 3 I I I= + = . Chú ý: Lời giải trên muốn chỉnh lí việc đổi biến chứ không phải lời giải tốt nhất. Ta có thể giải đơn giản nh sau: 0 0 3 2 2 2 2 0 ( 1) 1 1 2 ( 1) ( 1) ( 1) 2 3 3 3 3 x I x dx x d x + = + = + + = = = . Ví dụ 5. Tính tích phân 2 0 1 sinI xdx = + . Một học sinh có lời giải nh sau: 2 2 2 0 0 0 (sin cos ) (sin cos ) 2 (sin cos ) 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x I dx dx d = + = + = + 2 2( cos sin ) 2.(1 1) 4 0 2 2 x x = + = + = . (?) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên và và cho lời giải đúng? (!) Nguyên nhân sai lầm: Lời giải trên sai lầm khi biến đổi biểu thức: 2 sin cos ) sin cos 2 2 2 2 x x x x + = + . • Lêi gi¶i ®óng: 2 2 2 0 0 0 1 sin sin cos 2 2 sin( ) 2 2 2 4 x x x I xdx dx dx π π π π = + = + = + ∫ ∫ ∫ = 3 2 2 3 0 2 2 2 sin( ) 2 2 sin( ) 2 2 2 2 x x dx dx π π π π π + + + ∫ ∫ 3 2 2 3 0 2 2 2 sin( ) ( ) 2 2 sin( ) ( ) 2 4 2 4 2 4 2 4 x x x x d d π π π π π π π = + + − + + ∫ ∫ 3 2 3 2 2 2 2 cos( ) 2 2 cos( ) 0 2 4 2 4 x x π π π π π = − + + + 2 2 2 2 2 2 4 2= + − + = . VÝ dô 6. TÝnh tÝch ph©n ( ) 1 2 2 2 1I x dx − = + ∫ . • Mét häc sinh cã lêi gi¶i nh sau: §Æt 2 = ⇒ = dt x t dx t . Khi 2x = − th× 4t = , khi 1x = th× 1t = . Do ®ã ( ) ( ) 1 1 4 2 2 4 1 1 2 1 2 1 2 dt I x dx t t dt t t −   = + = + = − +  ÷   ∫ ∫ ∫ 4 4 1 1 2 2 1 1 4 4 2 20 2 1 1 3 3 − = − − = − − = − ∫ ∫ t dt t dt t t t . [...]... Học sinh thứ nhất tính nh sau: V = 12 dx = x 0 = 2 0 Học sinh thứ hai tính nh sau: V = sin 2 xdx = 0 1 cos 2 x dx 2 0 y 1 y = sin x O Hình 17 2 1 1 = x sin 2 x ữ = 4 2 0 2 (?) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên và và cho lời giải đúng (!) Nguyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải trên đều làm sai không xác định đúng hình phẳng, yêu cầu bài toán đã bị sai (tức là luận đề...(?) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên và và cho lời giải đúng (!) Nguyên nhân sai lầm: Để giải của bài toán trên, không thể đặt x = t với x [ 2;1] Lời giải đúng: 1 1 1 1 2 x3 1 + = 12 Ta có I = 2 ( 1 + x ) dx = 2 dx + 2 x dx = 2 x 2 3 2 2 2 2 2 2 Sai lầm 3 Không xác định đúng hình phẳng Ví dụ Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành do hình phẳng . e e x e (?) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên và cho lời giải đúng. (!) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm: Đã viết cùng một hằng số C cho hai phép tính nguyên hàm. Lời giải đúng là: . 1) x x = + + nên hàm số không bị chặn trên [ ] 2;2 , do đó tích phân này không tồn tại. Sai lầm 2. Không bảo đảm tính lôgic của lời giải Ví dụ 1. Tính 3 (2 1)x dx+ . Một học sinh có lời. 2 tg không xác định nên tích phân trên không tồn tại. (?) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên và cho lời giải đúng? (!) Nguyên nhân sai lầm: Đây là sai lầm của nhiều bạn hay dùng