Một số bài toán về bất đẳng thức Bài 1: ( ) ( ) ( ) cbaabc4cbba b) cabcabcba a) :có luônta c b, a, mọi vớirằng minh Chứng 22 222 ++++ ++++ Bài 2: ( )( )( ) abc8accbba :có luônta c b, a, dong số mọi vớirằng minh Chứng +++ Bài 3: ( )( )( ) 24 S 1 18 :rằng minh Chứng .u uu uS ặt Đ k 3; 2; 1; n với 3n2n1nn 1 u :sau nhdịnh xác ợcĐ u , ,u,u số Dãy k321 n n21 <++++= = +++ = Giải: ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) .18 S 1 18 1 S 6 1 3k2k1k 1 6 1 3k2k1k 1 2k1kk 1 5.4.3 1 4.3.2 1 4.3.2 1 3.2.1 1 S3 :Vậy 3n2n1n 1 2n1nn 1 3 1 3n2n1nn 3 . 3 1 3n2n1nn 1 u :có .24 S 1 24 1 uS cóta 1 kVới n k ><< +++ = +++ ++ + + + = +++ ++ = +++ = +++ = = Bài 4: ( ) cba cba3 ac ac cb cb ba ba :có luônta c b, a, dong số mọi vớiminh Chứng 222222222 ++ ++ + + + + + + + + Giải: 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) óng§0 cbac abab caba bcbc cbba acac cba ac acb cb cba ba bac cba3 ac ac cb cb ba ba cbaTB§ 222 222 222222 222 222222 ≥ ++ − + ++ − + ++ − ⇔ ++≤ + + + + + + + + ⇔ ++≤         + + + + + + + + ++⇔ Bµi 5: 2ba c) 2ba b) 2ba a) :r»ng minh Chøng .2ba Cho 884422 ≥+≥+≥+ =+ Bµi 6: 1 :r»ng minh Chøng .2 Cho 2222 ≥+++ =+++ dcba dcba Gi¶i: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 8dcba dcba1111dcba4 :2C 1dcba4dcbadcba4 cdbdbcadacab2dcbadcba4 cdbdbcadacab2dcba3 :cãta vÕ víi vÕCéng ; ad2ad;cd2dc;bc2cb :cã:C1 2 222222222222 2222 2 2222 22222222 2222 222222 =+++≥ ++++++=+++ ≥+++⇔=+++≥+++⇔ +++++++++≥+++⇔ +++++≥+++ ≥+≥+≥+ Bµi 7: 2 25 b 1 b a 1 a :r»ng minh Chøng .1ba m·ntho¶ b a, dong sè haiCho 22 ≥       ++       + =+ Gi¶i: 2 25 2 ba 4 2 2 b 1 a 1 2 2 b 1 b a 1 a b 1 b 222 22 =       + + ≥       ++ =       +++ ≥       ++       + a 1 a 2 Bài 8: .abc16ba :rằng minh Chứng .1cba :mãnthoả a, b, c ngod sốba Cho + =++ Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) abc16baab4ba :có lại cba4bacba4cba1 Có 2 22 ++ +++++= Bài 9: abcba :rằng minh Chứng .4cba :mãnthoả a, b, c ngod sốba Cho + =++ Bài 10: c 1 b 1 a 1 bca ac abc cb cab ba :thức dẳngbất minh Chứng 222 ++ + + + + + + + + Bài 11: 3 4 c,b,a0 :rằng minh Chứng 2cba 2cba :mãnthoả c b, a, sốba Cho 222 =++ =++ Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 c0 ; 3 4 b0 :tự ngoT 3 4 a00a4a3a2a22cbcb2 2 2 2 2 22 ++ Bài 12: [ ] ( ) ( ) 222 2 cba4cba1 :có luônta 0;1c b, a, mọi vớirằng minh Chứng +++++ Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) 222 2 222 2 cba4cba1 :Vậy cc;bb;aa :có lại cba4cba1 +++++ +++++ Bài 13: 3 + + + + + + + + + + > ca b cb a ba c 2 b