Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, ứng dụng A.Lý thuyết chung 1) Phân tích đa thức thành nhân tử ( thừa số ) là: Biến đổi đa thức thành tích đơn thức, đa thức ) Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử 1) Đặt nhân tử chung; 2) Dùng đẳng thức; 3) Nhóm nhiều hạng tứ; 4) Tách, thêm, bớt; )Phối hợp nhiều phơng pháp B Nội dung Phần I: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử I Phơng pháp đặt nhân tử chung Phơng pháp Tìm nhân tử chung đơn thức, đa thức có maởt tất caỷ hạng tử Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc 2.Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) –3xy + x y – 5x y b) 2x(y – z) + 5y(z – y) c) 10x (x + y) – 5(2x + 2y)y Bµi Lµm 2 a) 3xy + x y – 5x y = xy(- + xy – 5x) b) 2x(y – x) + 5y(z – y) = 2x(y – z) – 5y(y – z) = (y – z)(2x – 5y) c) 10x (x + y) – 5(2x + 2y)y = 10x (x + y) – 10y (x + y) = 10(x + y)(x – y ) = 10(x + y)(x + y)(x – y) = 10(x + y) (x – y) Bài tập tự luyện Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 12xy 12xy + 3x b) 15x – 30 y + 20z c) x(y – 2007) – 3y(2007 - y) d) x(y + 1) + 3(y2 + 2y + 1) Bµi tập 2: Tính giá trị biểu thức sau a) 23,45 97,5 +23,45 5,5 -,23,45 b) 2x (x – y) + 2x (y – x ) + 2x (z – x) (Víi x = 2006 ; y = 2007 ; z = 2008) II) Phơng pháp dùng đẳng thức Phơng pháp Sử dụng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích nhân tử luỹ thừa đa thức đơn giản + Những đẳng thøc : (A + B) = A + 2AB + B (A - B) = A - 2AB + B A – B = (A + B)(A B) Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nha Nguyễn Thanh Hùng năm 2006 Tr êng THCS Tiªn (A + B) = A + 3A B + 3AB + B (A - B) = A - 3A B + 3AB - B A + B = (A + B)(A – AB + B ) A - B = (A - B)(A + AB + B ) (A + B + C) = A + B + C + 2AB + 2BC + 2CA A n – B n = (A – B)(A n −1 + A n − B + … + AB n − + B n −1 ) A k – B k = (A +B)(A k −1 - A k − B + … - B k −1 ) A K +1 + B K +1 = (A + B)(A k – A k −1 B + A k − B - … +B k ) n(n − 1) n − 2 n(n − 1) n − (A + B) n = A n + n A n −1 B A B +…+ A B + nAB n −1 + B n 1.2 1.2 n(n − 1) n − 2 (A - B) n = A n - n A n −1 B + A B - … +(-1) n B n 1.2 2.VÝ dô VÝ Dô Phân tích đa thức tành nhân tử a) x + 6xy + 9y b) a – b c) (x – 3) - (2 – 3x) d) x – 3x + 3x - a) b) c) d) Bµi Lµm x + 6xy + 9y = x + 2x3y + (3y) = (x + 3y ) a – b = (a ) – (b ) = (a + b ) (a – b ) = (a + b ) (a + b) (a – b) (x – 3) - (2 – 3x) = [(x – 3) + (2 – 3x)][(x – 3) – (2 – 3x)]= (- 2x – 1)(- + 4x) x – 3x + 3x - = (x – 1) 2 2 VÝ dô Phân tích đa thức thành nhân tử a) a + b + c – 3abc b) (a + b + c) – a – b – c Bµi Lµm a) a + b + c – 3abc = (a + b) – 3ab(a + b) + c – 3abc = ( a + b + c)[(a + b) – (a + b)c + c ] – 3abc( a + b +c) = (a + b + c)( a + b + c – ab – bc – ca) b) (a + b + c) – a – b – c = (a + b) + c + 3c(a + b)(a + b + c) – a – b –c = 3(a + b)(ab + bc + ac + c ) = 3(a + b)(b + c) (c + a) 3 3 Bµi tËp tự luyện Bài Phân tích đa thức thành nhân tö a) (x – 15) – 16 b) 25 – (3 – x) c) (7x – 4) – ( 2x + 1) d) 9(x + 1) – e) 9(x + 5) – (x – 7) f) 49(y- 4) – 9(y + 2) Bài Phân tích đa thức thành nhân tö a) 8x + 27y b) (x + 1) + (x 2) Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nha