HƯỚNG DẪN GIẢI PHÉP TOÁN TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP TRONG CÁC ĐỀ THI Loại 1: Loại Chứa Căn Thức Dùng Biến Đổi Tương Đương Bài 1: Tìm họ nguên hàm của hàm số: ( ) 1 f x tan x . 2x 1 2x 1 = + + + − ( ) 1 F x tan x dx. 2x 1 2x 1   = +  ÷ + + −   ∫ Xét: ( ) 1 2x 1 2x 1 f x tanx tanx 2 2x 1 2x 1 + − − = + = + + + − Nên: ( ) 1 1 F x tanxdx 2x 1dx 2x 1dx 2 2 = + + − − ∫ ∫ ∫ d(cos x) 1 1 dx 2x 1d(2x 1) 2x 1d(2x 1) cos x 4 4 = − + + + − − − ∫ ∫ ∫ Vậy: ( ) 1 F x ln cos x (2x 1) 2x 1 (2x 1) 2x 1 C 6   = − + + + − − − +   Bài 2: Tính tích phân: 3 1 dx I x 1 x 1 = + + − ∫ . Ta có: 3 3 3 3 1 1 1 1 dx x 1 x 1 x 1 x 1 I dx dx dx 2 2 2 x 1 x 1 + − − + − = = = − + + − ∫ ∫ ∫ ∫ 3 3 3 3 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 x 1d(x 1) x 1d(x 1) (x 1) (x 1) 2 2 3 3 = + + − − − = + − − ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 1 1 4 8 2 2 2 2 0 2 2 . 3 3 3 = − − − = − Bài 3: Tính tích phân: 1 0 dx I x 3 x 1 = + + + ∫ . Ta có: 1 1 0 0 dx x 3 x 1 I 2 x 3 x 1 + − + = = + + + ∫ ∫ dx 1 1 3 3 3 3 2 2 1 1 0 0 1 1 1 1 2 2 x 3 d(x 3) x 1d(x 1) (x 3) (x 1) 3 3 . 2 2 3 3 3 = + + − + + = + − + = − − ∫ ∫ ∫ Bài 4: Tính tích phân: 1 0 dx I 1 x x = + + ∫ . Hồn tồn tương tự ta có: ( ) 4 I 2 1 . 3 = − Bài 5: Tính tích phân: e 1 2 ln x I dx 2x + = ∫ . Ta có: e e e 3 2 1 1 1 2 ln x 1 1 2 1 I dx 2 ln x d(2 ln x) . (2 ln x) (3 3 2 2). 2x 2 2 3 3 + = = + + = + = − ∫ ∫ Bài 6: Tính tích phân: 0 1 dx I . x 4 x 2 − = + + + ∫ Làm tương tự như bài 1 ta có: ( ) 1 I 9 2 2 3 3 . 3 = − − - 1 - Baứi 7: Tỡm hoù ngueõn haứm cuỷa: 2 dx I x x 1 = . Ta cú: 2 2 dx dx I 1 5 x x 1 (x ) 2 4 = = t: 1 t x dt dx 2 = = Khi ú: 2 2 dx dt I 1 5 5 (x ) t 2 4 4 = = . Ta li t tip: 2 2 2 2 2 5 t t 5 t udt 4 u t t du 1 dt dt 4 5 5 5 t t t 4 4 4 + = + = + = = Nờn: 2 dt du u 5 t 4 = Vy: 2 2 du 5 1 I ln u C ln t t C ln x x x 1 C. u 4 2 = = + = + + = + + + Baứi 8: Tớnh tớch phaõn: e 1 1 ln x I dx x + = . Ta cú: ( ) e e e 3 2 1 1 1 1 ln x 2 2 I dx 1 ln x d(1 ln x) (1 ln x) 2 2 1 . x 3 3 + = = + + = + = Baứi 9: Tớnh tớch phaõn: 1 3 2 0 I x 1 x dx.