B.S Phạm Công Như - 1 - Kiên trì là chìa khóa của sự thành công NGUYÊN HÀM–TÍCH PHÂN–ỨNG DỤNG I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1- Nguyên hàm a- Khái niệm: Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu ∀ x ∈ K : F / (x) = f(x). Nếu hàm số f(x) có một nguyên hàm là F(x) thì ∀ C ∈ R, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là : F(x) + C. Kí hiệu : ( ) ∫ += CxFdxxf )( b- Bảng các nguyên hàm: ∫ += Cxdx )1( . 1 1 −≠+ + = ∫ + α α α α C x dxx )0( .ln ≠+= ∫ xCx x dx .Cedxe xx ∫ += ∫ ≠<+= 1). a(0 . ln C a a dxa x x ∫ += .Cxsinxdxcos ∫ +−= .Cxcosxdxsin Ctgx xcos dx 2 += ∫ Cgxcot x sin dx 2 +−= ∫ ∫ += Cudu )1( . 1 1 −≠+ + = ∫ + α α α α C u duu )0( .ln ≠+= ∫ uCu u du .Cedue uu ∫ += ∫ ≠<+= 1). a(0 . ln C a a dua u u ∫ += .Cusinuducos ∫ +−= Cucosudusin Ctgu ucos du 2 += ∫ Cgucot u sin du 2 +−= ∫ 2- Tính chất: ∫ ∫ ∫ +=+ dx)x(gbdx)x(fadx)]x(bg)x(af[ (Với a,b là các hằng số ≠ 0) 3- Công thức nguyên hàm từng phần: () () ()() () () ∫ ∫ −= dxxuxvxvxudxxvxu // 4- Công thức đổi biến số: ∫ ∫ +=⇒+= CxuFdxxuxufCtFdttf )]([)(')]([)()( II. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG 1- Khái niệm: Tích phân từ a đến b của hàm số : f(x) là: )()()()( aFbFxFdxxf b a b a −== ∫ , trong đó: F(x) là một nguyên hàm bất kì của f(x) 2- Công thức đổi biến số:loại 1: ∫ ∫ = b a dttutufdxxf β α )(')]([)( , ( a= u(α), b = u(β) ) và loại 2 : () [ ] () ∫ ∫ = b a duufdxxuxuf β α )( / ( α = u(a), β = u(b) ) 3- Công thức tích phân từng phần: () () ()() () () ∫ ∫ −= b a b a b a dxxuxvxvxudxxvxu // 4- Diện tích hình phẳng : B.S Phạm Công Như - 2 - Kiên trì là chìa khóa của sự thành công a- Hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành, 2 đường thẳng đứng: x = a, x = b : S = ∫ b a dxxf )( b- Hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a,b], các đường thẳng x = a, x= b : S = () ∫ − b a dxxgxf )( 5- Thể tích vật thể : a- Vật thể do Hình D giới hạn bởi các đường: y = f(x) liên tục trên [a;b], trục hoành, 2 đường thẳng x = a, x = b; khi D quay quanh trục hoành: V = () ∫ b a dxxf 2 π b- Vật thể do Hình D giới hạn bởi các đường: x = g(y) liên tục theo biến y trên đoạn [c;d], trục tung, 2 đường thẳng y = c, y = d; khi D quay xung quanh trục tung: V = () ∫ d c dyyg 2 π III. BÀI TẬP 1- Tìm nguyên hàm của các hàm số: xxf x xexd xcxbxa 8 2 5 ) 1 2 1 ) 3 1 5 2 ) 9)2)1) 2 3 2 2 32 +−+ −+− 2- Tìm nguyên hàm của các hàm số: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12)3) 13)32) 3 3 2 ++− +−−+ xxxdxc xxxbxxa 3- Tìm : ( ) ( ) ∫∫ ∫∫ ++ −+− dx x x ddx x x c dx x xx bdx x xx a 2 2 2 4 2 2 232 1 ) 2 ) 154 ) 3 ) 4- Tìm: ( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫ ∫∫       +       −++− +−−+ −−−− − dxx x xxxddxxxxc dxxxxxbdxxxa 32223 2 1 4 3 3 1 32)42) 12))5() 5- Tìm hàm số y = f(x) biết rằng: () () () () () () () () 21,2 1 )04,4) 3 7 