Huychk2 GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ” Quy trình chung để giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véctơ Bước 1.Lựa chọn một số véctơ mà ta gọi là “ hệ véctơ cơ sở’’; “phiên dịch” các giả thiết, kết luận của bài toán hình học không gian đã cho ra “ngôn ngữ” véctơ . Bước 2. Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành các phép biến đổi các hệ thức véctơ theo hệ vectơ cơ sở. Bước 3. Chuyển các kết luận vectơ sang các tình chất hình học không gian tương ứng. Một số dạng toán Dạng 1. Phần quan hệ song song Bài toán 1. Hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song với nhau khi và chỉ khi AB kCD= uuur uuur . Bài toán 2. Cho hai ,a b r r không cùng phương thuộc mặt phẳng (P), AB không thuộc (P) . Khi đó :AB//(P) AB xa yb⇔ = + uuur r r . Bài toán 3. Cho hai mặt phẳng phân biệt ( ABC) và (MNP). Khi đó: ( ) 1 1 (ABC) / / AB xMN yMP MNP AC x MN y MP  = +  ⇔  = +   uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur . Ví dụ 1 Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 . Giả sử M, N, E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác AA 1 B 1 , A 1 B 1 C 1 , ABC, BCC 1 . Chứng minh : MN // EF. L i gi i:ờ ả Bước1:Chọn hệ véc tơ cơ sở { } 1 , ,AA a AB b AC c= = = uuur r uuur r uuur r Theo bài ra: +M là trọng tâm của tam giác AA 1 B 1 : 1 1 1 ( ) 3 AM AA AB= + uuuur uuur uuur (1) +N là trọng tâm của tam giác A 1 B 1 C 1 : 1 1 1 1 ( ) 3 AN AA AB AC= + + uuur uuur uuur uuuur (2) +E là trọng tâm của tam giác ABC: 1 ( ) 3 AE AB AC= + uuur uuur uuur (3) +F là trọng tâm của tam giác BCC 1 : 1 1 ( ) 3 AF AB AC AC= + + uuur uuur uuur uuuur (4) + / /MN EF MN kEF⇔ = uuuur uuur B 1 A 1 C1 A C B E F M N Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ Từ (1), (2): ( ) 1 3 MN AN AM a c= − = + uuuur uuur uuuur r r (5) - 1 - Huychk2 Từ (3), (4): ( ) 1 3 EF AF AE a c= − = + uuur uuur uuur r r (6) Từ (5), (6): MN EF= uuuur uuur (7) Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian Từ (7) : MN // EF. Ví dụ 2 Cho hình hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 .Giả sử M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AA 1 , B 1 C 1 . Chứng minh: MN // (DA 1 C 1 ). Lời giải: Bước 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở { } 1 , ,DA a DC c DD b= = = uuur r uuur r uuuur r + M là trung điểm AA 1 : ( ) 1 1 2 DM DA DA= + uuuur uuur uuuur (1) + N là trung điểm B 1 C 1 : ( ) 1 1 1 2 DN DB DC= + uuur uuuur uuuur (2) + ( ) 1 1 1 1 MN / / DA C MN xDC yDA⇔ = + uuuur uuuur uuuur (3) Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ Từ (1), (2): ( ) 1 2 2 MN DN DM a c b= − = − + + uuuur uuur uuuur r r r ( ) 1 2 c a c b= − + + r r r r A1 B 1 C1 D1 A D C B N M Suy ra: 1 1 1 2 MN DC DA= − uuuur uuuur uuuur (4) Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian Từ (4) : MN // (DA 1 C 1 ). Ví dụ 3 Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AA 1 , CC 1 và G là trọng tâm của tam giác A 1 B 1 C 1 . Chứng minh: (MGC 1 ) // (AB 1 N). Lời giải: Bước 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở { } 1 , ,AA a AB b AC c= = = uuur r uuur r uuur r + M là trung điểm AA 1 : 1 1 2 AM AA= uuuur uuur (1) + N là trung điểm CC 1 : ( ) 1 1 2 AN AC AC= + uuur uuur uuuur (2) + G là trọng tâm của tam giác A 1 B 1 C 1 : 1 1 1 1 ( ) 3 AG AA AB AC= + + uuur uuur uuur uuuur (3) + ( ) 1 1 1 1 1 1 1 (MGC ) / / AB MG xAB yAN N MC x AB y AN  = +  ⇔  = +   uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur (4) . G A 1 C1 A B 1 B C N M Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ Ta có: - 2 - Huychk2 1 1 1 (5) 2 3 3 1 ( ) (6) 2 MG AG AM a b c MG xAG yAM x y a xb yc = − = + + = − = + + + uuuur uuur uuuur r r r uuuur uuur uuuur r r r Từ (5) và (6) , do , ,a b c r r r không đồng phẳng nên ta có: 1 1 2 2 1 3 1 3 x y x y  = +    =    =   1 1 1 1 (7) 3 3 3 x y MG AB AN⇒ = = ⇒ = + uuuur uuur uuur Ta có: ( ) 1 1 1 1 (8) 2 2 1 (9) 2 MC AC AM a c a a c AN AC CN a c = − = + − = + = + = + uuuur uuuur uuuur r r r r r uuur uuur uuur r r Từ (8) và (9): 1 (10)MC AN= uuuur uuur Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian Từ (7) : 1 1 1 1 MG//mp(AB ) 3 3 MG AB AN N= + ⇒ uuuur uuur uuur (11) Từ (10) : 1 1 1 / / ( )MC AN MC mp AB N= ⇒ uuuur uuur (12) Từ (11) và (12) : 1 1 ( ) / / ( )mp MGC mp AB N Bài tập vận dung Bài 1. Cho hình hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . Giả sử E là tâm của mặt ABB 1 A 1 ; N, I lần lượt là trung điểm của CC 1 và CD . Chứng minh : EN//AI. Bài 2. Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 . Giả sử M, N lần là trọng tâm các tam giác ABA 1 và ABC . Chứng minh : MN//(AA 1 C 1 ). Bài 3. Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 . Giả sử M, N, E lần lượt là trung điểm BB 1 , CC 1 , AA 1 . G là trọng tâm tam giác A 1 B 1 C 1. Chứng minh: 1. (MGC 1 )//(BA 1 N) 2. (A 1 GN)//(B 1 CE). Dạng 2. Phần góc và khoảng cách Bài toán 4. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD được tính theo công thức: . os . AB CD c AB CD ϕ = uuur uuur uuur uuur Bài toán 5. Khoảng cách giữa hai điểm A và B là : 2 AAB AB B= = uuur uuur Bài toán 6. Cho điểm M và đường thẳng l có véc tơ chỉ phương a r , điểm A thuộc l. Tính khoảng cách từ M đến l. Phương pháp giải: Đặt AM m= uuuur ur , gọi N là hình chiếu của M lên l. Khi đó: MN AN AM xa m= − = − uuuur uuur uuuur r ur và ( ) 0MN a xa m a⊥ ⇔ − = uuuur r r ur r Khoảng cách cần tìm : ( ) 2 MN xa m= − uuuur r ur - 3 - Huychk2 Bài toán 7. Cho (ABC), điểm M không thuộc (ABC).Tính khoảng cách từ M đến (ABC) và góc giữa MA và (ABC). Phương pháp giải: Đặt AM m= uuuur ur , ,AB a AC b= = uuur r uuur r , gọi N là hình chiếu của M lên (ABC). Khi