Chương 8: Biểu diễn đa thức xấp xỉ theo vectơ các bậ c tự do của phần tử. Ma tr ận các hàm dạng Bậc tự do của một nút (Nodal Degree Of Freedom) là các giá tr ị (có thể cần cả giá trị đạo hàm) của hàm (hay đa thức) xấp xỉ tại nút. T ập hợp tất cả các bậc tự do của các nút trên phân tử được gọi là vectơ các bậc tự do của phần tử, ký hiệu là { q} e . Hay trong vật r ắn thường gọi là vectơ chuyển vị nút phần tử. Và các bậc tự do này (hay các chuy ển vị nút) là ẩn số của bài toán khi phân tích theo Ph ương pháp phần tử hữu hạn:       1 2, 3 4, 5 6 , , , , , , , , T i i j j k k e T e q u v u v u v q q q q q q   Tóm lại: Nếu phần tử e có r nút và mỗi nút có s bậc tự do thì vectơ chuyển vị nút phần tử {q} e có số thành phần n e = s x r Trong ph ần tử hữu hạn các đa thức xấp xỉ được biểu diễn theo vectơ các bậc tự do phần tử {q} e hay người ta nói rằng các đa thức này được nội suy theo {q} e . Khi đó ta có:   3 4 2 4 5 q q q q q                (2.2) Điều này dễ thực hiện được bằng cách thay tọa độ các nút vào các đa thức xấp xỉ rồi thực hiện đồng nhất, cụ thể: (2.3) Trong đó: [A] là ma trận vuông (n e x n e ) và chỉ chứa tọa độ các điểm nút ph ần tử.       ' 1 e a A q   (2.4)             1 ( , , ) ( , , ) ( , , e u x y z P x y z a P x y z A q          ( , , ) e e u x y z N q  (2.5) Với :       1 ( , , ) N P x y z A   (2.6) và được gọi là ma trận các hàm nội suy, hay các ma tr ận hàm dạng Ví d ụ: Tìm ma trận hàm dạng của phần tử lăng trụ chịu kéo – nén d ọc trục (hình dưới) Mọi điểm chỉ tồn tại chuyển vị và bi ến dạng dọc trục, cụ thể là u(x) và є x 2 2 1 1 2 2 L L N du U dx E J dx E J dx           Nên đa thức xấp xỉ u(x) đòi hỏixấp xỉ tuyến tính: U(x) = a 1 + a 2 x (0 ≤ x ≤ L )       1 2 1 ( ) a x P x a a           Do {a}ch ỉ có 2 tham số chuyển vị nút {q} e của phần tử cũng chỉ có 2 bậc tự do: đó là chuyển vị dọc trục x của 2 điểm nút đầu và cu ối của phần tử. Hay ta có vectơ chuyển vị nút phần tử như sau:       1 2 1 2 , , T T e e e q q q u u   Điều này cũng phù hợp với yêu cầu đảm bảo tương thích về biến dạng của bài toán kết cấu đang xét. Thực hiện đồng nhất phương trình 2.2 ta có: Vậy:       1 2 1 ( ) 1 0 1 ( ) 1 0 1 1 P x A L P x A L L                                Theo (2.5) ta có các ma trận hàm dạng:       1 1 0 ( ) . 1 1 1 e x N P x A L L L                             1 2 ( ) ( ) N x N x  (2.6) Cu ối cùng ta có thể biểu diễn đa thức xấp xỉ chuyển vị dọc trục theo các chuyển vị nút phần tử:     1 2 ( ) 1 e e q x x u x N q q L L                         Hay 2 1 2 1 ( ) ( ) 1 i i i x x u x N x q q q L L             Các hàm N i (x) trong 2.6 còn có tên là các hàm nội suy Lagrange bậc1 có đồ thị như trên. 2.4 Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong thực tế. Với sự hỗ trợ của máy tính điện tử, phương pháp phần tử hữu h ạn đang được sử dụng rộng rãi và có hiệu quả trong nhiều lĩnh vực như lí thuyết đàn hồi và dẻo, cơ học chất lỏng, cơ học vật rắn, cơ học thiên thể, khí tượng thuỷ văn, vv… Phương pháp Phần tử hữu hạn thường được dùng trong các bài toán Cơ học (cơ học kết cấu, cơ học môi trường liên tục) để xác định trường ứng suất và biến dạng của vật thể. Ngoài ra, phương pháp phần