Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số và ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong việc giải phơng trình, bất phơng trình Phần I: Lý thuyết 1. Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. Khi đó +) M đợc gọi là GTLN của hàm số trên D. KH: )(max xfM Dx = thoả mãn f(x) DxM , Tồn tại Dx 0 sao cho M = f(x 0 ) +) m đợc gọi là GTNN của hàm số trên D. KH: )(min xfM Dx = thoả mãn f(x) Dxm , Tồn tại Dx 0 sao cho M = f(x 0 ) 2. Tính chất : a) Tính chất 1: Giả sử f(x) xác định trên D và A, B là hai tập con của D ( BA ). Giả sử tồn tại )(max xf Ax , )(max xf Bx , )(min xf Ax , )(min xf Bx . Khi đó, ta có )(max xf Ax )(max xf Bx và )(min xf Ax )(min xf Bx CM: Giả sủ )(max xf Ax = f(x 0 ) với x 0 A . Do x 0 A ( ) BABx 0 Theo định nghĩa ta có, )(max)( 0 xfxf Bx hay )(max xf Ax )(max xf Bx b) Tính chất 2: Hàm số f(x) xác định trên D và tồn tại )(max xf Dx và )(min xf Dx Khi đó, ta có: ( ) )(min)(max xfxf Dx Dx = và ( ) )(max)(min xfxf Dx Dx = c) Tính chất 3: Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số xác định trên D và f(x) g(x) với mọi x thuộc D Khi đó, )(max)(max xgxf DxDx d) Tính chất 4: Giả sử f(x) xác định trên D và 21 DDD = . Giả thiết tồn tại )(max xf i Dx và )(min xf i Dx với _ ,1 ni = . Khi đó, = )(max),(maxmax)(max 21 xfxfxf DxDxDx v { } )(min),(minmin)(min 21 xfxfxf DxDxDx = e) Tính chất 5: Cho các hàm số f 1 (x), f 2 (x), , f n (x) cùng xác định trên D. Đặt f(x) = f 1 (x) + f 2 (x) + + f n (x). Giả thiết tồn tại, )(min),(max),(min),(max xfxfxfxf i Dx i Dx Dx Dx với ni ,1= . Khi đó, ta có )(max )(max)(max)(max 21 xfxfxfxf n DxDxDxDx +++ Dấu = xảy khi và chỉ khi tồn tại x 0 thuộc D sao cho )()(max 0 xfxf ii Dx = với ni ,1= )(min )(min)(min)(min 21 xfxfxfxf n DxDxDxDx +++ Dấu = xảy khi và chỉ khi tồn tại x 0 thuộc D sao cho )()(min 0 xfxf ii Dx = với ni ,1= f) Tính chất 6: Cho các hàm số f 1 (x), f 2 (x), , f n (x) cùng xác định trên D và f i (x) > 0. Đặt f(x) = f 1 (x). f 2 (x) f n (x). Giả thiết tồn tại, )(min),(max),(min),(max xfxfxfxf i Dx i Dx Dx Dx với ni ,1= . Khi đó, ta có ))(max)) ((max))((max()(max 21 xfxfxfxf n DxDxDxDx )(min) (min)(min)(min 21 xfxfxfxf n DxDxDxDx Phần II: Bài tập Chuyên đề 1: Phơng pháp bất đẳng thức I/ Lý thuyết: Bất đẳng thức cosi: Cho n aaaa , ,,, 321 là các số không âm. Khi đó, n n n aaa n aaa 21 21 +++ Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = = a n . Bất đẳng thức bunhiacopski: Cho n aaaa , ,,, 321 và n bbbb , ,,, 321 là 2n số bất kì. Khi đó, ( )( ) 2 2211 