Kiến thức cơ bản Toán 8 - HKII Năm học : 2009-2010 Phần 1 . MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN A. PHẦN ĐẠI SỐ : I. PHƯƠNG TRÌNH : 1. Phương trình một ẩn Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) =B (x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x). Ví dụ : 3x + 5 = 0 là phương trình với ẩn x. 5x +5 = 91 x +7 là phương trình với ẩn x. 2.Giải phương trình : Giải phương trình là tìm tập nghiệm S của phương trình đó. 3. Phương trình tương đương :Hai phương trình có cùng một tập hợp nghiệm là hai phương trình tương đương. Kí hiệu ⇔ VD : 2x = 4 ⇔ x= 2 4. Phương trình bậc nhất một ẩn: Phương trình dạng ax+b = 0 , với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. VD: 3x – 5 = 0 5. Hai quy tắc biến đổi phương trình: a. Qui tắc chuyển vế : Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó. b. Qui tắc nhân với một số : Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế cùng một số khác 0. (hoặc thể chia cả hai vế cùng một số khác 0) 6. Phương trình tích và cách giải : A(x).B(x) = 0 là một phương trình tích. Với A(x), B(x) là các biểu thức chứa x Cách giải :A(x).B(x) = 0 ⇔ A(x) =0 hoặc B(x) =0 7. Phương trình chứa ẩn ở mẫu : Cách giải Bước 1: Tìm điều kiện xác đònh của mẫu Bước 2: Qui đồng và khử mẫu ( bỏ mẫu ) hai vế của phương trình Bước 3: Giải phương trình ( sau khi bỏ mẫu ) Bước 4: Kiểm tra các giá trò vừa tìm được của ẩn thỏa điều kiện xác đònh và kết luận. 8. Tóm tắt các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình : Bước 1 : Lập phương trình - Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. - Lập phương trình biểu thò mối quan hệ giữa chúng (các đại lượng) Bước 2 : Giải phương trình Bước 3 :Trả lời kiểm tra xem xong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận. II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH : 1. Bất đẳng thức: Hệ thức dạng a < b ( hay a > b , a ≤ b; a≥ b ) gọi là bất đẳng thức ; a gọi là vế trái ; b gọi là vế phải. VD: -4 +2 < 2 3. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng: Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. Lưu hành nội bộ Trang 1/8 Kiến thức cơ bản Toán 8 - HKII Năm học : 2009-2010 4. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương: Khi nhân cùng một số dương vào hai vế của một bất đẳng thức thì ta được một một bất đẳng thức mới cùng chiều với một bất đẳng thức đã cho. 5. . Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số âm: Khi nhân cùng một số âm vào hai vế của một một bất đẳng thức thì ta được một một bất đẳng thức mới ngược chiều với một bất đẳng thức đã cho. 6. Tính chất bắc cầu của thứ tự. Tính chất: Nếu a< b và b < c thì a < c 7.Bất đẳng thức Côsi : Với a,b là các số dương, ta có : a b ab 2 + > hoặc a b 2 ab+ > 8. Bất phương trình bậc nhất một ẩn : Bất phương trình dạng ax + b < 0 ( hoặc ax + b > 0 ,ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0 ) trong đó a và b là hai số đã cho, a≠ 0 , được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn. Ví dụ : 2x + 3<0 và 5x – 10 <0 là các phương trình bậc nhất một ẩn 9. Hai qui tắc biến đổi một bất đẳng thức : a. Qui tắc chuyển vế : Khi chuyển vế một hạng tử từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó. b. Qui tắc nhân với một số : Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0 , ta phải : - Giữ nguyên chiều bất phương nếu số đo dương . - Đổi chiều bất phương nếu số đo dương . B. PHẦN HÌNH HỌC : I. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG: 1. Tỉ số của hai đoạn thẳng Đònh nghóa: Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vò đo.Tỉ số hai đoạn thẳng AB và CD kí hiệu là : CD AB 2. Đoạn thẳng tỉ lệ Đònh nghóa: hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ và C’D’ nếu có tỉ lệ thức: ' ' ' ' AB A B CD C D = hay ' ' ' ' A B AB C D CD = 3. Đònh lý Talet trong tam giác a. Đònh lí Talét : Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó đònh ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ ∆ABC có MN // BC => ; AM AN AM AN AB AC MB NC MB NC AB AC = = = b. Đònh lý Talét đảo Lưu hành nội bộ Trang 2/8 A B C NM Kiến thức cơ bản Toán 8 - HKII Năm học : 2009-2010 Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và đònh ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. hoặc hoặc AM AN AM AN MB NC = = = AB AC MB NC AB AC => ∆ABC có MN // BC c. Hệ quả : ∆ABC có MN // BC => AM AN MN AB AC BC = = 4. Tính chất đường phân giác trong tam giác : ∆ABC có AD phân giác góc A => DB AB DC AC = 5. Tam giác đồng dạng: a. Đònh nghóa : ∆A’B’C’ ∆ ABC. b. Tính chất: 1. Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó (ABC ABC ) 2. Nếu ∆ A’B’C’ ∆ ABC thì’ ∆ABC ∆A’B’C 3. Nếu ∆ ABC ∆ A’B’C’ theo tỉ số đồng dạng k thì ∆ A’B’C’ ∆ABC tỉ số đồng dạng 1 k 4. Nếu ∆A’B’C’ ∆A’’B’’C’’và ∆A’B’C’ ∆A’’B’’C’’ thì ∆ABC ∆ A’B’C. c. Hệ quả : Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho. d. Dấu hiệu nhận biết : + Trường hợp 1 : ( ba cạnh tương ứng tỉ lệ ) ' ' ' ' ' 'A B A C B C AB AC BC = = => ∆A’B’C’ ∆ ABC + Trường hợp 2: (Hai cạnh tương ứng tỉ lệ và góc tạo bởi các cạnh đó bằng nhau) ' ' ' 'A B A C AB AC = ; µ µ 'A A= => ∆A’B’C’ ∆ ABC + Trường hợp 3 : ( hai góc tương ứng bằng nhau ) ' ˆˆ ,' ˆˆ BBAA == => ∆A’B’C’ ∆ ABC + Dấu hiệu nhận biết tam giác vuông : ( cạnh góc vuông và cạnh huyền tương ứng tỉ lệ ) Lưu hành nội bộ Trang 3/8 A B C NM <=> µ µ µ µ µ µ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ '; '; 'A A B B C C = = = ' ' ' ' ' 'A B B C A C k AB BC AC = = = (tỉ số đồng dạng ) C B A D Canh Măt Đỉnh B A D C S Kiến thức cơ bản Toán 8 - HKII Năm học : 2009-2010 ∆A’B’C’ và ∆ ABC, µ µ 0 ' ' ' ' ' 90 ; B C A B A A BC AB = = = => ∆A’B’C’ ∆ ABC e. Tính chất : ∆A’B’C’ ∆ ABC theo tỉ số đồng dạng k, ta có : + A’H’⊥ B’C’; AH⊥BC => A'H' A'B' = =k AH AB (Tỉ số hai đường cao bằng tỉ số đồng dạng ) + 2 A'B'C' ABC S =k S (Tỉ số hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng) II. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG – HÌNH CHÓP ĐỀU : 1. Hình hộp chữ nhật : - Hình hộp chữ nhật có : 6 mặt, 8 đỉnh và 12 cạnh. - Hai mặt của hình hộp chữ nhật không có hai cạnh chung xem là hai mặt đáy của hình hộp chữ nhật , khi đó các mặt còn lại được gọi là mặt bên. - Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có 6 mặt là những hình vuông. - Thể tích hình hộp chữ nhật : V = abc - Thể tích hình lập phương có cạnh a là : V = a 3 2. Hình lăng trụ đứng : + Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đướng bằng tổng diện tích các mặt S xq = 2p.h ( chu vi đáy nhân đường cao ) + Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bằng bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy. S tp = S xp + S 2đáy + Thể tích hình lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với chiều cao . V = S.h 3. Hình chóp đều : a. Hình chóp : - Đỉnh chung S gọi là đỉnh của hình chóp - Đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với mặt đáy gọi là đường cao. - Hình chóp tứ giác có một đỉnh và mặt đáy là tứ giác . ví dụ hình chóp S.ABCD b. Hình chóp đều : - S.ABCD là hình chóp tứ giác đều. - Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. - Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích nữa chu vi với trung đoạn : Sxq = p. d - Diện tích toàn phần của hình chóp đều : bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy. - Thể tích của hình chóp đều bằng 1 3 diện tích đáy nhân chiều cao. 1 V= S.h 3 c. Hình chóp cụt đều : Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là những hình thang cân. Lưu hành nội bộ Trang 4/8 a b c B A D C S H I E F D M C B A N Kiến thức cơ bản Toán 8 - HKII Năm học : 2009-2010 PHẦN 2 . MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1 : Giải phương trình : a. 3x – 6 + x = 9 – x b. 3x – 2 = 2x – 3 c. 7 – 3x = 9 – x d. 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x) e. 3 – 4x(25 – 2x) = 8x 2 + x – 300 g. 3(3x-2) -2(2x+1)=0 Bài 2 : Giải phương trình : a. 7 1 16 2 6 5 x x x − − + = b. 1 2 3 4 9 8 7 6 x x x x+ + + + + = + c. 5 2 8 1 4 2 5 6 3 5 x x x+ − + − = − d. 3 2 3 1 5 2 2 6 3 x x x + + − = + e. 2x-5 8 1 x- 7 5 6 3 x x+ − + = + f. 45 15 43 17 33 27 31 29 + − + = + − + xxxx Bài 3 : Giải phương trình : a. (3x – 2)( 4x + 5 ) = 0 b. 2x (x – 3) +5(x – 3) = 0 c. x (2x – 7) – 4x + 14 = 0 d. ( x – 1)(x – 5) = ( x+2 )( x-1 ) e. (x 2 – 4) – (x – 2)(3 – 2x) = 0 f. 2x 3 + 6x 2 = x 2 + 3x g. (2x + 5) 2 = (x + 2) 2 h. x 2 – 5x + 6 = 0 Bài 4 : Giải phương trình : a) 4 1 1 x x x x + = − + b. 2 1 2 - 2 ( 2) x x x x x + = − − e) 2 2( 3) 2 2 ( 1)( 3) x x x x x x x + = − + + − ( ) 3 2 1 ( 1) 2 ( 3)( 1) ( 2)( 3)x x x x x x + = − − − − − − g) 1 4 1 52 1 1 23 2 ++ = − − + − xxx x x h) )2( 21 2 2 − =− − + xxxx x Bài 5: Giải phương trình : )2)(1( 15 2 5 1x 1 ) xxx a −+ = − − + 1 2 1 3 1-x 1 ) 23 2 ++ = − − xx x x x d 2 4 25 22x 1-x ) x x x x b − − = − − + 168 1 )2(2 1 84 5 8x 7 ) 2 − + − − = − − + xxx x xx x e 502 25 102 5 5x 5x ) 222 − + = + − − − + x x xx x x c f) 3 52 32 4 1 2 2 + − = −+ + − x x xx x x Bài 6 : Giải các phương trình sau : a. 3 8x x= + b. 2 4 18x x− = + c. 5 3x x− = d. 2 2 10x x+ = − e. |x - 5| = 3 f. |3x - 1| - x = 2 g. |8 - x| = x 2 + x h. |x - 4| = -3x + 5 Bài 7 : Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 25 Km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 30km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là nửa giờ. Tính quãng đường AB. Bài 8 : Tổng của hai số bằng 80 , hiệu của chúng bằng 14 . Tìm hai số đó Bài 9 :Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4h và ngược dòng từ bến B về bến A mất 5h. Tính khoảng cách giữa hai bến, biết vận tốc dòng nước là 2km/h. Bài 10: Trong thư viện của trường, tủ sách thứ nhất gấp đôi tủ sách thứ thứ hai. Nếu tăng thêm tủ thứ nhất 20 quyển và giảm tủ thứ hai 10 quyển thì tổng số sách hai tủ là 100 quyển. Tìm số sách trong mỗi tủ lúc đầu. Lưu hành nội bộ Trang 5/8 Kiến thức cơ bản Toán 8 - HKII Năm học : 2009-2010 Bài 13: Một tổ may áo theo kế hoạch mỗi ngày phải may 30 áo. Nhờ cải tiến kó thuật, tổ đã may được mỗi ngày 40 áo nên đã hoàn thành trước thời hạn 3 ngày ngoài ra còn may thêm được 20 chiếc áo nữa. Tính số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạch. Bài 14: Một tổ sản xuất dự đònh hoàn thành công việc trong 10 ngày. Thời gian đầu, họ làm mỗi ngày 120 sản phẩm. Sau khi làm được một nửa số sản phẩm được giao, nhờ hợp lý hoá một số thao tác, mỗi ngày họ làm thêm được 30 sản phẩm nữa so với mỗi ngày trước đó. Tính số sản phẩm mà tổ sản xuất được giao. Bài 15. Số lượng gạo trong bao thứ nhất gấp 3 lần số lượng gạo trong bao thứ hai. Nếu bớt ở bao thứ nhất 35 kg và bao thứ hai 25 kg thì số lượng gạo trong hai bao bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi bao chứa bao nhiêu kg gạo? Bài 16. Thùng đường thứ nhất chứa 60kg, thùng đường thứ hai chứa 80kg. Ở thùng 2 lấy ra một lượng đường gấp 3 lần lượng lấy ra ở thùng 1. Sau đố, lượng đường còn lại trong thùng 1 gấp đôi lượng đường còn lại trong thùng 2. Hỏi đã lấy ra bao nhiêu đường ở mỗi thùng? Bài 17. Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15km/h. Sau đó người này trở về A với vận tốc 10km/h. Tính quãng đường AB. Biết thời gian cả đi lẫn về hết 4giờ. Bài 18. Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc 30km/h. Lúc về xe chạy với vận tốc nhanh hơn lúc đi 10km/h nên cả đi và về mất 7giờ. Tính quãng đường AB? Bài 19. Một xe hơi xuôi dốc từ A đến B hết 2h, sau đó ngược dốc từ B về A hết 3h. Biêt vận tốc xuôi dốc nhanh hơn ngược dốc là 20km/h. Tính đoạn đường AB? Bài 20. Cha 40 tuổi và con 15 tuổi. Hỏi bao nhiêu năm nữa thì tuổi cha gấp đôi tuổi con? Bài 21 : Giải bất phương trình trên và biểu diễn tập nghiệm trên trục số. a. 3 – 2x ≥ 4 b. (x – 3) 2 < x 2 – 5x + 4 c. (x – 3)(x + 3) ≤ (x + 2) 2 + 3 d. 8x + 3( x + 1) > 5x – ( 2x – 6) e. x 3 – 2x 2 + 3x – 6 < 0 f. x 2 – 4x + 3 ≥ 0 Bài 22 : Giải bất phương trình trên và biểu diễn tập nghiệm trên trục số. a. 4x - 5 7 3 5 x− > b. x 2 0 5 + ≥ c 2x 1 3 5 4 1 3 2 3 4 x x+ − + + ≥ − d. 2 2 2 3 22 − +≥ + xx e. 5 7 3 54 xx − > − f. 5x-3 2 1 2 3 5 5 4 2 x x+ − + ≤ − Bài 23: Cho m < n. Hãy so sánh: a) m + 5 và n + 5 c) – 3m + 1 và - 3n + 1 b) - 8 + 2m và - 8 + 2n 5 5 2 m ) −− 2 n vµ d Bài 24: Cho a > b. Hãy chứng minh: a) a + 2 > b + 2 c) 3a + 5 > 3b + 2 b) - 2a – 5 < - 2b – 5 d) 2 – 4a < 3 – 4b Bài 25: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm, BC = 9 cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD. a/ Chứng minh AHB BCD b/ Tính độ dài đoạn thẳng AH c/ Gọi AM là đường phân giác góc BAD. Tính diện tích tam giác ADM Lưu hành nội bộ Trang 6/8 Kiến thức cơ bản Toán 8 - HKII Năm học : 2009-2010 Bài 26: Cho ABC cân ( AB=AC) ,vẽ các đường phân giác BD và CE. a) Chứng minh BD = CE b) Chứng minh ED // BC. c) Tính ED, biết : AB = 5cm; AE = 3cm; BC = 4cm. Bài 27 : Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ). Kẻ đường cao AH ( H ∈ BC) . a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA. b) Biết AB = 3cm , BC = 5cm .Tính độ dài đoạn HB . Bài 28. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB=6cm,AC= 8cm. a/ Tính độ dài BC và AH b/ Tia phân giác của góc ABC cắt AH ở D và AC ở E. Chứng minh tam giác BHD đồng dạng tam giác BAE c/ Chứng minh : AB.HD = AE.HB d/Tính tỉ số diện tích của tam giác ABE và BHD Bài 29 : Cho tam giác ABC vuông ở A ; AB = 15 cm ; CA = 20 cm , đường cao AH. a) Tính độ dài BC, AH, b) Gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ hình bình hành ADCE . Tứ giác ABCE là hình gì ? Chứng minh. c) Tính độ dài AE d) Tính diện tích tứ giác ABCE Bài 30 : Cho tam giác ABC (AB < AC), hai đường cao BE và CF gặp nhau tại H, các đường thẳng kẻ từ B song song với CF và từ C song song với BE gặp nhau tại D. Chứng minh a) ∆ ABE ∆ ACF b) AE . CB = AC . EF c) Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh H, I, D thẳng hàng. Bài 31: Cho tam giác ABC, các đường cao BD, CE cắt nhau ở H. Gọi K là hình chiếu của H trên BC.Chứng minh rằng: a.BH.BD = BK.BC b.CH.CE = CK.CB c. BH.BD + CH.CE = BC 2 Bài 32: Cho ∆ABC cân tại A (góc A < 90 o ). Các đường cao AD và CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh: ∆BEC đồng dạng với ∆BDA. b) Chứng minh: ∆DHC đồng dạng với ∆DCA. Từ đó suy ra: DC 2 = DH . DA c) Cho AB = 10cm, AE = 8cm. Tính EC, HC. Bài 33: Cho hình bình hành ABCD ( BA ˆ ˆ < ). Gọi E là hình chiếu của C trên AB, K là hình chiếu của H trên BC. Chứng minh rằng: a) AB. AE = AC. AH b) BC. AK = AC. HC c) AB. AE + AD. AK =AC 2 Bài 34: Cho ∆ABC, vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB ở D và cắt AC ở E. Qua C kẻ tia Cx song song với AB cắt DE ở G. a) Chứng minh: ∆ABC đồng dạng với ∆CEG. b) Chứng minh: DA . EG = DB . DE c) Gọi H là giao điểm của AC và BG. Chứng minh: HC 2 = HE . HA Lưu hành nội bộ Trang 7/8 Kiến thức cơ bản Toán 8 - HKII Năm học : 2009-2010 Bài 35 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH với các kích thước AB = 12 cm, BC = 9 cm và AE = 10 cm. a) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp b) Gọi I là tâm đối xứng của hình chữ nhật EFGH, O là tâm đối xứng của hình chữ nhật ABCD. Đường thẳng IO song song với những mặt phẳng nào ? c) Chứng tỏ rằng hình chóp IABCD có các cạnh bên bằng nhau. Hình chóp IABCD có phải là hình chóp đều không ? d) Tính diện tích xung quanh của hình chóp IABCD. Bài 36: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng 10 cm, trung đoạn bằng 13cm. a) Tính độ dài cạnh bên b) Tính diện tích xung quanh hình chóp c) Tính thể tích hình chóp. Lưu hành nội bộ Trang 8/8 . hình chóp cụt đều là những hình thang cân. Lưu hành nội bộ Trang 4 /8 a b c B A D C S H I E F D M C B A N Kiến thức cơ bản Toán 8 - HKII Năm học : 2009-2010 PHẦN 2 . MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN Bài. chóp đều : - S.ABCD là hình chóp tứ giác đều. - Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. - Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng. được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. Lưu hành nội bộ Trang 1 /8 Kiến thức cơ bản Toán 8 - HKII Năm học : 2009-2010 4. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương: Khi nhân