Đang tải... (xem toàn văn)
Tích phân
Chương 4: Chuỗi số Chuỗi luỹ thừa 4.1 Chuỗi số: 4.1.1 Đại cương chuỗi số: a) Các khái niệm n ã ĐN: u n ; S n u k n 1 • k 1 Chuỗi hội tụ:Sn S n ; S un n ã Phần dư: R n uk k n 1 Chó ý: u n 1 n ht : * Limun 0 n * Lim R n 0 n VÝ dô 1: aq n n 1 * ht q 1 * pk q b) §iỊu kiện để chuỗi hội tụ u ht Limu kiện cần: Ví dụ 2: chuỗi n ;Limu 0; Nhưng chuỗi phân kỳ Điều kiện cần đủ: Điều n n n n 0 n 1 u n 1 n n n héi tơ Sn n lµd· y Cauchy p >0; no : p q n o th × un n=q+1 c) Tính chất chuỗi hội tụ TC1: u ; v n 1 n TC2: n 1 n ht (u n 1 n v n ); ku n (u n 0) n 4.1.2 Chuỗi số dương a) Định nghÜa: u n 1 n ch( ) u n n b) C¸c dÊu hiƯu héi tụ: Dấu hiệu so sánh: Cho chuỗi (+) u ; v Gs u v n n N* n 1 n n 1 n n n n 1 n 1 n 1 n 1 * ch v n ht ch v n ht * ch v n pk ch v n pk o sin n n 1 VÝ dô : sin n Chuỗi có n n Mà chuỗi ht n n sin n chuỗi n 1 héi tơ nªn héi tơ theo tiªu chn so sánh Hệ quả: Cho chuỗi (+): u ; n n 1 n 1 un Lim k R n v n Thì chuỗi tính chất Dấu hiệu D’Alembert u n 1 k u n ; u n 0(n ) Lim n u n 1 n * k 1: ch ht * k 1: ch pk * k 1: (n! ) VÝ dơ: n héi tơ v× n 1 n u n1 1 Lim Lim 0 1 / n u n e (n 1) n DÊu hiÖu Cauchy: n u k u ; u Lim n n n n 1 * k 1: * k 1: * k 1: n VÝ dô: n v×: n 1 2n 1 n n Lim u n n hội tụ 4.1.3 Chuỗi có dấu bất kỳ: a) Hội tụ tuyệt đối Bán hội tụ: Định nghĩa: un n un n 1 ng u n 1 un hội tụ tđnếu n un bán ht nÕu n 1 n ph©n kú héi tơ Các tính chất: TC1: TC2: b) Chuỗi đan dấu Định nghĩa: (u u u .) ( 1) u n ; u n 0n n n 1 DÊu hiƯu Leibnitz: {un } gi¶m n 1) u htụ hội (vỊ n n 1 tơ vµ cã tỉng < u1 ( 1) 1n1 Ví dụ: chuỗi n pk ng héi tô nnh n 1 ht n 3.2 Chuỗi hàm số 3.2.1 Hội tụ hội tụ đều: a) Các khái niệm: DÃy hàm {un(x) } xác định D Các tổng thøc sau: ( x) u nh×nh n 1 n Sn (x) u k (x) k 1 R n ( x) u k ( x) k n 1 MiỊn héi tơ: xo T TÝnh u n ( xo ) ht n 1 chÊt: x o T : * LimS n ( x o ) S( x o ) * LimR n ( x o ) 0 * Limu n ( x o ) Tổng chuỗi: S(x)/ T ... ht (u n 1 n v n ); ku n (u n 0) n 4.1 .2 Chuỗi số dương a) Định nghĩa: u n n ch( ) u n n b) C¸c dÊu hiƯu héi tơ: DÊu hiƯu so s¸nh: Cho chuỗi (+) u ; v Gs u v n n N*... n Chuỗi có n n Mà chuỗi ht n 1 n sin n chuỗi n hội tụ nên hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh Hệ quả: Cho chuỗi (+): u ; n n n 1 un Lim k R n v n Thì chuỗi tính chÊt ... 1: * k 1: * k 1: n VÝ dơ: n v×: n 1 2n 1 n n Lim u n n héi tô 4.1 .3 Chuỗi có dấu bất kỳ: a) Hội tụ tuyệt đối Bán hội tụ: Định nghĩa: un n 1 un n 1