22 2 2 1 22 2 2 1 ) ( nnnn babababbbaaa +++++++++ (1) Dấu = xảy ra khi và chỉ khi n n b a b a b a === 2 2 1 1 . II/ Bài tập: Bất đẳng thức cosi Bài 1: (1 24) Cho hàm số 44 4 2 111 xxxy +++= . Tìm giá trị lớn nhất của hàm số. Hàm số có TXĐ: [ ] 1;1=D Với mọi Dx , áp dụng bất đẳng thức cosi ta có, 2 11 1.11 44 4 2 xx xxx ++ += (1) 2 11 1.11 44 + = x xx (2) 2 11 1.11 44 ++ +=+ x xx (3) Cộng vế với vế 3 đẳng thức trên ta có, xxxf +++ 111)( (4) với mọi Dx Dấu = xảy ra khi và chỉ khi dấu = ở (1), (2) và (3) cùng xảy ra. Mà dấu = ở (1), (2) và (3) xảy ra khi và chỉ khi x = 0. áp dụng bấtt đẳng thức cosi, với mọi Dx , ta có: 2 11 1.11 + = x xx (5) 2 11 1.11 ++ +=+ x xx (6) Suy ra, 3 2 2 2 2 1111)( = + + ++++ xx xxxf (7) Dấu = xảy ra khi và chỉ khi dấu = trong (5) và (6) xảy ra. Dấu = trong (5) và (6) xảy ra khi và chỉ khi x = 0. Từ (4) và (7 suy ra, 3)( xf với mọi Dx mà f(0) = 3 và D 0 nên 3)(max = xf Dx . Bài 2: (31 68) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 21 2 )( xx x xf += . Hàm số có TXĐ: = 2 1 ;1D Với mọi Dx , áp dụng bất đẳng thức cosi, ta có: 2 22 2 211 )21(121 22 22 xxxx xxxx = + = Khi đó, 11 2 22 2 21 2 )( 2 2 2 = ++= x xxx xx x xf với mọi Dx Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 0 2 1 1 11 211 2 2 = = = x x x xx Suy ra, 1)(max = xf Dx Bài 3: (30 66) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y y x x yxf + = 11 ),( trên miền { } 1,0,0:),( =+>>= yxyxyxD HD: (66) Lấy (x, y) D. Khi đó, x y y x y y x x yxf += + = 11 ),( áp dụng bất đẳng thức cosi + + yx x y xy y x 2 2 )(2),( yxyxyxf +++ Hay yxyxf +),( (4) Mặt khác )( 1111 ),( yx yxx x y y yxf ++= + = (5) Từ (4) và (5) suy ra yx yxf 11 ),(2 + hay + yx yxf 11 2 1 ),( (6) Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số 22 2 2211 4 = + + yxxyyx vì x + y = 1 (7) Từ (7) suy ra, 222 2 111 2 1 ),( = + yx yxf Dấu = xảy ra khi và chỉ khi yx yx 1111 == hay 2 1 == yx Mà D 2 1 ; 2 1 và 2 2 1 ; 2 1 = f . Vậy 2),(min ),( = yxf Dyx Bài 4: (18 49) Tìm các giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x,y) trên miền { } 0:),( >>= yxyxD a) )( 1 ),( yxy xyxf += b) 2 )1)(( 4 ),( + += yyx xyxg c) 2 )( 1 ),( yxy xyxh += HD: a) Lấy Dyx ),( tuỳ ý. Khi đó, theo bất đẳng thức cosi ta có: 3 )( 1 )(3 )( 1 )( )( 1 ),( 3 = ++= += yxy yxy yxy yxy yxy xyxf Dấu = xảy ra khi và chỉ khi y = x y = )( 1 yxy = = 1 2 y x Có D)1,2( và 3)1,2( =f . Vậy 3),(mi n ),( = yxf Dyx b) Lấy Dyx ),( tuỳ ý. Khi đó, theo bất đẳng thức cosi ta có: 1 )1)(( 4 2 1 2 1 )( )1)(( 4 ),( 22 + + + + + += + += yyx yy yx yyx xyxg 3141 )1)(( 4 . 