ac a cb c ba 0cb,a, mọi vớirằng minh Chứng Giải: ( ) ++ ++ += ++ ++ + + + + + + ++ b 1 a 1 2 c c 1 a 1 2 b b 1 c 1 2 a a b a c 2 1 a c a b 2 1 c b c a 2 1 b ac a cb c ba :cóta yx2yx :thức dẳngbất dụng áp ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + = + + + + + + + + + + ++ + + + + + ++ ++ + + + cb a ca b ba c 2 ba2 c22 ca2 b22 cb2 a22 ba c22 ca b22 cb a22 :cóta yx2yx:thức ẳngdbất dụng áp lại ba c22 ca b22 cb a22 b 1 a 1 2 c c 1 a 1 2 b b 1 c 1 2 a :cóta yx 4 y 1 x 1 :thức dẳngbất dụng áp Bài 14: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 3 b1a1 c c1a1 b c1b1 a :rằng minh Chứng .1abc :mãnthoả a, b, c ngod số các Cho 333 ++ + ++ + ++ = Giải: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 b3 8 c1 8 a1 c1a1 b o 4 a3 c1b164 c1b1a .3 8 c1 8 b1 c1b1 a d 3 3 33 + + + + ++ = ++ ++ + + + + ++ :tự ngT :ợcta Cosi thức dẳngbất dụng áp 4 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 3 2 abc.3 2 cba 4 3 b1a1 c c1a1 b c1b1 a 4 c3 8 b1 8 a1 b1a1 c 3 333 3 = ++ + ++ + ++ + ++ + + + + ++ :cóta thức dẳngbất ba của vế với vếCộng Bài 15: . 512 729 c 1 1 b 1 1 a 1 1 :rằng minh Chứng 6.cba :mãnthoả c b, a, dong thực sốba Cho 333 + + + =++ Bài 16: . 2 cba ba c ca b cb a :thức dẳngbất minh Chứng dong. số cáclà cb, a, Cho 222 ++ + + + + + Giải: thức dẳngbất ba của vế với vếCộng c 4 ba ba c ;b 4 ca ca b :cóta tự ngT Cosi). T(BĐ a 4 cb cb a :có 2 2 2 + + + + + + ơ + + + Bài 17: 6accbba b) 5,31c1b1a a) :rằng minh Chứng 1.cba :mãnthoả 0 c b, a, Cho <+++++ <+++++ =++> Bài 18: 22 yx yx :rằng minh CHứng 1.y.x y,x Cho 22 + => Giải: ( ) ( ) ( ) 22 yx 2 yx yx xy2yx yx yx 2 22 += + = + Bài 19: 5 3 4 c, b, a :rằng minh Chứng .1cabcab 2cba :mãnthoả c b, a, số các Cho 222 =++ =++ Bài 20: ( ) .abba 4 ba 2 ba 2 + + + + :rằng minh Chứng 0b a, Cho Giải: ( ) ( ) ( ) .abba 4 ba 2 ba :Vậy 0 2 1 b 2 1 aab ba 2 1 baabbaab 2 1 baab :Xét hiệu 2 1 baab 2 1 ba 2 ba 4 ba 2 ba :Có 2 22 2 + + + + + = ++=+ ++ ++ ++ + = + + + Bài 21: .2 ba c ac b cb a :rằng minh Chứng 0. c b, a, Cho > + + + + + > Giải: .2 ba c ac b cb a :dợcta thức dẳngbất ba của vế với vếCộng cba c2 ba c ; cba b2 ca b :tự Tong . cba a2 cb a :Vậy a2 cba 1 a cb 2 1 1. a cb :Cosi dụng áp + + + + + ++ +++ + ++ + ++ = + + + 6 Bµi 22: 8 11 a :r»ng minh Chøng 1.b 1;a Cho b) .2 1-x x :r»ng minh Chøng 1.x Cho a) 22 ≥ − + − >> ≥> a b b Gi¶i: ( ) 2 1x 1 1x 1x 11x 1-x x a) ≥ − +−= − +− = ( ) ( ) 8 1b b . 1a a .2 1a b . 