Phòng GD Quỳnh Lu Trờng THCS Quỳnh Vinh Đề thi HSG huyện năm 1997-1998 (120 phút) Câu 1. Cho biểu thức: x x x x xx x xP + + + = 3 12 2 3 65 92 )( . a. Tìm TXĐ của P(x). Rút gọn P(x). b. Với giá trị nào của x thì P(x) < 1 Câu 2. Cho hai phơng trình. x 2 - x + m = 0 (1) và x 2 - 3x - m = 0 (2) a. Giải phơng trình (1) với m = -2 b. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì có ít nhất một trong hai phơng trình có nghiệm c. Tìm giá trị của m để hai phơng trình có nghiệm chung. Câu 3. Cho 2 là một nghiệm của phơng trình: x 3 + 3x 2 + px + q = 0 (p, q Q). Tìm các nghiệm còn lại của phơng trình. Câu 4. Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB. Tiếp tuyến tại một điểm M bất kỳ trên nửa dờng tròn (O) cắt hai tiếp tuyến tại A và B của nửa đờng tròn (O) tại C và D, OC và OD lần lợt cắt MA và MB tại I và J. a. Chứng minh đoạn IJ có độ dài không đổi b. Chứng minh tồn tại một đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CIJD. c. Xác định vị trí điểm M để đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CIJD có bán kính nhỏ nhất. sơ tuyển HSG huyện Quỳnh Lu năm 1999 - 2000 lớp 9 Thời gian 120 phút Câu 1. Cho số A = 1111 (gồm 1986 chữ số 1). Chứng minh số A có 8 ớc số lớn hơn 10 mà mỗi ớc đều gồm những chữ số giống nhau. Câu 2 . Tính: a. 56145614 ++ b. 3242 32 3242 32 + ++ + Câu 3. Cho 3 số x, y, z thoả mãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh đẳng thức 1 111 = ++ + ++ + ++ zxz z yzy y xyx x Câu 4. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác, I là trung điểm của cạnh BC và D là điểm đối xứng của điểm A qua tâm O. a. Chứng minh BHCD là hình bình hành. b. Chứng minh rằng AH = 2.IO Câu 5. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng: 22 222 <+++ abccba Đề thi HSG huyện Quỳnh Lu năm 2000- 2001 lớp 9 Thời gian 150 phút Câu 1. a) Tính 347347 ++=A b) So sánh các số M và N sau đây: 2930 =M ; 2829 =N Câu 2. GV: :Phaùm lửu Nhaõn Tổ: Toán - Lí - Tin Phòng GD Quỳnh Lu Trờng THCS Quỳnh Vinh Giải hệ phơng trình 3 2 = + yx xy 6= + zy yz 2 3 = + xz zx Câu 3. Hai đờng tròn (O) và (O 1 ) tiếp xúc ngoài tại điểm C. Đờng thẳng OO 1 cắt đờng tròn (O) và (O 1 ) lần lợt tại A và B. MN là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đờng tròn (M, N lần lợt là các tiếp điểm thuộc đơng tròn (O) và (O 1 )). Gọi D là giao điểm của AM và BN. a) Chứng minh 0 90 =DBA b) Chứng minh rằng: DC là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (O) và (O 1 ) Câu 4. Cho x và y là hai số thực thoả mãn điều kiện x 2 + y 2 x + 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S = 2x + 3y. Đề thi HSG huyện Quỳnh Lu năm 2001 - 2002 lớp 9 Thời gian 150 phút Câu 1. Giải phơng trình a) 52644 2 =+ xx b) (x - 1)(2x - 2 9 2 x ) + y(3y - 2 42 2 y ) = 12 Câu 2. a) Cho a, b, c > 0 ab + bc + ca = 1. Chứng minh đẳng thức bacba +=+++ 1:)1)(1( 222 b) Cho a, b, c 0. Chứng minh đẳng thức. abcacbbcacba 222333 ++++ Câu 3. Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R và một điểm M khác A, B thuộc đờng tròn. Goi T là giao điểm của các tiếp tuyến với đờng tròn tại A và M. Vẽ MC, MD theo thứ tự vuông góc với AB và AT (CAB, DAT). Gọi I là trung điểm của CD a) Tam giác IMT là tam giác gì ? Tại sao ? b) Chứng minh ã ã DMT OMC= c) Chứng minh OA.OC = 2.AI 2 d) Xác định vị trí của M trên đờng tròn (O) để diện tích IMO lớn nhất Câu 4. Cho 5 đoạn thẳng sao cho bất kì ba đoạn nào trong số đó cũng có thể lập thành ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng trong các tam giác tạo thành có ít nhất một tam giác mà cả ba góc đều nhọn Đề thi HSG huyện Quỳnh Lu năm 2002 - 2003 lớp 9 Thời gian 120 phút Câu 1. Cho biểu thức A = 1.2 444 + xx xxx a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x Z để A Z. Câu 2. Cho đờng thẳng (d) có phơng trình (m + 2)x + (m - 3)y = m - 8 a) Xác định m để đờng thẳng đi qua điểm P(-1, 1) b) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định Câu 3. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: GV: :Phaùm lửu Nhaõn Tổ: Toán - Lí - Tin Phòng GD Quỳnh Lu Trờng THCS Quỳnh Vinh S = cba c bac b acb a + + + + + Câu 4. Cho ABC cân tại A vẽ một đờng tròn tâm O nằm trên cạnh BC và tiềp xúc với cạnh AB, AC lần lợt tại D và E. Gọi I là một điểm chuyển động trên cung nhỏ DE (I D, E). Tiếp tuyến của đờng tròn tại điểm I cắt cạnh AB, AC tơng ứng tại M, N. a) Chứng minh rằng chu vi AMN không đổi. b) Chứng minh hệ thức 4BM.CN = BC 2 c) Xác định vị trí của điểm I trên cung nhỏ DE để AMN có diện tích lớn nhất. Câu 5. Cho ABC đều. Điểm M thuộc miền trong của tam giác đã cho sao cho: MA 2 = MB 2 + MC 2 . Tình góc BMC ? Sơ tỉnh 2002 - 2003 Câu 1 Tìm các số x, y thoả mãn phơng trình 122 2 +=+ + yx yx Câu 2. Hai đội cờ vua của hai trờng A và B thi đấu với nhau. Mỗi đấu thủ của đội này phải thi đấu một trận với mỗi đấu thủ của đội bên kia. Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng 2 lần tổng số đấu thủ của hai đội và số đấu thủ của một trong hai đội là số lẻ. Hãy tìm số đấu thủ của mỗi đội. Câu 3. Cho a 1, b 1, c 1. Chứng minh BĐT: abc cba + + + + + + 1 3 1 1 1 1 1 1 333 Câu 4. Trong mặt phẳng cho một hình vuông. Ngời ta vẽ 9 đờng thẳng sao cho mỗi đờng thẳng chia hình vuông thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng 2/3. Chứng mỉnhằng có ít nhất ba đờng thẳng trong 9 đờng thẳng đã vẽ cùng đi qua một điểm. Câu 5. Cho ABC đờng phân giác trong và đờng phân giác ngoài của góc B cắt đờng phân giác trong của góc A lần lợt tại I và J. Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu của J trên BC. Chứng minh AH//IM Đề thi HSG huyện Quỳnh Lu năm 2003- 2004 lớp 9 Thời gian 120 phút Câu 1. a. Cho x0, y0 và 1=+ yx . Tính giá trị của biểu thức xyyyxxS 3++= b. Tính 322.322.32 ++++P Câu 2. a.Giải hệ phơng trình: 3 211 = + yx 6 511 =+ zy 3 411 =+ xz b. Cho đờng thẳng (d) có phơng trình: y = 2x - 3 và đờng thẳng (l) có phơng trình y = (m + 1)x + 2. Xác định giá trị của m để hai đờng thẳng (d) và (l) cắt nhau tại điểm I có toạ độ (x 1 , y 1 ) sao cho x 1 + y 1 = 2 Câu 3. Cho các số thực x, y thoả mãn 13 + yx và 1 yx Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 22 2003 2002 2002 2003 yxA += Câu 4. Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Gọi M là điiểm thuộc đờng kính AB (M khác A, B), N là trung điểm của MB. Dây CD vuông góc với AB tại N. Gọi E là giao điểm của AC với MD. a. Tứ giác BCMD là hình gì ? Chng minh ? GV: :Phaùm lửu Nhaõn Tổ: Toán - Lí - Tin Phòng GD Quỳnh Lu Trờng THCS Quỳnh Vinh b. Xác định vị trí tâm O của đờng tròn ngoại tiếp AEM c. Chứng minh NE là tiếp tuyến của đờng tròn (O). Câu 5. ABC có AM là trung tuyến. Chứng minh rằng nếu các bán kính của các đờng tròn nội tiếp hai tam giác AMB và AMC bằng nhau thì ABC cân. Sơ tỉnh 2003 - 2004 Câu 1. a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 +y 2 z + yz 2 + 3xyz b) Giải phơng trình với các ẩn là x, y: )( 2 1 421 yxyx +=+ Câu 2. Trong hội trại của một trờng có khoảng 1020 em HS tham gia. Ban tổ chức phân chia số HS đó thành 40 nhóm, mỗi nhóm có không ít hơn 20 HS a) Chứng minh rằng với bất kì cách chia nào cũng tìm đợc 4 nhóm có số HS bằng nhau b) Hãy tìm một cách chia sao cho không ua 4 nhóm có số HS bằng nhau. Câu 3. Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: )1)(1()1)(1()1)(1( 333 ++ + ++ + ++ = yx z xz y zy x A Câu 4. Cho ABC. AB < AC, hai điểm M, N lần lợt chuyển động trên hai cạnh AB, AC sao cho BM = CN> Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ BCD (BD = DC) sao cho góc BDC bằng góc BAC a) Chứng minh đờng trung trực của MN luôn đi qua D b) Chứng minh: MDN ~ BDC c) So sánh chu vi AMN và chu vi DMN đề thi HSG huyện năm 2006-2007 Câu 1. Hãy chọn phơng án đúng trong các phơng án ở mỗi câu sau. 1. Giá trị của x để 2.24 2 += xxx là: A. x -2; B. x 2; C. |x| 2 2. Điểm + 12 12 ;2M nằm trên đồ thị của hàm số: A. y = -x + 5; B. y = 2x + 3; C. y = 22 x 3. Biểu thức 158158 ++ có giá trị là: A. 102 ; B. 53 ; C. 30 ; D. 15 Câu 2. Rút gọn biểu thức: P 2 3+ 5 13+ 48 = 6 + 2 Câu 3. Tìm các cặp số (x, y) thoả mãn phơng trình x xyxyy 2 3 121 =+ Câu 4. Cho x > 0, y > 0, z 4 và x + y + z = 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = xyz Câu 5. Cho tam giác đều ABC với O là trung điểm của cạnh BC. Trên cạnh AB lấy điểm M, Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho: MON 0 = 60 . a) Chứng minh: BC 2 = 4BM.CN b) Chứng minh: NO là tia phân giác của góc MNC c) Khi M và N di động trên cạnh AB và AC của ABC sao cho 0 60 =NOM , kẻ OH MN. Chứng minh rằng: Điểm H luôn luôn nằm trên một đờng tròn cố định. GV: :Phaùm lửu Nhaõn Tổ: Toán - Lí - Tin Phòng GD Quỳnh Lu Trờng THCS Quỳnh Vinh Sơ tỉnh năm 2007 - 2008 Câu 1. CMR nêu a, b là số chính phơng lẻ liên tiếp thì: (a - 1)(b - 1) 192 Câu 2. Giải phơng trình 22 2 84 4 xx x =+ Câu 3. Tìm cặp số (x, y) thoả mãn phơng trình: 3x 2 + 2y 2 + 4xy - 7x - 5y + 3 = 0 Sao cho tỏng x + y đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất ? Câu 4. Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh BĐT 1 222 + + + + + c c b b a a Câu 5. Cho ABC vuông tại A, đờng cao AH, tia phân giác của góc BAH và góc CAH cắt BC tại D và E. a) Chứng minh: ABE và ACD là những tam giác cân b) Tia phân giác của góc B cắt AD tại I tia phân giác của góc C cắt AE tại K. Đờng thẳng IK cắt AB, AC lần lợt tại P và Q. Chứng minh rằng AP = AQ. sơ tỉnh năm 2008-2009 (150 phút) Câu 1. a) Giải phơng trình: 2x 2 + 26x + 90 = 6 )8( +xx b) Cho a, b, c 0 thoả mẵn điều kiện: 2 111 =++ cba và a + b + c = abc. Tính giá trị của biểu thức: 222 111 cba P ++= Câu 2. Cho hai số tự nhiên a và b. Chứng minh rằng nếu tích ab là số chẵn thì luôn luôn tìm đợc số tự nhiên c sao cho a 2 + b 2 + c 2 là số chính phơng. Câu 3. Cho các số thực x, y, z thoả mãn điều kiện xy + yz + xz = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (x 4 + 2)(y 4 + 2)(z 4 + 2) Câu 4. Cho tam giác đều ABC, đờng cao AD, trực tâm H. Từ điểm M bất kỳ trên cạnh BC kẻ ME AB, MF AC (E AB, F AC), I là trung điểm của của EF và DI. Chứng minh: a. EF DI tại O b. Ba điểm H, O, M thẳng hàng GV: :Phaùm lửu Nhaõn Tổ: Toán - Lí - Tin . phơng trình 122 2 +=+ + yx yx Câu 2. Hai đội cờ vua của hai trờng A và B thi đấu với nhau. Mỗi đấu thủ của đội này phải thi đấu một trận với mỗi đấu thủ của đội bên kia. Biết rằng tổng số ván. là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng: 22 222 <+++ abccba Đề thi HSG huyện Quỳnh Lu năm 2000- 2001 lớp 9 Thời gian 150 phút Câu 1. a) Tính 347347 ++=A b) So. thực thoả mãn điều kiện x 2 + y 2 x + 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S = 2x + 3y. Đề thi HSG huyện Quỳnh Lu năm 2001 - 2002 lớp 9 Thời gian 150 phút Câu 1. Giải phơng trình a) 52644 2 =+