Sáng kiến kinh nghiệm Dạy học Giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình a đặt vấn đề Nh đà biết, từ ngày đầu cắp sách đến trờng Học sinh lớp đà đợc tập giải phơng trình Đó phơng trình đơn giản dới dạng điền số thích hợp vào ô trống Đối với học sinh lớp cao tính chất phức tạp đề toán dới dạng phơng trình dần đợc nâng lên Đó phơng trình viết sẵn, học sinh việc giải phơng trình, tìm ẩn số Tuy nhiên học sinh lớp 8, lớp đề toán phơng trình có thêm dạng toán có lời, học sinh vào đề toán để thành lập phơng trình Kết toán không phụ thuộc vào kỹ giải phơng trình phụ thuộc nhiều vào việc thành lập phơng trình Đề toán đoạn văn mô tả mối quan hệ đại lợng đà biết đại lợng cần tìm Yêu cầu học sinh phải có kiến thức phân tích, khái quát, tổng hợp liên kết đại lợng với nhau, chuyển đổi từ ngôn ngữ thông thờng sang ngôn ngữ toán học để thành lập phơng trình để giải Nội dung toán hầu hết gắn với thực tiễn đời sống ngời, nên trình giải loại toán học sinh thờng không lu tâm đến yếu tố thực tiễn dẫn đến đáp số vô lý Việc giải toán cách lập phơng trình học sinh bậc THCS việc làm mẻ khó khăn, dễ gây tình trạng học sinh chán nản sợ hÃi gặp dạng toán Chính nhiệm vụ ngời thầy giáo không đơn truyền thụ cho học sinh kiến thức theo trình tự sách giáo khoa, mà vấn đề đặt ngời thầy phải dạy cho học sinh phơng pháp giải loại toán phải dựa qui tắc chung là: Yêu cầu giải toán, qui tắc giải toán cách lập phơng trình , phân loại loại toán dựa vào trình biến thiên đại lợng làm sáng tỏ mối quan hệ đại lợng dẫn đến lập đợc phơng trình dễ dàng Đây bớc đặc biệt quan trọng khó khăn học sinh Qua tham khảo, học hỏi kinh nghiệm rút sau năm giảng dạy lớp 8, lớp trực tiếp thử nghiệm, viết sáng kiến kinh nghiệm: Dạy giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình b nội dung I Phơng pháp nghiên cứu yêu cầu giải toán Phơng pháp nghiên cứu Giải toán cách lập phơng trình (hệ phơng trình ) trọng tâm Đại số 8, Nó đòi hỏi khả phân tích trừu tợng hoá kiện cho toán thành kiến thức phơng trình (hệ phơng trình ) Nó đòi hỏi kĩ giải phơng trình ( hệ phơng trình ) lựa chọn nghiệm thích hợp Vì phơng pháp hớng dẫn học sinh giải loại toán dựa vào qui tắc chung: Tóm tắt bớc giải toán cách lập phơng trình * Bớc 1: Lập phơng trình (hệ phơng trình ) - Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số - Biểu diễn đại lợng cha biết theo ẩn đại lợng đà biết - Lập phơng trình (hệ phơng trình ) biểu thị mối quan hệ đại lợng * Bớc 2: Giải phơng trình (hệ phơng trình ) * Bíc 3: Tr¶ lêi: KiĨm tra xem nghiệm, nghiệm thoả mÃn điều kiện ẩn, nghiệm không, kết luận Mặc dù đà có qui tắc xong ngời giáo viên trình hớng dẫn giải loại toán cho học sinh vận dụng theo sát yêu cầu giải toán nói chung Yêu cầu giả toán 2.1 Yêu cầu 1: Lời giải không phạm sai lầm sai sót nhỏ Muốn cho học sinh không mắc sai phạm giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đề toán trình giải sai sót kiến thức, phơng pháp suy luận, kỹ tính toán, ký hiệu, điều kiƯn cđa Èn, ph¶i rÌn cho häc sinh thãi quen đặt điều kiện cho ẩn xem xét, đối chiếu kết với điều kiện ẩn