đó : MN AN AM xa yb m= − = + − uuuur uuur uuuur r r ur Do ( )MN ABC⊥ nên    ( ) 0 ( ) 0 xa yb m a xa yb m b  + − =   + − =   r r ur r r r ur r Khi cho biết x,y ta tìm được khoảng cách từ M đến (ABC) bằng ( ) 2 xa yb m+ − r r .Nếu 0xa yb+ ≠ r r r thì góc giữa AM và (ABC) bằng góc giữa m ur và xa yb+ r r , còn 0xa yb+ = r r r thì AM ⊥ (ABC). Bài toán 8. Cho đường thẳng chéo nhau, d 1 đi qua A 1 và có véc tơ chỉ phương 1 a ur ; đường thẳng d 2 đi qua A 2 và có véc tơ chỉ phương 2 a uur . Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng trên. Phương pháp giải: + Góc giữa hai đường thẳng : 1 2 1 2 . os . a a c a a ϕ = ur uur ur uur +Đoạn vuông góc chung P 1 P 2 ( P 1 thuộc d 1 , P 2 thuộc d 2 ), khi đó: 1 2 1 2 PP xa m ya= + + uuuur ur ur uur . Do 1 2 1 1 2 2 . 0 , . 0 PP a x y PP a  =  ⇒  =   uuuur ur uuuur uur Khoảng cách cần tìm: 2 1 2 1 2 ( )PP xa m ya= + + uuuur ur ur uur Ví dụ 4 Cạnh đáy của lăng trụ tam giác đều ABC.A 1 B 1 C 1 bằng a, các điểm O và O 1 tương ứng trọng tâm của các dáy ABC và A 1 B 1 C 1 .Độ dài hình chiếu của đoạn thẳng AO 1 trên đường thẳng B 1 O bằng 5 4 a .Hãy tính đường cao của lăng trụ. Lời giải: Chọn hệ véc tơ cơ sở { } 1 AA , ,m AB n AC p= = = uuuur ur uuur r uuur ur . Giả sử h m= ur Ta có: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 AA 3 3 3 1 3 2 3 AO AB AC m n p B O AO AB m n p = + + = + + = − = − − + uuuur uuuur uuur uuuur ur r ur uuur uuur uuur ur r ur Suy ra: ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 9 3 3 1 6 . 6 , os 6 2 3 AO B O h a h a AO B O h a c h a ϕ = = + + = − + = + uuuur uuur uuuur uuur Vì: 1 5 . os = 4 a AO c ϕ uuuur A1 A B1 C1 B C O1 O - 4 - Huychk2 nên 2 2 2 2 2 2 9 3 (6 ) 5 6 6(3 ) 6 3 h a h a a a h h a + + = ⇒ = + Ví dụ 5 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA=4.Điểm D nằm trên cạnh SC, CD=3, còn khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng 2. Tính thể tích của hình chóp. Lời giải: Chọn hệ véc tơ cơ sở { } , ,SA a SB b SC c= = = uur r uur r uuur r Đặt ϕ là góc phẳng ở đỉnh của hình chóp. N là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng BD. ) (1 )AN DN DA xDB DA a xb x c= − = − = − + + − uuur uuur uuur uuur uuur r r r Do AN ⊥ DB ( ) . 0 (1 ) ( ) 0 (17 1) 8( 1) os 0 (1) AN DB a xb x c b c x x c ϕ ⇒ = ⇔ − + + − − = ⇔ − − + = uuur uuur r r r r r S A B C D N Mặt khác: 2 2 2 2 4 17 2 13 8( 1) cos 0 (2)AN AN x x x ϕ = ⇔ = ⇔ − + − + = uuur Từ (1) và (2) ta được 7 9 x = .Vì vậy : 55 os 64 c ϕ = Ta tính độ dàiđường cao của hình chóp SO. Vì O là trọng tâm của tam giác ABC nên ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 4 3 3 1 1 1 4 48 96 os 58 3 3 2 9 2 SO SA SB SC a b c SO a b c c AB b a ϕ = + + = + + ⇒ = + + = + = = − = uuur uur uur uuur r r r uuur r r r uuur r r Vậy: 2 . 3 1 3 174 . 