Chương PHÁN ĐOÁN I KHÁI QUÁT VỀ PHÁN ĐOÁN Định nghĩa Như ta biết, khái niệm phản ánh đối tượng, nghĩa phản ánh vật, tượng, lớp vật, tượng Nhưng giới khách quan, vật tượng không đứng riêng rẽ, chúng có mối liên hệ với vật tượng khác Hơn vật tượng khách quan cịn có khơng có số tính chất xác định Những mối liên hệ đối tượng tính có hay khơng có thuộc tính định chúng tạo nên tình trạng định vật tượng Muốn nhận thức giới, tình trạng phải phản ánh Hình thức tư trừu tượng phản ánh tình trạng vật tượng gọi phán đoán Như vậy, phán đoán hình thức tư trừu tượng khẳng định hay phủ định tình trạng xác định vật tượng Trong logic hai giá trị phán đốn sai Giá trị (chân thực) sai (giả dối) phán đoán gọi giá trị chân lý phán đốn Phán đốn có giá trị chân lý (chân thực) điều khẳng định hay phủ định hồn tồn phù hợp với thực khách quan Giá trị chân lý phán đoán sai (giả dối) trường hợp ngược lại Quan điểm giá trị chân lý phán đốn người sáng lập mơn logic học - nhà triết học cổ đại Hy Lạp Aristote - đưa Aristote viết: “Người nói thật người nói tách rời tách rời, liên kết liên kết, cịn người nói dối người nói ngược lại với trạng vật”23 Ví dụ 1: (a) Mặt trăng vệ tinh đất (b) Mặt trời (c) Tổng (d) Với ban phúc Thượng đế toàn năng, đuốc SEA GAMES 19 thắp sáng ánh nắng mặt trời vào ngày 9/10/97, Jakarta 23 Aristote, Tuyển tập, tập, Moskva 1975, T.1, tr.250 55 (e) Các hành tinh hệ Mặt trời quay quanh Mặt trời theo quỹ đạo elíp quỹ đạo chúng nằm mặt phẳng Phán đốn (a) ví dụ phán đốn chân thực, khẳng định tính chất vệ tinh đất mặt trăng Phán đốn (b) sai, phủ định tính chất ngơi mặt trời Phán đốn (c) đúng, khẳng định quan hệ hai đối tượng tổng cộng số Phán đoán (d) sai khơng phù hợp với thực tế (trời nhiều mây nên người ta không thực ý đồ thắp sáng lửa ánh nắng mặt trời24) Phán đốn (e) đúng, khẳng định tình trạng hành tinh hệ Mặt trời, tạo thành từ hai kiện: thứ nhất, hành tinh có quỹ đạo hình elíp và, thứ hai, quỹ đạo nằm mặt phẳng Phán đoán câu Phán đoán thường biểu thị, diễn đạt câu Nhưng đồng câu với phán đốn Câu vỏ ngơn ngữ phán đốn Phán đốn thiết phải có vỏ ngơn ngữ câu, khơng có câu khơng thể có phán đốn; câu khơng thiết phải biểu đạt phán đoán Quan hệ phán đoán câu tương tự quan hệ rượu với bình đựng rượu Rượu thiết phải đựng vào bình, khơng có bình khơng thể có rượu (bình hiểu theo nghĩa rộng, để đựng), bình khơng đồng với rượu Ngồi ra, chất lượng bình, cấu tạo có ảnh hưởng đến chất lượng rượu Và câu vậy, cấu trúc nó, đặc trưng ngôn ngữ khác ảnh hưởng đến phán đốn mà chứa Phán đốn biểu thị câu, câu biểu thị phán đốn Thơng thường25, có câu kể, câu tường thuật biểu thị phán đốn, cịn loại câu khác câu hỏi, câu lệnh, câu cầu khiến, câu cảm thán không biểu thị phán đoán26 24 Xem Tin nhanh SEA GAMES, số 4, ngày 10/10/97 Ta nói thơng thường thi thoảng, có câu dạng khác thể phán đốn Ví dụ câu hỏi hùng biện – câu hình thức câu hỏi, nhiên bên chứa sẵn câu trả lời 26 Trong logic hình thức, ngồi khái niệm phán đốn người ta cịn sử dụng khái niệm mệnh đề Định nghĩa nêu với mệnh đề, chưa hoàn toàn với phán đốn, phán đốn cịn hàm chứa ngồi đặc trưng nêu định nghĩa đó, số đặc trưng khác: phán đoán thể quan điểm người đưa nó, nghĩa phán đốn, khẳng định hay phủ định tính chất đối tượng mối quan hệ đối tượng đưa vỏ tình cảm định Vì người khơng thể tách rời khỏi tất tình cảm mình, nên tồn phán đốn mà khơng tồn mệnh đề thực tế Nhưng logic hình thức trừu tượng hóa khía cạnh quan điểm tình cảm phán đốn nghiên cứu, mệnh đề kết trừu tượng hóa Ngồi ra, người ta cịn có cách hiểu thứ hai quan điểm mệnh đề phán đoán Ở phán đoán hiểu định nghĩa mà ta đưa lúc đầu Phán đoán chứa đựng câu, khơng phải câu Cịn mệnh đề coi thể thống nhất, gồm phán đoán câu chứa Trong chương trình bỏ qua khác biệt mệnh đề phán đoán, coi chúng 25 56 Để phân biệt câu có chứa phán đốn câu khơng chứa phán đốn ta xét xem câu có giá trị logic, nghĩa (về nguyên tắc) phân định hay sai hay khơng Ví dụ, câu Trái đất cần 250 triệu năm để hết vòng xung quanh tâm giải Ngân Hà, chứa đựng phán đốn, câu phù hợp với thực tế, khơng Cịn câu hỏi Có thật giới song song với giới không?, không khẳng định hay phủ định điều gì, việc xác định hay sai hồn tồn vơ nghĩa, khơng chứa, khơng biểu thị phán đốn Câu “Tơi nói dối đây” khơng chứa phán đốn, ngun tắc ta khơng thể xác định hay sai27 Để thuận tiện trình bày, từ sau, trường hợp không sợ gây nhầm lẫn, đồng phán đốn với câu chứa phán đốn đó, sử dụng song song từ “phán đoán” “câu” Các loại phán đoán Căn vào tiêu chí khác người ta tiến hành cách phân chia phán đoán khác Sau ta xét số cách phân chia phán đoán quan trọng a) Phân chia theo độ phức hợp Phán đốn có cấu trúc đơn giản, có cấu trúc phức tạp Nếu phán đốn tách làm nhiều phán đốn khác gọi phán đốn phức, ngược lại gọi