1b a 2 1a b 1b a b) 2222 ≥ −− = −− ≥ − + − B i 22:à 4 3 z2yx 1 zy2x 1 zy2x 1 thi 4 z 1 y 1 x 1 m·ntho¶ 0 z y, x, NÕu:r»ng minh Chøng ≤ ++ + ++ + ++ =++> Gi¶i: ( ) ( ) 4 3 z 3 y 3 x 3 16 1 z2yx 1 zy2x 1 zy2x 1 :dîcta vÕ víi vÕCéng z 2 y 1 x 1 16 1 2zyx 1 z 1 y 2 x 1 16 1 z2yx 1 :tù Tong z 1 y 1 x 2 16 1 z 1 x 1 y 1 x 1 16 1 zx 1 yx 1 4 1 zxyx 1 zy2x 1 :Cã =         ++≤ ++ + ++ + ++         ++≤ ++         ++≤ ++         ++=         +++ ≤         + + + ≤ +++ = ++ Bµi 23: 14 zyx 2 zxyzxy 3 :r»ng minh Chøng 1.zyx m·ntho¶ z y, x, ngod sèba Cho 222 > ++ + ++ =++ Gi¶i: 7 zxyzxy 2 zyx 1 zx2yz2xy2 1 2 zxyzxy 2 zyx 2 zx2yz2xy2 2 zyx 2 222 222222 ++ + ++ + ++ = ++ + ++ + ++ = ++ + ++ . zxyzxy 3 ( ) ( ) 1 8 zyx 1 2zx2yz2xy 1 .2 4 zyx 4 zyxzx2yz2xy2 4 zyx 1 2zx2yz2xy 1 :Có 222 222222 ++ + ++ = ++ = +++++ ++ + ++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 zxyzxy :hay y-x :Từ 6 zxyzxy 2 zxyzxy3zyx0zyyzxyzyx 0zx2yz2xy2z2y2x20xzzy 2 222 222 222 ++ ++ ++++++ ++++ Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. Bài 24: 2 5 1y4 2 +=+ yx :rằng minh Chứng .x mãnthoả y x, thực số haiCho 2 Giải: ( ) ( ) 2 5 4 5 4 1 1y4x 2 1 y21x 22 2 2 + = ++ +=+ yx :Vậy yx :copxki -Bunhia thức dẳngbất dụng áp Bài 25: +++ x y y x 34 x y y 2 2 2 2 x :rằng minh Chứng không. khácthực số là hai y x, Cho Giải: 2aa x y y x =+ặt Đ 8 ( )( ) ( ) dúng :thành trỏ thức dẳngBát 01a2a02a3a 2 + Bài 26: [ ] 6cba 0c bad 222 ++ =++ :rằng minh Chứng :mãnthoả 2 1;- oạn thuộc thực số cáclà c b, a, Cho Giải: ( )( ) 66cbacb 2c 2bbo 2aa02aa02a1a2a1 22 2 22 =+++++ + + ++ 2 2 a :dợcta vế với vếCộng c tự ngT Bài 27: 2 3 ba c ac b o + + + + + cb a :rằng minh Chứng ng.d sốba là c b, a, Cho Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] 2 3 ba c ac b 9 ba 1 ac 1 cb 1 baaccb 3 ba 1 ac 1 cb 1 baaccb 2 1 3 ba 1 ac 1 cb 1 cba ba c ac b + + + + + + + + + + +++++ + + + + + +++++= + + + + + ++= + + + + + cb a :Có cb a Bài 28: ( )( )( ) z1y1 ++ =++> x-14z2yx :rằng minh Chứng 1.zyx và 0z y, x, số các Cho Giải: ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) (dúng) y-1y1 :minh chứng Cần 2 + =+ += 2 2 y1y1y1z1y1x14 y1zx2z1x14 Bài 29: 9 9 ab2c 1 ca2b 1 bc2 22 + + + + + ++> 2 a 1 :rằng minh Chứng 1. cba và 0 c b, a, Cho Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 9 ab2c 1 ca2b 1 bc2 ab2cca2bbc2a ab2c 1 ca2b 1 bc2 cba ab2c 1 ca2b 1 bc2 22 222 22 2 22 + + + + + +++++= + + + + + ++ + + + + + 2 22 a 1 . a 1 a 1 Bài 30: 6 ba 1 22 + + =+> ab 1 :cóta 1 ba mãnthoả 0b a, mọi vớirằng minh Chứng Bài 31: 3 ba 2 b 1 + ++ => a 1 :cóta 1, a.b :mãnthoả 0b