có hợp lý cha 2.1 Yêu cầu 2: Lời giải toán lập luận phải có xác Đó trình thực bớc có lôgic chặt chẽ với nhau, có sở lý luận chặt chẽ, đặc biệt phải ý đến việc thoả mÃn điều kiện nêu giả thiết Xác định ẩn khéo léo, quan hệ ẩn kiện đà cho làm bật đ ợc ý phải tìm Nhờ mối tơng quan đại lợng toán thiết lập đợc phơng trình (hệ phơng trình ) từ tìm đợc giá trị ẩn số Muốn giáo viên cần làm cho học sinh hiểu đợc đâu ẩn? đâu kiện? đâu điều kiện? Có thể thoả mÃn đợc điều kiện hay không? điều kiện có đủ để xác định đợc ẩn không? Từ mà xác định hớng đi, xây dựng đợc cách giải Ví dụ 1: Hai cạnh khu đất hình chữ nhật 4m Tính chu vi khu ®Êt ®ã nÕu biÕt diƯn tÝch cđa nã b»ng 1200m2 Hớng dẫn: toán hỏi chu vi hình chữ nhật Học sinh thờng có xu toán hỏi gọi ẩn, gọi chu vi hình chữ nhật ẩn toán vào bế tắc khó có lời giải Giáo viên cần hớng dẫn học sinh phát triển sâu khả suy diễn để từ đặt vấn đề: Muốn tính chu vi hình chữ nhật ta cần biết gì? => (cạnh hình chữ nhật) Từ đó: Gọi chiều rộng khu đất hình chữ nhật x (đơn vị mét, điều kiện x > 0) Từ có phơng trình x ( x + ) = 120 x2 + 4x 1200 = Giải phơng trình ta có: x1 = 30; x2 = -34 Giáo viên giúp học sinh từ điều kiện để loại nghiệm x2 = -34 ChØ lÊy x1 = 30 => chiÒu dµi lµ 30 + = 34 Chu vi lµ: 2(30 + 34) = 128(m) Lu ý: toán nghiệm x2 = -34 có giá trị tuyệt đối chiều dài hình chữ nhật, học sinh dễ mắc sai lầm coi kết (nghiệm) toán 2.3 Yêu cầu 3: Lời giải phải đầy đủ, mang tính toàn diện Hớng dẫn học sinh không đợc bỏ sót khả chi tiết nào, không thừa nhng không thiếu, rèn cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải đà đầy đủ cha? Kết toán đà đại diện phù hợp với chung Nếu thay đổi điều kiện toán rơi vào trờng hợp đặt biệt kết ®óng VÝ dơ 2: Mét tam gi¸c cã chiỊu cao cạnh đáy Nếu chiều cao tăng thêm 3dm cạnh đáy giảm 2dm diện tích tăng thêm 12dm Tính chiều cao cạnh đáy? Hớng dẫn: Lu ý cho học sinh dù có thay đổi chiều cao, cạnh đáy tam giác diện tích (S) đợc tính theo công thức S= x (cạnh đáy x chiều cao) Từ gọi chiều dài cạnh đáy(lúc đầu) x(dm) x > Thì chiều cao (lúc đầu) => Diện tích lúc đầu Diện tích sau lµ x x x ( x − 2). x + Ta có phơng trình ( x − 2). x +  − x = 12   4 4x Giải phơng trình ta đợc x= 20 thoả mÃn điều kiện => Chiều cao lúc đầu 20 = 15dm 2.4 Yêu cầu 4: Lời giải toán phải đơn giản Bài toán phải đảm bảo đợc yêu cầu không sai sót, có lập luận, mang tính toàn điện phù hợp kiến thức, trình độ học sinh, đại đa số học sinh hiểu làm đợc Ví dụ 3: (Bài toán cổ) Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn 36 100 chân chẵn Hỏi có gà, chó? Với toàn giải nh sau: Gọi số gà x (x > 0; x N ), số chó 36 x Số chân gà 2x; số chân chó 4(36 - x) Ta có phơng trình 2x + 4(36 x) = 100 Giải ta có: x = 22=> Số gà 22 Sè chã lµ 36 – 22 = 14con Thì toán ngắn gọn, dễ hiểu Nhng có học sinh giải theo cách dùng ẩn (x, y), gọi chân gà x đà vô tình đa thành toán khó hiểu không hợp vào trình độ học sinh 2.5 Yêu cầu 5: Lời giải phải trình bày khoa học Đó lu ý đến mối quan hệ bơc giải toán phải lôgic, chặt chẽ với Các bớc sau đợc suy từ bớc trớc đà đợc kiểm nghiệm, chứng