= + Ta cú: 1 1 1 3 2 3 2 2 2 2 0 0 0 I x 1 x dx (x x x) 1 x dx x(x 1) 1 x x 1 x dx = + = + + = + + + 1 1 3 3 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 1 1 3 5 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 x(x 1) x 1 x dx x(x 1) x 1 x dx 1 1 1 2 1 2 2 x(x 1) d(x 1) 1 x d(1 x ) . (x 1) . (x 1) ( 2 1). 2 2 2 5 2 3 5 = + + = + + = + + + + = + + = Baứi 10: Tớnh tớch phaõn: 2 2 3 0 I x 1 x dx.= + Ta cú: ( ) 2 2 2 3 2 3 3 3 3 3 2 0 0 0 1 1 2 2 52 I x 1 x dx 1 x d(1 x ) . (1 x ) 9 1 . 3 3 3 9 9 = + = + + = + = = Baứi 11: Tớnh tớch phaõn: 1 3 2 0 I x 1 x dx.= + t: 2 dt t 1 x dt 2xdx xdx 2 = + = = i cn: x 0 t 1 x 1 t 2 = = = = ( ) ( ) 2 1 . 15 2 5 3 3 1 2 2 2 2 1 1 1 t t 2 2 2 I t 1 t dt t t dt ( ) 5 3 2 2 2 1 1 2 2 1 ữ ữ ữ ữ = = = = - 2 - Loại 2: Dùng Kỹ Thuật Phân Tích (Đổi biến cơ bản) Bài 1: Tìm họ nguên hàm của hàm số: ( ) 10 x f x . x 1 = + Đặt: = + ⇔ = + ⇒ = 10 9 10 t 1 x t 1 x dx 10x dt Khi đó: ( ) 10 9 19 9 18 8 10 x (t 1).10t t t F x dx dt 10 (t t )dt 10 C t 19 9 x 1   − = = = − = − +  ÷ +   ∫ ∫ ∫ Vậy: ( ) ( ) ( ) = + − + + 19 9 10 10 10 10 F x 1 x 1 x C. 19 9 Bài 2: Tìm họ nguên hàm của hàm số: 3 3 2 f (x) x . 1 x= + Đặt: ( ) 2 3 2 3 2 3 2 2 x t 1 t 1 x t 1 x 3t dt 2xdx 3t dt xdx 2  = −  = + ⇔ = + ⇒  = ⇒ =   Khi đó: ( ) ( ) 7 4 3 3 2 3 3 6 3 3 3 3 t t F(x) x . 1 x dx t 1 t dt t t dt C. 2 2 2 7 4   = + = − = − = − +  ÷   ∫ ∫ ∫ Vậy: = + − + + 7 4 3 3 3 3 F(x) (1 x) (1 x) C. 14 8 Bài 3: Tính tích phân: 7 3 3 2 0 x I dx 1 x = + ∫ . Đặt: ( ) 2 3 2 2 3 3 t 1 x t 1 x xdx t .dx 2 = + ⇔ = + ⇒ = Đổi cận: =  =  ⇒   = =   x 0 t 1 t 2 x 7 Vậy: ( ) 2 3 2 2 2 5 2 4 1 1 1 t 1 t 3 3 3 t t 141 I dt (t t)dt 2 t 2 2 5 2 20 −   = = − = − =  ÷   ∫ ∫ Bài 4: Tính tích phân: 1 4 0 I x . 1 x dx.= − ∫ Đặt: 2 2 x 1 t t 1 x t 1 x dx 2tdt  = − = − ⇔ = − ⇒  = −  Đổi cận: = =   ⇒   = =   x 1 t 0 x 0 t 1 Vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 4 4 2 2 2 2 4 6 8 2 1 0 0 I 1 t t 2tdt 2 1 t t dt 2 1 4t 6t 4t t t dt= − − = − = − + − + ∫ ∫ ∫ ( ) 1 1 3 5 7 9 11 2 4 6 8 10 0 0 t t t t t 256 2 t 4t 6t 4t t dt 2 4 6 4 3 5 7 9 11 3465   = − + − + = − + − + =  ÷   ∫ Bài 5: Tính tích phân: 1 0 dx I . 