Thầy Dơng Thế Khiển Tuyển chọn Chủ đề biến đổi các biểu thức đại số. I Các dạng bài tập cơ bản. 1/ Tính giá trị của biểu thức (Rút gọn biểu thức số ) 2/ Rút gọn biểu thức chứa biến. Sử dụng kết quả rút gọn để : - Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến; - Giải phơng trình, bất phơng trình ( so sánh biểu thức với một số ). - Tính giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của một biểu thức - Tìm giá trị nguyên của biểu thức ứng với các giá trị nguyên của biến Bài tập rút gọn biểu thức chứa biến. Biểu thức không chứa dấu ngoặc + Biểu thức có cả bốn phép tính thì thực hiện nhân chia trớc cộng trừ sau. + Nếu biểu thức chỉ có các phép toán nhân chia hoặc cộng trừ thì thực hiện từ trái sang phải Phơng pháp giải: B ớc 1: Tìm ĐKXĐ của bài toán hoặc nhắc lại ĐKXĐ đã cho. B ớc 2: Rút gọn các phân thức trớc khi thực hiện phép tính. Chú ý: Nếu phải đổi dấu phân thức để tìm MTC nếu cần thiết. Biểu thức có chứa dấu ngoặc. -Thực hiện theo thứ tự các phép tính có ngoặc: ( ) [ ] { } . -Ta thờng gặp các dạng bài cho biểu thức P = ( ) ( ) ( ) ( ) f x : q x . Tìm cách đa bài toán về dạng không có ngoặc bằng cáh đặt P = A: B. Trong đó A = ( ) f x ; B = ( ) q x . -Sau đó thực hiện phép tính A và tính B Thay vào biểu thức P. +Biểu thức có dạng P = M P N M P N+ . Ta biến đổi biểu thức dới dấu căn về dạng ( ) 2 a b = a b +Rồi vận dụng quy tắc dấu GTTĐ để giải toán. Sử dụng các kết quả rút gọn để giải các dạng bài tập cơ bản. Dạng1: Tính giá trị của biểu thức biết giá trị của biến. Phơng pháp giải toán : + Kiểm tra xem giá trị của biến có thoả mãn điều kiện xác định của bài toán không. + Biến đổi đơn giản giá trị của biến nếu thấy cần thiết. + Thay các giá trị của biến vào và thực hiện phép tính về biểu thức số + kết luận. Dạng 2: Giải ph ơng trình bất ph ơng trình (so sánh với một số nào đó). * Giải ph ơng trình: Phơng pháp chung: Nên dùng phơng pháp đổi biến để phơng trình đã cho về các dạng phơng trình đã học. +Dạng phơng trình đa thức: Ví dụ 2x 3 x 5+ = . Đặt x t 0= thay vào ta đợc ph- ơng trình 2 2t 3t 5 0+ = . Rồi giải phơng trình bậc hai chú ý điều kiện. (H?S giỏi có thể phân tích thành phơng trình tích) +Dạng phơng trình phân thức P = 3 x 2 x 2 = + với Đ/K: x 0 ;x 1 Phơng pháp giải toán: Đặt ( ) x t t 0; t 1= . Thay vào ta đợc phơng trình: 3t 2 t 2 = + 3t 2t 4 = + . Giải phơng trình đối chiếu điều kiện rồi thử lại. * Giải bất ph ơng trình: *Dạng đa thức: Ví dụ Tìm x để x + 2 x 3> .Đ/K: x 0; x 1 .Ta dùng phơng pháp đổi biến. Đặt x t voi t 0;t 1= Thay vào ta có BPT: ( ) ( ) 2 t 2t 3 0 t 1 t 3 0 t 1 0 vi t 3 0+ > + > > + > với điều kiện x 0; x 1 . Từ đó giải bất phơng trình t > 1 x 1 x 1 > > . Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận nghiệm của bài toán Dạng bất ph ơng trình phân thức: Ví dụ tìm x để P = ( ) x 1 1 Đ/ K : x 0 2 x 1 < + . 1 Thầy Dơng Thế Khiển Tuyển chọn Phơng pháp giải toán: Ta dùng phơng pháp đổi biến: Đặt ( ) x t t 0= . Thay vào ta có bất phơng trình PT: ( ) t 1 1 t 3 0 0 t 3 x 9 t 1 2 2 t 1 < < < < + + vì t + 1 > 0. Kết hợp với điều kiện bài toán để kết luận nghiệm : 0 x 9 < thoả mãn đề bài. Dạng bài so sánh biểu thức P với biểu thức A. Phơng pháp giải toán: Ta xét hiệu P - A. Nếu: P A 0 thì P A Nếu P - A < 0 thì P < A. Chú ý: dùng ĐKX Đ để giải toán. Dạng 3: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức dẫ rút gọn. Dạng phân thức : Cách 1: Ta đa phân thức về một trong các dạng sau: P = ( ) ( ) 2 k f x q+ (trong đó k; q là hằng số; f(x) là đ thức chứa biến) Ví dụ: Tìm GTNN của P = ( ) x 1 x 2 3 3 1 x 0;x 1 x 2 x 2 x 2 + = = + + + . Do x 3 3 3 1 0 x 2 2 1 2 2 x 2 x 2 + + + . Dấu = xảy ra x = 0. Nếu dùng phơng pháp đổi biến thì bài toán đơn giản hơn. Cách 2: Dùng bất đẳng thức cô si tìm GTLN & GTNN của biểu thức. Ví dụ Tìm GTLN của biểu thức : P = x 2 x 2 2 x 2 x x + + = + + ữ Theo bất đẳng thức cô si: 2 2 x 2 2 x 2 2 2 2 x x + + + + . Vậy Max P = ( ) 2 2 2 + . Dấu đẳng thức xảy ra khi 2 x x 2 x = = . Ví dụ tìm GTNN của biể thức P = 2010 - ( ) 1 x 4 x x 1 + . Giải: P = 2 1 2010 1 3 x 2 4 + ữ . Do x 2 2 1 3 1 3 4 nê n x 4 3 2 4 2 4 + + = ữ ữ . Suy ra 2 1 1 0 3 1 3 x 2 4 + ữ . Vậy P 1 6029 1 3 2010 x x 4 3 3 2 2 = = = . Ví dụ tìm GTLN: ( ) ( ) 19 3 x 4 7 x 19 3 x 0;x 1 x 4 x 4 x 4 + = = + + + Dạng biểu thức rút gọn có dạng đa thức: Ví dụ 1: Tìm min 372 += xxA (Dựa vào hằng đẳng thức) Giải: ĐK: 0 x Đặt tx = ; ĐK: 1,0 tt 3 16 49 16 49 4 7 22 2 + += ttA 3 16 49 4 7 2 2 + = tA 8 25 4 7 2 4 28 8 49 4 7 2 22 =+ = ttA 2 Thầy Dơng Thế Khiển Tuyển chọn Do 4 7 0 4 7 20 2 = ttt Vậy min A = 8 25 khi 16 49 =x Ví dụ 2: Tìm min xxP = Giải: ĐK: 1,0 xx 4 1 2 1 2 == xxxP Ta có 0 2 1 2 x . Vậy 4 1 0min == xP 2. Dạng toán 4: Tìm x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên Ví dụ 1: 3 1 + = x x P nguyên Giải: ĐK: ( ) 9,4,0 xxx Đặt 0= tx , 16t , 81t 3 4 1 3 43 3 1 += + = + = tt t t t P P nhận giá trị nguyên 3 4 t nguyên 23 3 t t Zt là ớc số 1 của 4 11123 ==== xxtt 42213 ==== xxtt (Loại) 164413 ==== xxtt 255523 ==== xxtt 497743 ==== xxtt Đối chiếu với điều kiện của bài toán => giá trị của x nguyên thoả mãn. Ví dụ 2: 1 2 + = xx x Q nguyên Giải: ĐK: 1 x , x>0 Đặt 1,0 >= tttx Ta có: 1 1 2 1 2 2 + = + = t t tt t Q ZQ 1 1 + t t là ớc của 2 Theo bất đẳng thức cô si ta có: 11 1 2 1 ++ t t t t Vì Q>0 => 0 < Q 2 => 2 1 1 2 + t t Mà { } 2;1= QZQ ; Từ đó giải phơng trình 3 Thầy Dơng Thế Khiển Tuyển chọn Ví dụ 3: x xx Q 333 + = nguyên Giải: ĐK: 1,0 xx Đặt xt = có ( ) t t t tt 3 13 333 2 += + Cần tìm * Nx , 1x sao cho xt = nguyên dơng, khác 1 và biểu thức ( ) t t 3 13 + là một số nguyên. Vì ( ) 13 t nguyên nên để ( ) t t 3 13 + nguyên cần phải có t 3 nguyên. Điều kiện 1, + tZt => t =3. Khi đó x = 9. Vậy với x = 9 ta có biểu thức Q là một số nguyên. III. Các kiến thức cần vận dụng. - Các phép toán về đa thức, phân thức. - Các phép toán về căn thức. - Thứ tự thực hiện các phép tính. (Không có ngoặc, có ngoặc). - Các hằng đẳng thức về căn: Với 0,0 ba 1. ( ) ( ) bababa = . 2. ( ) bababa += 2 2 3. ( ) bbabbaaaba += 33 3 4. 33 babbaa = 5. ( ) ( ) 1.111 3 +== aaaaaa - Dạng toán: NPM => 22 2 baba + trong đó = += abNP baM 2 22 biến đổi căn. - Đa về dạng toán: baba +=+ với 0, ba . - Bất đẳng thức Cô si dạng: abba 2+ Với 0, ba 2 1 + a a Với a > 0 II/ Các bài toán cơ bản . Bài 1: Cho biểu thức P = x 1 1 2 : x 1 x 1 x x x 1 + ữ ữ ữ + . a/ Rút gọn P. b/ Tìm các giá trị của x để P dơng. Bài 2: Cho biểu thức P = ( ) x 4 3 x 2 x : . x 2 x x 2 x. x 2 + ữ + ữ ữ ữ a/ Rút Gọn P b/ Tính giá trị của P, biết x = 6 2 5 . c/ Tìm các số a để có x thoả mãn: ( ) x 1 P x a+ + . Bài 3 : xét biểu thức : P = 1 a a : . a a 1 a a + ữ ữ + + a/ Rút gọn P b/ Tìm a để P = 13 3 . 4 Thầy Dơng Thế Khiển Tuyển chọn Bài 4: Cho biểu thức P = 2 2 2 2 x : 1 . 2 x 4 x + + ữ ữ + a/ Rút gọn P . b/ Tìm GTLN và GTNN của P với 1 x 1 . Giải : a/ P = 2 x . b/ Với 1 x 1 , ta có 2 + 1 2 x 2 1 . Hay 3 2 x 1 vậy 3 P 1 1.Do = đó,GTNH của P = 1, đạt đợc tại x = 1 và GTLN của P, Max P = 3, đạt đợc tại x = -1. Bài 5 : Rút gọn các biểu thức sau : a/ 2 3 1 3 2 2 + c/ 7 4 3 6 2 2 b/ ( ) 3 2 6 6 3 3+ d/ 9 4 5 5 20 + + e/ 1 1 5 3 5 3 + f/ B = 4 2 3 6 2 . Bài 6: Rút gọn biểu thức sau : P = x y 2 xy 1 : x y x y + + , với x > 0 và y > 0 Tính giá trị của biểu thức tai x = 1000 và y = 2000 Bài 7; Cho biểu thức : P = 2 2 2 1 x : 1 1 x 1 x + + ữ ữ + , Với -1 < x < 1. Hãy Rút gọn P. Bài 8 Cho biểu thức ; P = x 2 x x 4 x : . 1 x x 1 x 1 + ữ ữ ữ + + a/ Rút gọn P. b/ Tìm các giá trị của x thoả mãn P < 0. c/ Tìm GTNN P. Bài 9; Xét biểu thức : Q = 4 x 8x x 1 2 : . 4 x 2 x x 2 x x + ữ ữ ữ ữ + a/ Rút gọn Q. b/ Tìm các giá trị của x để Q = -1 Bài 10 : Cho biểu thức :A = 1 x 1 1 x x : . x x x x + ữ ữ ữ + a/ Rút gọn A b/ Tính giá trị của biểu thức A tại x = 9. c/ Tìm các giá trị của x thoả mãn : xA 6 x 3= + . Bài 11: Cho biểu thức P = 1 - x x x x + . a/ Với giá trị nào của x thì P có nghĩa ? Rút gọn P. b/ Giải phơng trình x - 8 + p = 0 Bài 12: Cho biểu thức : Q = 1 5 x 4 2 x x : . x 2 2 x x x x 2 + + ữ ữ ữ ữ a/ Rút gọn Q. b/ Tính giá trị của Q tại x = 3 5 . 2 c/ Tìm m để x thoả mãn : Q = mx x 2mx 1 + . 