minh điều đà biÕt tõ tríc VÝ dơ 4: ChiỊu cao cđa mét tam giác vuông = 9,6m chia cạnh huyền thành hai đoạn 5,6m Tính độ dài cạnh huyền tam giác? Ta có hình vẽ A B (nhỏ) H (lớn) C Theo hình vẽ toán yêu cầu tìm độ dài BC biết AH Trớc giải cần kiểm tra kiến thức học sinh để củng cố công thức AH2 = BH CH Để từ ®ã: Gäi ®é dµi BH lµ x (x>0)(m) => CH có độ dài x + 5,6 Ta có phơng trình x ( x + 5,6) = 9,62 Giải phơng trình ta có x = 7,2 thoả mÃn điều kiện => độ dài cạnh huyền (7,2 + 5,6) + 7,2 = 20(m) 2.6 Yêu cầu 6: Lời giải toán phải rõ ràng, đầy đủ, nên thử lại Lu ý đến việc giải bớc lập luận, tiến hành không chồng chéo, phủ định lẫn Kết phải nên rèn cho học sinh thói quen thử lại kết tìm hết nghiệm toán, tránh bỏ sót phơng trình bậc 2, hệ phơng trình II Các giai đoạn giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình Phân giai đoạn: Để đảm bảo yêu cầu giải toán bớc qui tắc giải nh đà nêu phần I giải toán loại chia thành giai đoạn cụ thể nh sau: 1.1 Giai đoạn 1: Đọc kĩ đề bài, phân tích viết giả thiết, kết luận toán Giúp học sinh hiểu toán cho kiện gì? Cần tìm gì? Có thể mô tả hình vẽ đợc không? 1.2 Giai đoạn 2: Nêu rõ vấn đề liên quan để lập phơng trình Tức chọn ẩn nh cho phù hợp, điều kiện ẩn cho thoả mÃn 1.3 Giai đoạn 3: Lập phơng trình Dựa vào quan hệ ẩn số đại lợng đà biết, dựa vào công thức, tính chất để xây dựng phơng trình, biến đổi tơng đơng phơng trình phơng trình dạng đà biết 1.4 Giai đoạn 4: Giải phơng trình: Vận dụng kỹ giải phơng trình đà biết để tìm nghiệm phơng trình 1.5 Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm phơng trình để xác định lời giải toán Tức xét nghiệm phơng trình với điều kiện đặt toán với thực tiễn xem có phù hợp không? 1.6 Giai đoạn 6: Trả lời toán, kết luận nghiệm toán có nghiệm sau đà đợc thử lại 1.7 Giai đoạn 7: Phân tích biện luận cách giải thờng mở rộng với học sinh khá, giỏi sau đà giải xong hỏi ý kiến học sinh biến đổi toán đà cho thành toán khác nh: - Giữ nguyên ẩn số thay đổi giữ kiện, giả thiết - Giữ nguyên kiện thay đổi ẩn giả thiết - Giải toán cách khác, tìm cách giải hay Ví dụ minh hoạ cho giai đoạn giải toán cách lập phơng trình Ví dụ 5: Nhà Bác An thu hoạch đợc 480kg cà chua khoai tây Khối lợng khoai tây gấp lần khối lợng cà chua Tính khối lợng loại? Hớng dẫn giải: + Giai đoạn 1: Giả thiết: Khoai + cà chua = 480kg Khoai = 3lần cà chua Kết luận: Tìm kg khoai? Kg cà chua? + Giai đoạn 2: Thờng là: Điều kiện cha biết đợc gọi ẩn? số lợng cà chua khoai tây cha biết nên gọi ẩn loại (hoặc loại) Cụ thể: Gọi khối lợng khoai x(kg) x>0 Thì khối lợng cà chua 480 x(kg) (Hoặc khối lợng khoai x, khối lợng cà chua y(kg) x, y > => x+ y = 480) + Giai đoạn 3: Lập phơng trình Do mối quan hệ Khoai = x cà chua Ta có phơng tr×nh x = 3(480 – x) (*)  x = 3y  x + y = 480 Hc  (**) + Giai đoạn 4: Giải phơng trình Giải (*) ta đợc x = 360(kg) Hoặc giải (**) ta đợc x = 360(kg); y = 120(kg) + Giai đoạn 5: Đối chiếu nghiệm đà giải với điều kiện đề xem mức độ thoả mÃn hay không thoả mÃn Từ => Khối lợng cà chua 480 360 = 120(kg) Cho học sinh thử lại => + Giai đoạn 