2,2)51,12) 2 // 2// =+−==−= =−==+= f x xxfdfxxxfc fxxfbfxxfa 6- Tìm hàm số y = f(x) biết rằng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( )( ) () () ( ) 31234)10,111) 21,1)80,23) 23// 3 3 / 2 / =−+−==+−+= =++==+= fxxxfdfxxxfc fxxxfbfxxfa 7- Tìm hàm số f(x) nếu biết f / (x) = ax + 2 x b , f(–1) = 2, f(1) = 4 và f / (1) = 0 8- Tìm hàm số f(x) biết () () () 94,41, 14 15 / === ff x xf 9- Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác sau: B.S Phạm Công Như - 3 - Kiên trì là chìa khóa của sự thành công a) (2tgx + cotgx) 2 , b) x x 22 cos sin 1 c) 3 2 sin 2 x 10- Tìm nguyên hàm của các hàm số bằng phương pháp đổi biến: a) (5x + 3) 5 b) sin 4 xcosx c) 1 + x x e e 11- Tìm nguyên hàm của các hàm số: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 268 63 49)25)37) 53)14) −− −+− +− xexdxc xbxa 12- Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ( ) x x cxxb x x a 25 4 3 cos sin )1cos2sin) 56 ) − + 13- Tìm nguyên hàm các hàm số bằng phương pháp đổi biến số ( ) ∫∫ ∫∫ −+ + + ++ dx xx x d x xdx c dxxxbdxxxa 54 42 ) 93 ) .1.3).12) 24 2 322 14- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số: dxxed xx dx c e dxe bdx x e a x x xtgx ∫∫ ∫∫ + − − + 4 2 2 2) ln ) 1 ) cos ) 15- Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N(t). Biết rằng () t tN 5,01 4000 / + = , và lúc đầu đám vi trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng là bao nhiêu? 16- Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc () ( ) 2/ / 1 3 sm t tv + = . Vận tốc ban đầu của vật là 6m/s. Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây ( làm tròn đến hàng đơn vò) 17- Gọi h(t) (cm) là mức nước trong bồn chứa sau khi bơm được t giây. Biết rằng h / (t) = 3 8 5 1 +t và lúc đầu không có nước. Tìm mức nước ở bần sau khi bơm được 6 giây ( chính xác đến 0,01cm) 18- Tìm nguyên hàm của các hàm số: 3 sin)ln) ln)) x xdxxc xxbxea x− 19- Tìm nguyên hàm các hàm số sau: ( ) ∫∫ ∫∫ xdxxddxxxc xdxxbdxexa x 3cos)2ln) 2cos3)) 23 22 20- Giả sử sau khi áp dung công thức tính nguyên hàm từng phần ta có : ∫ f(x)dx = aG(x) – b∫ f(x)dx . Chứng minh rằng : () ( ) C b xaG dxxf + + = ∫ 1 21- Sử dụng kết quả bài 20 để tìm: a) ∫ e x cosxdx b) ∫ e x sinxdx c) ∫ e x sin2xdx 22- Tìm nguyên hàm các hàm số: a) x 3 sinx b) sin(lnx) 23- Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: B.S Phạm Công Như - 4 - Kiên trì là chìa khóa của sự thành công ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ − +− + − − + − − + + − − dx x x o x dx ndx xx x m x xdx ldx x x kdxj dx xx xx i ee dx h x xdx g x xdx fdx x x e xx dx d dx x x cdxxebdxxxa xx xx x 2 32 22 2 3 2 2 2 2 2 3 32 cos sin ) 1 ) 32 4 ) sin ) cos sinln )32) cossin sincos )) cos sin ) ln ) 1 . 