phán đốn đơn Phán đốn đơn phán đoán mà thành phần khơng phải phán đốn Các phán đoán (a), (b), (c), (d) nêu ví dụ phán đốn đơn, ta khơng thể tách chúng thành phán đốn đơn giản Cịn phán đốn (e) phán đốn phức, bao gồm hai phán đốn đơn: Các hành tinh thuộc hệ mặt trời quay quanh Mặt trời, Quỹ đạo quanh Mặt trời hành tinh thuộc hệ Mặt trời nằm mặt phẳng Phán đốn: “chuột lồi gặm nhấm động vật có hại”, phán đốn phức, tách thành hai phán đốn đơn giản sau: Chuột lồi gặm nhấm Chuột động vật có hại b) Phân chia theo thơng tin chứa phán đốn 27 Đây nghịch lý “Kẻ nói dối” tiếng Xin xem thêm Nguyễn Đức Dân, Những nghịch lý ngữ nghĩa, sách Các vấn đề logic truyền thống, I, NXB ĐHQG TP Hồ Chí Minh, tr 62 57 Ví dụ 2: (a) Cá voi nuôi sữa (b) Chắc chắn cá voi ni sữa (c) Có lẽ cá voi nuôi sữa (d) Đã chứng minh cá voi nuôi sữa (e) Tôi biết cá voi nuôi sữa (f) Cá voi nuôi sữa Xét phán đốn ví dụ 2, ta thấy chúng có phần “Cá voi ni sữa” Hơn nữa, dễ thấy khơng có phần câu khơng cịn phán đốn Vì vậy, người ta nói lượng thơng tin chứa phần phán đốn khảo sát lượng thơng tin Trừ phán đốn (a), phán đốn khác ví dụ ta xét ngồi lượng thơng tin cịn chứa thêm lượng thơng tin khác Lượng thơng tin gọi thơng tin phụ Các phán đốn chứa thơng tin gọi phán đốn thơng thường Các phán đốn ngồi thơng tin cịn chứa lượng thơng tin phụ gọi phán đốn tình thái (hay hình thái, hay mơ thái) Dễ thấy giá trị logic phán đốn khơng giống Trong chương trình xét phán đốn thơng thường, phán đốn tình thái, cần thiết, ta quy phán đốn thơng thường để xét II PHÁN ĐỐN THUỘC TÍNH ĐƠN Định nghĩa cấu trúc Như nói, phán đốn đơn phán đốn khơng tạo thành từ phán đốn khác, nghĩa khơng thể tách thành phán đoán đơn giản Như phán đoán đơn khẳng định hay phủ định tính chất đối tượng, khẳng định hay phủ định mối quan hệ định đối tượng Phán đốn đơn phản ánh có mặt thiếu vắng tính chất đối tượng Phán đốn loại gọi phán đốn thuộc tính, hay cịn gọi phán đốn tính chất Phán đốn đơn phản ánh có hay khơng có mối quan hệ đối tượng Phán đốn loại gọi phán đốn quan hệ Ví dụ 3: (a) Màu thời gian khơng xanh (b) Màu thời gian tím ngát (Đoàn Phú Tứ - “Màu thời gian”) (c) Sản phẩm sản xuất máy có giá thành thấp sản phẩm loại sản xuất tay; (d) Phụ nữ quan tâm đến mỹ phẩm nam giới; (e) Khứu giác lợn tốt khứu giác chó; (f) Việt Nam, Lào, Campuchia láng giềng nhau; 58 Các phán đốn (a) (b) ví dụ phán đốn thuộc tính, phán đốn cịn lại phán đoán quan hệ Trong phán đốn (a) phủ định tính chất xanh đối tượng màu thời gian, phán đốn (b) khẳng định tím ngát màu thời gian Trong phán đoán (e), quan hệ tốt hai đối tượng khứu giác lợn với khứu giác chó khẳng định Phán đoán (f) khẳng định quan hệ láng giềng ba đối tượng Việt Nam, Lào, Campuchia Phán đoán quan hệ khẳng định hay phủ định mối quan hệ hai, ba hay nhiều đối tượng Nếu số đối tượng hai mối quan hệ gọi quan hệ hai ngơi, ba có quan hệ ba ngơi Tổng qt, n đối tượng quan hệ n ngơi Căn theo số ngơi quan hệ mà người ta chia loại phán đốn nhiều phân loại Ví dụ, phán đốn “Về diện tích, nước Nga lớn Mỹ” khẳng định mối quan hệ lớn hai đối tượng diện tích nước Nga diện tích nước Mỹ Quan hệ lớn quan hệ hai ngơi Phán đốn “Nam, Hoa Hải bạn học” khẳng định mối quan hệ bạn học ba đối tượng Nam, Hoa, Hải Mối quan hệ bạn học quan hệ ba Ở chỗ khác quan hệ (2 ngơi) nhiều (4, 5, …) Căn vào việc phán đoán khẳng định hay phủ định mối quan hệ đối tượng, mà người ta chia phán đoán quan hệ theo chất, thành phán đoán khẳng định phán đoán phủ định Các phán đoán quan hệ nêu phán đoán khẳng định Phán đoán “Sông Vonga không lớn sông Nil” phủ định Đôi người ta tách riêng loại phán đoán đơn - phán đoán tồn -, phán đốn khẳng định hay phủ định tồn hay nhiều đối tượng Ví dụ: “Chúa khơng tồn tại”, “Có người hành tinh khác” Phán đốn tồn coi phán đốn thuộc tính (trong khẳng định hay phủ định tính chất tồn đối tượng) Vì ta khơng xem xét riêng chúng Ngồi phán đốn tồn tại, phán đốn quan hệ, quan hệ hai ngơi coi phán đốn thuộc tính Ví dụ, phán đốn “5 lớn 3” phán đốn quan hệ, khẳng định quan hệ lớn hai đối tượng Nhưng phán đốn coi phán đốn thuộc tính, khẳng định tính chất lớn đối tượng Ví dụ khác: phán đốn quan hệ “Mai Hằng bạn” coi phán đốn thuộc tính, khẳng định tính chất bạn Hằng đối tượng Mai Nếu phán đoán đơn đồng thời phán đốn thuộc tính gọi phán đốn thuộc tính đơn 59 Ví dụ 4: (a) (b) (c) (d) Vật chất định ý thức Rắn lồi bị sát Mọi người có quyền mưu cầu hạnh phúc Không quyền làm điều khơng muốn cho người khác phán đốn thuộc tính đơn Các phán đốn (a), (b) ví dụ (a), (b) ví dụ phán đốn thuộc tính đơn Để tìm hiểu cấu trúc phán đốn thuộc tính đơn, trước hết ta tìm hiểu hạn từ Hạn từ (term) biểu thức ngôn ngữ đối tượng đó, tập hợp đối tượng Hạn từ làm nhiệm vụ chủ ngữ bổ ngữ câu Chẳng hạn, “tơi”, “lồi