PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN HỆ SỐ TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NIU TƠN Biên soạn: Gv Nguyễn Trung Kiên 0988844088 (Dành cho học sinh lớp 11 và LTĐH) Trong khai triển nhị thức Niu tơn ta thường gặp hai cách khai triển sau nn n n n n n knk n k k n n aCabCbCbaCba +++==+ −− = ∑ )( 110 0 (1) )2( )( 110 0 nn n n n n n kkn n k k n n bCbaCaCbaCba +++==+ −− = ∑ Ngoài ra học sinh cần nắm chắc các hệ thức sau 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k n k n n k k k n n n k k n n k k n n k k n n C C C C C n k C C k C C k n kC nC − − − − − + + − − = = + − + = = + + = ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 !( 1)! 1 !( 1)! 2 ! 1 ! 2 ! 2 ! 1 1 ( 2) ( )! ( 2)( )! 2 ( 1 )! ! k m k k m k m m k m k m m k k C m k m m k m m k m k + +   + − + − − + − + − = = + − + = −   + − + − − + +     1 2 1 1 1 1 2 k k m k m k m m C C + + − + +   − = −   −   Các hệ quả cần nắm n n n n n n n nn nnnn n CxCxCx xCxCxCCx +++=+ ++++=+ − )1( )1( 110 2210 n n n n n n n n n nn nnnnn n CxCxCxCx xCxCxCxCCx ++−=− ++−+−=− −− )1( )1( 22110 332210 Dạng 1: Tính tổng các số hạng trong khai triển Ví dụ 1: Tính các tổng sau 12 12 3 12 1 123 2 2 2 2 0 22 10 1 3 2 1 + +++ +++= +++= ++= n nnn n nnn n nnn CCCS CCCS CCCS Giải: 1. Xét khai triển nn nnnn n xCxCxCCx ++++=+ )1( 2210 cho x=1 ta có ngay S 1 =2 n 2. Xét khai triển n nnnn n CxCxCCx 2 2 22 2 1 2 0 2 2 )1( ++++=+ Cho x=1 ta có n nnnn n CCCC 2 2 2 2 1 2 0 2 2 2 ++++= 8 Xét khai triển n nnnn n CxCxCCx 2 2 22 2 1 2 0 2 2 )1( +−+−=− (1) Cho x= 1 ta có 0= n nnnn CCCC 2 2 2 2 1 2 0 2 +−+− (2) Cộng 2 vế (1) và (2) ta có S 2 = 2 2n-1 Hs tự tính câu S 3 tương tự như tính S 2 Dạng 2: Tìm số hạng thứ k trong khai triển Phương pháp: Viết khai triển ở dạng tổng quát Tách riêng phần số và chữ trong khai triển Giải điều kiện tìm hệ số Ví dụ: Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 trong khai triển a. (1+x 2 ) 8 c. 103 ) 1 1( x x ++ b. 4 6 (1 )x x+ + d. 12 )21)(23( xx ++ Giải: a.Ta có ∑ = =+ 8 0 2 8 82 )1( k kk xCx X 10 ứng với 2k=10 ⇔ k= 5 hệ số đó là 5 8 C b.Ta có 4 6 (1 )x x+ + = k k kk xxC − = + ∑ 6 6 0 4 6 )1( = ++++ 541 6 60 6 )1()1( xxCxC 482 6 )1( xxC + +… + 246 6 xC Ta thấy x 10 chỉ tồn tại trong khai triển 482 6 )1( xxC + và nó ứng với phần hệ số của số hạng chứa x 2 trong khai triển (1+x) 4 nhân với 2 6 C ⇒ hệ số chứa x 10 trong khai triển là 2 4 2 6 CC . c.Ta có 103 ) 1 1( x x ++ = 10 104 )1( x xx ++ số hạng chứa x 10 trong khai triển ứng với số hạng chứa x 20 trong khai triển 1042 )1( xx ++ Cách tìm số hạng chứa x 20 như trong câu b d. 12 )21)(23( xx ++ = 1212 )21(2)21(3 xxx +++ Từ đó tìm số hạng chứa x 10 trong 2 khai triển và cộng lại Dạng 3:Chứng minhh một hệ thức tổ hợp 1) Dùng các khai triển để tính tổng Ví dụ 1):Chứng minh các hệ thức sau a. k nm mk n m m k nm k nm k nm CCCCCCCCC + −−− =++++ 22110 b. n n n nnnn CCCCC 2 2222120 )( )()()( =++++ Giải Theo kt niu tơn ta có: mm mmmm m nn nnnn n xCxCxCCx xCxCxCCx +++=+ ++++=+ )1( )1( 2210 2210 