1 sin) 1 ) 1 ))1) 2 24- Tìm nguyên hàm các hàm số sau: ∫∫∫ ∫∫∫ + + dx x x f xx dx exdxxd xdxxc x dx bxdxa cos1 sin1 ) sincos )cossin) cossin) sin )sin) 2 44 43 3 4 25- Đặt: I n = ∫ x n e x dx ( n ∈ N * ) a) Chứng minh rằng : I n = x n e x – nI n-1 b) Tìm: I 1 , I 2 , I 3 26- Đặt I n = ∫ sin n xdx ( n ∈ N * ) a) Chứng minh rằng : 2 1 1cos.sin − − − + − = n n n I n n n xx I b) Tìm I 3 27- Tính các tích phân sau: ( ) ( ) ∫∫ ∫∫ − − −−       + +       + 0 2 5 2 4 1 0 2 4 2 2 )43) 1 3 ) 1 ) dxexddxxc dx x ebdx x xa x x 28- Tính các tích phân sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫ ∫∫∫ +− − +−− − − 3 1 23 4 1 2 1 0 3 2 0 2 1 42 )1) 1))3) dx x xxx edxxd dxxxcdxxxxbdxxxa 29- Tính các tích phân : ( ) ( ) ( ) ∫∫ ∫∫∫ − − − − − −+ 1 1 21 1 0 1 1 2 1 2 1 0 )1) ) 4 )1) dxeedxed dxeecdx e bdxea xx xx x x 30- Giả sử : a) () ∫ 3 3 0 =dxxf và () 7 4 0 = ∫ dzzf . Tính () ∫ 4 3 dttf b) ( ) ∫ 5 1 1 = − dtxtf và () 6 3 1 = ∫ − drrf . Tính () ∫ 3 1 duuf B.S Phạm Công Như - 5 - Kiên trì là chìa khóa của sự thành công 31- Giả sử M và m theo thứ tự là giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a;b]. Chứng minh rằng : ( ) () ( ) abMdxxfabm b a −≤≤− ∫ 32- a) Dùng bài 29 đánh giá các tích phân: ∫∫∫ + = + = + = 1 5,0 2 5,0 0 2 1 0 2 1 ; 1 , 1 x dx K x dx J x dx I b) Từ công thức I = J + K, hãy đưa ra một đánh giá chính xác hơn cho I 33- Tính tích phân: ∫ e e dxx 1 ln 34- Một vật chuyển động với vận tốc : () ( ) ( ) sm t tv / sin 2 1 π π π += . Tính quãng đường di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 1,5 giây ( chính xác đến 0,01 m) 35- Một vật chuyển động với vận tốc : () ( ) sm t t tv / 3 4 2,1 2 + + += . Tính quãng đường di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 4 giây ( chính xác đến 0,01 m) 36- Tính các tích phân sau: ∫∫∫ −+ − 16 0 2 00 9 )1)cos) xx dx cdxxbdxxa π 37- Tính các tích phân sau: ∫∫ ∫∫∫ −+ + + + −       + − 12 10 2 1 0 3 2 1 1 2 2 1 5 4 2 2 12 ) 1 2 ) 1 2 ) 21 3 ) 1 ) dx xx x e x dxx d x xdx cdx x bdx x xa 38- Tính các tích phân: ( ) ( ) ∫∫∫∫ + + + 3 4 0 12 0 2 2 0 2sin )2cos) 313cos ) sin1 cos ) π π π ππ π x dx ddxxc xtgx dx bdx x x a 39- Tính các tích phân: ( ) ∫∫∫ + ++ − 2 0 1 1 4 2 1 2 cos1 )23)3) π x dx cdxxbdxxxa 40- a) Cho a > 0 . Chứng minh rằng: ( ) kr a ax dx −= + ∫ 1 22 β α , trong đó r và k là các số thực thỏa mãn : a tgk a tgr α β == ; b) Tính : ∫ + 2 0 cos2 π x dx 41- Chứng minh rằng hàm số : () ∫ + = x t tdt xf 0 4 1 x ∈ R là một hàm số chẵn 42- Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [–a;a], Chứng minh rằng : B.S Phạm Công Như - 6 - Kiên trì là chìa khóa của sự thành công () ()      = ∫ ∫ − 0 2 0 lẻ hàmlà f khi chẵn hàmlà f khi a a a dxxf dxxf , Áp dụng tính ( ) ∫ − ++ 2 2 2 1ln dxxx 43- Tính các tích phân sau: ( ) ( ) ∫∫ ∫∫∫ +− 1 01 2 1 0 2 0 3 2 0 )ln) 1ln)sin)cos12) dxxeexdxxd dxxxcxdxxbxdxxa x e π π 44- Tính các tích phân sau: ( ) ∫∫∫ ∫∫∫ + + ++ + −−− − π 0 2 2 1 4 2 1 1 2 9 1 3 2ln 0 2 1 5 cos1 sin ) 1 ) 1 12 ) 1)1)1) x xdxx fdx x x edx xx x d dxxxcdxebdxxxa x 45- Đặt: ∫ = 2 0 sin π xdxI n n . Chứng minh rằng : 2 1 − − = nn I n n I . Từ đó tính I 5 , 46- Đặt: ∫ = 2 0 cos π xdxI n n . Chứng minh rằng : 2 1 − − = nn I n n I . Từ đó tính I 6 , I 7 . 