chim”, “cá”, “Socrate”, hạn từ Để cho thuận tiện, tập hợp đối tượng hạn từ (trong trường hợp hạn từ đối tượng tập hợp chứa đối tượng đó) ta gọi ngoại diên hạn từ Về cấu trúc, phán đoán thuộc tính đơn cấu thành từ bốn thành phần: chủ từ (ký hiệu S), thuộc từ (ký hiệu P), lượng từ liên từ (hay gọi hệ từ)28 Chủ từ phán đốn thuộc tính đơn từ nêu lên đối tượng mà phán đốn nói tới Thuộc từ từ nêu lên tính chất mà phán đốn khẳng định hay phủ định đối tượng nêu chủ từ29 Hệ từ (còn gọi liên từ) từ biểu thị phủ định hay khẳng định Cịn lượng từ từ cho biết tính chất nêu thuộc từ khẳng định (phủ định) đối tượng thuộc ngoại diên chủ từ hay khẳng định (phủ định) số đối tượng thuộc ngoại diên chủ từ Lưu ý phán đốn thuộc tính đơn có đầy đủ bốn thành phần nêu Nhưng mặt ngơn ngữ lượng từ hệ từ ẩn, nghĩa không nêu dạng tường minh Chủ từ thuộc từ gọi hạn từ 30 phán đốn Ví dụ 5: (a) Nguyễn Trãi tác giả “Bình Ngơ Đại Cáo” (b) Rùa thú 28 Thông thường người ta hay coi phán đốn thuộc tính đơn cấu thành từ ba thành phần chủ từ, thuộc từ liên từ Cách phân chia vậy, theo chúng tôi, thuận tiện lĩnh vực lý luận nhận thức Tuy nhiên, để giải vấn đề tuý logic cách phân chia thành bốn thành phần tỏ tiện lợi 29 Một số tác giả cho chủ từ thuộc từ phán đoán khái niệm Tuy nhiên điều khơng bắt buộc Chẳng hạn, phán đoán Nguyễn Du danh nhân văn hóa giới, chủ từ Nguyễn Du khơng phải khái niệm 30 Đơi cịn gọi thuật ngữ Hạn từ thuật ngữ có gốc chữ Latinh terminus – giới hạn, biên giới, biểu thức, định nghĩa Nếu nói thật chặt chẽ thuộc từ phán đốn tắc hạn từ, cịn phán đốn phi tắc thuộc từ khơng phải hạn từ (xin xem thêm Phạm Đình Nghiệm, Một sốvấn đề lý thuyết tam đoạn luận đơn, sách Các vấn đề logic truyền thống, 1, NXB ĐHQG TP Hồ Chí Minh, năm 2004, tr 141) 60 (c) Trời mưa (d) Một số người thích ca cổ (e) Ai có quyền học hành (f) Hầu giới thành viên Liên hợp quốc Trong ví dụ (a) “Nguyễn Trãi” chủ từ , “tác giả “Bình ngơ đại cáo”” thuộc từ “là” hệ từ Lượng từ phán đoán ẩn, lượng từ “với mọi” Trong phán đoán (b) “Rùa” chủ từ, “thú” thuộc từ, “không phải là” hệ từ, lượng từ “tất cả” ngầm hiểu Trong phán đoán (c) “trời” chủ từ , “mưa” thuộc từ, lượng từ “với mọi” hệ từ “là” hiểu ngầm, tức biểu thị cấu trúc câu Phán đốn (d) có chủ từ “người”, thuộc từ “rất thích ca cổ”, lượng từ “một số”, hệ từ “là” ngầm hiểu Phán đốn (e) ví dụ có chủ từ “người”, thuộc từ “có quyền học hành”, hệ từ “là”, lượng từ “tất cả” Phán đoán (f) ví dụ có chủ từ “nước (quốc gia)”, thuộc từ “thành viên Liên hợp quốc”, lượng từ “hầu hết” (tương đương với “một số”), hệ từ “là” Lượng từ phán đoán thường biểu thị từ như: “mọi”, “tất cả”, “đa số”, “thiểu số”, “hầu hết”, “một số”, “có những”, “tồn tại”, “ai cũng”, “khơng ai”, v.v Phán đốn thuộc tính hiểu phán đoán bao hàm hay khơng bao hàm tồn hay phần tập hợp đối tượng tập hợp đối tượng khác Hoặc hiểu phán đoán đối tượng phần tử phần tử tập hợp đối tượng Ví dụ 6: (a) Sao Kim hành tinh hệ mặt trời (b) Mọi loài thú ni sữa Phán đốn thứ ví dụ nói lên Sao Kim phần tử tập hợp hành tinh hệ mặt trời Phán đốn thứ hai ví dụ khẳng định tập hợp loài thú bao hàm (là tập hợp con) tập hợp loài nuôi sữa Cách hiểu đặc biệt quan trọng, giúp ta hiểu rõ ràng tiên đề tam đoạn luận chương sau Các loại phán đốn thuộc tính đơn Căn vào hệ từ phán đốn thuộc tính đơn người ta chia chúng thành phán đoán khẳng định phán đoán phủ định Người ta gọi cách phân chia phân chia chất 61 Phán đoán khẳng định phán đoán khẳng định tất số đối tượng nêu chủ từ có tính chất nêu thuộc từ Trong phán đoán khẳng định hệ từ từ “là” cấu trúc ngôn ngữ tương đương Phán đốn phủ định phán đốn phủ định tính chất nêu thuộc từ tất số đối tượng nêu chủ từ Trong phán đốn phủ định hệ từ từ “khơng là” cấu trúc ngôn ngữ tương đương Các phán đốn (a), (b), (c) ví dụ 4, phán đốn (a), (c), (d), (e), (f) ví dụ phán đốn khẳng định Phán đốn (d) ví dụ 4, phán đốn (b) ví dụ phán đoán phủ định Căn theo lượng, người ta chia phán đốn thuộc tính thành phán đốn tồn thể phán đốn phận Phán đốn tồn thể phán đốn tính chất nêu thuộc từ khẳng định hay phủ định tất đối tượng thuộc ngoại diên chủ từ Nói cách khác: phán đốn nói tất đối tượng phản ánh chủ từ phần tử, phần tử tập hợp tất đối tượng phản ánh thuộc từ Các phán đoán (a), (b), (c), (d) ví dụ 4; (a), (b), (c), (e) ví dụ phán đốn tồn thể Phán đốn phận phán đốn khẳng định hay phủ định tính chất nêu thuộc từ số đối tượng thuộc ngoại diên chủ từ Các phán đốn (d), (f) ví dụ phán đoán phận Trong phán đoán (d) ví dụ 5, tính chất “rất thích ca cổ” khẳng định cho số người, ngoại diên “người” - chủ từ - tập hợp toàn người Trong phán đốn (f) tính chất thành viên Liên hợp quốc khẳng định cho số nước, ngoại diên chủ từ bao hàm tất nước Phán đốn đơn phán đốn tồn thể chủ từ hạn từ đối tượng Phán