ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN HK II A. ĐẠI SỐ: I.BẤT ĐẲNG THỨC: Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân( BĐT Cô – si): Cho a, b là hai số thực: 2 a b ab + ≥ ∀ a,b ≥ 0 Đẳng thức: xảy ra ⇔a=b Bài tập: 1. CMR: 1 2 0a a a + ≥ ∀ > 2. Cho a, b, c >0. CMR: a) 3 a b c b c a + + ≥ b) 1 1 1 ( )( ) 9a b c a b c + + + + ≥ 3. CMR: 2 , 0 a b a b b a + ≥ ∀ > 4. CMR: 1 1 ( )( ) 4 , 0a b a b b a + + ≥ ∀ > 5. CMR: 2 1 2 , 0a b a a b b + ≥ ∀ > 6. CMR: ( )( )( ) 8 , , 0a b b c a c abc a b c+ + + ≥ ∀ > 7. CMR: 1 1 1 , , 0 a b c a b c bc ac ab a b c + + ≥ + + ∀ > 8. CMR: 1 1 1 ( )( )( ) 8 , , 0a b c a b c a b c + + + ≥ ∀ > II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH: 1) Nhị thức bậc nhất: x – ∞ –b/a + ∞ ax + b Trái dấu a 0 cùng dấu a 2) Tam thức bậc hai: * f(x) = 2 ax bx c+ + cùng dấu với a nếu 2 0ax bx c+ + = vô nghiệm hoặc có nghiệm kép * 2 0ax bx c+ + = có hai nhiệm phân biệt x 1 x 2 thì x – ∞ x 1 x 2 + ∞ 2 ax bx c+ + cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 cùng dấu a Bài tập: 1. Giải các bất phương trình sau: a) 2 1 0x x− + > ĐS: T = (– ∞ ; + ∞ ) b) 2 4 4x x+ < ĐS: T= ∅ c) 2 5 2 7 0x x− − ≥ ĐS: T = (– ∞ ; -1] ∪ [7/5; + ∞ ) d) (3x – 1)( 2 3 10x x+ − )>0 ĐS: T = (–5; 1/3) ∪ (2; + ∞ ) e) 2 2 (3 )( 2) 0 5 2 3 x x x x x − − + − ≤ − + + ĐS: T = (–3/5; 1) ∪ [3; + ∞ ) f) 1 1 3 2 x x − ≤ − − HD: Bpt  2 3 5 3 0 3 2 x x x − + − ≤ − …ĐS: T = (2/3; + ∞ ) g) x – 2 > 8 2 x x − − HD: Bpt  2 4 4 0 2 x x x + + > − … ĐS: T = (2; + ∞ ) h) 3 2 3 2 x x > + − ĐS: T = (– ∞ ;–7/3) ∪ (2/3; 1) Trang 1 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN HK II 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) y = 2 8 15x x − + HD: hs xác định khi 2 8 15x x− + ≥ 0… ĐS: D = (– ∞ ; 3] ∪ [5; + ∞ ) b) y = 2 3 6 x x x − + + HD: hs xác định khi 2 6x x− + + > 0… ĐS: D = (–2; 3) III. THỐNG KÊ 1. Thời gian hoàn thành một sản phẩm của môt nhóm công nhân: Thời gian (phút) 42 44 45 48 50 54 Cộng Tần số 4 5 20 10 8 3 50 Tìm số trung bình cộng, số trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số trên ĐS: 46,6x ≈ ; M e = 45; Mo = 45; Độ lệch chuẩn : S x ≈ 3; Phương sai: 2 x S ≈ 8,9 2. Cho bảng phân bố tần số ghép lớp điểm thi toán của lớp 10A: Lớp điểm thi Tần số [0 , 2) 2 [2 , 4) 4 [4 , 6) 12 [6 , 8) 28 [8 , 10] 4 Cộng 50 a)Tìm số trung bình; phương sai; độ lệch chuẩn (chính xác đến 0,1) ĐS: 6,1x ≈ ; 2 x S ≈ 3,2; S x ≈ 1,8 b) Lập bảng phân bố tần suất c)Vẽ biểu đồ hình cột, hình quạt và đường gấp khúc mô tả tần suất 3. Để khảo sát kết quả thi môn toán trong kỳ tuyển thi đại học vừa qua của trường A người điều tra chọn một mẫu gồm 60 học sinh tham gia kỳ thi tuyển sinh đó . Điểm môn toán thang điểm 10 của các học sinh này được cho ở bảng phân bố tần số sau: Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tần số 1 2 3 5 8 13 19 24 14 10 2 N= 100 a/ Tìm mốt b/ Tìm số trung bình ( chính xác đến hàng phần trăm) c/ Tìm số trung vị d/ Tìm phương sai độ lệch chuẩn ( chính xác đến hàng phần nghìn) 4.Cho bảng tần số, tần suất ghép lớp như sau: Lớp Tần Số Tần Suất [160;162] 6 16,7% [163;165] 12 33,3% [166; * ] ** 27,8% [169;171] 5 *** [172;174] 3 8,3% N =36 100% a/ Hãy điền số thích hợp vào dấu * b/ tìm các giá trị đại diện của các lớp c/ Tìm số trung bình ( chính xác đến hàng phần trăm) d/ Tìm phương sai độ lệch chuẩn ( chính xác đến hàng phần nghìn) 5. Cho các số liệu thống kê: 111 112 112 113 114 114 115 114 115 116 112 113 113 114 115 114 116 117 113 115 a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất; b) Tìm số trung bình, trung vị, mốt. IV. LƯỢNG GIÁC Trang 2 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN HK II 1. Các công thức lượng giác cơ bản: 2 2 2 2 2 2 sin 1 os sin os 1 os 1 sin x c x x c x c x x = −  + = ⇒  = −  1 cot tanx tanx.cotx 1 1 tan cot x x x  =   = ⇒   =   2 2 2 2 2 2 1 tan 1 1 os 1 tan (cos 0) 1 os os 1 tan x c x x x c x c x x  = −   + = ⇒ ≠   =  +  2 2 2 2 2 2 1 cot 1 1 sin 1 cot (sinx 0) 1 sin sin 1 cot x x x x x x  = −   + = ⇒ ≠   =  +  2. Chú ý: 1) cos( +k2 )=cos sin( +k2 )=sin α π α α π α 2) 1 1, 1 sin 1,cos α α α − ≤ ≤ − ≤ ≤ ∀ 3. Công thức cộng: *cos( βα ± ) =cos α cos β  sin α sin β *sin( βα ± ) =sin α cos β ± sin β cos β * tan( α + β ) = βα βα tan.tan1 tantan − + * tan( α - β ) = βα βα tan.tan1 tantan + − 4. CT nhân đôi : *cos2 α = cos 2 α -sin 2 α =2cos 2 α -1. =1 - 2sin 2 α * sin2 α = 2sin α cos α * tan2 α = α α 2 tan1 tan2 − (Với tan2 α ; tan α ) có nghĩa. 5. công thức hạ bậc: 2 1 cos2 sin 2 x x − = ; 2 1 cos2 os 2 x c x + = ; 2 1 cos2 tan 1 os2 x x c x − = + 6. Công thức biến đổi tích thành tổng: *cosα cosβ= 1 2 [cos(α +β) + cos(α -β) ] *sinα sinβ= 1 2 [cos(α +β) - cos(α -β)] *sinα cosβ= 1 2 [sin(α +β) + sin(α -β)] 7. Công thức biến đổi tổng thành tích: + − + − + = + = + − + − − = − − = cos cos 2 cos cos ; sin sin 2sin cos 2 2 2 2 cos cos 2 sin sin ; sin sin 2 cos sin 2 2 2 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y Bài tập: 1.Cho 3 sin = 5 α và 0 2 π α < < . Tính cos α , tan α , cot α , sin2 α . ĐS: cos α = 4/5, tan α = ¾, cot α = 4/3, sin2 α = 24/25 2.Cho 3 cos = 5 α − và 2 π α π < < . Tính sin α , cot α , cos2 α . ĐS: sin α = 4/5, cot α = –3/4, cos2 α = –7/25 3.Cho tan α = 2 và 3 2 π π α < < . Tính cot α , sin α . ĐS: cot α = ½, sin α = – 2 5 5 Trang 3 CNG ễN TP TON HK II 4. Cho cot = 3 v 3 2 2 < < . Tớnh tan , cos . S: tan = 1/3, cos = 3 10 10 5. Tớnh cỏc GTLG ca gúc bit : <<= 217 8 cos 6 * . Tớnh : ( ) 1 A 4. cos5x cosx .sinx 2 = + ; B= 4sinx .sin2x . sin3x; C = 4 cos. 24 5 sin 7* Bin ụi thnh tớch : M = sin 2x sin 4x + sin 6x . 8* Chng minh rng: 1 1 2 3 sin sin 10 10 = 9 * . Chng minh ng thc : a) 1cot.cot 1cot.cot )cos( )cos( + = + ba ba ba ba *HD: +B v phi +a cot v sin ; cos b) sin(a+b).sin(a-b)= abba 2222 coscossinsin = *HD: +BVT theo CT cng +s dng ht (a-b).(a+b) 10. Tớnh sin 2a ; cos 2a ; tan 2a bit : a) sina = -0,6 & 2 3 << a ; b)sina + cosa = -5/9 & << a 4 3 *HD:a) + Tớnh cosa + Tớnh sin 2a ; tan 2a theo CT nhõn ụi . b) + Bỡnh phng 2 v ng thc ó cho +Tỡm c sin 2a ; cos 2a ; tan 2a . 11 * . Rỳt gn biu thc : A= xxx xxx 5cos3coscos 5sin3sinsin ++ ++ T kt qu tỡm c hóy tớnh giỏ tr ca A bit cot 3x = -5/7 *HD: +B t & mu thnh tớch +a v tan 3x + Tớnh A theo cot 3x 12 * Chng minh rng: tan 2cos2sin1 2cos2sin1 = ++ + ( Khi cỏc biu thc cú ngha) B. HèNH HC: I. TCH Vễ HNG CA HAI VECT V CC H THC LNG TRONG TAM GIC - GII TAM GIC: 1.nh ngha tớch vụ hng ca hai vect : . cosa b a b = rr r r vi = ( ba; ) 2.Bỡnh phng vụ hng hai vect : a . a = a 2 = ( a ) 2 = | a | 2 3.Bieồu thửực toùa ủoọ : Cho a =(a 1, a 2 ) ; b =(b 1 ,b 2 ) . Khi ú: a . b = a 1 .b 1 + a 2 .b 2 4. di ca vect: | a |= 2 2 2 1 aa + 5. Gúc to gia hai vect: 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos( , ) . a b a b a b a b a b + = + + r r ( a o r , b o r ) * a b <=> a 1 .b 1 + a 2 .b 2 = 0 6. Khong cỏch gia hai im: Cho A( x A; y A ) ; B(x B; y B ) Khi ú AB = 2 2 ( ) ( ) B A B A AB AB x x y y= = + uuur Trang 4 c b a h a A B C H ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN HK II 7. Định lý côsin trong tam giác : ∆ ABC có AB= c, BC=a, AC =b a 2 = b 2 + c 2 - 2 bc.cosA b 2 = a 2 + c 2 - 2ac.cosB c 2 = a 2 + b 2 - 2ab.cosC 8. Hệ quả: * bc acb A 2 cos 222 −+ = ; * ac bca B 2 cos 222 −+ = ; * ab cba C 2 cos 222 −+ = 9. Công thức tính độ dài đường trung tuyến: 42 222 2 acb m a − + = ; 42 222 2 bca m b − + = ; 42 222 2 cba m c − + = 10.Định lý sin trong tam giác: C c B b A a sinsinsin == = 2R (R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) 11.Công thức tính diện tích tam giác: 1 1 1 S . . . 2 2 2 a b c a h b h c h= = = 1 1 1 S sin .sin sin 2 2 2 ab C ac B bc A= = = S = R abc 4 S = pr S = ))()(( cpbpapp −−− (CT: Hê-rông) Bài tập: 1.Cho ∆ ABC vuông cân có AB=AC =a . Tính các tích vô hướn . ; .AB AC AC CB uuuruuur uuuruuur 2. Trên mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai bvàa biết: a.) a =(2;-3).; b = (6;4) b) a .=(3;2) ; b =(5;-1) 3. Cho ∆ ABC có AB = 5; AC = 8, 0 60A = ) . Tính BC. 4. ∆ ABC a = 7; b = 24; c = 23. Tính góc A , B, C của tam giác ABC, tính độ dài trung tuyến m a 5. Cho tam giác ABC có 0 0 ˆ ˆ 20 ; 31B C= = và b= 210. Tính góc A , các cạnh còn lại và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. 