SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN TOÁN LỚP 12 ( HỆ THPT) Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề) (Đề gồm 01 trang) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I. (3,0 điểm) Cho hàm số 3 2 y x 3x 1 = − + − có đồ thị (C) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). b. Dùng đồ thị (C), xác định k để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt 3 2 x 3x k 0 − + = . Câu II. (3,0 điểm) 1. Giải bất phương trình: 3)1(log)3(log 22 <−+− xx 2. Tính tích phân: I = ( ) ∫ − 2 0 cossin1 π xdxx 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 4 xxy −+= Câu III. (1,0 điểm) Một hình nón có đỉnh S , khoảng cách từ tâm O của đáy đến dây cung AB của đáy bằng a , góc SAO = 30 0 và góc SAB = 60 0 . Tính diện tích xung quanh của hình nón. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn làm bài một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2) 1. Theo chương trình Chuẩn: Câu IVa. (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1 ; 3 ; 2) và A, B, C lần lượt là hình chiếu của M trên các trục tọa độ. 1. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). 2. Viết phương trình của mặt cầu tâm I( 2; 3; 3), tiếp xúc với mặt phẳng (ABC). Câu Va. (1,0 điểm) Cho số phức 1 i z 1 i − = + . Tính giá trị của 2010 z 2. Theo chương trình Nâng cao Câu IVb. (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz . Cho điểm A(2; 0; 1), mặt phẳng ( P ): 2x – y + z + 1 = 0 và đường thẳng d: 1 2 2 x t y t z t = +   =   = +  1. Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ qua A, vuông góc và cắt đường thẳng d. Câu Vb. (1,0 điểm) Viết dạng lượng giác của số phức: z = – 1 – 3 i. Hết Đề chính thức ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM( đề chính thức) Câu Đáp án(với cách giải khác tùy các bước cho điểm phù hợp) Điểm I (3,0 điểm) 1.(2,0 điểm) Hàm số 3 2 y x 3x 1 = − + − có đồ thị (C) • Tập xác định : D = R 0,25 • y’ = – 3x 2 + 6x. y’ = 0    = = ⇔ 2 0 x x 0,25 • Giới hạn: +∞=−+− −∞→ )13(lim 23 xx x ; −∞=−+− +∞→ )13(lim 23 xx x 0,25 • Bảng biến thiên: 0,50 • Điểm đặc biệt ( Lấy thêm 2 điểm) x – 1 0 1 2 3 y 3 – 1 0 3 – 1 0,25 • Đồ thị (C) nhận điểm I(1 ; 1) (điểm uốn) là tâm đối xứng. 0,50 2.(1,0 điểm) k ? 3 2 x 3x k 0 − + = (1) có 3 nghiệm phân biệt Biến đổi (1) về dạng: – x 3 + 3x 2 – 1 = k – 1 Đây là pt hoành độ điểm chung của (C) và đường thẳng (d): y k 1= − 0,25 Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của đồ thị ( C) và đường thẳng d: y = k – 1 ( d cùng phương với trục Ox) 0,25 Phương trình (1) có ba nghiệm 1 k 1 3 0 k 4⇔ − < − < ⇔ < < 0,50 II (3,0 điểm) 1. (1,0 điểm) Giải bất phương trình: 3)1(log)3(log 22 <−+− xx Điều kiện 3 01 03 >⇔    >− >− x x x 0,25 Biến đổi phương trình về dạng: (x – 3)(x – 1) < 2 3 ⇔ x 2 – 4x – 5 < 0 0,50 x −∞ 0 2 +∞ y ′ − 0 + 0 − y +∞ CT 3 1− C Đ −∞ ⇔ – 1 < x < 5 Kết luận nghiệm của bất phương trình: 3 < x < 5 0,25 2. (1,0 điểm) Tính tích phân: I = ( ) ∫ − 2 0 cossin1 π xdxx Đặt t = 1 – sinx ⇒ dt = – cosx dx Đổi cận x 0 2 π t 1 0 0,25 Đưa về I = ∫         = 1 0 1 0 2 2 t tdt 0,50 Kết luận I = 2 1 0,25 3. (1,0 điểm) Tìm GTNN và GTLN của hàm số 2 4 xxy −+= Ta có TXĐ: D = [ – 2; 2 ]. 