3 4 16 S ABC AB V SO= = uuur uuur . Ví dụ 6 Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác đều ABC cạnh bằng 4 2 , cạnh bên SC vuông góc với đáy và có độ dài bằng 2. M,N lần lượt là trung điểm BC, AB.Hãy tìm số đo của góc và khoảng cách giữa SM và CN. Lời giải: - 5 - Huychk2 Ta chọn hệ véc tơ cơ sở { } , ,CA a CB b CS c= = = uuur r uuur r uuur r +Ta tìm góc ϕ giữa SM và CN? Ta có: 1 ( 2 ) 2 1 ( ) 2 SM CM CS b c CN a b = − = − = + uuur uuuur uuur r r uuur r r Khi đó: 0 . 2 os 45 2 . SM CN c SM CN ϕ ϕ = = ⇒ = uuur uuur uuur uuur A S B C M N Q P +Tính khoảng cách giữa SM và CN? Gọi P thuộc SM và Q thuộc CN. Khi đó: ( ) ( ) 1 2 2 2 PQ xSM yCN SC ya x y b x c   = + + = + + − +   uuur uuur uuur uuur r r r Do PQ là đoạn vuông góc chung của SM và CN nên: ( ) ( ) 2 2 . 0 3 3 1 3 2 0 1 . 0 3 1 1 2 3 2 2 6 6 3 x PQ SM x y x y PQ CN y PQ a b c PQ a b c  = −   = + = −    ⇔ ⇔    + = =     =   ⇒ = − − ⇒ = − − = uuur uuur r uuur uuur r uuur r r r uuur r r r Ví dụ 7 Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác đều ABC với cạnh bằng 1, cạnh SA vuông góc vuông góc với đáy, 3SA = . Mặt phẳng ( ) α song song với các đường thẳng SB và AC, mặt phẳng ( ) β song song với các đường thẳng SC và AB. Tính giá trị của góc giữa hai mặt phẳng ( ) α và ( ) β . Lời giải: Chon hệ véc tơ cơ sở { } , ,AS a AB b AC c= = = uuur r uuur r uuur r . Giả sử ,m n ur r là các véc tơ bất kì khác 0 r , tương ứng vuông góc hai mặt phẳng ( ) α và ( ) β , còn ϕ góc hai mặt phẳng ( ) α và ( ) β . Thế thì: . os . m n c m n ϕ = ur r ur r Đặt m xa yb zc= + + ur r r r A S B C Ta có: ( ) ( ) ( ) 0 . 0 . 0 ( ) 0 b c xa yb zc SB m m AC m c xa yb zc α   − + + = =   ⊥ ⇔ ⇔   =   + + =   r r r r r uur ur ur uuur ur r r r r - 6 - Huychk2 23 6 2 0 1 2 0 2 y x y z y z x z = −  − − =   ⇔   + = = −    Số phương trình bé hơn số ẩn, điều đó chứng tỏ ( ) m α ⊥ ur không được xác định duy nhất. Chọn 1 1, 4z x y= − ⇒ = = nên 4 2m a b c= + − ur r r r là một trong các véc tơ vuông góc với ( ) α Tương tự : ( ) 1 . 2 . 0 2 SC n o t u n ta ub vc AB n v u β   = = −   = + + ⊥ ⇔ ⇔   =    = −  uuur r r r r r uuur r Chọn : 2 4, 1u v t= − ⇒ = = ⇒ 2 4n a b c= − + r r r r Khi đó : . 1 os 5 . m n c m n ϕ = = ur r ur r . Bài tập vân dụng. Bài 1. Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, CA=BD=b, AD=BC=c. Tính cosin của góc giữa các cạnh đối diện. Bài 2. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 có BC=a, AC=b, Ab=c, AA 1 =h. Tính cosin của góc: 1.Giữa AB 1 và BC 1 . 2.Giữa AB và B 1 C. Bài 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’. Bài 4. Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng 1. BD là đường cao của tam giác ABC Tam giác đều BDE nằm trong mặt phẳng tạo với cạnh AC góc ϕ , biết rằng các điểm S và E nằm về một phía đối với mặt phẳng (ABC). Tính SE. Dạng 3. Phần quan hệ vuông góc Bài toán 9. Hai đường thẳng phân biệt AB và CD vuông góc với nhau khi và chỉ khi . 