1 x = + ∫ 2 t x 2tdt dxĐặt: t = x ⇔ = ⇒ = Đổi cận: = =   ⇒   = =   x 1 t 1 x 0 t 0 ( ) + − = = = − = − + = − + + + ∫ ∫ ∫ 1 1 1 1 0 0 0 0 2t 2(t 1) 2 t Vây : I dt dt (2 )dt 2x 2ln1 t 2 2lnx. 1 t 1 t 1 t Bài 6: Tính tích phân: 3 5 2 0 I x . 1 x dx.= + ∫ - 3 - 2 2 2 2 2 x 1 t t 1 x t 1 x 2xdx 2tdt hay xdx tdt  = − = − ⇔ = − ⇒  = − = −  Đổi cận:  =  = ⇒   = =   t 2 x 3 t 1 x 0 ( ) ( ) 2 2 2 7 5 3 2 2 4 2 1 1 1 t t t 848 1 t dt 2t t dt 2 7 5 3 105 2 6 Vaäy: I= t t   − = − + = − + =  ÷   ∫ ∫ Baøi 7: Tính tích phaân: 1 2 2 0 I x 1 x dx.= − ∫ Đặt: x sin t ; (0 t ) dx cos tdt 2 π = ≤ ≤ ⇒ = Đổi cận: x 1 t 2 x 0 t 0 π  = =   ⇒   =  =  Vậy: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 I sin t. 1 sin t.cos tdt sin t. cos t .cos tdt sin t.cos tdt do cos t 0 π π π = − = = > ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 cos 4t 1 1 sin 2tdt dt 1 sin 4t 4 4 2 8 4 16 π π π − π   = = = − =  ÷   ∫ ∫ . Baøi 8: Tính tích phaân: 2 2 2 0 I x 4 x dx.= − ∫ . Đặt: 2 dx 2cos tdt x 2sin t ; (0 t ) 4 x 2 cos t 2cos t do 0 t 2 2 =  π  = ≤ ≤ ⇒ π    − = = ≤ ≤  ÷     Đổi cận: x 2 t 2 x 0 t 0 π  = =   ⇒   =  =  Vậy: 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 I 4sin t.2cos t.2cos tdt 16 sin t.cos tdt 4 sin 2tdt π π π = = = ∫ ∫ ∫ ( ) 2 2 0 0 1 2 1 cos4t d t 2 t sin 4t 4 π π   = − = − = π  ÷   ∫ Baøi 9: Tính tích phaân: 1 0 I x 1 x dx.= − ∫ . Đặt: 2 2 x 1 t t 1 x t 1 x dx 2tdt  = − = − ⇔ = − ⇒  = −  Đổi cận: = =   ⇒   = =   x 1 t 0 x 0 t 1 Vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 2 2 2 2 4 1 0 0 I 1 t 2tdt 2 1 t t dt 2 t t dt= − − = − = + ∫ ∫ ∫ 1 3 5 0 t t 4 2 3 5 15   = − =  ÷   Baøi 10: Tính tích phaân: 2 2 2 2 0 x I dx. 1 x = − ∫ . Đặt: x sin t ; (0 t ) dx cos tdt 2 π = ≤ ≤ ⇒ = - 4 - Đổi cận: 2 t x 4 2 t 0 x 0  π  = =   ⇒   = =    Vậy: ( ) 2 2 4 4 0 0 sin t sin t I .cos tdt .cos tdt do cos t 0 cos t cos t π π = = > ∫ ∫ 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 cos4t 1 1 sin 2t.dt .dt 1 sin4t 4 4 2 8 4 16 π π π − π   = = = − =  ÷   ∫ ∫ . Baøi 11: Tính tích phaân: 7 2 dx I x 2 1 = + + ∫ . Ta có: 7 7 7 2 2 2 dx x 2 1 x 2 1 I dx dx x 1 x 2 1 ( x 2 1)( x 2 1) + − + − = = = + + + + + + − ∫ ∫ ∫ 7 7 7 7 7 2 2 2 2 2 x 2 dx x 2 x 2 8 dx dx ln x 