PHòNG GD lệ thuỷ đề kiểm tra môn toán lớp 7 Học sinh giỏi năm học 2003 2004 (Thời gian làm bài 120 phút) 1. (5,0 đ) a) (1,0 đ) Tìm các số sau: -Bình phơng của nó bằng chính nó. -Lập phơng của nó bằng chính nó. b) (1,0 đ) Tìm giá trị của đa thức sau 3 5 99 x x x x+ + + +K tại x = -1. c) (1,5 đ) Tìm x Ô biết 2 2 5 x x+ = . d) (1,5 đ) Tìm x, y, z biết x + 2y + 3z = 154 và 2 3 x y = ; 4 5 y z = . 2. (2,0 đ) Cho tam giác ABC, I là điểm trong tam giác. Chứng minh rằng: ã ã ã ã BIC ABI ACI BAC= + + . 3. (1,5 đ) Cho hình vẽ bên biết à à à 0 360A B C+ + = . Chứng minh rằng Ax // Cy 4. (1,5 đ) Tìm tất cả các số hữu tỉ x, y, sao cho hai số x + y và 1 1 x y + đều là số nguyên. y x b c a PHòNG GD lệ thuỷ hớng dẫn chấm môn toán lớp 7 Học sinh giỏi năm học 2003 2004 Câu Nội dung Điểm 1.(5,0 đ) a) Các số bình phơng của nó bằng chính nó là 0; 1 Các số lập phơng của nó bằng chính nó là -1; 0; 1 b)Thay x = -1 vào biểu thức ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 99 3 5 99 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 50 x x x x+ + + + = + + + + = + + + + = = K 1 4 4 2 4 43 50 số hạng c)Xét 2 2 0 5 5 x x+ T có 2 2 2 5 5 x x x+ = = . Vì 2 2 5 5 > nên 2 5 x = . Xét 2 2 0 5 5 x x+ < < T có 2 2 2 5 15 x x x = = . Vì 2 2 15 5 > nên không có giá trị của x thoả mãn điều kiện bài toán. d)Từ 2 3 2.4 3.4 8 12 x y x y x y = = = Và từ 4 5 3.4 3.5 12 15 y z y z y z = = = Do đó 8 12 15 x y z = = Suy ra 2 3 2 3 154 2 8 24 45 8 24 475 77 x y z x y z+ + = = = = = + + Vậy x = 8.2 =16; y = 12.2 = 24; z = 15.2 =30. 0,5 0,5 0,5 0,5 0,75 0,75 0,5 0,75 0,25 2. (2,0 đ) Ghi GT, KL, hình vẽ đúng: 2 2 1 1 1 2 d b i a 0,5 Nối AI kéo dài cắt BC tại D. Ta có: ã à à 1 1 BID A B= + , ã ả à 2 1 CID A C= + suy ra ã ã à à ả à 1 1 2 1 BID CID A B A C+ = + + + hay ã ã ã ã BIC ABI ACI BAC= + + 0,5 1,0 3. (1,5 đ) 2 2 1 y ' z x y b c a BZ // Cy và tia cy. Ta có: à ả à 0 1 2 180B C C= = (so le trong). ả à à à à ( ) à à 0 0 2 1 180 180B B B B C B C= = = + . à ả à à à 0 0 0 0 2 180 360 180 180A B A B C+ = + + = = Mà à A và ả 2 B là hai góc trong cùng phía, vậy Ax // Bz mà Bz // Cy (theo cách vẽ) nên Ax // Cy. 0,5 0,25 0,25 0,5 4. (1,5 đ) Do x, y Ô ; x, y 0 nên đặt a x b = ; c y d = trong đó a, b, c, d  ; a,c 0; b, d > 0; (a, b) = (c, d) =1. a c ad bc x y ad bc bd b d bd + + = + = + M (1) ad bc b d b b d ad bc d b d + = + M M M M (do (a, b) = (c, d) =1) Lại có 1 1 b d bc ad bc ad ac x y a c ac + + = + = + M bc ad a bc a c a a c bc ad c ad c a c + = + M M M M M M (2). Từ (1) và (2) suy ra a c b d = hay x = y. Nếu x = -y thì x + y = 0; 1 1 0 x y + = . Nếu x = y a b = khi đó: 2 2 1; 2 a x y b b b + = =  M 1 1 2 2 1; 2 b a a x y a + = =  M Suy ra 1 1; 2; 2 a x y b = = = . 0,75 0,75 Các cặp (x; y) cần tìm là (1; 1); (-1; -1); (2; 2); (-2; -2); 1 1 1 1 ; ; ; 2 2 2 2 ữ ữ . *L u ý: +HS làm cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa. +Điểm số toàn bài làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất. . PHòNG GD lệ thuỷ đề kiểm tra môn toán lớp 7 Học sinh giỏi năm học 2003 2004 (Thời gian làm bài 120 phút) 1. (5,0 đ) a) (1,0 đ) Tìm các. hữu tỉ x, y, sao cho hai số x + y và 1 1 x y + đều là số nguyên. y x b c a PHòNG GD lệ thuỷ hớng dẫn chấm môn toán lớp 7 Học sinh giỏi năm học 2003 2004 Câu Nội dung Điểm 1.(5,0 đ) a) Các. điều kiện bài toán. d)Từ 2 3 2.4 3.4 8 12 x y x y x y = = = Và từ 4 5 3.4 3.5 12 15 y z y z y z = = = Do đó 8 12 15 x y z = = Suy ra 2 3 2 3 154 2 8 24 45 8 24 475 77 x y z x y z+