0AB CD = uuur uuur . Bài toán 10. Cho hai ,a b r r không cùng phương thuộc mặt phẳng (P), AB không thuộc (P) . Khi đó :AB ⊥ (P) . 0 . 0 AB a AB b  =  ⇔  =   uuur r uuur r . Ví dụ 8 Cho hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . M và N là các điểm thuộc các đường chéo BA 1 và CB 1 sao cho: 1 1 1 2 , 2 1 BM CN MA NB = = . Chứng minh rằng: 1 1 ,MN BA MN CB⊥ ⊥ . Lời giải: Chọn hệ véc tơ cơ sở { } 1 , ,BA a BB b BC c= = = uuur r uuur r uuur r Khi đó: ; . . . 0a b c a a b c b a c= = = = = = r r r r r r r r r Theo bài ra : ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 2 2 2 1 3 3 BM BM BA a b MA CN CN CB b c NB = ⇒ = = + = ⇒ = = − uuuur uuur r r uuur uuur r r A1 D1 C1 B1 A B C D M N Mặt khác: - 7 - Huychk2 ( ) ( ) 1 2 3 1 3 BN BC CN b c MN BN MN a b c = + = + = − = − + + uuur uuur uuur r r uuuur uuur uuuur r r r Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 . 0 3 1 . 0 3 MN BA a b c a b MN BA MN CB a b c b c MN CB = − + + + = ⇒ ⊥ = − + + − = ⇒ ⊥ uuuur uuur r r r r r uuuur uuur r r r r r Ví dụ 9 Cho hình hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có các mặt là các hình thoi bằng nhau.Các góc phẳng của góc tam diện đỉnh A 1 bằng nhau. Chứng minh rằng: 1 1 1 ( )AC AB D⊥ . Lời giải: Chọn hệ véc tơ cơ sở { } 1 1 1 1 1 , ,A A a A B b A D c= = = uuur r uuuur r uuuur r Theo giả thiết : · · · 1 1 1 1 1 1 1 AA D D A B AA B ϕ = = = Gọi m là độ dài cạch hình hộp. Ta có: ( ) 1 1 1 1 1 . ( ) 0 (1) AC a b c AC AB a b c b a AC AB = + + ⇒ = + + − = ⇒ ⊥ uuur r r r uuur uuur r r r r r uuur uuur ( ) 1 1 1 1 . ( ) 0 (2) AC AD a b c c a AC AD = + + − = ⇒ ⊥ uuur uuuur r r r r r uuur uuuur Từ (1) và (2) suy ra 1 1 1 ( )AC AB D⊥ . O1 A1 D1 C1 B1 A B C D Bài tập vân dụng. Bài 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M,N lần lượt là trung điểm cạnh AD và BB’. Chứng minh : MN ⊥ A’C. Bài 2. Cho hình chóp S.ABC, SA ⊥ (ABC), SA=a 3 , AC=2a, AB=a, · 0 90ABC = . Gọi M và N là hai điếm sao cho: 3 0 4 3 0 MB MS NS NC + = + = uuur uuur r uuur uuur r Chứng minh: SC ⊥ (AMN). Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC, đáy ABC là tam giác cân tại A. Vẽ SO ⊥ (ABC), D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh: DC ⊥ (SOE)). - 8 - . Huychk2 GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ” Quy trình chung để giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véctơ Bước 1.Lựa chọn một. chất hình học không gian tương ứng. Một số dạng toán Dạng 1. Phần quan hệ song song Bài toán 1. Hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song với nhau khi và chỉ khi AB kCD= uuur uuur . Bài toán. sở’’; “phiên dịch” các giả thiết, kết luận của bài toán hình học không gian đã cho ra “ngôn ngữ” véctơ . Bước 2. Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành các phép biến đổi các