2 1 . 2 1 ).(4 4 2 == + ++ yyx yy yx Dấu = xảy ra khi và chỉ khi = = + = + = 1 2 )1)(( 4 2 1 2 y x yyx y yx Có D)1,2( và 3)1,2( =g . Vậy 3),(min ),( = yxg Dyx c) Lấy Dyx ),( tuỳ ý. Khi đó, theo bất đẳng thức cosi ta có: 22 2 4 4 4 )( 1 . 2 .4 )( 1 22 ),( 4 4 2 2 2 === + + += yxy yx y yxy yxyx yyxh Dấu = xảy ra khi và chỉ khi = = = = 3 3 2 3 2 1 3 )( 1 2 y x yxy yx y Có D 2 3 ,3 3 3 và 22 2 3 ,3 3 3 = h . Vậy 22),(min ),( = yxh Dyx Bài 5: (2 25) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số zyx x z z y y x zyx xyzzyxf +++ +++= 111 )1(),,( trên miền { } 0,0,0:),,( >>>= zyxzyxD HD: Ta có, zyx zyxy x xy x z xz z y yzzyxf ++++++++= 111 ),,( Lấy (x,y,z) tuỳ ý thuộc D. Khi đó, áp dụng bất đẳng thức cosi, ta có: x y x xyz x z xzy z y yz 2,2,2 +++ Khi đó, 6 111111 ),,( ++ ++ +=+++++ z z y y x x zyx zyx zyxf Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 1=== zyx Vì (1, 1, 1) thuộc D và f(1,1,1) = 6 nên 6),,(min = zyxf Dx B i 6 : (23 57) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số + + += zyx zyxf 1 2 1 2 1 2),,( và giá trị lớn nhất của hàm số xyzxzyxg 16),,( += , 3 ),,( xyzxyxzyxh ++= trên miền { } 1,0,0,0:),,( =++>>>= zyxzyxzyxD HD: (57) a) Lấy (x,y,z) D tuỳ ý. áp dụng bất đẳng thức cosi ta có: 5 2 511111 1 2 x yz x z x y x zyx x ++++= ++ ++=+ 5 2 511111 1 2 y xz y z y x y zyx y ++++= ++ ++=+ 5 2 511111 1 2 z xy z y z x z zyx z ++++= ++ ++=+ Nhân vế với vế của ba bất đẳng thức ta có, 125),,( zyxf với mọi (x,y,z) thuộc D Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 3 1 1 ========= zyx z y z x y z y x x z x y Mà D 3 1 ; 3 1 ; 3 1 và 125 3 1 ; 3 1 ; 3 1 = f . Vậy ( ) 125,,min ),,( = zyxf Dzyx b) Lấy (x,y,z) D với x + y + z = 1 khi đó, )161)((161)1(16)(1),,( yzzyyzzyyzzyzyxg +++=++= áp dụng bất đẳng thức cosi ta có, yzzy 2+ và yzyz 8161 + yzyzzy 16)161)(( ++ Khi đó, 116161),,( =+ yzyzzyxg Dấu = xảy ra khi và chỉ khi == = >>> =++ = = 4 1 2 1 0,0,0 1 116 zy x zyx zyx yz zy Mà D 4 1 , 4 1 , 2 1 và 1 4 1 , 4 1 , 2 1 = g . Vậy 1 4 1 , 4 1 , 2 1 max ),,( = = g Dzyx Bất đẳng thức bunhia Bài 7: (15 45) Tìm GTLN của hàm số 111 ),,( + + + + + = z z y y x x zyxf trên miền { } 1,0,0,0:),,( =++>>>= zyxzyxzyxD HD: Lấy (x, y, z) thuộc D. Khi đó, ta có + + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1),,( zyx zyxf + + + + + = 1 1 1 1 1 1 3 zyx (1) áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số +++ 1 1 , 1 1 , 1 1 zyx và ( ) 1,1,1 +++ zyx có ( ) ( ) 9111)1()1()1( 1 1 1 1 1 1 2 =+++++++ + + + + + zyx