0,25 2 2 2 4 4 4 1' x xx x x y − −− = − − += ( ) 2;2−∈∀x 0,25 Do đó: y’ = 0 2 4 0 4 22 2 =⇔    =− ≥ ⇔=−⇔ x xx x xx Nên: y(– 2) = – 2 ; y (2) = 2; ( ) 222 =y 0,25 Kết luận: Max y = ( ) 222 y= ; min y = – 2 = y(– 2) 0,25 III (1,0 điểm) Gọi M là trung điểm của AB thì OM ⊥ AB và OM = a và SM ⊥ AB 0,25 ∆ SAB cân có góc SAB = 60 0 nên đều . Suy ra AM = 22 SAAB = Xét tam giác vuông SOA: SAO = 30 0 . Do đó OA = SA.cos 30 0 = 2 3SA 0,25 Tam giác OAM vuông tại M nên: OA 2 = OM 2 + MA 2 0,25 2 44 3 2 2 2 aSA SA a SA =⇔+=⇔ Vậy diện tích xung quanh của hình nón Sxq = 32 2 6 . 2 aa a SAOA πππ == 0,25 IV.a (2,0 điểm) 1. (1,0 điểm) Phương trình mặt phẳng (ABC). Hình chiếu của M trên các trục tọa độ là: A( 1; 0 ; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 2) 0,50 Phương trình mặt phẳng (ABC) : 1 231 =++ zyx hay 6x + 2y + 3z – 6 = 0 0,50 2. (1,0 điểm) Mặt cầu tâm I( 2; 3; 3), tiếp xúc với mặt phẳng (ABC). Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm I. tiếp xúc với mặt phẳng (ABC). Ta có: R = ( ) 3 326 63.33.22.6 222 )(, = ++ −++ = ABCI d 0,50 Do đó, mặt cầu có phương trình là: ( ) ( ) ( ) 9332 222 =−+−+− zyx 0,50 V.a (1,0 điểm) Số phức ( ) i i i i z −= − = + − = 2 1 1 1 2 0,50 Do đó ( ) ( ) 1. 2 502 42010 2010 2010 −===−= iiiiz 0,50 IV.b (2,0 điểm) 1. (1,0 điểm) Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A( 2; 0; 1), tiếp xúc với mặt phẳng (P) Thì R = ( ) 6 112 11.102.2 222 )(, = ++ ++− = PA d 0,50 Vậy phương trình của mặt cầu: ( ) ( ) 612 2 2 2 =−++− zyx 0,50 2. (1,0 điểm) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d thì H( 1 + t; 2t; 2 + t). 0,25 Khi đó ( ) tttAH ++−= 1;2;1 0,25 Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương ( ) 1;2;1a 00. =⇔=⇔⊥ tAHadAH Nên H( 1; 0; 2), ( ) 1;0;1−=AH 0,25 Do đó, phương trình đường thẳng ∆ cần tìm: 2 0 1 x t y z t = −   =   = +  0,25 V.b (1,0 Ta có         −−= iz 2 3 2 1 2 0,50 =       + 3 4 sin 3 4 cos2 ππ í 0,50 HEÁT . HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN TOÁN LỚP 12 ( HỆ THPT) Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề) (Đề gồm 01 trang) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I. (3,0. xung quanh của hình nón. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn làm bài một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2) 1. Theo chương trình Chuẩn: Câu IVa. (2,0 điểm) Trong không gian với hệ. i − = + . Tính giá trị của 2010 z 2. Theo chương trình Nâng cao Câu IVb. (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz . Cho điểm A(2; 0; 1), mặt phẳng ( P ): 2x – y + z + 1 = 0 và đường thẳng d: 1 2 2 x