6: Trả lời Vậy khối lợng khoai đà thu 306kg Khối lợng cà chua đà thu 120kg + Giai đoạn 7: - Từ việc chọn ẩn khác dẫn đến lập phơng trình hệ phơng trình cho ta nhiều cách giải, nhng lu ý cho học sinh tốt đa lập phơng trình đơn giản hơn, dễ giải - Có thể từ toán xây dựng toán Chẳng hạn : Một phân số có tổng tử mẫu 480 BiÕt r»ng mÉu sè gÊp lÇn tư sè Tìm phân số III Phân loại dạng toán giải toán cách lập phơng trình (hệ phơng trình) Các toán giải cách lập phơng trình phân lôi thành số dạng nh sau: Dạng toán chuyển động Ví dụ 6: Một sà lan xuôi dòng từ A đến B 2,5giờ ngợc dòng từ B A Biết vận tốc dòng nớc 3km/h, tính khoảng cách AB Hớng dẫn - Biết vận dụng linh hoạt công thøc: Qu·ng ®êng = VËn tèc x Thêi gian - Bài toán toán chuyển động dòng chảy Ta có công thức: Vận tốc xuôi dòng = Vận tốc riêng + Vận tốc dòng nớc Vận tốc ngợc dòng = Vận tốc riêng Vận tốc dòng nớc (Vận tốc riêng > Vận tốc dòng nớc) - Nếu chọn ẩn gián tiếp, tức là: Gọi vận tốc riêng sà lan x(km/h) (x>3) ta dẫn đến phơng trình 2,5(x + 3) = 4(x 3) (1) Nếu chọn ẩn trực tiếp, tức là: Gọi khoảng cách AB x(km) dẫn đến phơng trình x x = +3 2,5 (2) Rõ ràng phơng trình (1) đơn giản phơng trình (2) Lu ý: Trong khâu chọn ẩn đặt đại lợng trung gian làm ẩn cho ta phơng trình đơn giản Dạng toán liên quan đến số học Ví dụ 7: Tìm hai số biết tổng 17 tổng bình phơng chúng 157 Hớng dẫn giải: Cách Quá trình Chi bình phơng Bình phơng Chia bình phơng Bình phơng Số thứ Số thứ hai x ( x ≠ 0) x x ( x ≠ 0) x 17 – x (17-x)2 y( y ≠ 0) y2 P.t x©y dùng x2 + (17-x) = 157  x + y = 17  2  x + y = 157 Chó ý: Víi d¹ng toán liên quan đến số học cần ý cấu tạo số; đặc biệt ý điều kiện ẩn Dạng toán suất lao động (tỉ số phần trăm) Ví dụ 8: Trong tháng đầu tổ sản xuất đợc 400 chi tiết máy Trong tháng sau tổ vợt mức 10%, tổ hai vợt mức 15% nên hai tổ sản xuất đợc 448 chi tiết máy Tính xem tháng đầu tổ sản xuất đợc chi tiết máy Hớng dẫn giải: - Biết suất chung hai tổ tháng đầu 400 chi tiết Nếu biết đợc tổ tính đợc tổ kia(chọn ẩn) - Giả sử đà biết suất tháng đầu tính đợc suất tháng sau - Tính suất tổ tháng sau từ lập đợc phơng trình Từ học sinh giải theo c¸ch sau: C¸ch 1: Gäi sè chi tiÕt m¸y tổ sản xuất tháng đầu x (x nguyên, 00 Ta lập đợc hệ phơng trình 1  x + y = 24   = x 2y Giải hệ tìm đợc x= 40, y= 60 Tóm lại:- dạng toán ta thờng coi toàn công việc đơn vị công việc biểu thị số - Nắm mối quan hệ đại lợng nhờ hệ thức: Công việc = Năng suất x Thời gian Dạng toán tỷ lệ chia phần (Thêm, bớt, tăng, giảm tỷ số chúng) Ví dụ 10: Cã kho dù tr÷ thãc Kho thø nhÊt nhiỊu h¬n kho thø hai 100 tÊn NÕu chun tõ kho thø nhÊt sang kho thø hai 60 tÊn th× lóc ®ã sè thãc ë kho thø nhÊt b»ng 12 sè thóc kho thứ hai Tính số thóc kho lúc đầu? 13 Hớng dẫn giải Cách Quá trình Cha chuyển Đà chuyển Kho I x + 100 x+100-60 Kho II x(x>0) x+60 P.t x©y dùng x + 100 − 60 = 12 ( x + 60) 13 10 Cha chun x (x>0) y(y>0) §· chun x-60 y+60  x − y = 100   12  x − 60 = 13 ( y + 60) Dạng toán có liên quan đến hình học Ví dụ ví dụ Tóm lại: - Trong dạng toán học sinh phải nắm vận dụng linh hoạt kiến thức hình học - Chú