Từ đó suy ra =+ +nm x)1( ) )( ( 22102210 mm mmmm nn nnnn xCxCxCCxCxCxCC +++++++= (1) 9 Mặt khác theo khai triển nhị thức Niu tơn ta có nmnm nm kk nmnmnmnm nm xCxCxCxCCx ++ +++++ + ++++++=+ )1( 2210 (2) Phần hệ số chứa x k trong (1) là mk n m m k nm k nm k nm CCCCCCCC −−− ++++ 22110 Phần hệ số chứa x k trong (2) là C k m+k Từ đó suy ra điều phải cm. Câu b chỉ là một kết quả của câu a. Ví dụ 2: Đặt S= 223222120 )()1( )()()()( n n nn nnnn CCCCC −++−+− Chứng minh rằng S=0 nếu n lẻ S= n nnn n 4.2 )2) (4)(2( )1( 2 ++ − nếu n chẵn. 0 1 2 2 (1 ) ( 1) (1) n n n n n n n n x C C x C x C x − = − + − + − )2( 1 111 ) 1 1( 3 3 2 210 n n nnnnn n x C x C x C x CC x +++++=+ Nhân từng vế (1) và (2) ta có ) 1 11 )()1( ( )1( 2 2102210 2 n n nnnn nn n n nnn n n x C x C x CCxCxCxCC x x ++++−+−+−= − Số hạng không chứa x ở vế phải của đẳng thức là 223222120 )()1( )()()()( n n nn nnnn CCCCC −++−+− Khi n lẻ mọi số hạng trong khai triển đều chứa lũy thừa bậc chẳn của x từ đó suy ra số hạng không chứa x bằng 0 Khi n chẳn dễ thấy số hạng không chứa x ở vế trái ứng với số hạng chứa x n trong khai triển (1 – x 2 ) n và số hạng đó là 22 )1( n n n C − đó là điều phải cm. 2) Dùng đạo hàm để tính tổng Trong quá trình tính tổng nếu trước các hệ số C k n mà có chứa các số hoặc tích các số thì thông thường ta phải dùng một khai triển sau đó xét đạo hàm của nó để suy rs tổng cần tính Ví dụ 1) Tính tổng sau a) 0 1 2 2 3 ( 1) n n n n n S C C C n C= + + + + b) ( ) 0 1 2 2 3 4 2 n n n n n S C C C n C= − + − + + Với n là số tự nhiên chẵn GIẢI: a) Xét khai triển ( ) 0 1 0 1 n n k k n n n n n n k x C x C C x C x = + = = + + + ∑ Nhân hai vế của đẳng thức với x ta có ( ) 0 1 2 1 0 1 n n k k n n n n n n k x x C x C x C x C x + = + = = + + + ∑ Lấy đạo hàm cả hai vế ta có ( ) ( ) 1 0 1 2 1 1 2 3 ( 1) n n n n n n n x nx x C C C n C − + + + = + + + + Cho x=1 ta có S=2 n +n.2 n-1 10 b) Xét khai triển ( ) 0 1 0 1 n n k k n n n n n n k x C x C C x C x = + = = + + + ∑ nhân hai vế của đẳng thức với x 2 ta có ( ) 2 0 2 1 3 2 0 1 n n k k n n n n n n k x x C x C x C x C x + = + = = + + + ∑ lấy đạo hàm hai vế ta có ( ) ( ) 1 2 0 1 2 2 3 1 2 1 1 2 3 4 ( 2) n n n n n n n n x x nx x C x C x C x n C x − + + + + = + + + + + Cho x=-1 ta có S=0 3) Dùng tích phân để tính tổng Trong quá trình tính tổng nếu trước các hệ số tổ hợp có chứa các phân số hoặc tích các phân số thì ta phải xét một tổng thích hợp sau đó dùng phép tính tích phân để tính tổng. Việc lấy cận tính tích phân là tuỳ thuộc vào tổng cần tính Ví dụ) Tính các tổng sau a) 0 1 2 1 1 1 2 3 1 n n n n n S C C C C n = + + + + + b) 0 1 2 1 1 1 1 2 4 6 2 2 n n n n n S C C C C n = + + + + + c) 2 4 2 2 0 1 2 1 2 1 2 1 2 4 2 2 n n n n n S C C C n + − − − = + + + + Giải a) Ta có ( ) 0 1 0 1 n n k k n n n n n n k x C x C C x C x = + = = + + + ∑ . Lấy tích phân trên [ ] 0;1 cả 2 vế ta có ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 1 0 1 2 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 ( ) 1 2 1 n n n n n n n n n n n n x x dx C C