đốn đơn phán đốn tồn thể ngoại diên chủ từ bao gồm đối tượng nên tập hợp tất đối tượng thuộc ngoại diên chủ từ tập tập đối tượng thuộc ngoại diên thuộc từ, nằm hoàn toàn bên tập hợp Tất phán đơn phán đốn tồn thể nên ta khơng khảo sát riêng Các phán đốn (a), (b) ví dụ 4; (a), (c) ví dụ 5; (a) ví dụ phán đốn đơn Các phán đốn cịn lại ví dụ 4, 5, khơng phải phán đốn đơn Người ta phân chia kết hợp chất lượng phán đốn thuộc tính Phân chia vậy, ta bốn loại phán đốn: khẳng định tồn thể, khẳng định phận, phủ định toàn thể, phủ định phận Phán đốn khẳng định tồn thể phán đốn vừa tồn thể vừa khẳng định Ký hiệu A SaP, có cấu trúc Mọi S P Viết ngôn ngữ lý thuyết tập hợp: S ⊆ P Phán đốn phủ định tồn thể: phán đốn tồn thể phán đốn phủ định Ký hiệu E, SeP, có cấu trúc Mọi S không P 62 Viết ngôn ngữ lý thuyết tập hợp: S ∩ P = ∅ Phán đoán khẳng định phận: phán đoán khẳng định phán đoán phận Ký hiệu I, SiP, có cấu trúc Một số S P Viết ngôn ngữ lý thuyết tập hợp: S ∩ P ≠ ∅ Phán đoán phủ định phận: phán đoán phận phán đoán phủ định Ký hiệu O, SoP, có cấu trúc Một số S khơng P Viết ngôn ngữ lý thuyết tập hợp: S \ P ≠ ∅ Ví dụ 7: (a) Mọi lồi chim biết bay (b) Một số chất nở đóng băng (c) Khơng thích chiến tranh (d) Một số lồi thú khơng có nguy tuyệt chủng Trong ví dụ 7, phán đốn (a) phán đốn khẳng định tồn thể, (b) phán đốn khẳng định phận, (c) phán đốn phủ định tồn thể, (d) phán đoán phủ định phận Các phán đốn dạng A, E, I, O biểu thị sơ đồ Venn sau: Trong số trường hợp đặc biệt (chúng ta quay trở lại với chúng kỹ sau), phán đoán dạng A, I, O biểu diễn sau: Trong sơ đồ phần có màu sẫm phần đối tượng nói đến phán đốn Nội dung phán đốn tồn thể hiểu tùy thuộc việc có chấp nhận khái niệm rỗng hay khơng Logic truyền thống không chấp nhận khái 63 niệm hạn từ rỗng, logic đại lại chấp nhận khái niệm hạn từ rỗng, với ngoại diên tập hợp rỗng Nếu không chấp nhận khái niệm hạn từ rỗng, nghĩa khái niệm hạn từ khơng rỗng, phán đốn dạng A E hiểu tương ứng sau (ở với dạng phán đoán khác phần sau sử dụng ngôn ngữ logic vị từ để biểu đạt): S a P ⇔ ∃x S(x) & ∀x(S(x) ⊃ P(x)) S e P ⇔ ∃x S(x) & ∀x(S(x) ⊃ ¬ P(x)) Ngược lại, chấp nhận khái niệm hạn từ rỗng thành phần ∃x S(x) khơng có (vì ngoại diên S tập hợp rỗng, nghĩa khơng có phần tử nào) Các phán đốn tồn thể hiểu xác sau: S a P ⇔ ∀x(S(x) ⊃ P(x)) S e P ⇔ ∀x(S(x) ⊃ ¬ P(x)) Các phán đốn phận có hai cách hiểu khác nhau, tùy thuộc cách hiểu từ “một số” Trong cách hiểu thứ nhất, “một số” hiểu “chỉ số”, ta có: S i P ⇔ ∃x(S(x) & P(x)) & ∃x(S(x) & ¬ P(x)) S o P ⇔ ∃x(S(x) & ¬ P(x)) & ∃x(S(x) & P(x)) Dễ thấy cách hiểu hai phán đoán dạng I dạng O trở nên đồng với Đây cách hiểu người ta hay dùng đến sử dụng ngôn ngữ tự nhiên Thật vậy, thực tế, nghe nói: “Một số sinh viên nhận học bổng” ta thường hiểu có số sinh viên nhận học bổng, cịn số khác khơng nhận học bổng Và nghe nói: “Một số sinh viên khơng nhận học bổng” ta thường hiểu có số sinh viên khơng nhận học bổng, có số khác nhận học bổng Rõ ràng hai câu nói hiểu Với cách hiểu thứ hai, cách hiểu giúp phân biệt phán đoán dạng I dạng O, “một số” hiểu số không loại trừ “tất cả” Cụm từ ngơn ngữ tự nhiên thích hợp cho cách hiểu cụm từ “tồn tại”, “có những” Khi nói: “Có sinh viên nhận học bổng”, không loại trừ khả toàn sinh viên nhận học bổng Với cách hiểu ta có: S i P ⇔ ∃x(S(x) & P(x)) S o P ⇔ ∃x(S(x) & ¬ P(x)) Tính chu diên hạn từ phán đốn thuộc tính đơn Tính chu diên hạn từ phán đốn cho ta biết thơng tin phán đốn thơng tin nói phận, tồn thể đối tượng nói đến chủ từ thuộc từ Nếu hạn từ chu diên phán đoán ta có thơng tin (do phán đốn chứa đựng) hoàn toàn xác định đối tượng mà hạn từ phản 64 c) Phán đốn điều kiện (phán đốn kéo theo) Phán đốn điều kiện (cịn gọi phán đoán kéo theo) tạo thành từ hai phán đoán khác nhờ phép toán kéo theo (Implication) Trong ngơn ngữ tự nhiên phép tốn biểu thị từ cụm từ “nếu … …”, “…kéo theo …”, “từ …suy …”, cấu trúc ngơn ngữ tương đương khác Ví dụ 10: (a) Nếu anh bắn vào khứ súng lục tương lai bắn vào anh đại bác (Raxul Gamzatov “Đagestan tơi”) (b) Có nước có cá Người ta ký hiệu phép toán kéo theo dấu ⊃ Với giá trị chân lý A B A ⊃ B đúng? Ta biết “A kéo theo B” sai A B sai Còn A sai sao? Trong suy luận thơng thường toán học khoa học khác, thường người ta khơng xét đến trường hợp Nhưng logic học lại muốn định nghĩa phép tốn kéo theo cho xác định tồn tập hợp phán đốn Nó định nghĩa phép toán bảng mà bạn thấy phía Trong suy luận thơng thường người ta xét phép toán với cặp phán đoán A B có quan hệ với nội dung Cịn logic thì, bạn nhận thấy từ bảng định nghĩa phép toán kéo theo, phán đốn hồn tồn khơng có quan hệ với mặt nội dung31 d) Phán đốn tương đương A ≡ B viết tắt (A ⊃ B) & (B ⊃ A) Phán đoán A ≡ B giá trị chân lý phán đoán A B sai tất trường hợp khác