47- a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số : y = sinx, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2π b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số : y = 2 – x, y = x 2 , trục hoành trong miền x ≥ 0 48- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số : y = x 3 – 3x 2 + 2x, trục hoành trục tung và đường thẳng x = 3 49- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số : a) y = x 3 , trục hoành và đường thẳng x = 2 b) y = 4 – x 2 và trục hoành c) y = x 3 – 4x, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = –2 d) y = x 3 – 4x, trục hoành, trục tung, đường thẳng x = –2 và đường thẳng x = 4 e) y = x – x và trục hoành 50- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số : a) y = e x + 1, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 1 b) y = e 2x – 1, trục hoành, đường thẳng x = 1 và đường thẳng x = 2 c) y = e x – e –x , trục hoành, đường thẳng x = –1 và đường thẳng x = 1 51- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số : a) y = 1 2 + x , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 4 b) y = x − 2 3 , trục hoành, đường thẳng x = –1 và đường thẳng x = 1 52- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số : a) y = x x 1 + , trục hoành, đường thẳng x = –2 và đường thẳng x = –1 B.S Phạm Công Như - 7 - Kiên trì là chìa khóa của sự thành công b) y = 2 1 1 x − , trục hoành, đường thẳng x = 2 và đường thẳng x = 1 c) y = 2 1 1 x − , đường thẳng y = 2 1 và đường thẳng y = – 2 1 53- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong: y 2 = 4ax (a > 0) và đường thẳng x = a bằng ka 2 . Tìm k 54- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thò hàm số: ( ) 2 1 2 − = x y , trục hoành, đường thẳng x = 2 và đường thẳng x= 3 b) Đồ thò hàm số ( ) 2 1 2 − = x y , đường thẳng y = 2 và dtang y = 8 55- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số : a) y = x 2 + 2 , đồ thò hàm số : y = x, và2 đường thẳng x = 0, x = 2 b) y = 2 – x 2 , đồ thò hàm số : y = x và 2 đường thẳng x = 0, x = 1 c) y = 2 – x 2 , đồ thò hàm số : y = x d) y = x , đồ thò hàm số y = 6 – x và trục hoành. 56- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò các hàm số : a) y = x 2 + 4 va ø y = 7 – 2x 2 b) x – y 2 = 0 và: x + 2y 2 = 3 c) x = y 3 – y 2 và x = 2y 57- Tính thể tích phần vật thể giới hạn bởi 2 mặt phẳng x = 0, x = 3, biết rằng thiết diện của vật thể bò cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 0 ≤ x ≤ 3) là một hình chữ nhật có 2 kích thước là x và 2 92 x− 58- Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành mỗi hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thò