1 dx ln x 1 x 1 x 1 x 1 3 + + + = − = − + = − + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ Đặt: 2 2 x t 2 t x 2 t x 2 dx 2tdt  = − = + ⇔ = + ⇒  =  Đổi cận: x 7 t 3 x 2 t 2 = =   ⇒   = =   Vậy: I= 3 7 3 3 2 2 2 2 2 2 2 x 2 8 t 8 1 8 1 t 1 8 .dx ln 2 .dt ln 2 (1 ).dt ln 2 t ln ln x 1 3 3 3 2 t 1 3 t 1 t 1 +  −  − = − = + − = + −  ÷ + + − −   ∫ ∫ ∫ 2 4ln 2 2ln3.= − + Baøi 12: Tính tích phaân: 2 2 2 2 x 1 I dx. x. x 1 − − + = + ∫ Đặt: 2 2 2 2 2 2 2 x t 1 t x 1 t x 1 dx t.dt t.dt 2x.dx 2t.dt x x t 1  = −  = + ⇔ = + ⇒  = ⇔ = =   − Đổi cận: t 3 x 2 x 2 t 5   = = − ⇒   = − =    Vậy: ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 5 5 5 2 3 3 5 t 1 1 t 1 1 I .dt (1 ).dt t ln 3 5 ln 2 t 1 2 2 t 1 t 1 − +   − = = + = + = − +  ÷ + − −   ∫ ∫ . Baøi 13: Tính tích phaân: 7 3 3 0 x 1 I dx 3x 1 + = + ∫ Đặt: 3 2 3 t 3x 1 t 3x 1 t .dt dx= + ⇔ = + ⇒ = Đổi cận: 7 t 2 x 3 t 1 x 0  = =   ⇒   =  =  Vậy: 2 2 2 3 5 2 2 4 1 1 1 1 t 1 1 1 t t 46 I .t .dt (t t)dt 3 t 3 3 5 2 15   − = = − = − =  ÷   ∫ ∫ . Baøi 14: Tính tích phaân: 1 2 1 dx I 1 x 1 x − = + + + ∫ . - 5 - Đặt: ( ) 2 2 2 2 2 2 t 1 x 2t t x 1 x t x 1 x t x 1 x 1 1 dx dt 2 2t  − =   = + + ⇔ − = + ⇔ − = + ⇒     = +  ÷     Đổi cận: 1 1 2 1 1 2  = = +  ⇒   = − = − +    x t x t Vậy 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 t 1 1 dt 1 dt 1 1 1 1 I dt ln 1 t ( )dt 2 t (1 t) 2 (1 t) 2 t (1 t) 2 2 t t(1 t) + + + + + − + − + − + − + − + + = = + = + + − + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 t ln 1 t ln 1 2 2 t 1 t + + − + − +    ÷ = + + − − =  ÷ +   Bài 15: Tính tích phân: 1 3 2 0 I x 1 x dx.= + ∫ Ta có: 1 1 3 2 2 2 0 0 I x 1 x dx x 1 x .xdx.= + = + ∫ ∫ Đặt: 2 2 2 2 2 x t 1 t 1 x t 1 x 2xdx 2tdt xdx tdt  = − = + ⇔ = + ⇒  = ⇔ =  Đổi cận: x 1 t 2 x 0 t 1  =  = ⇒   = =   Vậy: ( ) ( ) 2 2 2 5 3 2 2 4 2 1 1 1 t t 2 I t 1 t dt t t dt ( 2 1). 5 3 15   = − = − = − = +  ÷   ∫ ∫ Bài 16: Tính tích phân: 1 2 1 2 I 1 x dx. − = − ∫ Đặt: x sin t dx cos tdt = ⇒ = Đổi cận: x 1 t 2 1 x t 2 6 π  = =    ⇒   π = −  = −    Vậy: 1 2 2 2 2 1 2 6 6 I 1 x dx cos t .cos tdt cos tdt do : t ; cos t 0 6 2 π π π π − − −  π π    = − = = ∈ − ⇒ >  ÷       ∫ ∫ ∫ 2 2 6 6 1 1 1 3 (1 cos2t)dt t sin 2t 2 2 2 3 8 π π π π − − π   = − = − = +  ÷   ∫ . Bài 17: Tính tích phân: 1 mm m 0 dx I (1 x ). 