Trong ngơn ngữ tự nhiên phán đốn tương đương thường phát biểu nhờ liên từ “tương đương”, “điều kiện cần đủ”, “kéo theo bị kéo theo bởi”, “khi khi” Kéo theo Tương đương A B A⊃B A B A≡B T T T T T T T F F T F F F T T F T F F F T F F T 31 Ta nói logic cổ điển Trong số hệ logic khác (ví dụ, logic relevant) người ta đưa vào điều kiện để đảm bảo cho phần tiền đề phần kết luận có mối liên hệ nội dung 71 e) Phán đoán phủ định Phán đoán phủ định loại phán đoán phức đặc biệt Đặc biệt, khác với phán đốn phức khác, phán đoán tạo thành từ nhiều phán đoán khác, phán đoán phủ định tạo thành từ phán đốn phép tốn phủ định Trong ngơn ngữ tự nhiên người ta phủ định phán đốn nhiều cách khác Ví dụ, phán đốn “khơng phải Nam sinh viên” “Nam khơng phải sinh viên” phán đoán phủ định phán đoán “Nam sinh viên” Nhưng logic người ta dùng cách để phủ định phán đoán, cụ thể đặt phép toán phủ định (¬) đằng trước Nếu A phán đốn ¬ A phán đốn phủ định A Phép toán phủ định định nghĩa bảng chân lý sau: Phủ định A ¬A T F F T Quy luật mâu thuẫn logic Trên nói logic hai giá trị phán đốn đúng, sai Nếu phán đốn phù hợp với thực tiễn đúng, khơng phù hợp với thực tiễn sai Nói chung, để xác định xem phán đốn có hay khơng ta phải đối chiếu với thực tiễn Thế có số trường hợp khơng cần đối chiếu trực tiếp với thực khách quan ta biết phán đốn hay sai Ví dụ, thời điểm định phán đốn trời mưa khơng mưa phán đốn Ta biết điều mà khơng cần phải xét xem trời mưa hay không mưa thời điểm Ngun nhân phán đốn nêu hai trường hợp trời mưa trời khơng mưa thời điểm Mà ngồi hai trường hợp khơng cịn trường hợp Như phán đoán trường hợp Những phán đoán trường hợp ta gọi phán đoán đúng, hay quy luật logic Trái lại, thời điểm bất kỳ, phán đoán trời mưa khơng mưa sai Nó sai trường hợp thực tế trời mưa, sai trường hợp thực tế trời khơng mưa Mà ngồi hai trường hợp khơng cịn trường hợp khác Nghĩa phán đoán sai trường hợp Những phán đoán sai trường hợp gọi phán đoán sai, hay mâu thuẫn logic Các khái niệm quy luật mâu thuẫn logic vừa nêu có ý nghĩa quan trọng Một suy luận công thức biểu thị quy luật logic, khơng thể cơng thức biểu thị mâu thuẫn logic 72 Các phương pháp xác định quy luật mâu thuẫn logic a) Lập bảng chân lý Theo định nghĩa mục trên, phán đoán quy luật logic trường hợp Để ý trường hợp tương ứng với phân bố giá trị chân lý phán đoán đơn Thật vậy, chẳng hạn, với trường hợp “trời mưa” phán đốn đơn trời mưa, đường ướt có giá trị đúng; phán đốn trời nắng,… có giá trị sai Nói cách khác, trường hợp “trời mưa” ứng với phân bố giá trị “đúng”, “đúng”, “sai”, … cho phán đoán đơn trời mưa, đường ướt, trời nắng … tương ứng Như phán đoán quy luật logic tất dịng bảng chân lý cơng thức có giá trị T (đúng) Tương tự thế, phán đoán mâu thuẫn logic tất dòng bảng chân lý cơng thức có giá trị F (sai) Chính lập bảng chân lý ta xác định xem phán đốn có phải quy luật logic hay không Không thế, bảng chân lý ta cịn xác định xem phán đốn có mâu thuẫn logic hay khơng Cho trước cơng thức Căn vào phép tốn biết, ta lập bảng chân lý cơng thức sau Bước Trước hết ta xác định xem cơng thức cho có phán đoán đơn khác Để ý phán đốn đơn xuất nhiều lần ta tính lần Nếu cơng thức có n phán đốn đơn khác bảng chân lý cơng thức có 2n dịng Mỗi dịng bảng chứa phân bố giá trị chân lý phán đốn đơn cơng thức với giá trị chân lý công thức xuất xây dựng công thức khảo sát, tất nhiên, giá trị chân lý công thức khảo sát Ta kẻ bên công thức bảng gồm 2n dịng phán đốn đơn, dấu toán tương ứng với cột Bước Với phán đốn đơn thứ (thứ tự chọn tùy ý) ta chia bảng thành hai phần Tại cột phán đốn dòng thuộc phần đầu ta ghi giá trị T (đúng), dòng thuộc phần sau ghi giá trị F (sai) Với phán đoán đơn thứ hai, hai phần bảng lại chia đơi Bây ta có bốn phần Tại cột phán đốn này, dịng phần lẻ ta ghi giá trị T, dòng phần chẵn ghi giá trị F Với phán đoán đơn cịn lại làm tương tự: phần có bảng chia thành hai phần dưới, dòng phần lẻ ghi giá trị T, dòng phần chẵn ghi giá trị F Đây bước gán giá trị cho phán đoán đơn Để ý dịng bảng phán đốn đơn dù xuất nhiều lần có giá trị Bước Ở bước ta tính giá trị cịn lại bảng, giá trị cơng thức tạo thành từ phán đốn đơn có mặt công thức ta khảo sát Giá trị chân lý công thức tạo thành từ phán đốn đơn xét khn khổ cơng thức khảo sát xác định dòng vào giá trị phán đốn đơn dịng phép tốn logic Lưu ý 73 công thức nằm ngoặc đơn phải xác định trước, sau giá trị chân lý chúng để xác định giá trị chân lý cơng thức có chứa chúng Thứ tự thực phép tốn ¬, &, ∨, ∨, ⊃, ≡ , phép tốn có độ ưu tiên chúng thực từ phải sang trái Cột giá trị thực cuối cột giá trị công thức khảo sát Căn vào cột biết cơng thức có quy luật logic hay khơng, nên gọi cột đại diện Dấu toán tương ứng với cột đại diện gọi dấu tốn cơng thức Dịng có giá trị T cột đại