zyx (2) Mà x + y + z = 1 từ (2) suy ra 4 9 1 1 1 1 1 1 + + + + + zyx (3) Kết hợp (1) và (3) suy ra 3 4 4 9 3),,( =zyxf có D 3 1 , 3 1 , 3 1 và 3 4 3 1 , 3 1 , 3 1 = f Vậy 3 4 ),,(max = zyxf Dx Bài 8: (34 74) Tìm GTLN của hàm số )(),,( xzyzyxf = trên miền { } 6)(2,1:),,( 222 =++=+= yxyyzxzyxD HD: Ta có f(x,y,z) = y(z x) = z(2x + y) + (- x)(2z + y) áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số ( ) )(, xz và ( ) yzyx ++ 2,2 ta có ( )( ) [ ] 2 2 2222 )]([)2)(()2()2()2()( xzyyzxyxzyzyxxz =+++++++ Mà x 2 + z 2 = 1 và (2x + y) 2 + (2z + y) 2 = 2y 2 + 4y(x + z) + 4(x 2 + y 2 ) = 16 vì y 2 + 2y(x + z) = 6 Khi đó, [ ] 4)(1616.1)( 2 = xzyxzy hay f(x, y, z) 4 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi = = = + + = =++ =+ 10 1 10 10 3 2 2 6)(2 1 2 22 z y x yz yx x z zxyy zx Có 4 10 1 ,10, 10 3 , 10 1 ,10, 10 3 = fD . Vậy 4),,(max = zyxf Dx Bài 9 Bài 36(77) a) Tìm GTNN của hàm số yx yxy y x x yxf ++ + + + = 1 11 ),( 22 trên miền { } 10,10:),( <<<<= yxyxD HD:Với moi (x, y) thuộc D ta có, 2 1 1 1 1 1 ),( 22 + +++ +++ = yx y y y x x x yxf 2 1 1 1 1 1 + + + = yxyx (1) áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số + yxyx 1 , 1 1 , 1 1 và yxyx + ,1,1( Ta có, ( ) ( ) 9111)()1()1( 1 1 1 1 1 1 2 =+++++ + + yxyx zyx 2 91 1 1 1 1 + + + yxyx (2) Từ (1) và (2) 2 5 2 2 9 ),( = yxf Dấu = xảy ra khi và chỉ khi == + = + = 3 1 1 1 1 1 1 1 yx yxy yxx Có 2 5 3 1 , 3 1 , 3 1 , 3 1 = fD . Vậy 2 5 ),(min = yxf Dx Bài8: Bài 37(83) Tìm GTLN và GTNN của hàm số zyxzyxf ++=),,( trên miền ++= 3 4 )1()1()1(:),,( zzyyxxzyxD HD: Lấy (x, y, z) thuộc D. Khi đó, 4)(3)(3 3 4 )1()1()1( 222 +++++++ zyxzyxzzyyxx áp dụng bất đẳng thứ bunhia cho hai cặp số ( ) 1,1,1 và ),,( zyx ta có: 2222 )()(3 zyxzyx ++++ Bài 10: bài 39(85) Tìm GTNN và GTLN của hàm số 333 ),,( zyxzyxf ++= và GTLN của hàm số 4 4 4 ),,( zyxzyxg ++= trên miền { } 1,0,0,0:),,( =++= zyxzyxzyxD HD: a) Xét hàm số 333 ),,( zyxzyxf ++= trên { } 1,0,0,0:),,( =++= zyxzyxzyxD Lấy (x, y, z) thuộc D. áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số ( ) zzyyxx ,, và ( ) zyx ,, Ta có, suy ra, 2222 )(),,( zyxzyxf ++ (1) do x + y + z = 1 áp dụng bất đẳng thức bunhia cho cặp số ( ) 1,1,1 và ),,( zyx Ta có, 3 1 )()(3 2222222 ++++++ zyxzyxzyx (2) Từ (1) và (2) suy ra 9 1 ),,( zyxf Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 3 1 === zyx Có 9 1 3 1 , 3 1 , 3 1 , 3 1 , 3 1 , 3 1 = fD . Vậy 9 1 ),,(min = zyxf Dx b) Lấy (x, y, z) thuộc D. áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số ( ) 4 4 4 ,, zyx và (1, 1, 1) Ta có, ( ) 2 4 4 4 )(3 zyxzyx ++++ (1) Lại áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số ( ) zyx ,, và (1, 1, 1) Ta có, 3)()(3 2 ++++++ zyxzyxzyx (2) Từ (1) và (2) suy ra 2733),,( 2 =zyxg hay 4 27),,( zyxg Dấu = xảy ra dấu = ở (1) và (2) cùng xảy ra hay 3 1 === zyx Có 4 4 27 3 3 3 1 , 3 1 , 3 1 , 3 1 , 3 1 , 3 1 == gD . Vậy 4 27),,(max = zyxf Dx Chuyên đề 2: Phơng pháp miền giá trị hàm số Phơng pháp: Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trớc. B 1: Gọi y 0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số f(x) trên D. B 2: Giải điều kiện để hệ phơng trình (ẩn x): = Dx yxf 0 )( B 3: Biến đổi đa hệ phơng trình về dạng: 0 y B 4: Vì y 0 là giá trị bất kì trên D. Đa ra kết luận. Bài tập: Bài 1: (96-185) Tìm GTLN và GTNN của hàm số 102 2372 )( 2 2 ++ ++ = xx xx xf trên toàn trục số. TXĐ: R Gọi y 0 là một giá trị của hàm số. Khi đó, phơng trình 0 2 2 102 2372 y xx xx = ++ ++ (1) có nghiệm Vì x 2 + 2x + 10 0 > nên (1) )102(2372 2 0 2 ++=++ xxyxx 02310)72()2( 00 2 0 =++ yxyxy (2) có nghiệm TH 1: y 0 = 2 phơng trình (2) trở thành 1033 == xx )1( có nghiệm TH 2: y 0 0, khi đó phơng trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi 0 0)2310)(2(4)72( 00 2 0 = yyy 2, 2 5 2 3 015169 000 2 0 + yyyy Vì y 0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số y = f(x), nên 2 3 )(min, 2 5 )(max == xfxf Rx Rx Bài 2: (97 188) Tìm GTLN và GTNN của hàm số 1 324 2 2 + ++ = x xx y Đ/S: 51 0 y Bài 3: (98 191) Tìm GTLN và GTNN của hàm số 123 3102 2 2 ++ ++ = xx xx y Đ/ S: 4 1531 4 1531 0 + y Bài 4: (100-193) Tìm GTLN và GTNN của hàm số 22 ),( yxyxf += trên một miền { } 04)1(:),( 2222222 =++= yxyxyxyxD HD: Gọi t 0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số f(x,y) trên D. Khi đó, hệ phơng trình =++ =+ )2(04)1( )1( 2222222 0 22 yxyxyx tyx có nghiệm Từ (2) 041)(3)( 222222 =++++ xyxyx thế (1) vào đợc phơng trình 0413 2 0 2 0 =++ xtt (3) Để hệ cố nghiệm thì (3) có nghiệm 2 53 2 53 013 00 2 0 + + ttt Khi đó, (3) có nghiệm 4 13 0 2 0 2 + = tt x thế vào (2) 4 1 0 2 0 2 ++ = tt y thoả mãn có nghiệm Mà t 0 là một giá trị tuỳ ý của f(x,y) trê D nên 2 53 ),(max ),( + = yxf Dyx và 2 53 ),(min ),( = yxf Dyx Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của hàm số 7 12 ),( 22 ++ ++ = yx yx yxf trên miền { } 1:),( =+= yxyxD HD: Gọi t 0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số f(x,y) trên D. Khi đó, hệ phơng trình =+ = ++ ++ )2(1 )1( 7 12 0 22 yx t yx yx có nghiệm Từ (2) có x = 1 y thế vào (1) ( ) [ ] 0 22 