x C x dx C x C x C x n n + + + + = + + + ⇔ = + + + + + ∫ ∫ 1 2 1 1 n S n + − ⇒ = + b) Xét ( ) 2 2 0 1 2 2 4 2 0 1 n n k k n n n n n n n k x C x C C x C x C x = + = = + + + + ∑ . Nhân x vào 2 vế ta có ( ) ( ) 2 0 1 3 2 5 2 1 1 n n n n n n n x x C x C x C x C x + + = + + + + Lấy tích phân trên [ ] 0;1 cả hai vế ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 0 1 3 2 5 2 1 0 0 1 2 2 0 2 1 4 2 6 2 1 1 0 0 1 2 1 0 1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 2 2 4 6 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 4 6 2 2 1 2 2 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx C x C x C x C x dx x d x C x C x C x C x n x C C C C n n S n + + + + + = + + + +   ⇔ + + = + + + +  ÷ +   ⇔ + = + + + + + + ⇒ = + ∫ ∫ ∫ c) Xét ( ) 2 2 0 1 2 2 4 2 0 1 n n k k n n n n n n n k x C x C C x C x C x = + = = + + + + ∑ . Nhân x vào 2 vế ta có 11 ( ) ( ) 2 0 1 3 2 5 2 1 1 n n n n n n n x x C x C x C x C x + + = + + + + Lấy tích phân trên [ ] 1;2 cả hai vế ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 1 3 2 5 2 1 1 1 2 2 2 0 2 1 4 2 6 2 1 2 1 1 2 4 6 2 2 1 2 2 0 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 2 2 4 6 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 4 6 2 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx C x C x C x C x dx x d x C x C x C x C x n x C C C C n n + + + + + = + + + +   ⇔ + + = + + + +  ÷ +   − − − − ⇔ + = + + + + + + ∫ ∫ ∫ ( ) 1 1 5 2 2 1 n n n n S n + + − ⇒ = + 4) Ứng dụng số phức để tính tổng Để giải quyết các bài toán dạng này học sinh cần nắm chắc dạng đại số và dạng lượng giác của số phức từ đó áp dụng nhị thức Niu tơn Chú ý: Nếu số phức có dạng lượng giác là n ( os isin ) z ( osn isinn ) n z r c r c α α α α = + ⇒ = + Ta hãy xét ví dụ sau: Tính các tổng sau: a) 2 4 6 1 1 n n n S C C C= − + − + b) 1 3 5 7 2 n n n n S C C C C= − + − + Ta có ( ) 1 2 2 2 4 6 1 3 5 7 1 1 (1 ) ( ) n n n n n n n n n n n n n i C i C i C i C C C i C C C C+ = + + + + = − + − + + − + − + Mặt khác ta có ( ) n n 1 2( os isin ) 1 2 ( os isin ) 4 4 4 4 n n i c i c π π π π + = + ⇒ + = + Từ dó suy ra 1 2 n 2 os 4 n 2 sin 4 n n S c S π π = = Ta có kết quả sau ( 2 4 6 1 n n n C C C− + − + ) 2 +( 1 3 5 7 n n n n C C C C− + − + ) 2 =2 n Các em học sinh hãy vận dụng để tính giá trị biểu thức sau: 0 2 4 2010 1 2010 2010 2010 2010 1 3 5 2009 2 2010 2010 2010 2010 S C C C C S C C C C = − + − − = − + − + 5) Một số bài tập khác Ví dụ 1) Tính tổng sau 12 2 2 2 0 1 1 2 1 n n n n C C C S n       = + + +  ÷  ÷  ÷ +       Giải: Ta có 1 1 1 ! 1 ( 1)! . . 1 1 !( )! 1 ( 1)!( )! 1 k k n n C C n n k k k n k n k n k n + + + = = = + + − + + − + Từ đó suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 n n n n S C C C n + + + +   = + +     + Phần tiếp theo Hs tự tính Ví dụ 2) Chứng minh rằng 1 0 2002 1 1 2000 n k k k C + = + < ∑ Ta có ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 !( 1)! 1 !( 1)! 2 ! 1 ! 2 ! 2 ! 1 1 ( 2) ( )! ( 2)( )! 2 ( 1 )! ! k m k k m k m m k m k m m k k C m k m m k m m k m k + +   + − + − − + − + − = = + − + = −   + − + − − + +     1 2 1 1 1 1 2 k k m k m k m m C C + + − + +   − = −   −   Từ đó ta có 1 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 n k n k m k m m n m m m C m C C m C m + + = + + −   − − = − < =   − − −   ∑ Thay m=2002 ta có kết quả cần tìm Thay m=2010 ta có kết quả sau 1 2 3 1 2010 2010 1 2010 2 2010 1 1 1 1 1 2008 n n C C C C + + + + + + + + < Ví dụ 3) Tính tổng sau 0 1 2 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 ( 1)( 2) n n n n n S C C C C n n = + + + + + + Ta có 1 1 1 1 ! 1 1 ( 1)! 1 1 . . . ( 1)( 2) ( 1)( 2) !( )! ( 1) ( 2) ( 1)!( )! ( 1) ( 2) k k n n n n C C k k k k k n k n k k n k n k + + + = = = + + + + − + + + − + + 13 2 2 1 ( 1)( 2) k n C n n + + = + + Từ đó ta có ( ) ( ) 2 3 2 2 2 2 0 1 2 3 2 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 2 1 ( 1)( 2) 1 ( 1)( 2) 1 2 3 2 ( 1)( 2) ( 1)( 2) n n n n n n n n n n n n n n n n S C C C n n C C C C C C C n n n C C n n n n + + + + + + + + + + + + + + + +   = + + + =   + +   + + + + + − + =   + + − −   − + =   + + + + Dạng 4) Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển Phương pháp Viết khai triển niutơn ở dạng tổng quát Tách riêng phần hệ số và phần biển trong khai triển Kí hiệu các hệ số tương ứng là A 0 , A 1, … A k , …A n A k là hệ số lớn nhất khi nó thỏa mản điều kiện A k ≥ A k-1 và A k ≥ A k+1 giải hệ hai bpt ta suy ra giá trị của k Ví dụ: Xét khai triển 12 12 2 210 12 )21( xAxAxAAx ++++=+ Tìm max { A 1 , A 2 ,……A n } Giải Ta có kk k k xCx 2)21( 12 0 12 12 ∑ = =+ từ đó suy ra A k = kk C 2 12 giả sử A k là hệ số max Ta có A k ≥ A k-1 A k ≥ A k+1 ⇔ kk C 2 12 ≥ 11 12 2 ++ kk C ⇔ 12! 2 k /(12-k)! k! ≥12! 2 k+1 /(12-k-1)! (k+1)! kk C 2 12 ≥ 11 12 2 −− kk C 12! 2 k /(12-k)! k! ≥ 12! 2 k-1 / (12- k +1)! (k -1)! ⇔ 112 12 1 2 12 1 +− ≥ + ≥ − kk kk ⇔ 253 233 ≤ ≥ k k ⇔ 3,86,7 ≤≤ k vì k là số nguyên nên k=8 Hệ số max là A 8 = 88 12 2C CHUYÊN ĐỀ HOÁN VỊ - TỔ HỢP – CHỈNH HƠP Thi chung năm 2008 Khối A: Cho khai triển ( ) 2 0 1 2 1 2 n n n x a a x a x a x+ = + + + + . Biết 1 2 0 4096 2 4 2 n n a a a a + + + + = . Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số 0 1 ; ; ; n a a a Khối B: Chứng minh rằng 14 1 1 1 1 1 1 1 2 k k k n n n n n C C C + + +   + + =  ÷ +   (Với n,k là các số nguyên dương và k n ≤ ) Khối D: Tìm số nguyên dương n thoả mãn 1 3 5 2 1 2 2 2 2 2048 n n n n n C C C C − + + + + = Thi chung năm 2007 Khối A Chứng minh rằng: 12 12 2 1 6 1 4 1 2 1 2 12 2 5 2 3 2 1 2 + − =++++ − n C n CCC n n nnnn Khối B. Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 trong khai triển nhị thức newton của ( ) n x+2 biết ( ) 20481 3333 3322110 =−++−+− −−− n n n n n n n n n n n CCCCC Khối D Tìm hệ số 5 x trong khai triển đa thức của ( ) ( ) 10 2 5 3121 xxxx ++− Thi chung năm 2006 Khối A Tìm hệ số của số hạng chứa 26 x trong khai triển nhị thức newton của n x x       + 7 4 1 . Biết rằng 12 20 12 2 12 1 12 −=+++ +++ n nnn CCC Khối B Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm { } nk , 3,2,1∈ sao cho số tập con gồm k phần tử của A lớn nhất. Khối D Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy Thi chung năm 2005 Khối A Tìm số nguyên dương n sao cho ( ) 200512 2.42.32.2 12 12 4 12 33 12 22 12 1 12 =+++−+− + +++++ n nnnnn CnCCCC Khối B Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ. Khối D Tính giá trị của biểu thức ( ) !1 3 34 1 + + = + n AA M nn .Biết 15 14922 2 4 2 3 2 2 2 1 =+++ ++++ nnnn CCCC Thi chung năm 2004 Khối A Tìm hệ số của 8 x trong khai triển thành đa thức ( ) [ ] 8 2 11 xx −+ Khối B Một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi dó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhât thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi không ít hơn 2. Khối D Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức newton 7 4 3 1         + x x với x > 0 Thi chung năm 2003 Khối A Tìm hệ số chứa 8 x trong khai triển nhị thức newton của n x x       + 5 3 1 biết rằng ( ) 37 3 1 4 +=− + + + nCC n n n n Khối B Cho n là số nguyên dương. Tính tổng n n n nnn C n CCC 1 12 3 12 2 12 1 2 3 1 2 0 + − ++ − + − + + Khối D Với n là số nguyên dương, gọi 33 −n a là hệ số của 33 −n x trong khai triển đa thức của ( ) ( ) n n xx 21 2 ++ . Tìm n để 26 33 = −n a Thi chung năm 2002 Khối A Cho khai triển nhị thức n x n n n x x n n x n x n n x x CCC         +                 ++                 =         + − − − − − − − − − − 3 1 3 2 1 1 3 1 2 1 0 3 2 1 222 2222 Biết rằng trong khai triển đó 13 5 nn CC = và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm x và n. Khối B Cho đa giác đều n AAA 221 ; ( ) 2≥n n nguyên. nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm n AAA 221 , nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm n AAA 221 , tìm n. Khối D Tìm số dương n sao cho 2432 42 21 0 =++++ n n n nn n CCCC QUY TẮC CỘNG – QUY TẮC NHÂN A.Lý thuyết 16 B.Cách giải Bài 1: Có 4 tuyến xe buýt giữa A và B. Có 3 tuyến xe buýt giữa B và C. Hỏi. a) Có mấy cách đi bằng xe buýt từ A đến C, qua B? b) Có mấy cách đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C, qua B? c) Có mấy cách đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C, qua B sao cho mỗi tuyến xe buýt không đi quá một lần. Bài 2: Một văn phòng cần chọn mua một tờ nhật báo mỗi ngày. Có 4 loại nhật báo. Hỏi có mấy cách chọn mua báo cho một tuần gồm 6 ngày làm việc. Bài 3: Trong một tuần, Bảo định mỗi tối đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình. Hỏi Bảo có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn nếu: a) Có thể thăm 1 bạn nhiều lần? b) Không đến thăm bạn quá một lần. Bài 4: Một tuyến đường xe lửa có 10 nhà ga. Hỏi cso bao nhiêu cách chọn một cuộc hành trình bắt đầu ở một nhà ga và chấm dứt ở một nhà ga khác, biết từ ga nào cũng có thể đi tới bất kỳ một nhà ga khác. Bài 5: Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một bàn ghế. Hỏi có mấy cách xếp sao cho. a) Nam, nữ ngồi xen kẽ. b) Nam, nữ ngoài xen kẽ và có một người nam A, một người nữ B phải ngồi cạnh nhau. Bài 6: (Đại học Quốc Gia TPHCM 99) Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho các trường hợp sau? a) Bất kỳ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau huặc đối diện nhau thì khác trường nhau. b) Bất kỳ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau. Bài 7: Cho 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 9. Hỏi từ các chữ số đã cho, lập được mấy số đôi một khác nhau và. a) Gồm 3 chữ số? b) Gồm 3 chữ số và nhỏ hơn 400. c) Gồ 3 chữ số chẵn? d) Gồm 3 chữ số và chia hết cho 5? Bài 8: (Đại học Quốc Gia Hà Nội 1997G). Có 10.000 vé được đánh số 00000 đến 99999. Hỏi số vé gồm 5 chữ số khác nhau. Bài 9: (Đại học Quốc Gia TPHCM 1997). Xé dãy số gồm 7 chữ số (mỗi chữ số được chọn trong dãy số tự nhiên) thoả mãn chữ số vị trí thứ 3 là số chẵn, chữ số cuối không chia hết cho 5, cá chữ số 4,5,6 đôi một khác nhau hỏi có bao nhiêu cách? Bài 10: (Đại học Y Hà Nội 1997). Cho chữ số 0, 1, 2, 3, …., 9. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600 000 xây dựng từ các chữ số trên. Bài 11. Cho { } ,5,4,3,2,1,0=X . Có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số từ X mà chữ số 1 có mặt đúng 3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng một lần. Bài 12: (Đại học Huế 1999). 17 [...]... {1,2,3,4,5,6} thiết lập các số có 6 chữ số khác nhau Hỏi các số đã lập có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau Bài 31: (Học viện Ngân Hàng 1999D) Xét các số gồm 9 chữ số trong đó có 5 số 1 và một chữ số 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5 Hỏi có bao nhiêu số mà? Năm chữ số 1 xếp kề nhau? Các chữ số được xếp tuỳ ý Bài 32: (Cao Đẳng Kinh Tế Đối Ngoại 2000) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác... số lẻ Bài 15: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 Bài 16: Cho X = { 0,1,2,3,4,5} Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi một Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9 Bài 17: (Đại học Nông Lâm 1999) Cho X = { 0,1,2,3,4,5} Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau mà số đó không chia... chữ số khác nhau đôi một từ X mà n chẵn Một trong 3 chữ số đầu tiên phải có mặt chữ số 1 Bài 56: (Đại học dân lập Thăng Long 1998) Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6, 7 có thể có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và có thể lập bao nhiêu số có 4 chữ số phân biệt mà tron đó có 2 chữ số 1, 2 Bài 57: (Học viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông 1999) Từ 10 chữ số 0,1,2 ,9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số. .. chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 sao cho chữ số chẵn không đứng kề nhau? Bài 33: (Đại học Huế 1997D) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau Tính tổng các số trên Bài 34: (Đại học An Ninh 2000D) Trong các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số trong đó chữ số 4 có mặt 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng một lần? CHỈNH HỢP A.Lý thuyết B.Cách giải Bài. .. nhiên các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp ngẫu nhiên thành một hàng Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được tạo thành Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được tạo thành Bài 13: (Đại học Y Hà Nội 1999) Có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ 0, 2, 3, 6, 9 Bài 14: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ Bài. .. trong đó chữ số đầu tiên là số lẻ? b) Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn Bài 119: (Đại học Quốc Gia 2001D) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần, các chữ số khác có mặt không quá một lần? NHỊ THỨC NEWTON TRỰC TIẾP KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON A.Lý thuyết B.Cách giải Bài 120: (Đại... biển số trong đó có ít nhất 1 chữ số cái khác chữ số O và các chữ số đôi một khác nhau Có mấy biẻn số có 2 chữ cái khác nhau đồng thời có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó giống nhau Bài 46 Có 30 học sinh dự thi học sinh toán toàn quốc Có 6 giải thường xếp hạng từ 1 đến 6 và không ai được nhiều hơn 1 giải Hỏi? 20 a) b) a) b) a) b) Có bao nhiêu danh sách học sinh đoạt giải có thể có? Nếu đã biết học... cần có cả nhà toán học lẫn vật lý Hỏi có bao nhiêu cách chọn Bài 84: (Học viện Chính Trị 2001) 23 Một đội văn nghệ có 10 người trong đó có 6 nữ và 4 nam Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ: a) b) Thành 2 nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau Có bao nhiêu cách chọn 5 người trong đó không quá một nam Bài 86: a) b) a) b) Một bộ bài 52 lá, có 4 loại cơ , rô, chuồn, bích mỗi loại có 13... 1997) Có 100000 chiếc vé số được đánh từ 00000 đến 99999 Hỏi số các vé gồm 5 chữ số khác nhau là bao nhiêu Bài 50: (Đại học Cảnh Sát 1999) Với 10 chữ số 0,1, ,9 Có thể lập bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau Bài 51: (Có bao nhiêu số nguyên dương bé hơn 1000 mà mỗi số đều có các chữ số đôi một khác nhau Bài 52: (Đại học Quốc Gia Hà Nội 2001) Từ 0, 1, 3, 5, 7 Có thể thiết lập bao nhiêu số, mỗi số gồm... diễn Hỏi có bao nhiêu cách khác nhau nếu các bài hát được xếp kề nhau và các tiết mục múa được xếp kề nhau? Bài 44: Trong một cuộc đua ngựa gồm 10 con Hỏi có mấy cách để 10 con ngựa này về đích nhất, nhì, ba Bài 45: (Học viện Ngân Hàng TPHCM 2000) Xét các bảng số xe là dãy gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau Các chữ cái lấy từ 26 chữ cái A, B, C…Z Các chữ số lấy từ 0, 1, …9 Có mấy biển số trong . } 5,4,3,2,1,0=X . a) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi một. b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5. c) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9. Bài 17:. nhau. Hỏi các số đã lập có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau. Bài 31: (Học viện Ngân Hàng 1999D). Xét các số gồm 9 chữ số trong đó có 5 số 1 và một chữ số 4 chữ số còn lại. biển số trong đó có ít nhất 1 chữ số cái khác chữ số O và các chữ số đôi một khác nhau. b) Có mấy biẻn số có 2 chữ cái khác nhau đồng thời có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó giống nhau. Bài