diện gọi dịng đúng, dịng có giá trị F cột đại diện gọi dịng sai Một cơng thức (hay gọi quy luật logic) bảng chân lý nó, cột đại diện có giá trị T tất hàng Nói cách khác, cơng thức tất dịng bảng chân lý dịng Hay, cơng thức quy luật logic bảng chân lý khơng có dịng sai Công thức sai (hay mâu thuẫn logic), cột đại diện bảng chân lý có giá trị F dòng, nghĩa tất dòng bảng chân lý dòng sai Hay vậy, công thức mâu thuẫn logic bảng chân lý khơng có dịng Cơng thức vừa khơng phải quy luật logic, vừa không mâu thuẫn logic Công thức vừa xét công thức Ví dụ, bảng chân lý cơng thức (p ∨ q) & (¬ r) sau: Ví dụ sau minh họa bước lập bảng chân lý cơng thức Trong ví dụ chúng tơi đánh số phép tốn có cơng thức theo thứ tự giảm dần độ ưu tiên để bạn đọc dễ theo dõi trình tự thực chúng (các số ghi đầu dấu tốn tương ứng) Cơng thức khảo sát: ((p ∨ q) & (p ∨ r)) ⊃ (¬ p ∨ ¬ r) ∨ (¬ q & ¬ r) Độ ưu tiên thực phép toán (số nhỏ độ ưu tiên cao): 74 ((p ∨ q) & (p ∨ ∨ ¬ r) ∨ r)) ⊃ (¬ p (¬ q & ¬ r) Các phép tốn có độ ưu tiên thực theo thứ tự tuỳ ý Trong công thức có ba mệnh đề đơn khác p, q r Vậy bảng chân lý có 23 = dòng Kẻ bảng gán giá trị cho mệnh đề đơn (coi p mệnh đề đơn thứ nhất, q thứ hai r thứ ba), ta được: ((p ∨ q) & (p T T T ∨ r)) ⊃ (¬ p ∨ ¬ r) ∨ (¬ q T T T T T T T T F T F T F T F T T T T F T T F T F T F F F F T F T F T T T F T F F F F T F F F F T F T F T F F F F F F F F & ¬ r) Thực phép tốn có độ ưu tiên 1, ta bảng sau: ((p ∨ q) & (p ∨ r)) ⊃ (¬ p T T T T T T F T T T T T F T T F T T F T T ∨ ¬ r) ∨ (¬ q T F T F T F T F T T F F T T F T F T F T T F F T T F F T T F T F T F & ¬ r) F T T F T T T F F T F T F T F T T F F F T F T F F T T F F F F F T T T F F T T F F T F F F F F F T F T F T F T F 75 Thực phép tốn có độ ưu tiên 2, ta được: ((p ∨ q) & (p ∨ r)) ⊃ (¬ p ∨ ¬ r) ∨ (¬ q T T T T T T T F T F F T F T F F T T T T T T T F F T T T F F T F T F T T F T T T T F T F F T T F F F T T T F T T T F F T T T F T F T T F F T T T F T T T F T F T F T F F T F T T F F F F T F T T F F T F T F F F F F F T T T F T F T T F F F T F F F F F F F T F T T F T F T T F & ¬ r) Trong bảng giá trị cột đánh bóng đậm nhận vào giá trị hai cột đánh bóng mờ hai bên Thực phép tốn tiếp theo, ta được: ((p ∨ q) & (p T T T T T T T T T T T F T T F ∨ r)) ⊃ (¬ p ∨ ¬ r) ∨ (¬ q & ¬ r) T T F T F F T F F T F F T T T F F T T T F T F T F T F T T T T F T F F T F T F F F T F T T T F F T T T F T T F T T F T T T F T T T F T F T T F T F F T F T T F F F F T F T T F T F T F T F F F F F F T T T F T F T T T F F F T F F F F F F F T F T T F T T F T T F Kết nhận cột đánh bóng đậm bảng vào cột đánh bóng mờ 76 Bây thực phép tốn cịn lại, tức phép tốn chính, ta được: ((p ∨ q) & (p T T T T T T T T T T T F T T F ∨ r)) ⊃ (¬ p ∨ ¬ r) ∨ (¬ q & ¬ r) T T F F T F F T F F T F F T T T F T F T T T F T F T F T F T T T T F F T F F T F T F F F T F T T T F T F T T T F T T F T T F T T T F T T T T F T F T T F T F F T F T T F F F F T T F T T F T F T F T F F F F F F T T T T F T F T T T F F F T F F F F F F F T T F T T F T T F T T F Cột đại diện - cột đánh bóng đậm, nhận vào cột đánh bóng mờ - cho thấy bảng có dịng sai dịng Như cơng thức khảo sát quy luật logic, mâu thuẫn logic Chúng ta vừa thấy việc lập bảng chân lý đơn giản Với công thức logic phán đốn lập bảng chân lý để xác định có phải quy luật hay mâu thuẫn logic hay khơng Bảng chân lý cịn sử dụng để giải nhiều vấn đề khác Số dịng bảng chân lý cơng thức phụ thuộc vào số lượng phán đoán đơn khác tạo nên tăng theo gấp đơi số phán đốn đơn tăng lên Với cơng thức chứa phán đốn đơn số dịng 23 = 8, chứa phán đốn đơn số dịng 28 = 256 ! Bởi vậy, người ta phải tìm cách giảm khối lượng tính tốn để giải nhiều toán logic Ở ta nghiên cứu phương pháp Đó phương pháp lập bảng ngữ nghĩa, cịn gọi bảng chân lý rút gọn b) Lập bảng ngữ nghĩa (bảng chân lý rút gọn) Đây phương pháp xác định xem cơng thức cho trước có phải quy luật logic hay khơng cách tìm xem bảng chân lý có dịng sai hay khơng, khơng lập bảng chân lý cơng thức Nếu khơng có dịng sai bảng chân lý cơng thức cho quy luật logic Cịn có cơng thức cho quy luật logic Nếu phương pháp lập bảng chân lý công thức ta từ chỗ biết giá trị chân lý công thức thành phần đến việc xác lập giá trị tồn cơng thức, đây, ngược lại, ta từ chỗ biết giá trị tồn cơng thức đến việc xác định giá trị cơng thức thành phần Để nghiên cứu phương pháp ta xem xét vài ví dụ 77 Ví dụ Xét cơng thức ((p ⊃ q) & p) ⊃ q Bước Như nói trên, ta bắt đầu cách giả định công thức khơng phải quy luật logic Vậy thì, theo định nghĩa, phải có giá trị F dịng bảng chân lý Ta viết giá trị F vào cột tương ứng với công thức cho ban đầu Ở bước ta cố gắng xác định xem dòng có tồn khơng? Bước Tiếp theo, theo định nghĩa phép ⊃, ((p ⊃ q) & p) ⊃ q có giá trị F công thức (p ⊃ q) & p q có giá trị tương