712 tyyy ++=+ vì x 2 + y 2 + 7 > 0 028)12(2 00 2 0 =++ tytyt (3) Để hệ có nghiệm thì (3) có nghiệm TH 1: t 0 = 0 khi đó, (3) trở thành y 2 = 0 2= y , x = 3. phơng trình có nghiệm TH 2: t 0 0 đợc phơng trình bậc hai, phơng trình có nghiệm 0, 20 1025 30 1025 0120600)28(8)12( 000 2 000 2 0 + += ttttttt Kết hợp (3) có nghiệm khi 20 1025 30 1025 0 + t Vì t 0 là một giá trị bất kì của f(x,y) trên D nên 30 1025 ),(max ),( + = yxf Dyx và 30 105 ),(min ),( = yxf Dyx Bài 6: (99 -192) Tìm GTLN và GTNN của hàm số 22 22 4 )4( ),( yx yxx yxf + = trên { } 0:),( 22 >+= yxyxD HD: Xét { } 0,0:),( 1 == yxyxD và { } 0:),( 2 = yyxD . Khi đó, 21 DDD = Nếu 1 ),( Dyx thì f(x,y) = 0. Vậy 0),(min),(max 1 1 == yxfyxf Dx Dx Nếu 2 ),( Dyx . Khi đó, ta có 1 2 2 22 ),( 2 22 + = y x y x y x yxf Đặt y x t 2 = , đợc hàm số 1 44 1 )2( )( 22 22 + = + = t t t tt tF Khi đó )(min),(min),(max),(max 2 2 ),( ),( tFyxftFyxf RtDyx RtDyx == Gọi là một giá trị bất kì của hàm số F(t). Khi đó, phơng trình = + 1 44 2 t t 044 2 =++ tt (1) có nghiệm TH 1: Với = 0 phơng trình (1) có nghiệm t =1. TH 2: Với 0 phơng trình (1) có nghiệm 0,2222220)4(4' ++= Kết hợp (1) có nghiệm khi 222222 + Suy ra, 222)(max),(max 2 ),( +== tFyxf RtDyx và 222)(min),(min 2 ),( == tFyxf RtDyx Vậy { } 222222,0max),(max),,(maxmax),(max 21 +=+= = yxfyxfyxf DxDxDx { } { } 222222,0min),(min),,(minmin),(min 21 === yxfyxfyxf DxDxDx Bài 7: (101-194) Tìm GTLN và GTNN của hàm số 22 42 )1( 343 )( x xx xf + ++ = HD: Gọi y 0 là một giá trị tuỳ ỳ của f(x). Khi đó, phơng trình 0 22 42 )1( 343 y x xx = + ++ có nghiệm 03)2(2)3( 0 2 0 4 0 =++ yxyxy (1) Để (1) có nghiệm xét hai TH TH 1: y 0 = 3 khi đó (1) trở thành x 2 = 0. Vậy (1) có nghiệm. TH 2: (1) có nghiệm khi và chỉ khi hệ =++ )2(03)2(2)3( 0 00 2 0 yyty t Để (1) có nghiệm (2) có nghiệm t 0 mà (2) có P = 1 > 0 (2) có 2 nghiệm cùng dấu Khi đó, (2) có nghiệm 3 2 5 0 0' 0 t S Kết hợp hai trờng hợp (1) có nghiệm khi 3 2 5 0 t Vậy Bài 8: (105 201) Cho hàm số 1 )( 2 2 + ++ = x qpxx xf . Tìm p, q để 1)(min,9)(max == xfxf Rx Rx HD: Gọi y 0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số f(x). Khi đó, phơng trình 0 2 2 1 y x qpxx = + ++ (1) có nghiệm Ta có, (1) 0)()1( 0 2 0 =+ qypxxy (2) Để (1) có nghiệm thì (2) có nghiệm, xét 2 trờng hợp TH 1: y 0 = 1 thì (2) có nghiệm khi 0p hoặc p = 0 và q = 1. TH 2: y 0 1 thì (2) có nghiệm khi 0))(1(4 00 2 = qyyp 0)4()1(44 2 0 2 0 + qpyqy 201 yyy Ta có 21 1 yy vì với y 0 = 1 có qp = 0 2 Kết hợp hai trờng hợp ta có để (1) có nghiệm là 201 yyy Khi đó, tacó 21 )(max,)(min yxfyxf Rx Rx == Theo viét ta có = = = = =+=+ 8 7 9 4 4 . 