hàm số y = x(4–x) và trục hoành b) Đồ thò hàm số y = e x , trục hoành và 2 đường thẳng x = 0, x = 3 c) Đồ thò hàm số: y = x 1 , trục hoành và 2 đường thẳng x = 1, x = 2 d) Đồ thò hàm số y = x , trục hoành và 2 đường thẳng x = 0, x= 2 59- Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung mỗi hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thò hàm số y = x 2 , trục tung và 2 đường thẳng y = 0, y = 4 b) Đồ thò hàm số y = x 3 , trục tung và 2 đường thẳng y = 1, y = 2 c) Đồ thò hàm số: y = lnx , trục tung và 2 đường thẳng y = 1, y = 0 d) Đồ thò hàm số y = 3 – x 2 , trục tung và đường thẳng y = 1 60- Tính đạo hàm các hàm số sau: ∫∫ ∫∫ == == 2 01 2 sin 1 2 0 .cos)()sin)() 3)()cos)() xx xx dttxGddttxGc dttxGbtdtxGa 61- Tính các tích phân sau: B.S Phạm Công Như - 8 - Kiên trì là chìa khóa của sự thành công ( ) ( ) ( ) ∫∫ ∫∫ − −         − + 2 2 4 1 8 1 2 3 3 2 3 1 4 1 2 1 0 2 )3cos(3sin15)1) 1 )5sin) π π π dxxxddxxxc du u u bdtta 62- Tìm f(4) biết rằng : a) () ( ) xxdttf x πcos 2 0 = ∫ b) ( ) ( ) ∫ = xf xxdtt 0 2 cos π 63- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a) parabol: y 2 = 2x , tiếp tuyến của nó tại điểm A(2,2) và trục hoành b) parabol :y = x 2 – 4x + 5 và tiếp tuyến của nó kẻ từ điểm M( 2 5 ;–1) c) đồ thò hàm số : y = 2 1 2 − +− x xx , tiệm cận xiên của nó và 2 đường thẳng x = 0, x= 1 64- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò các hàm số : a) y = x 2 – 4 và y = 2 1 x 2 + 4 b) x + y 4 = 2 , 3 2 yx = vàtrục hoành c) x = y 2 , x + 2y 2 = 3 và trục hoành 65- Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau a) y = 2x – x 2 và y = 0 b) y = lnx, y = 0 , x = 2 c) y = sinxcosx, y = 0, x = 0 x = x π . 66- Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) x = 1 2 2 +y y , y = 0, y = 1 b) y = 2x – x 2 , y = 0, x = 2 c) Đường tròn tâm I(2,0) , bán kính R = 1 67- Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 2 mặt trụ sau: x 2 + y 2 = a 2 và: x 2 + z 2 = a 2 68- Cho hàm số: y = x x−1 , 0 < x ≤ 1 a) Tính diện tích hình phẳng A giới hạn bởi đồ thò hàm số, trục hoành và đường thẳng x = 2 1 b) Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh trục hoành c) Chứng minh rằng : 2 1 1 y x + = , và từ câu a) suy ra giá trò của ∫ + 1 0 2 1 y dy . khóa của sự thành công NGUYÊN HÀM–TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1- Nguyên hàm a- Khái niệm: Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên. Công thức nguyên hàm từng phần: () () ()() () () ∫ ∫ −= dxxuxvxvxudxxvxu // 4- Công thức đổi biến số: ∫ ∫ +=⇒+= CxuFdxxuxufCtFdttf )]([)(')]([)()( II. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG 1- Khái. sử M và m theo thứ tự là giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a;b]. Chứng minh rằng : ( ) () ( ) abMdxxfabm b a −≤≤− ∫ 32- a) Dùng bài 29 đánh giá các tích phân: