http://ductam_tp.violet.vn/ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2010 ĐỀ THAM KHẢO Môn: TOÁN – Giáo dục THPT Thời gian làm bài 150 phút – Không kể thời gian giao đề. SỐ 3 I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1. (3,0 điểm). Cho hàm số 4 2 1 2 4 4 = − +y x x 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số . 2) Dựa vào đồ thị ( )C , biện luận theo tham số m số nghiệm phân biệt của phương trình: 4 2 8 16 4 0− + − =x x m . Câu 2. (3,0 điểm) 1) Giải phương trình 2 2 3 9.3 10 0 − − + − = x x 2) Tính tích phân ( ) 2 1 1 ln = + ∫ e dx I x x 3) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2 3 3 ( ) 1 − + = = − x x y f x x trên đoạn 3 ;3 2       . Câu 3. (1,0 điểm). Cho hình chóp .S ABC có cạnh bên = SA a và vuông góc với đáy, đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B , · 60= o ACB , cạnh = AB a . 1) Tính thể tích của khối chóp .S ABC theo a . 2) Tính diện tích xung quanh của mặt nón tròn xoay có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác ABC, và có chiều cao bằng chiều cao bằng chiều cao của khối chóp S.ABC. II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh được chọn một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2) 1. Theo chương trình Chuẩn: Câu 4a (2,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm ( ) 0;2;1A , ( ) 1;0;2B , ( ) 2;1;0C . 1) Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua ba điểm , ,A B C . 2) Viết phương trình tham số đường thẳng d vuông góc mặt phẳng ( )P tại trọng tâm tam giác ABC Câu 5a. (1,0 điểm). Gọi 1 x và 2 x là hai nghiệm phức của phương trình 2 8 41 0− + =x x . Tính môđun của số phức 1 2 = −z x x . 2. Theo chương trình Nâng cao: Câu 4b. (2,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d và mặt phẳng ( )P có phương trình: 7 3 : 4 ( ) 5 4 = +   = + ∈   = − −  ¡ x t d y t t z t và ( ): 3 2 1 0+ − − =P x y z 1) Viết phương trình mặt phẳng ( )Q chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng ( )P 2) Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng ( )P , cắt đường thẳng d đồng thời vuông góc với đường thẳng d Câu 5b. (1,0 điểm). Gọi 1 x và 2 x là hai nghiệm phức của phương trình: 2 3 4 0− + =x ix . Tính môđun của số phức 3 3 1 2 = −z x x ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM http://ductam_tp.violet.vn/ CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu 1 (3 điểm) 1.(2,0 điểm) a) Tập xácđịnh: = ¡D 0,25 b) Sự biến thiên: • Chiều biến thiên: + 3 4 ′ = −y x x + 3 0, 4 0 4 0 2, 0 = =  ′ = ⇔ − = ⇔  = ± =  x y y x x x y 0,25 0,25 • Giới hạn: lim lim +→ −∞ → ∞ = = +∞ x x y y 0,25 • Bảng biến thiên: 0,25 • Nhận xét: + Hàm số tăng trong các khoảng: ( 2;0),(2; )− +∞ Hàm số giảm trong các khoảng: ( ; 2),(0;2)−∞ − + Hàm số đạt cực đại tại 0, 4 CÑ x y= = Hàm số đạt cực tiểu tại 2, 0= ± = CT x y 0,25 c) Đồ thị: + Điểm đặc biệt khác: 25 25 3; , 3; 4 4     −  ÷  ÷     A B 0,25 0,25 2.(1,0 điểm) + Phương trình: 4 4 2 2 8 16 4 0 2 4 4 − + − = ⇔ − + = x x x m x m ( ∗ ) + Số nghiệm của phương trình ( ∗ ) bằng số giao điểm của của đồ thị ( )C của hàm số: 4 2 2 4 4 = − + x y x và đường thẳng : =d y m , dựa vào đồ thị ( )C ta có: 0,25 Khi: 0 4 < < m : d và ( )C có bốn điểm chung ⇒ Phương trình có bốn nghiệm. Khi: 4 = m : d và ( )C có ba điểm chung ⇒ Phương trình có ba nghiệm. 0,25 http://ductam_tp.violet.vn/ Khi: 4>m hoặc 0=m : d và ( )C có hai điểm chung ⇒ Phương trình có hai nghiệm. 0,25 Khi: 0<m d và ( )C không có điểm chung ⇒ Phương trình vô nghiệm 0,25 Câu 2 (3 điểm) 1.(1,0 điểm) 2 2 3 9.3 10 0 − − + − = x x ⇔ 2 2 9 3 10 0 3 − − + − = x x 0,25 Đặt: 2 3 − = x t ( 0)>t ta có phương trình: 9 10 0+ − =t t ⇔ 2 10 9 0− + =t t (1) 0,25 Phương trình (1) có hai nghiệm 1=t và 9=t 0,25 Với 1 = t ta có: 2 0 3 1 3 2 0 2 − = = ⇔ − = ⇔ = x x x Với 9=t ta có: 2 2 3 9 3 2 2 4 − = = ⇔ − = ⇔ = x x x Vậy phương trình có hai nghiệm thực là 2 = x và 4 = x 0,25 2.(1,0 điểm) Đặt 1 ln= +t x ⇒ 1 .=dt dx x 0,25 Đổi cận: 2 1 1 = ⇒ =   = ⇒ =  x e t x t 0,25 Tích phân I trở thành: 2 2 1 = ∫ dt I t 0,25 2 2 2 1 1 1 1 1 . 1 2 2 −   = = − = − − =  ÷   ∫ I t dt t 0,25 3.(1,0 điểm) Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn: 3 ;3 2       và có 2 2 2 ( ) ( 1) − ′ = − x x f x x 0,25 0 ( ) 0 2 =  ′ = ⇔  =  x f x x , trên đoạn 3 ;3 2       chỉ nhận 2=x 0,25 Ta có 3 3 2 2   =  ÷   f , ( ) 3 3 2 =f , ( ) 2 1=f 0,25 Từ đó ta có: 3 ;3 2 3 3 max (3) 2 2   ∈       = = =  ÷   x y f f và 3 ;3 2 min (2) 1   ∈     = = x y f 0,25 Câu 3 (1 điểm) Hình vẽ Hình vẽ Câu 3a) Câu 3b) http://ductam_tp.violet.vn/ 1.(0,5 điểm) Xét tam giác vuông ABC có 3 .cot 60 3 = = o a BC a 2 3 6 ∆ ⇒ = ABC a S (đ.v.d.t) 0,25 3 . 1 3 .( ) 3 18 ∆ = = S ABC ABC a V SA S (đ.v.t.t) 0,25 2.(0,5 điểm) Gọi ′ S là đỉnh của hình nón, I là trung điểm cạnh AC ta có ′ ⊥S I AC và ′ =S I a Xét tam giác vuông ABC ta có: 2 3 1 3 sin sin 3 2 3 sin 60 3 2 = ⇒ = = = = ⇒ = =    ÷   o AB AB AB a a a C AC AI AC AC C Xét tam giác vuông ′ S AI ta có: 2 2 2 2 2 3 12 2 3 9 9 3 ′ ′ = + = + = = a a a S A AI S I a 0,25 Hình nón có bán kính đáy 3 3 = = a r AI , đường sinh 2 3 3 ′ = = a l S A nên có: 2 3 2 3 2 . . . . 3 3 3 = = = xq a a S r l a π π π (đ.v.d.t) 0,25 Câu 4a (2 điểm) 1.(1,0 điểm) Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ( )P là: (1; 2;1)= − uuur AB và (2; 1; 1)= − − uuur AC 0,25 ⇒ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )P là: , (3;3;3) →   = =   uuur uuur n AB AC 0,25 ⇒ Phương trình tổng quát của mặt phẳng ( )P là: 3( 0) 3( 2) 3( 1) 0− + − + − =x y z 0,25 ⇔ 3 0+ + − =x y z 0,25 2.(1,0 điểm) Trọng tâm tam giác ABC là: (1;1;1)G 0,25 Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( )P nên có vectơ chỉ phương là (1;1;1) → =a 0,25 ⇒ Phương trình tham số của đường thẳng d là: 1 1 ( ) 1 = +   = + ∈   = +  ¡ x t y t t z t 0,5 Câu 5a (1 điểm) Ta có: 2 64 164 100 (10 )∆ = − = − = i 0,25 Phương trình có hai nghiệm phức là: 1 4 5= −x i và 2 4 5= +x i 0,25 Vì: 1 2 10= − = −z x x i 0,25 2 2 2 2 0 ( 10) 10⇒ = + = + − =z a b 0,25 Câu 4b (2 điểm) 1.(1,0 điểm) Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ( )Q là: (3;1; 4) → = − d a và (1;3; 2) → = − P n 0,25 ⇒ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )Q là: , (10;2;8) → → →   = =     Q d P n a n 0,25 http://ductam_tp.violet.vn/ 0 0 (7;4; 5) ( )− ∈ ⇒ ∈M d M Q ⇒ Phương trình tổng quát của mp ( )Q là: 10( 7) 2( 4) 8( 5) 0− + − + + =x y z 0,25 ⇔ 5 4 19 0+ + − =x y z 0,25 2.(1,0 điểm) Gọi A là giao điểm của d và mặt phẳng ( )P ∈A d nên toạ độ A có dạng: (7 3 ;4 ; 5 4 )+ + − −A t t t ( )∈A P nên toạ độ A thoả: 7 3 3(4 ) 2( 5 4 ) 1 0+ + + − − − − =t t t 2⇒ = −t (1;2;3)⇒ =A 0,25 Gọi ( )R là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d tại điểm A ( ) ( )⇒ ∆ = ∩R P vì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⊥  ⇒ ∆ ⊥  ⊥  P Q Q R Q và ∆ qua A 0,25 Vì ( )∆ ⊥ Q nên vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là (5;1;4) → ∆ =a 0,25 Đường thẳng ∆ đi qua A nên có phương trình tham số là: 1 5 2 ( ) 3 4 = +   = + ∈   = +  ¡ x t y t t z t 0,25 Câu 5b (1 điểm) Ta có: 2 2 9 16 25 (5 )∆ = − = − =i i 0,25 Phương trình có hai nghiệm phức là: 1 = −x i và 2 4=x i 0,25 Vì: 3 3 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ( )( . ) ( 5 ).( 13) 65= − = − + + = − − =z x x x x x x x x i i 0,25 ⇒ 2 2 2 2 0 (65) 65 = + = + = z a b 0,25 . 3 3 2 2   =  ÷   f , ( ) 3 3 2 =f , ( ) 2 1=f 0,25 Từ đó ta có: 3 ;3 2 3 3 max (3) 2 2   ∈       = = =  ÷   x y f f và 3 ;3 2 min (2) 1   ∈     = = x y f 0,25 Câu 3 . + = = a a a S A AI S I a 0,25 Hình nón có bán kính đáy 3 3 = = a r AI , đường sinh 2 3 3 ′ = = a l S A nên có: 2 3 2 3 2 . . . . 3 3 3 = = = xq a a S r l a π π π (đ.v.d.t) 0,25 Câu 4a (2 điểm) 1.(1,0. vuông ABC ta có: 2 3 1 3 sin sin 3 2 3 sin 60 3 2 = ⇒ = = = = ⇒ = =    ÷   o AB AB AB a a a C AC AI AC AC C Xét tam giác vuông ′ S AI ta có: 2 2 2 2 2 3 12 2 3 9 9 3 ′ ′ = + = + = = a