81 2 21 21 p q qp yy qyy Vậy Bài 9: (106 202) Cho hàm số 36 )(12 2 + + = x axx y tìm a nguyên khác 0 sao cho đại lợng )(max xf Rx cũng là số nguyên. HD: Gọi y 0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số f(x). Khi đó, phơng trình 0 2 36 )(12 y x axx = + + (1) có nghiệm Từ (1) ta có )2(03612)12( 0 2 0 =++ yaxxy Để (1) có nghiệm thì (2) có nghiệm. Để (2) có nghiệm xét hai trờng hợp TH 1: y 0 = 12 có (2) trở thành x = 0. Vậy (2) có nghiệm TH 2: 12 0 y thì (2) có nghiệm 0)12(3636' 00 2 = yya 012 2 0 2 0 ayy 2 0 2 366366 aya +++ Nhận thấy y 0 = 0 thì aa <= 0' 2 do vậy 22 3660366 aa +++ Kết hợp hai trờng hợp để (1) có nghiệm thì 2 0 2 366366 aya +++ Vậy 2 366)(max axf Rx ++= . Tìm a nguyên khác 0 để 2 36 a+ = k (3) nguyên dơng. Nếu a > 0 thoả mãn (3) thì - a cũng thoả mãn 3, xét a > 0 khi đó, (3) ))((36 22 akakak +== Vì k + a > 0 suy ra k a > 0 và k + a và k a là số nguyên. Suy ra =+ = 18 2 ak ak 8 = a Vậy a = 8 và a = - 8 thì Chuyên đề 3: Phơng pháp sử dụng đạo hàm của hàm số. Phơng pháp: Cho hàm số y = f(x) xác định trên [a; b] B 1: Giải phơng trình f (x) = 0 để tìm các nghiệm x 1 , x 2 , x 3 , ,x n trong [a; b]. B 2: Tính các số f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 ), , f(x n ). B 3: Kết luận GTLN là số lớn nhất, GTNN là số nhỏ nhất trong các giá trị trên. Bài tập: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số xxy 220 cossin += HD: Do += ++ + xxxx 202022 sincos 2 cos 2 sin hàm số xxy 2020 cossin += tuần hoàn với chu kì 2 =T . Do vậy, ta chỉ cần tìm GTLN và GTNN của hàm số trên 1 chu kì 2 ;0 . Ta có, xxxxy sin.cos20cos.sin20' 1919 = . Xét y = 0 = = = = = = 4 2 0 sincos 0cos 0sin x x x xx x x [...]... GTLN và GTNN của hàm số f ( x ) = Bài 3: Cho hàm số f ( x) = 2 0 1 1 2 xR 4 0 2 x 2 + 7 x + 23 x 2 + 2 x + 10 x 2 + px + q Tìm p, q để max f ( x ) = 9, min f ( x) = 1 xR xR x2 +1 Chuyên đề 4: Phơng pháp chiều biến thiên của hàm số Phơng pháp: Dựa vào tính đồng biến và nghịch biến của hàm số bậc nhất và bậc hai Lập bảng biến thiên của hàm f(x) cần tìm GTLN, GTNN trên D cho trớc Tính chất 1 +) Hàm số. .. m 2 Bài 10: (126 241) Cho hàm số f ( x ) = x + x a Tìm a để min f ( x) > 1 xR Chuyên đề 5: ứng dụng của GTLN và GTNN trong việc giải và biện luận phơng trình và bất phơng trình Phơng pháp: Biến đổi phơng trình về dạng f(x) = d(m) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên I và so sánh các GTLN và GTNN với a Từ đó suy ra nghiệm của phơng