1 x = + + ∫ với m là số nguyên dương. Đặt: ( ) ( ) ( ) 1 m m m m m m m m 1 m 1 m m 1 m 1 m 1 m 1 m m x t 1 x t 1 t 1 x t 1 x t dt t dt x dx t dt dx x t 1 − − − − − −  = − ⇔ = −   = + ⇔ = + ⇒  = ⇒ = =   −  Đổi cận: m x 1 t 2 x 0 t 1  =  = ⇒   = =   - 6 - Khi đó: ( ) ( ) ( ) m m m m 1 m 1 m 2 2 2 m m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 2 m 1 1 1 m m t t 1 t dt I dt dt t t . t 1 t . t 1 − − − − − + + − = = = − − ∫ ∫ ∫ m m m 1 m m 2 2 2 m m 1 m 1 m 1 1 1 1 m m m 1 2 m m m 1 1 dt dt t dt t 1 1 t 1 t . t 1 t t − − − + +   −  ÷   = = =       − −  ÷  ÷         ∫ ∫ ∫ Ta lại đặt tiếp: m m 1 m 1 1 m.dt du dt u 1 du t t m t + + = − ⇒ = ⇔ = Đổi cận: m 1 u t 2 2 t 1 u 0   = =  ⇒   =  =  Vậy: m 1 m 1 m 2 1 1 1 1 m 1 2 1 m 1 2 2 m 2 m m m m m 1 m 1 o o 0 0 1 1 u 1 1 u 1 t I dt du u du u 1 t m m m 2 m − − − +     −  ÷  ÷   = = = = = =  ÷  ÷   ∫ ∫ ∫ Baøi 18: Tính tích phaân: 1 0 x.dx I 2x 1 = + ∫ . Đặt: 2 2 t 1 x t 2x 1 t 2x 1 2 dx t.dt  − =  = + ⇔ = + ⇒   =  Đổi cận: x 1 t 3 x 0 t 1  =  = ⇒   = =   Vậy: 2 3 3 3 3 2 1 1 1 t 1 1 1 t 1 2 I .tdt (t 1).dt t t 2 2 3 3 −   = = − = − =  ÷   ∫ ∫ Baøi 19: Tính tích phaân: 4 2 7 dx I x. x 9 = + ∫ . Ta coù: 4 4 2 2 2 7 7 dx x.dx I x. x 9 x . x 9 = = + + ∫ ∫ Đặt: 2 2 2 2 2 x t 9 t x 9 t x 9 2x.dx 2t.dt x.dx t.dt  = − = + ⇔ = + ⇒  = ⇔ =  Đổi cận: x 4 t 5 t 4 x 7 =  =  ⇒   = =   Vậy: ( ) ( ) 5 5 5 2 2 4 4 4 t.dt dt 1 t 3 1 7 I ln ln 6 t 3 6 4 t 9 .t t 9 − = = = = + − − ∫ ∫ Baøi 20: Tính tích phaân: 8 3 3 2 1 I f ( )dx x = ∫ bieát ( ) 3 2 x f x x 1 = − . - 7 - Ta coù: 8 8 8 8 3 3 3 3 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 x x x I f ( )dx dx dx dx x 1 x 1 x (1 x ) 1 1 x 1 x − = = = =   − − − −   − ∫ ∫ ∫ ∫ Đặt: Đặt: 2 2 2 2 2 x 1 t t 1 x t 1 x 2xdx 2t.dt xdx t.dt  = − = − ⇔ = − ⇒  − = ⇔ − =  Đổi cận: 8 1 x t 2 2 1 3 t x 3 2   = =    ⇒    = =     Vây: ( ) 1 1 1 3 3 3 2 2 1 1 1 2 2 2 t.dt dt 1 t 1 1 3 ln ln 2 t 1 2 2 t 1 t t 1 − = = = + − − ∫ ∫ . Baøi 21: Tính tích phaân: 2 3 0 x 1 I dx 3x 2 + = + ∫ Đặt: 3 3 