Nguyễn Thanh Hùng năm 2006 Tr ờng THCS Tiên c) y + 6xy – 12x y + 8x d) 2004 - 16 III/ Ph©n tÝch đa thức thành nhân tử, phơng pháp nhóm nhiều hạng tử Phơng pháp Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm hạng tử thích hợp vào nhóm Ap dụng phơng pháp phân tích đa thức khác để giải toán Ví dụ Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử a) x – 3xy + x – 3y b) 7x – 7xy – 4x + 4y c) x + 6x – y + d) x + y – z – 9t – 2xy + 6zt Bµi Lµm a) x – 3xy + x – 3y = (x – 3xy) + (x – 3y) = x(x – 3y) + (x – 3y)= (x – 3y) (x + 1) b) 7x – 7xy – 4x + 4y = (7x – 7xy) – (4x – 4y) = 7x(x – y) – 4(x – y)=(x – y) (7x – 4) c)x + 6x – y + = (x + 6x + 9) – y = (x + 3) - y = (x + + y)(x + – y) d)x + y – z – 9t – 2xy + 6zt = (x – 2xy + y ) – (z – 6zt + 9t ) = (x – y) – (z – 3t) = (x – y + z – 3t)(x – y – z + 3t 2 Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tö a) x y + xy + x z + xz + y z + yz + 2xyz b) x y + xy + x z + xz + y z + yz + 3xyz Bµi Lµm a) x y + xy + x z + xz + y z + yz + 2xyz = (x z + y z + 2xyz) + x y + xy + xz2 + yz = z(x + y) + xy(x + y) + z (x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z ) = (x + y) [(xz + xy) + (yz + z )] = (x + y) [x(z + y) + z(z + y)] = (x + y)(y + z)(x + z) b) x y + xy + x z + xz + y z + yz + 3xyz = (x y + x z + xyz) + ( xy + y z + xyz) + (x z + yz + xyz) = x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy) = (xy + yz + xz)( x + y + z) Bµi Tập Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tö a) x + 3x – 9x – 27 b) x + 3x – 9x – c) x – 3x + 3x – – 8y 2 2 2 Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x(y2 – z2) + y(z2 – y2) + z(x2 – y2) b) xy(x – y) – xz( x + z) – yz (2x + y – z ) c) x(y + z )2 + y(z + x) + z(x + y) – 4xyz d) yz(y +z) + xz(z – x) – xy(x + y) IV Ph©n tÝch đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phơng pháp Phơng pháp Vận dụng linh hoạt phơng pháp đà biết thờng tiến hành theo trình tự sau : Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nha Nguyễn Thanh Hùng năm 2006 Tr ờng THCS Tiên - Đặt nhân tử chung - Dùng đẳng thức - Nhóm nhiều hạng tử Vớ dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 5x - 45x b) 3x y – 6x2y – 3xy – 6axy2 – 3a2xy + 3xy Bµi lµm a) 5x – 45x = 5x(x – 9) = 5x(x +3) (x – 3) b) 3x2y – 6x2y – 3xy – 6axy2 – 3a2xy + 3xy = 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1) = 3xy [( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)] = 3xy [(x – 1) – (y + a) 2] = 3xy [(x – 1) + (y + a)] [(x – 1) – (y + a)] = 3xy(x + y + a – 1) (x – y – a – 1) 3 Bài tập Bài tập Phân tích đa thức thành nh©n tư a) 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc b) 8x (x + z) – y (z + 2x) – z (2x - y) c) [(x2 + y2)(a2 + b2) + 4abxy] – 4[xy(a2 + b2) + ab(x2 + y2)] Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử (x + y + z) x – y - z Híng dÉn (x + y + z ) – x – y - z =[(x + y + z) – x ] – (y + z ) = (x + y + z – x) [(x+ y + z) + (x + y + z)x + x2] – (y + z)(y2 – yz + z2) = (y+z)[ x2 + y2 + z2 +2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x2 + x2 – y2 + yz – z2] = (y + z)(3x2 + 3xy + 3xz + 3yz) = 3(y +z)[x(x + y) + z(x+y)] = 3( x + y)(y + z)(x + z) V/ Phân tích đa thức thành nhân tử cách tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử Phơng pháp Ta phân tích hạng tử thành tổng nhiều hạng tử thích hợp, để xuất nhóm số hạng mà ta phân tích thành nhân tử phơng pháp dùng đẳng thức, đặt nhân tử chung Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành thành nhân tử x2 – 6x + Bµi lµm 2 Cách 1: x – 6x + = (x – 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x –2)(x – 4) Caùch 2: x2 – 6x + = (x2 – 6x + 9) – = (x – 3) – = (x –3 + 1)(x – – 1) = (x – 2)(x – 4) Caùch 3: x2 – 6x + = (x2 – 4) – 6x + 12 = (x – 2)(x + 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x + – 6) = (x – 2)(x – 4) Caùch 4: x2 – 6x + = (x2 – 16) – 6x + 24 = (x –4)(x + 4) – 6(x – 4) = (x – 4)(x + –6) = (x –4)(x – 2) Caùch 5: x2 – 6x + = (x2 – 4x + 4) – 2x + = ( x – 2) – 2(x – 2)= (x – 2)(x – – 2) = (x – 2)(x – 4) Bµi tập Bài : Phân tích đa thức thành nhân tö a) x2 + 7x +10 b) x2 – 6x + c) 3x2 – 7x – d) 10x2 29x + 10 Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nha Nguyễn Thanh Hùng năm 2006 Tr ờng THCS Tiªn a) x + 4x2 – 29x + 24 b) x + 6x2 + 11x + c) x2 – 7xy + 10y d) 4x2 – 3x VI/ Phơng pháp thêm bớt hạng tử Phơng pháp Ta thêm hay bớt hạng tử vào đa thức đà cho để làm xuất n nhóm số hạng mà ta phân tích đợc thành nhân tử chung phơng pháp: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử x + 64 = x + 64 + 16x – 16x = (x + 8) – (4x) = (x2 + 4x + 8)(x – 4x + 8) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x + 4y b) x + x + Bµi lµm 4 4 2 2 a) x + 4y = x + 4y + 4x y – 4x y = (x + 2y)2 – (2xy)2 = (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy) b) x + x + = (x + x + x ) – (x + x + x ) + (x + x + 1) = x (x + x + 1) – x (x + x + 1) + (x + x +1) = (x + x + 1)(x – x +1) Bài tập Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x + x + b) x + x + c) x + x + d) x + Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tö a) x + 5x + 3x – b) x + 9x + 11x – 21 c) x – 7x + Bµi 13: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x - 5x + 8x – b) x – 3x + c) x – 5x + 3x + d) x + 8x + 17x + 10 e) x + 3x + 6x + Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x 2x b) 2x – 12x + 7x – c) x + x + d) x + 3x + 3x + e) x + 9x + 26x + 24 f) 2x – 3x + 3x + g) 3x – 14x + 4x + * Moät soỏ phửụng phaựp khaực VII/ Phơng pháp đặt biên số (đặt biên phụ) Phơng pháp Một số toán phân tích đa thức thành nhân tử mà đa thức ®· cho cã biĨu thøc xt hiƯn nhiỊu lÇn Ta đặt biểu thức biến Từ viết đa thức đà cho thành đa thức dễ phân tích thành nhân tử Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nha Nguyễn Thanh Hùng năm 2006 Tr ờng THCS Tiên Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử a) 6x 11x + b) (x + 3x + 1)(x + 3x – 3) –5 c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 Bµi Làm a) 6x 11x + - Đặt x2 = y - Đa thức đà cho trở thành: 6y – 11y + = (3y – 1)(2y – 3) - Trả lại biến cũ: 6x 11x + = (3x – 1) (2x – 3) = ( x – 1)( x + 1)( x - )( x + b) (x + 3x + 1)(x + 3x 3) - Đặt x + 3x + = y ⇒ x – 3x – = y - Đa thức đà cho trở thµnh y(y – 4) – = y – 4y – = (y + 1)(y + 5) - Trả lại biến cũ (x + 3x + 1)(x + 3x – 3) – = (x + 3x + + 1)(x + 3x + – 5) = (x + 3x + 2)(x + 3x – 4)= (x + 1)(x + 2)(x – 1)(x + 1) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 8x + 7)(x + 8x + 15) + 15 c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 - §Ỉt x + 8x + = y ⇒ x + 8x + 15 = y + - Đa thức đà cho trở thành : y(y + 8) + 15 = y + 8y + 15 = y + 5y + 3y + 15= y(y + 5) + 3(y + 5) = (y + 5)(y + 3) - Trả lại biến cũ (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 = (x + 8x +7 + 5)(x + 8x + + 3) = (x + 8x + 12)(x + 8x + 10) = (x + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) Bµi tËp Bµi 14: Phân tích đa thức thành nhân tử a) (x + x) – 2(x + x) – 15 b) (x + 3x + 1)(x + 3x + 2) – c) (x + 4x + 8) + 3x(x + 4x + 8) + 2x Bài 15: Phân tích đa thức thành nh©n tư a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 b) (4x + 1)(12x – 1)(3x + 2)(x + 1) – c) 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) + 3x d) 3x – 4x + 2x – 8x + 2x – 4x + 3) VIII/ Phơng Pháp hệ số bất định Phơng Pháp: Sư dơng tÝnh chÊt: Hai ®a thøc cïng bËc b»ng hệ số tơng ứng chúng phải a n x n + a n =1 x n −1 + + a x + a x + a = b n x n + b n =1 x n −1 + + b x + b x + b ⇔ a i = b i ∀ i = 1; n Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử 2.1 Vớ duù 1: A = x + 11x + 30 Vì A đa thức bậc 3, hệ số cao Nên A phân tích đợc A có dạng A = (x + a)(x + bx + c) = x + (a + b)x + (ab + c)x + ac ⇔ x + 11x + 30 = x + (a + b)x + (ab + c)x + ac Đồng hệ số, ta có Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nha Nguyễn Thanh Hùng năm 2006 Tr ờng THCS Tiên a + b =  ab + c = 11 ac = 30  Chän a = ⇒ c = 15; b = -2 VËy (x + 11x + 30) = (x + 2)(x – 2x + 15) 2.2 VÝ dô 2: B = x – 14x + 15x – 14x +1 V× B đa thức bậc 4, hệ số cao nên B phân tích đợc thành nhân tử B có dạng: B = (x + ax + b)(x + cx + d) ⇔B = x + (a + c)x + (ac + b + d)x + (ad + bc)x + bd §ång nhÊt hÖ sè, ta cã:  a + c = −14  a = −1  a = −13  ac + b + d = 15 b = b =    hc ⇒     ad + bc = −14 c = −13  c = −1 bd = d = d =    2 Do vËy B = (x – x + 1)(x – 13x + 1) hc B = (x – 13x + 1)(x x + 1) Bài tập Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x + 4x + 5x + b) 2x – 3x –7x + 6x + c) 5x + 9x – 2x – 4x – Bài 17: Tìm a, b, c a) x – 2x + 2x – 2x + a = (x – 2x + 1)(x + bx + c) b) x + 3x – x – = (x – 2)( x + bx + c) + a c) 4x + 7x + 7x – = (ax + b)(x + x +1) + c IX/ Phơng pháp xét giá trị riêng Phơng pháp: Khi biến có vai trò nh đa thức ta xét giá trị riêng Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử 2.1: Ví dụ 1: P = (x + y + z) - x – y – z Bài Làm Coi P đa thức biến x Khi x = -y P = ⇒ P  (x + y) Trong P, vai trß x, y, z bình đẳng nên P (x + z) P  (y + z) ⇒ P = (x + y)(x + z)(y + z).Q Mµ P lµ ®a thøc bËc ®èi víi biÕ x, y, z nên Q số Với x = ; y = z = 1, ta cã Q = VËy P = 3(x + y)(x + z)(y + z) VÝ dô 2: M = a(b + c)(b - c ) + b(c + a)(c - a ) + c(a + b)(a - b ) Bài Làm Coi M đa thức biến a Khi a = b th× M = ⇒M  (a - b) Trong M vai trß cđa a, b, c bình đẳng nên : M (b - c) M  (c - a) M = (a - b)(b c)(c a)N Vì M đa thức bậc biến a nên N đa thức bậc a Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nha Nguyễn Thanh Hùng năm 2006 Tr ờng THCS Tiên Nhng a,b,c có vai trò bình đẳng nên: N = (a + b + c)R (R lµ h»ng sè) ⇒ M = (a - b)(b –c)(c – a)(a + b + c)R Chän a = 0, b = 1, c = ⇒ R = VËy B = (a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c) Bài tập Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử A = ab(a b) + bc(b – c) + ca(c – a) X Phơng pháp tìm nghiệm đa thức Phơng pháp Cho đa thức f(x), a nghiệm đa thức f(x) nÕu f(x) = Nh vËy nÕu ®a thøc f(x) chứa nhân tử (x - a) phải nghiệm đa thức Ta đà biết nghiệm nguyên đa thức có phải ớc hệ sè tù VÝ dô: x3 + 3x - Nếu đa thức có nghiệm a ( đa thức có chứa nhân tử (x - a) nhân tử lại có dạng x2 + bx = c suy ac = - suy a ớc - Vậy đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên có phải ớc hạng t không đổi Ước (- 4) : -1; 1; -2; 2; - 4; sau kiểm tra ta thấy1 nghiệm đa thức suy đa thức chứa nhân tử (x - 1) Do ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung (x 1) * Cách 1: x3 + 3x2 – = x3 – x2 + 4x2 – = x2(x – 1) + 4(x – 1) (x + 1)= (x – 1) (x2 + 4x + 4) = (x – 1) (x + 2)2 * C¸ch 2: x3 + 3x2 – = x 3– + 3x2 – = (x3 – 1) + 3(x2 – 1) = (x – 1) (x2 + x + 1) + 3(x2 – 1)= (x – 1) (x + 2)2 Chó ý: + NÕu ®a thøc cã tổng hệ số không đa thức chứa nhân tử (x 1) + Nếu đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hạng tử bậc lẻ đa thức chøa nh©n tư (x + 1) VÝ dơ : * §a thøc : x3 - 5x2 + 8x – cã - + - = Suy đa thức có nghiệm hay đa thøc cã chøa thõa sè (x – 1) *§a thøc : x3 – 5x2 + 3x + cã (- 5) + = + Suy ®a thức có nghiệm - hay đa thức chứa thừa số (x + 1) +Nếu đa thức nghiệm nguyên nhng đa thức có nghiệm hữu tỷ p Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ có phải có dạng p ớc hạng tử không đổi, q q ớc dơng hạng tử cao Ví dụ: 2x3 5x2 + 8x – NghiƯm h÷u tû NÕu cã đa thức : (- 1); ; (-1/2) ; 1/2 ; (- 3/2) ; 3/2 ;- Sau kiĨm tra ta thÊy x =1/2 lµ nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x - ) hay (2x - 1) Do ta tìm cách tách hạng tử đa thức để xuất nh©n tư chung (2x - 1) 2x3 – 5x2 + 8x – = 2x3 – x2 – 4x2 + 2x + 6x – =x2 (2x – 1) – 2x(2x –1) + 3(2x –1) =(2x – 1)(x2 – 2x + 3) XI Phơng pháp tính nghiệm tam thức bậc hai a) Phơng pháp: Tam thức bậc hai ax2 +bx + c Nếu b2 4ac bình phơng số hữu tỷ phân tích tam thức thành thừa số phơng pháp đà biết Nếu b2 4ac không bình phơng số hữu tỷ phân tích tiếp đợc b) Ví dụ: 2x2 – 7x + Víi a =2 , b =- , c = XÐt b2 - 4ac = 49 - 4.2.3 =25 = 55 Suy Ph©n tích đợc thành nhân tử : 2x2 - 7x + = ( x - 3)(2x - 1) Chó ý: P(x) = ax2 + bx + c = cã nghiệm x1 , x2 P(x) =a( x- x1)(x - x2) Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nha Nguyễn Thanh Hùng năm 2006 Tr ờng THCS Tiên Phần 2: CAC BAỉI TOAN AP DUẽNG PHAN TCH ẹA THệC THAỉNH NHAN Tệ I) Bài toán rút gọn biểu thức Phơng pháp +Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất nhân tử chung +áp dụng tính chất phân thức đại số: Chia tử thức mẫu thức cho nhân tử chung Học sinh thấy đợc liên hệ chặt chẽ kiến thức giúp phát triển t suy luận lôgic, sáng tạo 2)Ví