SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ———————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2008-2009 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. ———————————— Câu 1. (3.0 điểm) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 2 x x y y y z z z x  = −   = −   = −   Câu 2. (3.0 điểm) Cho tam giác ABC và đường tròn ( )O có đường kính EF nằm trên cạnh BC ( E nằm giữa B và F, F nằm giữa E và C) tiếp xúc với hai cạnh , AB AC tại , Q P theo thứ tự đó. Các đường thẳng , EP FQ cắt nhau tại K . Chứng minh rằng .AK BC ⊥ Câu 3. (1.0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương m, n thỏa mãn 4 3 2 9 3 2 2 m m n n n n − = + + + Câu 4. (2.0 điểm) Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn 2abc = . Chứng minh rằng 3 3 3 a b c a b c b c a c a b + + ≥ + + + + + Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Câu 5. (1.0 điểm) Trên bảng hình chữ nhật kích thước m n× (m hàng và n cột), mỗi ô ghi một số không âm sao cho mỗi hàng, mỗi cột có ít nhất một ô chứa số dương. Ngoài ra, nếu ô (i; j) ghi số dương, thì tổng các số trên hàng i và tổng các số trên cột j bằng nhau. Chứng minh rằng m n= —Hết— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ tên thí sinh: ……………………………………… Số báo danh: ………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ———————— HDC THI HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2008-2009 MÔN TOÁN ————— Câu Nội dung Điểm I. 3.0 điểm Viết lại hệ dưới dạng: 2 2 2 2 2 2 ( 1) 1 (1 ) 1 (1) ( 1) 1 (1 ) 1 (2) ( 1) 1 (1 ) 1 (3) x y x y y z y z z x z x   − = − − = −   − = − ⇔ − = −     − = − − = −   0.75 Từ (1)&(2) suy ra: 4 2 (1 ) (1 ) 1x y z− = − = − 0.75 Suy ra: 8 4 2 (1 ) (1 ) (1 ) 1x y z x− = − = − = − 0.50 8 1 0 (1 ) 1 1 1 x x x x − =  ⇒ − = − ⇒  − =  0.50 1 0 x y z x y z = = =  ⇒  = = =  0.25 Thử lại, kết luận hệ có hai nghiệm: ( ; ; ) (0; 0; 0)x y z = hoặc ( ; ; ) (1; 1; 1)x y z = 0.25 II. 3.0 điểm H K F E B C A O Q P Gọi H là hình chiếu của K trên BC. Xét trường hợp O nằm trên đoạn HF Do 90 o KPF EPF KHF ∠ = ∠ = = ∠ nên tứ giác KHFP nội tiếp. Do đó 1 2 KHP KFP QFP QOP ∠ = ∠ = ∠ = ∠ 0.25 0.5 Do AP,AQ là hai tiếp tuyến của (O) nên 1 2 AOP AOQ QOP KHP ∠ = ∠ = ∠ = ∠ Suy ra 1 90 90 2 o o PAO QOP KHP PHO ∠ = − ∠ = −∠ = ∠ 0.5 0.5 Từ đó, tứ giác AHOP nội tiếp, do đó AH BC⊥ , suy ra K AH ∈ 0.5 Trường hợp O nằm trên đoạn EH chứng minh tương tự. 0.25 Trường hợp H O ≡ thì tam giác ABC cân tại A, và kết quả hiển nhiên đúng 0.5 III 1.0 điểm Phương trình đã cho tương đương với ( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 2 4 3 2 4 3 3 1 4 8 4 8 1 2 3 1 4 8 4 8 1 m m m n n n n n n n n− + = + + + + ⇔ × − = + + + + 0.5 Do ( ) 2 2 3 1 m × − là số chình phương và ( ) ( ) 2 2 2 4 3 2 2 2 2 4 8 4 8 1 2 2 1n n n n n n n n+ < + + + + ≤ + + nên ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 2 2 1 4 ( 1) 0 m n n n n× − = + + ⇔ − = 0.25 2 Suy ra 1n = và do đó 1m = Thử lại và kết luận 0.25 IV 2.0 điểm Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 3 a b c a b c + + ≥ + + và ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 3 a b c a b c a b c+ + ≤ + + + + 0.5 Từ đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 6 (1) 6 a b c a b c a b c b c c a a b a b c a b c b c a c a b + + + + + + + + + + + + + ≥ = + + + + + ≥ 0.5 Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy thì 3 3 3 ( )( )( ) 3 8 6 (2) a b c b c a c a b abc b c c a a b abc abc + + + + + ≥ + + + ≥ = 0.5 Từ (1),(2) suy ra điều phải chứng minh 0.25 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi …. 3 2a b c = = = 0.25 V 1.0 điểm Ký hiệu số ghi ở ô (i;j) là i j a và gọi {( ; ) : >0} ij S i j a= . Gọi , i j r c là tổng các số ghi trên hàng i và cột j. Vậy ( ; ) i j r c i j S= ⇔ ∈ Khi đó ta có ( ; ) ( ; ) ij ij i j S i j S i j a a r c ∈ ∈ = ∑ ∑ 0.25 Tính tổng từng vế: ( ; ) 1 1 1 m m ij ij i j S j i i j a VT a m r r ∈ = = = = = ∑ ∑ ∑ 0.25 ( ; ) 1 1 1 n n ij ij i j S i j i i a VP a n c c ∈ = = = = = ∑ ∑ ∑ 0.25 Suy ra m = n 0.25 V (Cách2) + Nếu trên mỗi hàng, mỗi cột có tổng các số dương đều bằng s thì ms = ns ⇒ m = n 0.25 + Nếu m = 1 thì trên mỗi cột có đúng một số dương và tổng các số dương trên mỗi cột này bằng s = ns (bằng tổng các số dương trên hàng). Do đó n = 1 0.25 + Trong trường hợp tổng quát, gọi r < m là số hàng có tổng bằng s, còn trên các hàng khác có tổng khác. Do mỗi cột, mà có giao với r hàng đó tại ô dương có tổng bằng s, nên giả sử có c cột có tổng bằng s. Thực hiện việc đánh số lại các hàng, cột sao cho r hàng đầu và c cột đầu có tổng bằng s (không làm thay đổi bản chất của bảng). Khi đó, những ô của r hàng đầu, không nằm trong c cột đầu và những ô của c cột đầu không nằm trong r hàng đầu phải chứa số 0. Vậy bảng con r c× (gồm giao của r hàng đầu và c cột đầu thỏa mãn). Suy ra r = c. Nhưng, phần còn lại của bảng, sau khi bỏ đi r hàng đầu và c cột đầu (kích thước ( ) ( )m r n c− × − cũng thỏa mãn. Do đó, bằng quy nạp, được m = n. 0.5 Hết 3 . n= —Hết— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ tên thí sinh: ……………………………………… Số báo danh: ………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ———————— HDC THI HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 200 8-2009 MÔN TOÁN ————— Câu. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ———————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 200 8-2009 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian. với r hàng đó tại ô dương có tổng bằng s, nên giả sử có c cột có tổng bằng s. Thực hiện việc đánh số lại các hàng, cột sao cho r hàng đầu và c cột đầu có tổng bằng s (không làm thay đổi bản