5 Thầy Dơng Thế Khiển Tuyển chọn Bài 13 : Xét biểu thức P = ( ) ( ) x 3 x 2 x x 1 1 : x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 + + + ữ ữ ữ + + . a/ Rút gọn P. b/ Tìm x để 1 x 1 1 P 8 + . Bài 14 : Cho biểu thức : P = x 3 6 x 4 x 1 x 1 x 1 + + . a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P < 1 2 . Bài 15 : Cho biểu thức : P = x 1 x 2 x 1 x 1 x x 1 x x 1 + + + + + . a/ Rút gọn P. b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 x P + . Bài 16: Cho biểu thức : Q = ( ) 2 2 x 1 x x 2x x x x 1 x x 1 + + + + . a/ Rút gọn Q. b/ Tìm GTNN của Q. c/ Tìm các số nguyên x để 3Q x nhận giá trị nguyên. Bài 17 : Cho A = x 2 x 1 1 x x 1 x x 1 x 1 + + + + + . a/ Rút gọn A b/ Tính x = 4 -2 3 . Bài 18: Cho biểu thức: 3x 9x 3 x 1 x 2 1 . 1 x x 2 x 2 x 1 x + + + ữ + + . a/ Rút gọn p. b/ Tìm x để P = x . Bài 19: Cho biểu thức P = 1 2 x : 1 x 1 x 1 x x x x 1 ữ ữ ữ + + . a/ Rút gọn P b/ Chứng minh rằng P > 0 với mọi x để P có nghĩa. c/ Tìm tất cả giá trị của x để P nhận giá trị nguyên. Bài 20: Cho biểu thức A = 2 x x 3x 3 x 1 1 : 9 x 2 x 3 x 3 x 3 + + + ữ ữ ữ ữ + . a/ Rút gọn A. b/ Tìm x để A < 1 2 . Bài 21 : Cho biểu thức M = 2 3 3 1 a : 1 1 a 1 a + + ữ ữ + . a/ Rút gọn M. b/ Tìm a để M M . Bài 22: Cho biểu thức P = 3 x 3 x 2 x : . x 1 x 1 x x 2 x 2 + + ữ ữ ữ ữ + + a/ Rút gọn P. b/ Tìm x để P = x 1 . Bài 23 : Cho biểu thức P = 1 x x 1 x x x . x . 1 x 1 x + + ữ ữ ữ ữ + 6 Thầy Dơng Thế Khiển Tuyển chọn a/ Rút gọn P. b/ Tìm x để P < 7 - 4 3 . Bài 24 : Cho biểu thức P = 15 x 11 3 x 2 2 x 3 . x 2 x 3 1 x x 3 + + + + a/ Rút gọn P. b/ Chứng minh rằng P 2 3 . c/ Tìm m để x thoả mãn P ( ) x 3 m+ = . Bài 25 : Cho biểu thức P = 2 x x 1 3 11 x 3 x x 3 x 3 + + + + . a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P < 1 Bài 26 : Cho biểu thức A = x 2 x 1 x 1 : 2 x x 1 x x 1 1 x + + + ữ ữ + + . a/ Rút gọn A b/ Chứng minh rằng 0 < A 2 . Bài 27: Cho biểu thức A = x x 26 x 19 2 x x 3 x 2 x 3 x 1 x 3 + + + + . a/ Rút gọn A b/ Tìm GTNN của A. Bài 28: Cho biểu thức P = ( ) 3 x x 3 x 3 x 2 x x 2 x 2 1 x + + + + + + . a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P 15 4 . Bài 29 : Cho biểu thức P = 2 x x 1 9 x 6 1 : 3 9x 1 3 x 1 3 x 1 + + + ữ ữ ữ ữ + + a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P 6 5 = . c/ Cho m > 1. Chứng minh rằng luôn có hai giá trị của x thoả mãn : P = m. Bài 30 : Cho biểu thức : P = x 1 6 x 1 x 2 : . 2 x 3 2x x 3 x 1 + + ữ ữ ữ ữ + a/ Rút gọn P. b/ Tính giá trị của P khi x = 3 2 2 4 . c/ So sánh P với 3 2 . Bài 31: Cho biểu thức P = 10 x 2 x 3 x 1 x 3 x 4 x 4 1 x + + + + . a/ Rút gọn P. b/ Chứng minh P > -3 c/ Tìm Max P. Bài 32: Cho biểu thức P = x x 2 2 x : x 1 x x 1 x x x + ữ ữ ữ + . a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P > 2. c/ Tìm min của P Bài 33 : Cho biểu thức : P = 1 2 x x x 1 : x 1 x 1 x x x x 1 x x x x 1 + + ữ ữ ữ ữ + + + + + . a/ Rút gọn P. b/ Tìm x để P = x 2 . 7 Thầy Dơng Thế Khiển Tuyển chọn c/ Tìm GTNN của P d/ Tìm m để có x thoả mãn : ( ) x 1 P m x+ = . Giải d/ ( ) x 1 P m x+ = ( ) x 1 m x x x 1 m 0 1 = + = Ta cần m để phơng trình (1) có nghiệm (với x 0 x 1 ) Đặt ( ) 2 x y 0; y 1 y y 1 m 0 1 .= + = Ta cần tìm m để (1) coa nghiệm y 0 y 1 . 5 5 4m 0 m 4 = + . Mắt khác : 1 2 b y y 1 0 a + = = Phơng trình chắc chắn có nghiệm âm. Nếu y 1 y 2 = c 1 m 0 m 1 a = > < phơng trình có hai nghiệm cùng dấu âm.Khi đó: Nếu 5 m 1 4 < < thì tồn tại x thoả mãn: ( ) x 1 P m x+ = . Nếu 0 thì ( ) 1 có nghiệm 0 . y = 1 là nghiệm của ( ) 2 1 t 1 1 m 0 m 1. + = = Vậy phơng trình của ( ) 1 có nghiệm y 0; y 1 khi m 1 và m 1 . Vậy với m 1 m 1 thì tồn tại x để ( ) x 1 P m x+ = . Bài 34: Cho biểu thức A = x 2 x 3 x 2 x : 2 x 5 x 6 2 x x 3 x 1 + + + ữ ữ ữ ữ + + a/ Rút gọn A. b/ Tìm x để 1 5 . A 2 . c/ Chứng minh rằng A = A ( ) x 2 không thể nhận giá trị nguyên tại tại mọi x. Bài 35: Cho biểu thức: P = ( ) ( ) 2 2 2 1 x 3 x 4 x : x 1 x x x x 1 x 1 x 4 + ữ ữ + + + . a/ Rút gọn P. b/ Tìm x để P = 2 c/ Tìm m để có có x thoả mãn P = m. Bài : 36 : Cho P = ( ) x x 2 2 x : . x 1 x x 1 x x 1 ữ + ữ ữ ữ + a/ Rút gọnP. b/ Tính P với x = 2 2 3 . c/ Tìm GTNN của P . Bài 37 : Cho biểu thức : M = 2 4 4 4 2 2 2 x 1 1 1 x x x x 1 x 1 1 x + ữ ữ + + + . a/ Rút gọn M. b/ Tìm x để M đạt GTNN Bài 38 : M = 2 x 2 2 2 4x 3x x 1 3 : 3x x 1 x 1 3x + + + ữ + + . a/ Rút gọn M 8 Thầy Dơng Thế Khiển Tuyển chọn b/ Với giá trị nào của x thì M < 0 c/ Tìm x để M có số trị nguyên. Bài 39 : Rút gọn biểu thức : A = ( ) ( ) x 16 x 3 2 x 2 3 x voi x 0;x 4 x 4 2 x x 2 + + + Bài 40:Cho biểu thức R = x 2 x 3 3x 4 x 5 . x 1 5 x x 4 x 5 + + + + a/ Rút gọn R. b/ Tìm số thực x để R > -2 c/ Tìm số tự nhiên x là số chính phơng sao cho R là số nguyên Bài 41 : Cho biểu thức P = 2 x 2 x 2 1 x . x 1 x 2 x 1 2 + ữ ữ ữ + + . a/ Rút gọn P. b/ Tìm x để P > 0 c/ Tìm giá trị lớn nhất của P. 9 . Thế Khiển Tuyển chọn Chủ đề biến đổi các biểu thức đại số. I Các dạng bài tập cơ bản. 1/ Tính giá trị của biểu thức (Rút gọn biểu thức số ) 2/ Rút gọn biểu thức chứa biến. Sử dụng kết quả rút gọn. một biểu thức - Tìm giá trị nguyên của biểu thức ứng với các giá trị nguyên của biến Bài tập rút gọn biểu thức chứa biến. Biểu thức không chứa dấu ngoặc + Biểu thức có cả bốn phép tính thì thực. . Ta biến đổi biểu thức dới dấu căn về dạng ( ) 2 a b = a b +Rồi vận dụng quy tắc dấu GTTĐ để giải toán. Sử dụng các kết quả rút gọn để giải các dạng bài tập cơ bản. Dạng1: Tính giá trị của biểu