trình Bài tập: Bài 1: (3-150-tuyển tậphàm số) a) Tìm m để phơng trình... GTNN và GTNN của hàm số f ( x, y, z ) = x + y + z + xy + yz + zx trên miền D = ( x, y , z ) : x 2 + y 2 + z 2 = 1 Bài 4: (111 211) Tìm GTLN và GTNN của hàm số f ( x) = x 4 4 x 3 x 2 + 10 x 3 trên miền D = { x : 1 x 4} { } 1 1 Bài 5: (114 216) Tìm GTLN và GTNN của hàm số f ( x, y ) = ( x + y ) + trên miền x y D = { ( x, y ) : 1 x 3, 1 y 2} Bài 6: (119 227) Tìm GTLN và GTNN của hàm số y... đồng biến trên D thì hàm f(x) + g(x) cũng đồng biến trên D +) Nếu f(x), g(x) là hai hàm đồng biến trên D và f(x) >0, g(x) > 0 trên D thì hàm f(x).g(x) cũng đồng biến trên D Bài tập Bài 1: (107 206) Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = 2 x 4 + 3 x + 6 x 3 + x + 1 xét trên miền D = { x : 3 x 4} HD: Lập bảng biến thiên của hàm số trên D 2 2 Bài 2: (108 207) Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = x 3 x + 2 ... miền D = { x : 3 x 6} Bài 7: (121 236) Cho hàm số f ( x ) = 4 x 2 4ax + a 2 2a xét trên miền D = { x : 2 x 0} Tìm a để hàm số có min f ( x) = 2 xD Bài 8: (123 234) Cho phơng trình 2 x 2 + 2(m + 2) x + m 3 + 4m + 3 = 0 Khi phơng trình có nghiệm x1, x2 xét đại lợng A = x1 + x2 + 3x1x2 Tìm GTLN và GTNN của A Bài 9: (125 -240) Tìm GTLN và GTNN của hàm số f ( x) = x 2 + mx + 1 trên miền 1 x ... a > 0 và nghịc biến khi a < 0 +) Hàm số y = ax2 + bx + c: b b Nếu a > 0: Đồng biến khi x > , nghịch biến khi x < 2a 2a b b Nếu a < 0: Đồng biến khi x < , nghịch biến khi x > 2a 2a Tính chất 2: +) Nếu f(x) là hàm đồng biến trên D thì - f(x) là hàm nghịch biến trên D 1 +) Nếu f(x) là hàm đồng biến trên D và f(x) > 0 thì hàm nghịch biến trên D f ( x) Tính chất 3: +) Nếu f(x) và g(x) là hai hàm đồng... tậphàm số) a) Tìm m để phơng trình x + 2 x 2 + 1 = m có nghiệm b) Tìm m để bất phơng trình x + 2 x 2 + 1 > m x R 2x 2 HD: Xét hàm số y = x + 2 x + 1 y ' = 1 + 2x 2 + 1 x . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số và ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong việc giải phơng trình, bất phơng trình Phần I: Lý thuyết 1. Định nghĩa : Cho hàm số. các số f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 ), , f(x n ). B 3: Kết luận GTLN là số lớn nhất, GTNN là số nhỏ nhất trong các giá trị trên. Bài tập: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. = zyxf Dx Chuyên đề 2: Phơng pháp miền giá trị hàm số Phơng pháp: Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trớc. B 1: Gọi y 0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số f(x) trên