a, mọi vớirằng minh Chứng Giải: ( ) 32ab ba 2 2 ba 2 ba ba 2 2 ba 2 ba ba 2 ba ba 2 b 1 =+ + + + + + = + + + + + = + ++= + ++ a 1 Bài 32: 2 3 4 4bo 2 + + =+ 2 2 a ba :rằng minh Chứng .a :mãnthoả ngd số là hai b a, Cho Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 ba1 2 1 ba2ba2 2 3 ba2 2 3 ba 4a 2 3 ba 2 3 4aba 2 3 4 + + +=+ ++ ++++ + + copxki -Bunhia dụng áp . a ba 2 10 [...]... 2x + 1) có : 4( x + 3) 2 x ( x + 2)( 2x + 1) x + 2 + 2x + 1 = 3x + 3 dấu dẳng thức khi : x + 2 = 2x + 1 x = 1 2 2 áp dụng Cosi cho 2 số không am : 4 và ( x + 3) có : 4+x +3 x +7 4( x + 3) = Dấu dẳng thức khi : 4 = x + 3 x = 1 2 2 3x + 3 x + 7 ( x + 2 )( 2x + 1) + 4( x + 3) 2 x + 2 x = 5 dấu dẳng thức khi x = 1 2 2 Vậy : f ( x ) min = 5 khi x = 1 Bài 4: Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =... 3 c + 2a + 3 2 lại có : Bài 44: Cho các số dưong a, b, c Chứng minh rằng : ( a + b ) 2 + ( b + c) 2 + ( c + a ) 2 c a b Giải: áp dụng Bunhia - copxki : b + c 2 c + a 2 a + b 2 2 c . + + 4( a + b + c ) a b c ( ) + ( b) + ( ) a 2 Bài 45: 2 4( a + b + c ) 2 Cho x, y là các số thực dưong thoả mãn : x + y = 1 1 1 Chứng minh rằng : 3 + 4+2 3 3 xy x +y Giải: 3 Từ x + y =... nhất Bài 1: x2 + x + 2 Tím giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P ( x ) = với x R x ( x + 1) + 1 Giải: P( x ) = x2 + x + 2 x ( x + 1) + 1 ( = ) x( x + 1) + 1 + 1 2 x ( x + 1) + 1 = x ( x + 1) + 1 + 1 x ( x + 1) + 1 2 x = 0 dấu dẳng thức khi x ( x + 1) + 1 = 1 x = 1 Bài 2: Giả sử x, y, z là các số dư ong thay dổi và thoả mãn diều kiện : xy 2 z 2 + x 2 z + y = 3z 2 Hãy tim giá trị lớn nhất của biểu thức. .. x 4 + y4 Giải: z4 1 1 P= = 4 + x 4 + y4 4 4 4 1+ z x + y P z ( ( ) ) ( Từ : xy 2 z 2 + x 2 z + y = 3z 2 xy 2 + ) x2 y + =3 z z2 1 2 2 1 x8 x2 4 4 4 áp dụng Cosi cho 4 số không ấm : 1; 2 ; x ; x có : 1 + 4 + x + x 4 4 = 4 z z z z 1 1 4 1 1 y4 y 4 4 áp dụng Cosi cho 4 số không ấm : 1; 4 ; 4 ; y có : 1 + 4 + 4 + y 4 8 = 4 2 z z z z z z áp dụng Cosi cho 4 số không ấm : 1; x 4 ; y 4 ; y 4 có : 1 + x... 3 3 2 2 Bài 41: Cho a, b, c là ba số dưong Chứng minh rằng : a b c a+b+c + + 3 b c a abc Giải: 13 áp dụng Cosi : a a b a 2b 3a 3 + + 3 2 = 3 tư ơng tự dược : b b c b c abc b b c 3b + + 3 c c a abc c c a 3c + + 3 a a b abc Cộng vế với vế ta dược diều phả i chứng minh 14 Bài 42: Chứng minh rằng, với mọi số thực dưong a, b, c ta có : ab bc ca a +b+c + + a + b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b 6 Giải: ab... trong dó x, y, z là ba số dưong thay dổi