ý đến điều kiện ẩn - Đôi cần vẽ hình minh hoạ Dạng toán có nội dung vËt lÝ – Ho¸ häc VÝ dơ 11: Dïng hai lợng nhiệt, lợng 168KJ để đun nóng khối nớc 1kg Thì khối nớc nhá nãng h¬n khèi níc lín 20C TÝnh xem khèi nớc nhỏ đợc đun nóng thêm độ? Hớng dẫn giải: - Học sinh nhớ đợc kiến thức vật lý: + Công thức tính nhiệt lợng Q = c m(t1 – t2) + NhiƯt dung riªng cđa níc c = 4,2 KJ/kg độ Giải: Giả sử khối nớc nhỏ đợc đun nóng thêm x độ (x>0) => Khối lợng khèi níc nhá lµ m= Q c(t − t ) = 168 (kg) 4,2 x => Khèi lỵng cđa khèi níc lín lµ: 168 4,2( x − 2) Ta có phơng trình: 168 168 +1 = 4,2 x 4,2( x − 2) ⇔ x − x − 80 = ⇔ x1 = 10, x = 8(loại ) Vậy khối nớc nhỏ đun nóng 10oC Tóm lại: 11 dạng toán đòi hỏi học sinh phải biết liên hệ phù hợp với kiến thức vật lí, hoá học, chọn ẩn thích hợp, nhờ mối quan hệ đại lợng lập phơng trình Dạng toán có chứa tham số: Ví dụ 12: Một du khách từ A đến B nhận thấy 15 phút lại gặp xe buýt chiều vợt qua, 10 phút lại gặp xe chạy ngợc lại Biết xa buýt có vận tốc khởi hành sau khoảng thời gian không dừng lại đờng Hỏi sau phút xe buýt lại lần lợt rời bến Hớng dẫn giải Gọi thời gian phải tìm x (phút), x>0 Và thời gian du khách từ A đến B a(phút) (a>0) Trong a phút ®i tõ A ®Õn B ngêi ®ã gỈp Trong a phút ngời gặp a xe ngợc chiều chạy lại 10 a xe cïng chiỊu vỵt qua 15 Ta cã phơng trình: 2a a a 1 = + = + x = 12 (thoả mÃn điều kiÖn) x 15 10 x 15 10 VËy cø 12 phút xe buýt lại lần lợt rời bến Trên dạng toán thờng gặp toán giải toán cách lập phơng trình Đại Đại Mỗi dạng toán có đặc điểm khác nhau, nhiên dạng nêu ví dụ điển hình có tính chất giới thiệu việc biểu diễn tơng quan đại lợng để lập phơng trình c Kết luận Khi dạy giải toán cách lập phơng trình(hệ phơng trình), giáo viên cần ý sâu bớc lập phơng trình, cần cho học sinh luyện tập phơng pháp biểu diễn tơng quan đại lợng bëi mét biĨu thøc cđa Èn, ®ã Èn sè đại diện cho đại lợng cha biết, yếu tố quan trọng để học sinh nắm vững cách giải toán cách lập phơng trình Đây kinh nghiệm mà đà rút đợc trình giảng dạy, ®· cịng trao ®ỉi víi c¸c ®ång chÝ tỉ toán trờng, đồng chí tổ ủng hộ áp dụng cho học sinh hai khối trờng phần chủ đề tự chọn 12 Đó suy nghĩ nhỏ bé dạy giải toán cách lập phơng trình, chắn không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận đợc góp ý, dẫn cấp lÃnh đạo đồng nghiệp Qua giúp hoàn thiện trình giảng dạy bổ sung tiếp năm sau Tôi xin trân trọng cảm ơn Trực Ninh, ngày .tháng 12 năm 200 Ngời viết Đào Anh Quang 13 ... kinh nghiệm: Dạy giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình b nội dung I Phơng pháp nghiên cứu yêu cầu giải toán Phơng pháp nghiên cứu Giải toán cách lập phơng trình (hệ phơng trình ) trọng... hết nghiệm toán, tránh bỏ sót phơng trình bậc 2, hệ phơng trình II Các giai đoạn giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình Phân giai đoạn: Để đảm bảo yêu cầu giải toán bớc qui tắc giải nh đÃ... dựng toán Chẳng hạn : Một phân số có tổng tử mẫu 480 Biết mẫu số gấp lần tử số Tìm phân số III Phân loại dạng toán giải toán cách lập phơng trình (hệ phơng trình) Các toán giải cách lập phơng trình