tử hữu hạn cũng được d ùng trong v ật lý học để giải các phương trình sóng, như trong vật lý plasma, các bài toán v ề truyền nhiệt, động lực học chất lỏng, trường điện từ 2.5 So sánh PPPTHH với phương pháp sai phân hữu hạn (PPSPHH) Phương pháp sai phân hữu hạn là phương pháp chỉ áp dụng cho hình chữ nhật có mối quan hệ đơn giản, dùng để giải các phương trình vi phân từng phần. Nó có nhiều đặc điểm tương tự phần tử hữu hạn, có nhiều trường hợp nó là tập con của phương pháp phần tử hữu hạn. Sự khác nhau giữa PPPTHH và PPSPHH là:  Điểm đặc trưng nhất của PPPTHH là nó có khả năng áp dụng cho những bài toán hình học và những bài toán biên phức tạp với mối quan hệ rời rạc. Trong khi đó PPSPHH về căn bản chỉ áp dụng được trong dạng h ình chữ nhật với mối quan hệ đơn giản, việc vận dụng kiến thức hình học trong PPPTHH là đơn giản về lý thuyết.  Điểm đặc trưng của phương pháp sai phân hữu hạn là có thể dễ dàng thực hiện được.  Trong một vài trường hợp, PPSPHH có thể xem như là một tập con của PPPTHH xấp xỉ. Việc lựa chọn hàm cơ sở là hàm không đổi từng phần hoặc là hàm delta Dirac. Trong cả hai phương pháp xấp xỉ, việc xấp xỉ được tiến hành trên toàn miền, nhưng miền đó không cần liên tục. Như một sự lựa chọn, nó có thể xác định một h àm trên một miền rời rạc, với kết quả là toán tử vi phân liên tục không sinh ra chiều dài hơn, tuy nhiên việc xấp xỉ này không ph ải là PPPTHH.  Có những lập luận để lưu ý đến cơ sở toán học của việc xấp xỉ phần tử hữu hạn trở lên đúng đắn hơn, ví dụ: bởi vì trong PPSPHH đặc điểm của việc xấp xỉ những điểm lưới còn hạn chế.  Kết quả của việc xấp xỉ bằng PPPTHH thường chính xác hơn PPSPHH, nhưng điều n ày còn phụ thuộc vào nhiều vấn đề khác và m ột số trường hợp đã cho kết quả trái ngược. Nói chung, PPPTHH là một phương pháp thích hợp để phân tích các bài toán về kết cấu (giải các bài toán về biến dạng và ứng suất của vật thể dạng khối hoặc động lực học kết cấu), trong khi đó phương pháp tính trong động lực học chất lỏng có khuynh hướng sử dụng PPSPHH hoặc những phương pháp khác (như phương pháp khối lượng hữu hạn). Những bài toán của động lực học chất lỏng thường yêu cầu phải rời rạc hóa bài toán thành một số lượng lớn những “ô vuông” hoặc những điểm lưới (hàng triệu hoặc hơn), vì vậy mà nó đòi hỏi cách giải phải đơn giản hơn để xấp xỉ các “ô vuông”. Điều này đặc biệt đúng cho các b ài toán về dòng chảy ngoài, giống như dòng không khí bao quanh xe hơi hoặc máy bay, hoặc việc mô phỏng thời tiết ở một vùng rộng lớn. Có rất nhiều bộ phần mềm về phương pháp phần tử hữu hạn, một số miễn phí và m ột số được bán. . PPSPHH đặc điểm của việc xấp xỉ những điểm lưới còn hạn chế.  Kết quả của việc xấp xỉ bằng PPPTHH thường chính xác hơn PPSPHH, nhưng điều n ày còn phụ thuộc vào nhiều vấn đề khác và m ột số trường. PPSPHH về căn bản chỉ áp dụng được trong dạng h ình chữ nhật với mối quan hệ đơn giản, việc vận dụng kiến thức hình học trong PPPTHH là đơn giản về lý thuyết.  Điểm đặc trưng của phương pháp sai. Chương 8: Biểu diễn đa thức xấp xỉ theo vectơ các bậ c tự do của phần tử. Ma tr ận các hàm dạng Bậc tự do của một nút (Nodal Degree Of Freedom) là các giá tr ị (có thể cần cả giá trị