luôn thoả mãn diều kiện ( x + y + z ) xyz = 1 Giải: T = ( x + y )( x + z ) = x 2 + xz + xy + yz = x ( x + y + z ) + yz 1 Từ : ( x + y + z ) xyz = 1 x ( x + y + z ) = thay vào T ta có : yz 1 T= + yz 2 dấu dẳng thức khi yz = 1 yz Bài 5: T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 1 x 10 y10 1 16 Q = 2 + 2 + x + y16 1 + x 2 y 2 y 4 2 x Giải: 1 x 10 y10 2.. .Bài 33: Cho a, b > 0 thoả mãn : a + b = 1 Chứng minh rằng : 1 1 3 + 1+ a 1+ b 4 Giải: 1 1 1 1 1 4 + = + [ (1 + a ) + (1 + b ) ] 1 + a 1 + b 3 1 + a 1 + b 3 Bài 34: Cho a, b, c là các số thực thoả mãn : ab + bc + ca = 4 Chứng minh rằng : a 4 + b4 + c4 16 3 Giải: Có : a 4 + b 4 + c 4 a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ( ) ( ) 3 a 4 +... vế của 3 bất dẳng thức trê n ta được : x2 y 1 1 4 4 3 + 3 4 + 3.x + 3.y 4. + 2 + xy 2 = 12 3 dấu bằng khi x = y = z = 1 z z z P 1 Vậy Pmax = khi x = y = z = 1 3 Bài 3: 1 Với nhưng giá trị của x thoả mãn : x , hãy tim giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 f ( x ) = 2 x 2 + 5 x + 2 + 2 x + 3 2 x Giải: 17 f ( x ) = 2 x 2 + 5x + 2 + 2 x + 3 2 x = ( x + 2)( 2x + 1) + áp dụng Cosi cho 2 số không... là 2 1 + 2 khi x = y = Bài 37: Chứng minh rằng với mọi x thoả mãn 1 x 5, ta có : 5 - x + x 1 2 Giải: 5- x + x 1 2 ( ) 5 - x + x 1 2 4 4 + 2 ( 5 x )( x 1) 4 2 x = 5 2 ( 5 x )( x 1) 0 Đ úng dấu bằng khi x = 1 Bài 38: Với các số a, b, c > 0 thoả mãn diều kiện abc = 1 Chứng minh rằng : a b c 1 + + 2 2 2 ( ab + a + 1) ( bc + b + 1) ( ca + c + 1) a + b + c Giải: VT = a b c + + 2... 12 1 2 á p dụng bất dẳng thức Bunhia - copxki cho hai bộ số : a ; b ; c và 1 2 + c . a 1 ; b ; b c ta có : a 2 + b + b + b c (1 + b + bc ) hay 1 1 1 ( a + b + c ) 1 + b + b 2 c ( bc + b + 1) 2 + b + b 2c 2 ( bc + b + 1) a a ( a + b + c) ( ) ( ) ( ) a 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 (Đ PCM ) Bài 39: Cho a, b thoả mãn : a + b = 1 Chứng minh rằng : ab.( a + b ) 2 Giải: ( ) ( ) 1 64 . Một số bài toán về bất đẳng thức Bài 1: ( ) ( ) ( ) cbaabc4cbba b) cabcabcba a) :có luônta c b, a, mọi vớirằng minh Chứng 22 222 ++++ ++++ Bài 2: ( )( )( ) abc8accbba :có luônta c. c b, a, dong thực sốba Cho 333 + + + =++ Bài 16: . 2 cba ba c ca b cb a :thức dẳngbất minh Chứng dong. số cáclà cb, a, Cho 222 ++ + + + + + Giải: thức dẳngbất ba của vế với. z 1 3.3 :ợcta ntrê thức dẳngbất 3của vế với vếCộng x 1 :có x 1; :ấm khôngsố 4 cho Cosi dụng áp z 1 1 :có z 1 1;:ấm khôngsố 4 cho Cosi dụng áp z 1 1 :có z 1 1; :ấm khôngsố 4 cho Cosi dụng áp xy