3 2 t 2 x t 3x 2 t 3x 2 3 dx t .dx  − =  = + ⇔ = + ⇒   =  Đổi cận: 3 t 2 x 2 x 0 t 2 =  =  ⇒   = =   Vậy: ( ) 3 3 3 2 2 2 3 5 2 3 2 4 2 2 2 t 1 1 1 t t 84 9 4 .t dt t t .dt 3.t 3 3 5 2 30   + − = − = − =  ÷   ∫ ∫ . Baøi 22: Tính tích phaân: 2 0 cos x I dx 7 cos 2x π = + ∫ . Ta coù: 2 2 2 2 2 2 0 0 0 cos xdx cos xdx 1 cos xdx I 7 cos 2x 2 8 2sin x 2 sin x π π π = = = + + + ∫ ∫ ∫ Đặt: t sin x dt cos xdx = ⇒ = Đổi cận: t 1 x 2 t 0 x 0 π  = =   ⇒   =  =  Khi đó: 1 2 2 0 1 dt I 2 2 t = − ∫ Ta lại đặt: 2 2 2 2 du 2cos tdt u sin 2t 0 t 2 2 u 2 2sin t 2 cos t 2cos t =  π    = ≤ ≤ ⇒   ÷ − = − = =     Đổi cận: x 1 t 6 x 0 t 0 π  = =   ⇒   =  =  Vậy: 6 6 6 0 0 0 1 2cos tdt 1 1 I dt .t 2cos t 2 2 2 6 2 π π π π = = = = ∫ ∫ Baøi 23: Tính tích phaân: 1 3 2 0 I x 1 x dx.= − ∫ Đặt: 2 2 2 2 2 x 1 t t 1 x t 1 x dx tdt  = − = − ⇔ = − ⇒  = −  - 8 - Đổi cận: = =   ⇒   = =   x 1 t 0 x 0 t 1 Vậy: ( ) 1 1 1 0 1 3 5 3 2 2 2 2 2 2 4 0 0 1 0 0 t t 2 I x 1 x dx x 1 x .xdx 1 t t dt (t t )dt 3 5 15   = + = + = − − = − = − =  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ Baøi 24: Tính tích phaân: ( ) a 2 2 2 0 I x a x dx ; a 0= − > ∫ Đặt: 2 2 2 2 du a.cost.dt u a.sint 0 t 2 a u 2 2sin t a cost a.cost =  π    = ≤ ≤ ⇒   ÷ − = − = =     Đổi cận: x 1 t 2 x 0 t 0 π  = =   ⇒   =  =  Vậy: 4 4 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 0 0 0 0 a a 1 cos 4t a 1 .a I a sin t.cos tdt sin 2tdt dt t sin 4t 4 4 2 8 4 16 π π π π − π   = = = = − =  ÷   ∫ ∫ ∫ Baøi 25: Tính tích phaân: ln 3 x 0 dx I e 1 = + ∫ . Đặt: x 2 x x x 2 e t 1 t e 1 2tdt 2tdt e .dx 2tdt e t 1  = +  = + ⇒  = ⇔ =  +  Đổi cận: t 2 x lnx x 0 t 2 =  =  ⇒   = =   Vậy: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dt 1 t 1 3 2 2 .dt 2 2. ln ln 2 t 1 3 t 1 t 1 − + = = = + − − ∫ ∫ Baøi 26: Tính tích phaân: 2 2 2 3 dx I x. x 1 = − ∫ Đặt: 2 2 2 2 2 x 1 t t x 1 t x 1 dx tdt  = − = − ⇔ = − ⇒  =  Đổi cận: t 1 x 2 1 2 t x 3 3  =  =   ⇒   = =     Khi đó: ( ) 2 1 2 2 2 2 1 3 3 xdx tdt I t 1 t x . x 1 = = + − ∫ ∫ Ta lại đặt: ( ) 2 t tan u t dt 1 tan u du 2 2 π π   = − < < ⇒ = +  ÷   Đổi cận: t 1 u 4 1 t u 3 6 π  =  =   ⇒   = π  =     Vậy: 2 4 4 4 2 6 6 6 1 tan u I du du u 1 tan u 12 π π π π π π + π = = = = + ∫ ∫ . Baøi 27: Tính tích phaân: 1 15 8 0 I x 1 3x dx.