dơ: Rót gän biĨu thøc 3x − x + 5x − A= 2x − x − 4x + x + 2x −1 x − − − B= x +1 x −1 x2 −1 Bµi Lµm 2 3x − 3x − x + x + x − a) A = x − x + x − x − 3x + 3 x ( x − 1) − x ( x − 1) + ( x − 1) A= 2 x ( x − 1) + x( x − 1) − 3( x − 1) A= ( x − 1)(3 x − x + 1) ( x − 1)( x − 1)(3 x − 1) = ( x − 1)(2 x + x − 3) ( x − 1)(2 x + 3)( x − 1) A= ( x − 1) (3x − 1) x − = ( x − 1) (2 x + 3) x + MTC = x2 - = (x + 1)(x - 1) ( x + 3)( x − 1) − ( x − 1)( x + 1) − ( x − 3) B = ( x + 1)( x − 1) x + 2x − − 2x + x + − x + B = ( x + 1)( x − 1) 1− x = −1 B = ( x + 1)( x − 1) Bµi tËp Bµi 19 Rót gän biĨu thøc a (b − c ) + b (c − a ) + c (a − b) A= ab − ac − b + bc 2 x − x − 12 x + 45 B= 3 x − 19 x + 33 x − x − y + z + xyz C= ( x + y ) + ( y + z ) + ( z − x) b) x + y + z − 3xyz D= ( x − y) + ( y − z ) + ( z − x) Bµi 20 Rót gän biĨu thøc 1 1 + + + A= x( x + y ) y ( x + y ) x( x − y ) y ( y − x ) 1 + + B= a (a − b)(a − c ) b(b − a )(b − c) c(c − a )(c − b) Bµi 21 Cho x2 - 4x + = Tính giá trị biĨu thøc A = x + x +1 x2 Chuyªn đề phân tích đa thức thành nhân tử Nha Nguyễn Thanh Hùng năm 2006 Tr ờng THCS Tiên II) Bài toán giải phơng trình bậc cao Phơng pháp: áp dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử để đa phơng trình tích AB = hc A = hc B = VÝ dơ: Giải phơng trình * Ví dụ 1: x3 - 7x2 + 15x - 25 = ⇔ x3 - 5x2 - 2x2 + 10x + 5x- 25 = ⇔ x2(x- 5) - 2x(x - 5) + 5(x - 5) = ⇔ (x- 5)(x2- 2x + 5) = x − = ⇔  x − 2x + = x = ⇔  ( x − 1) + = 0(voly ) Vậy phơng trình đà cho có tập nghiệm S = {5} * VÝ dô 2: (2x2 + 3x - 1) - 5(2x2 + 3x + 3) + 24 = (1) Đặt: 2x + 3x - = t (*) ⇒ 2x + 3x + = t + Phơng trình đà cho trở thành: t2 - 5(t + 4) + 24 = ⇔ t2 - 5t + = ⇔ (t - 1)(t - 4) = t − = ⇔  t − = t = ⇔  t = + Thay t = vµo (*), ta cã: 2x2 + 3x - = ⇔ 2x + 3x - = ⇔ (2x + 4x) - x - = ⇔ 2x(x + 2) - (x + 2) = (x + 2) (2x - 1) =  x = −2 x + =  2 x − = ⇔  x=   + Thay t = vµo (*), ta cã : 2x2 + 3x - = ⇔ 2x + 3x - = ⇔ (x - 1)( 2x +5) = x = x −1 = ⇔ ⇔  x = − 2 x + = Vậy phơng trình (1) cã tËp nghiÖm: S = { -2; * VÝ Dô 3: (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40 ⇔ (x + 1)(x + 5)(x + 2)(x + 4) = 40 ⇔ (x2 + 6x + 5)(x2 + 6x + 8) = 40 −5 ; ; 1} 2` (1) Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nha Nguyễn Thanh Hùng năm 2006 Tr ờng THCS Tiên 10 Đặt x2 + 6x + = t (*) ⇒ x2 + 6x + = t + Phơng trình đà cho trở thành: Thay t = vµo (*), ta cã: x2 + 6x + = ⇔x2 + 6x = t(t + 3) = 40 ⇔ t2 + 3t – 40 = ⇔ (t – 5)(t + 8) = t = ⇔  t = −8 x = ⇔x(x + 6) = ⇔  x = - Thay t = -8 vµo (*), ta cã: x + 6x + = - ⇔ x2 + 6x + 13 = 25 27 ⇔x2 + 2x + + = 4 27 ⇔ (x + )2 + = (Vô lý) Vậy phơng trình (1) có tập nghiệm S = {0; -6} Ví dụ 4: Giải phơng trình đối xứng bậc chẵn x + 3x + 4x + 3x + = (4) Ta thấy x = không nghiệm phơng tr×nh (4) ⇒ Chia hai vÕ cđa (4) cho x 0, ta đợc 1 x + 3x + + + = x x 1 ⇔ (x2 + ) + 3(x + )+4=0 x x Đặt x + = t (*) x ⇒ x + = t2 x Phơng trình đà cho trở thành : t + 3t + = ⇔ (t + 1)(t + 2) = t = −1 ⇔ t = −2 Thay t = - vµo (*), ta đợc : x + = -1 x + x + = (V« nghiƯm) x Thay t = - vào (*), ta đợc : x + = - ⇔ x + 2x + = ⇔ (x + 1) = x = -1 x Vậy phơng trình (4) cã tËp nghiƯm S = {-1} *VÝ dơ 5: Giải Phơng trình đối xứng bậc lẻ x x + 3x + 3x – x + = (5) Cã x = - nghiệm phơng trình (5) Do (5) ⇔ (x + 1)(x – 2x + 5x 2x + 1) = Giải phơng trình ®èi xøng bËc ch½n x4 – 2x3 + 5x2 – 2x + = (5’) Ta thÊy x = không nghiệm (5) Chia vế cđa (5’) cho x ≠ 0, ta cã: Chuyªn đề phân tích đa thức thành nhân tử Nha Nguyễn Thanh Hùng năm 2006 Tr ờng THCS Tiên 11 x 2x + - Đặt (x + 1 1 + = ⇔ (x + ) – 2(x + ) + = x x x x ) = t (*) x ) = t2 – x2 (5’) ⇔ t – 2t +3 = ⇔ (t – 1) + = ( v« nghiƯm) Vậy Phơng trình (5) có tập nghiêm S = {-1} Bài tập: Bài 22: Giải phơng trình a) 2x + 3x +6x +5 =0 b) x – 4x – 19x + 106x – 120 = c) 4x + 12x + 5x – 6x – 15 = d) x + 3x + 4x + = Bµi 23: giải phơng trình a) x(x + 1) (x 1)(x+ 2) = 24 b) (x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680 c) (2x + 1)(x+ 1) (2x + 3) = 18 d) 12x + 7) (3x + 2)(2x + 1) = Bµi 24: giải phơng trình a) (x 6x + 9) – 15(x – 6x + 10) = b) (x + x + 1) +(x + x + 1) – 12 = c) (x + 5x) – 2x – 10x = 24 Bài 25: giải phơng trình a) x - 2x + 4x – 3x + = b) x – 3x + 4x – 3x + = c) 2x – 9x + 14x – 9x + = d) x + x + x + x +x + x + = Bài 26: giải phơng trình: x + 2x + 3x + 3x + 2x + = ⇒ (x + D KÕt luËn chung Phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề rộng lớn trải suốt chơng trình học học sinh, liên quan kết hợp với phơng pháp khác tạo nên lôgic chặt chẽ toán học Các phơng pháp đợc nêu từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu phát triển có hệ thống kỹ năng, kỹ xảo phân tích Qua giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính xác, lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức Trong năm qua đà vận dụng phơng pháp dạy phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh thấy em hào hứng trình tìm tòi lời giải hay hợp lý nhất, kể tập vận dụng rút gọn biểu thức ý nghĩa việc phân tích đa thức tử mẫu phân thức quan trọng, giúp việc rút gọn từ phân thức (nếu có thể) mà giúp việc tìm tập xá định, tìm mẫu thức chung biểu thức Số học sinh nắm vững phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào vận dụng đợc vào tập 95% Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nha Nguyễn Thanh Hùng năm 2006 Tr ờng THCS Tiên 12 Trên số suy nghĩ vấn đề phát triển t học sinh qua việc dạy giải toán phân tích đa thức hành nhân tử Rất mong góp ý chân thành đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn ! Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nha Nguyễn Thanh Hùng năm 2006 Tr ờng THCS Tiên 13 ... thành nhân tử a) 8x + 27y b) (x + 1) + (x – 2) Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nha Nguyễn Thanh Hùng năm 2006 Tr ờng THCS Tiªn c) – y + 6xy – 12x y + 8x d) 2004 - 16 III/ Phân tích đa thức... đà biết thờng tiến hành theo trình tự sau : Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nha Nguyễn Thanh Hùng năm 2006 Tr ờng THCS Tiên - Đặt nhân tử chung - Dùng đẳng thức - Nhóm nhiều hạng tử Vớ... 10 Bµi 10: Phân tích đa thức thành nhân tử Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nha Nguyễn Thanh Hùng năm 2006 Tr ờng THCS Tiên a) x + 4x2 – 29x + 24 b) x + 6x2 + 11x + c) x2 – 7xy + 10y