phòng giáo dục - đào tạo huyện trực ninh đề chính thức Đề thi chọn học sinh giỏi Năm học 2009 - 2010 Môn: toán - lớp 7 Ngày thi: 13 tháng 4 năm 2010 Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Bài 1. (6 điểm): Tìm x ; y ; z biết: a) 1 1 1 1 5 2010 10 15 21 120 8 x = b) 1 3 2 9 27 15 xy yz xz+ + + = = và biết xy + yz + zx = 11 c) ( ) ( ) 2 3 4 4x x + < ( x Z ) Bài 2. (4 điểm): Cho đa thức A(x) = 3 2 1 1 5 14 2 x x x+ + + a) Tính giá trị của A(x) lần lợt tại x = - 3 ; x = 1 2 b) Chứng minh rằng đa thức A(x) không có nghiệm là số nguyên. Bài 3. (7 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A; góc A bằng 30 0 , độ dài cạnh BC = 2cm. Trên nửa mặt phẳng chứa A, bờ là đờng thẳng BC, vẽ tam giác BOC đều. Trên nửa mặt phẳng kia vẽ tia Bx sao cho góc CBx bằng 15 0 . Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD = BA. Gọi H là hình chiếu của điểm A trên đờng thẳng CO; CH cắt AB tại E. 1) Chứng minh rằng: a) Tam giác AOB cân. b) Tam giác AHE vuông cân. 2) Tính góc BDC? 3) Tính độ dài AE? Bài 4. (3 điểm): Cho đa thức P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d với a ; b ; c ; d là các số nguyên. Giả sử P(7) = 2010. Chứng minh rằng P(3) không thể bằng 2005. Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh : Chữ ký giám thị 1:. Chữ ký giám thị 2: phòng giáo dục - đào tạo huyện trực ninh hớng dẫn chấm bài thi học sinh giỏi huyện Năm học 2009 - 2010 Môn: toán - lớp 7 Bài Đáp án Điểm Bài 1 6 điểm a) 2 diểm x 2 2 2 2 5 2010 20 30 42 240 8 + + + = ữ 0,5 x 1 1 1 1 5 2. 2010 4.5 5.6 6.7 15.16 8 + + + + = ữ 0,5 x 1 1 5 2 2010 4 16 8 = ữ 0,5 x 3 5 x 5 3 2 x 2010 2010 16 8 2010 8 8 = = + = 0,5 b) 2 điểm áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: xy 1 yz 3 xz 2 xy yz zx 6 11 6 1 9 27 15 51 51 3 + + + + + + + = = = = = . (Vì xy yz zx 11+ + = ). 0,5 Suy ra xy = 2; yz = 6; xz = 3 0,5 Suy ra ( ) 2 xyz 6 xyz 36 xyz 6 = = = 0,5 - Nếu xyz = 6 tính đợc z = 3; x = 1; y = 2 - Nếu xyz = - 6 tính đợc z = - 3; x = -1; y = 2 0,5 c) 2 điểm 2 x 4 4 x+ . Nếu x 3 0 > mà ( ) ( ) 2 x x 3 1 x 3 x 4 4 + Z (không thỏa mãn) 1 Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x 3 0 x 3 x 4 0 x 3 x 4 4 + + < . Khi đó x 3 3 x 3 mà { } x x 2; 1;0;1;2;3 Z 1 Bài 2 4 điểm a) 1 đ - Tính ( ) 32 A 3 7 = 0,5 - Tính 1 631 A 2 112 = ữ 0,5 b) 3 đ - Giả sử A(x) có nghiệm nguyên x = a suy ra A(a) = 0 0,5 ( ) 3 2 a a A a a 5 0 14 2 = + + + = 0,5 3 2 a 7a 14a 70 0 + + + = 0,5 Khảng định 3 a 7 a 7M M 0,5 Vì 3 2 a 7 a 7a 14a 49 + +M M 0,5 Suy ra 70 49M vô lý. Vậy A(x) không có nghiệm là số nguyên 0,5 Bài 3 7 điểm E H D O C B A Câu 1 3 đ a) Chứng minh tam giác AOB cân tại O 2 b) - Tính ã ã 0 0 AEH 45 HAE 45= = . Suy ra tam giác AHE vuông cân tạo H. 1 Câu 2 1,5 đ - Tính ã BDC : Chứng minh ( ) AHC CMA c.g.c = 0,75 Suy ra ã ã 0 BDC BAO 15= = 0,75 Câu 3 2,5 đ Chứng minh: AHC CMA = 1,5 Suy ra AH = MC = 1 cm 0,5 áp dụng định lý pitago cho tam giác AHE. 2 2 2 2 2 2 AE AH HE AE 2AH AE 2 AE 2= + = = = (cm) 0,5 Bài 4 3 điểm Thay x = 7 ( ) 3 2 p 7 a.7 b.7 c.7 d = + + + Thay x = 3 ( ) 3 2 p 3 a.3 b.3 c.3 d = + + + 0,5 Tính ( ) ( ) p 7 p 3 a.316 b.40 c.4 = + + 1 ( ) ( ) a.316 b.40 c.4 4 a,b,c p 7 p 3 4 (1)+ + M MZ 0,5 Giả sử p(3) = 2005. Suy ra p(7) p(3) 2010 2005 5 p(7) p(3) = = không chia hết cho 4. (2) 0,5 Từ (1) và (2) suy ra mâu thuẫn. Vậy p (3) không thể bằng 2005 0,5 Ghi chú: Làm theo cách khác đúng, lập luận chặt chẽ cho điểm tơng đơng đáp án. Điểm toàn bài bằng tổng các điểm thành phần, không làm tròn. . điểm Thay x = 7 ( ) 3 2 p 7 a .7 b .7 c .7 d = + + + Thay x = 3 ( ) 3 2 p 3 a.3 b.3 c.3 d = + + + 0,5 Tính ( ) ( ) p 7 p 3 a.316 b.40 c.4 = + + 1 ( ) ( ) a.316 b.40 c.4 4 a,b,c p 7 p 3 4 (1)+. 14a 70 0 + + + = 0,5 Khảng định 3 a 7 a 7M M 0,5 Vì 3 2 a 7 a 7a 14a 49 + +M M 0,5 Suy ra 70 49M vô lý. Vậy A(x) không có nghiệm là số nguyên 0,5 Bài 3 7 điểm E H D O C B A Câu 1 3 đ a) Chứng. sinh giỏi Năm học 2009 - 2010 Môn: toán - lớp 7 Ngày thi: 13 tháng 4 năm 2010 Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Bài 1. (6 điểm): Tìm x ; y ; z biết: a)