= + ∫ - 9 - Đặt: 2 8 8 2 8 7 7 t 1 x 3 t 1 3x t 1 3x t.dt 24x dx 2t.dt x dx 12  − =   = + ⇔ = + ⇒   = ⇔ =   Đổi cận: x 1 t 2 x 0 t 1 = =   ⇒   = =   Vậy: ( ) 2 2 5 3 4 2 1 1 1 1 t t 29 I t t dt 36 36 5 3 270   = − = − =  ÷   ∫ Baøi 28: Tính tích phaân: ln 2 2x x 0 e I dx. e 1 = + ∫ Đặt: ( ) x 2 x x 2x x 2 e t 1 t e 1 e dx 2tdt e dx e 2tdt t 1 2tdt  = +  = + ⇒  = ⇔ = = −   Đổi cận: x ln2 t 3 x 0 t 2  = =  ⇒   =  =   Vậy: ( ) 3 3 3 2 2 2 t 2 2 I 2 t 1 dt 2 t 3 3   = − = − =  ÷   ∫ Baøi 29: Tính tích phaân: 1 3 2 0 x dx I x x 1 = + + ∫ Ta có: ( ) 1 1 1 1 1 3 3 2 4 3 2 3 2 2 0 0 0 0 0 x dx 1 I x x 1 x dx x dx x x 1dx x x 1dx 5 x x 1 = = + − = − + + = − + − + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Đặt: 2 2 2 2 2 x t 1 t x 1 t x 1 xdx tdt  = − = + ⇔ = + ⇒  =  Đổi cận: x 1 t 2 x 0 t 1  =  = ⇒   = =   Vậy: ( ) ( ) 2 2 2 5 3 2 2 4 2 1 1 1 2 2 1 t t 2 2 2 I t 1 t .dt (t t )dt 5 3 15 15 15 +   = − = − = − = + =  ÷   ∫ ∫ Baøi 30: Tính tích phaân: 2 3 1 dx I x. 1 x = + ∫ Đặt: 3 2 3 2 3 2 x 1 t t 1 x t 1 x 2 x dx tdt 3  + =  = + ⇔ = + ⇒  =   Đổi cận: =  =  ⇒   = =   t 3 x 2 x 1 t 2 Vậy: 3 3 2 2 2 2 dt 2 1 t 1 1 3 2 2 I .dt . ln ln 3 3 2 t 1 3 2 t 1 − − = = = + − ∫ Baøi 31: Tính tích phaân: 1 2 3 0 I (1 x ) dx.= − ∫ Ta có: 1 1 2 3 2 2 0 0 I (1 x ) dx 1 x 1 x dx.= − = − − ∫ ∫ Do: [ ] 2 x 0;1 1 x 0∈ ⇒ − ≥ nên 2 2 1 x 1 x− = − Đặt: 2 2 1 x 1 sin t cos t cos t x sin t ; (0 t ) 2 dx cos tdt  π − = − = =  = ≤ ≤ ⇒  =   - 10 - . HƯỚNG DẪN GIẢI PHÉP TOÁN TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP TRONG CÁC ĐỀ THI Loại 1: Loại Chứa Căn Thức Dùng Biến Đổi Tương Đương Bài 1: Tìm họ nguên hàm của hàm số: ( ) 1 f x tan x . 2x. 3 = + + − + + = + − + = − − ∫ ∫ ∫ Bài 4: Tính tích phân: 1 0 dx I 1 x x = + + ∫ . Hồn tồn tương tự ta có: ( ) 4 I 2 1 . 3 = − Bài 5: Tính tích phân: e 1 2 ln x I dx 2x + = ∫ . Ta có: e e. 1 2 2 1 ữ ữ ữ ữ = = = = - 2 - Loại 2: Dùng Kỹ Thuật Phân Tích (Đổi biến cơ bản) Bài 1: Tìm họ nguên hàm của hàm số: ( ) 10 x f x . x 1 = + Đặt: = + ⇔ = + ⇒ = 10 9 10 t 1 x t 1 x