ứng T F Vì ta ghi giá trị vào vị trí tương ứng Bước (p ⊃ q) & p có giá trị T (p ⊃ q) p có giá trị T Ta ghi giá trị vào chỗ chúng Ở bước ta ghi thêm giá trị F phán đoán đơn q biết bước (nói chung bước thứ ta ghi giá trị tất phán đoán đơn biết từ bước trước nó) Bước Cơng thức (p ⊃ q), với giá trị T p, có giá trị T q có giá trị T Ta ghi giá trị vừa tìm vào bảng Ta ghi thêm, nói phía trên, tất giá trị chân lý biết bước trước phán đoán đơn Bước ((p ⊃ q) & p) q F T ⊃ T T F T T F T F Đến ta xác định giá trị tất lần xuất phán đốn đơn cơng thức Bảng lập xong Dòng cuối bảng cho biết điều kiện mà dòng bảng chân lý công thức phải thỏa mãn để giá trị công thức dịng sai Ở dịng cuối bảng ta thấy phán đoán đơn q vừa lại vừa sai Như điều kiện mà ta xác định điều kiện mâu thuẫn nên khơng dịng bảng chân lý cơng thức thỏa mãn Nói cách khác, cơng thức quy luật logic Bảng gọi đóng dịng cuối có nghịch lý Chẳng hạn có cơng thức vừa có giá trị vừa có giá trị sai Ví dụ Xét cơng thức ((p ∨ q) & ¬ q) ⊃ p Bước Ta giả định công thức quy luật logic Vậy thì, theo định nghĩa, phải có giá trị F dịng bảng chân lý 78 Ta viết giá trị F vào cột tương ứng với công thức cho ban đầu Ở bước ta cố gắng xác định xem dịng có tồn không? Bước Tiếp theo, theo định nghĩa phép ⊃, ((p ∨ q ) & ¬ q) ⊃ p có giá trị F cơng thức (p ∨ q ) & ¬ q p có giá trị tương ứng T F Vì ta ghi giá trị vào vị trí tương ứng Bước ( p ∨ q ) & ¬ q có giá trị T (p ∨ q ) ¬ q có giá trị T Ta ghi giá trị vào chỗ chúng Ở bước ta cịn ghi thêm giá trị F phán đốn đơn p biết bước Bước Công thức ¬ q có giá trị T q có giá trị F Ta ghi giá trị vừa tìm vào bảng Ta ghi thêm, nói phía trên, tất giá trị chân lý biết bước trước phán đốn đơn Bước Cơng thức (p ∨ q ) có giá trị T hai trường hợp: Khi p có giá trị T q có giá trị T Để biểu thị điều này, ta phân đôi bảng, bảng tương ứng với hai trường hợp nêu trên: Bước ((p 5.1 T 5.2 ∨ X T Bảng thứ hai F F & T T T X ¬q) p ⊃ F F F T F F F F Bảng thứ F F q) X bảng có nghĩa giá trị Cả hai bảng bảng ban đầu đóng, ta nói bảng ban đầu bảng đóng Như thấy bước 5.1 5.2, hai trường hợp p có giá trị T q có giá trị T dẫn đến kết vơ lý Như có nghĩa khơng tồn tổ hợp giá trị chân lý phán đoán đơn thoả mãn điều kiện để giá trị công thức cho ban đầu F Vậy, ta kết luận giả định ban đầu ta công thức (p ∨ q ) & q ) ⊃ p quy luật logic giả định sai lầm Và vậy, phải quy luật logic Bảng theo kiểu bảng mà ta vừa xây dựng cho cơng thức gọi bảng ngữ nghĩa cơng thức 79 Qua hai ví dụ ta thấy bảng ngữ nghĩa cơng thức phân thành bảng (như ví dụ 2), không phân thành bảng ( ví dụ 1) Bảng ngữ nghĩa cơng thức cịn phân chia thành bảng con, bảng đó, đến lượt nó, lại phân thành bảng nhỏ nữa, Khi bảng phải phân chia thành bảng con? Những suy luận nhằm tìm giá trị cơng thức hai ví dụ cho ta thấy điều xảy ta từ giá trị xác định công thức cố gắng xác định giá trị công thức thành phần Và có phải phân chia bảng hay khơng tuỳ thuộc vào dạng cơng thức có công thức thành phần mà ta muốn xác định giá trị Chú ý: Ở ví dụ đây, ta sử dụng giá trị biết từ bước thứ biến p, ta sử dụng giá trị biết từ bước số q để với giá trị biết công thức p ∨ q tiến hành xác định giá trị biến cịn lại ta khơng cần phải phân chia bảng thành bảng Bảng ngữ nghĩa cơng thức ví dụ có dạng sau: Bước ((p ∨ q) & ¬ q) T F F T T T T F T ⊃ F F F F F F p F F F F F Ở dịng số ta thấy biến q vừa có giá trị T vừa có giá trị F Điều chứng tỏ khơng có dịng sai bảng chân lý cơng thức khảo sát Nói cách khác, công thức mà ta khảo sát quy luật logic Bạn đọc nhận thấy ví dụ bước số ta sử dụng giá trị biết biến p, mà sử dụng giá trị biết biến q Tổng quát hơn, biết giá trị công thức dạng A ⊗ B (với ⊗ phép toán phán đoán ⊃, &, ∨, ∨ ) giá trị công thức thành phần A B vấn đề đặt nên chọn giá trị giá trị biết sử dụng đồng thời hai giá trị hay khơng? Dựa vào bảng định nghĩa phép toán phán đoán ta có câu trả lời sau cho câu hỏi này: * Nếu việc sử dụng hai giá trị A B không mâu thuẫn với giá trị biết A ⊗ B ta dùng hai giá trị * Nếu việc sử dụng hai giá trị A B mâu thuẫn với giá trị biết cơng thức A ⊗ B ta dùng hai giá trị Và phải sử dụng giá trị thành phần mà nhờ với giá trị biết A ⊗ B xác định giá trị thành phần Nếu biết giá trị hai thành 80 phần ta sử dụng kết hợp với giá trị tồn cơng thức để xác định (nếu được) giá trị thành phần cịn lại * Ta coi giá trị biết A B chưa biết không sử dụng giá trị số chúng (như ví dụ đây) Liên kết điều trình bày với định nghĩa phép toán logic, ta rút quy tắc chung sau cách xây dựng bảng ngữ nghĩa cơng thức: ¬A A∨ B ⇒ A = F ⇒ B= T T F T ¬A A∨ B ⇒ A = T ⇒ A=T F T F A&B 10 A⊃B ⇒ A = T, B = T ⇒ B=T T A∨B TT 11 ⇒ A = F, B = F F A⊃B 12 a) A = F, B = X ⇒ F A&B 13 b) B = F, A = X A∨ B a) A = T, B = X ⇒ B=F T F T A&B 14 ⇒ F T A&B ⇒ A = T, B = F ⇒ ⇒ A=F TF F A⊃B b) B = T, A = X A ⊃ B a) A = F, B = X ⇒ A =F T b) B = T, A = X Các quy tắc từ số đến số tạo thành nhóm quy tắc I, nhóm II gồm quy tắc từ số đến số 11, nhóm III gồm quy tắc lại Khi lập bảng ngữ nghĩa công thức, không bắt buộc, thuận tiện trước hết áp dụng quy tắc nhóm I, quy tắc khơng 81 áp dụng áp dụng quy tắc nhóm II, khơng thể áp dụng quy tắc thuộc hai nhóm đầu áp dụng quy tắc nhóm III Để cho chặt chẽ, ta đưa số định nghĩa Định nghĩa Một bảng tận (là bảng khơng có bảng con, bảng mẹ bảng bảng bảng khác) bảng ngữ nghĩa cơng thức gọi đóng chứa dịng có (hoặc nhiều) nghịch lý (chẳng hạn tồn phán đoán đơn vừa có giá trị T vừa có giá trị F, cơng thức dạng A & B có giá trị F, A B có giá trị T, …) Bảng mẹ gọi đóng, tất bảng đóng Bảng ngữ nghĩa công thức bảng tận bảng mẹ, nên định nghĩa cho ta khái niệm bảng ngữ nghĩa đóng cơng thức Dễ dàng chứng minh công thức quy luật logic có bảng ngữ nghĩa đóng quy luật logic có bảng Vì vậy, sử dụng thuật ngữ vừa đưa ta có: Định lý Công thức A quy luật logic A có bảng ngữ nghĩa đóng So sánh việc xây dựng bảng ngữ nghĩa với việc xây dựng bảng chân lý công thức để xác định xem cơng thức có phải quy luật logic hay khơng ta thấy xây dựng bảng ngữ nghĩa đỡ phải tính tốn nhiều Ta xét thêm ví dụ ứng dụng phương pháp lập bảng ngữ nghĩa Ví dụ Theo truyền thuyết, người đốt thư viện Alecxandre Omahr suy luận sau: “Nếu sách ngài với kinh Koran sách ngài thừa Nếu sách ngài không với kinh Koran sách ngài có hại Sách thừa có hại cần phải đốt bỏ Vậy sách ngài cần phải đốt bỏ” Hãy xét xem suy luận Omahr có khơng Giải: Suy luận Omahr viết dạng cơng thức thành: (((p ⊃ q) & (¬ p ⊃ r)) & ((q ∨ r) ⊃ s)) ⊃ s Nếu công thức vừa dẫn (ta gọi cơng thức Omahr) quy luật logic suy luận Omahr Ngược lại suy luận Omahr sai Ta lập bảng ngữ nghĩa công thức Omahr 82 (((p ⊃ q) & ( ¬ p ⊃ r)) & ((q ∨ r) ⊃ s)) ⊃ s F T F T T T T T T T T T F F F F T F F F F F F F F F F F F F F T F F F F F F F F T F F F F F Các dấu mũi tên bảng cho ta biết giá trị mà mũi tên nhận từ đâu Ở dòng cuối bảng ta thấy phán đốn đơn p vừa có giá trị F, vừa có giá trị T (các giá trị in đậm bảng) Vậy bảng đóng, nghĩa suy luận Omahr Biến đổi tương đương Ta phát quy luật logic cách biến đổi tương đương công thức thành công thức khác mà ta biết rõ có quy luật logic hay khơng Ngồi việc ứng dụng để xác định quy luật logic, biến đổi tương đương cơng thức cịn giúp phát cơng thức tương đương với Như biết, công thức tương đương với cơng thức có giá trị logic với phân bố giá trị phán đoán đơn thành phần chúng Trong phần ta nghiên cứu phương pháp biến đổi đại số boole Trong đại số boole, phép toán logic ký hiệu sau: A & B ký hiệu A B , (hoặc AB) gọi phép nhân logic; A ∨ B ký hiệu A + B gọi phép cộng logic; ¬A A ký hiệu gọi phép bù logic; Quy luật logic ký hiệu 1; Mâu thuẫn logic ký hiệu 0; Từ A ⊃ B viết thành A + B Dễ thấy rằng: A + A = A; (luật đồng nhất, luật nuốt); A.A (luật đồng nhất, luật nuốt); = A; 83 A + B = B + A (tính chất giao hoán phép cộng); A + (B + C) = (A + B) + C (tính chất kết hợp phép cộng); A.B= B.A A (B C) = (A B) C (tính chất kết hợp phép nhân); A (B + C) = A.B + A.C (tính chất phân phối phép cộng phép nhân); A + (B C) = (A + B) (A + C ) (tính chất phân phối phép nhân phép cộng); A + (A.B) = A (luật giản lược); 10 A.(A+B) = A (luật giản lược); 11 A+A =1; (định nghĩa số 1); 12 A.A =0; (định nghĩa số 0); 13 A = A (luật hoàn nguyên); 14 A+B = A B (luật De Moorgan); 15 A.B = A + B (luật De Moorgan); (tính chất giao hoán phép nhân); Trong đẳng thức logic nào, thay biểu thức (tức cơng thức) biểu thức khác tương đương với đẳng thức xác lập Các ví dụ: A + = A + (A + A) = (A + A) + A =A+A = A + = A + (A A) = A A.1 = A (A + A) = A A.0 = A.(A.A) = (A.A).A 84 = A.A = ((A & B) ∨ (A & ¬B)) ⊃ A = (A B + AB) + A = A(B + B ) + A = A.1 + A = A + A = 1, quy luật logic ((¬A ⊃ B) & (¬ A ⊃ ¬B)) ⊃ A = ((A + B) (A + B)) ⊃ A = ((A + B) (A + B)) ⊃ A = (A + B) (A + B) + A = (A + B) + (A + B) + A = A.B + A.B + A = A (B + B) + A = A + A = A + A = A B + A B = B Chứng minh: A B + A B = B (A + A) = B = B A + A.B = A + B Chứng minh: A + A B = (A + A ) (A + B) = (A + B) = A + B 85 ... phán đốn nói đến phần tử P đồng thời phần tử S khơng nói tất phần tử P, mà ta lại khơng biết xác a thuộc phần P mà phán đốn nói đến hay khơng thuộc phần Ví dụ: phán đốn số nhà khoa học nhà thơ, chủ... đốn này, dịng phần lẻ ta ghi giá trị T, dòng phần chẵn ghi giá trị F Với phán đốn đơn cịn lại làm tương tự: phần có bảng chia thành hai phần dưới, dòng phần lẻ ghi giá trị T, dòng phần chẵn ghi... F F F T T F T F F F T F F T 31 Ta nói logic cổ điển Trong số hệ logic khác (ví dụ, logic relevant) người ta đưa vào điều kiện để đảm bảo cho phần tiền đề phần kết luận có mối liên hệ nội dung