6.Cho ∆ ABC có a=13 , b= 14 ; c=15 .Tính S ∆ ABC, R, r . 7. Cho ∆ ABC biết a =17,4 B = 44 0 30 ’, C =64 0 . Tính góc A và các cạnh b , c . ĐS: A = 71 0 31 ’ b= sin sin a B A ≈ 12.9 ; c= sin sin a C A ≈ 16.5 8. Cho ∆ ABC biết a =49.4, b = 26.4 , C =47 0 20 ’ . Tính góc A , B và cạnh c *HD: Theo định lí cosin ta có : c 2 = a 2 +b 2 -2abcosC ≈ 1369.58 ⇒ c ≈ 37.0; cosA = 2 2 2 2 b c a bc + − ≈ -0.1913 ⇒ A ≈ 101 0 2 ’ ; B ≈ 180 0 –(101 0 2 ’ +47 0 20 ’ ) ≈ 31 0 38 ’ 9. Cho ∆ ABC có a=24 b= 13 c=15 .Tính các góc A,B,C *HD: Theo hệ quả của định lí cosin tacó cosA = 2 2 2 2 b c a bc + − ≈ -0.4667 ⇒ A ≈ 117 0 49 ’ Vì sin a A = sin b B nên sinB = sinb A a ≈ 0.4791vì AC ngắn nhất nên B nhọn B ≈ 28 0 38 ’ 10. Giải ∆ ABC vuông tại A, biết a= 72, B= 58 0 . Tính đường cao h a, . *HD: µ C = 90 0 - µ B = 32 0 ; b = asinB = 72 . sịn58 0 ; c = a isnC = 72.sin32 0 ≈ 38,15; h a = . 32,36 b c a ≈ ; C ≈ 33 0 33 ’ 11. Cho ∆ ABC, biết a= 50,1; b= 85 ; c = 5442, Tính góc A, B,C. *HD: Theo đl côsin ta có Trang 5 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN HK II 2 2 2 7225 2916 2714, 41 cos 2 2.85.54 b c a A bc + − + − = = ≈ 0,8090 ⇒ A = 36 0 CosB = 2 2 2 2 b c a bc + − ≈ -0,2834 ⇒ B ≈ 106 0 28’ ; µ C ≈ 3732’ 12. Giải ∆ ABC. Biết A=120 0 b= 8, c =5 . Tính góc B,C và cạnh a. *HD: Theo đl côsin ta có a 2 = b 2 +c 2 -2bc cosA= 126 ⇒ a ≈ 11,36 CosB = 2 2 2 2 b c a bc + − ≈ 0,79 ⇒ B ≈ 37 0 48’ & C ≈ 22 0 12’ 13. Cho ∆ ABC có b=7cm, c = 5cm và 3 cos 5 A = . Tính a, sinA và S  ABC , ha, R. (ĐS: 4 1 2 7 2 5 2 2 4 2 ; sin ; sin 14 ; ; 5 2 2 2 S a cm A S bc A cm ha R ABC a = = = = = = = ∆ ) 14. Cho ∆ ABC. Biết A=60 0 , b = 8cm, c = 5cm. Tính a, sinA và S  ABC , ha, R. (ĐS: 10 3 7 3 2 7 ; 10 3 ; ; 7 3 a cm S cm ha cm R ABC = = = = ∆ ) 15. Cho ∆ ABC, biết a = 21cm, b = 17cm, c = 10cm. Tính S  ABC , ha, r, ma. (ĐS: 2 84 ; 8 ; 3, 5 ; 9,18 )S cm ha cm r cm ma cm ABC = = = = ∆ 16. Cho ∆ ABC, biết b = 14cm, c = 10cm, A= 145 0 . Tính a, ;B C ) ) 0 0 ( : 23; 20 ; 14 )HD a B C= = = ) ) 17.Cho ∆ ABC, biết a = 4cm, b = 5cm, c = 7cm. Tính . ; ;A B C ) ) ) 0 0 0 ( : 34 ; 44 ; 101 )HD A B C= = = ) ) ) II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG TRÒN, ELIP, KHOẢNG CÁCH… VÀ GÓC…, VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI… • ∆ đi qua M(x 0 ; y 0 ) và có VTCP u r = (u 1 ; u 2 ), PTTS là : 0 1 0 2 x x u t y y u t = +   = +  • ∆ đi qua M(x 0 ; y 0 ) và có VTPT n r = (a; b), PTTQ là: a(x – x 0 ) + b(y – y 0 ) = 0 • Đường tròn tâm I(a; b), bán kính R, PTCT: (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 Dạng khai triển(PTTQ) : x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c =0 có tâm I(a; b), bán kính R = 2 2 a b c+ − • Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(a; b), bán kính R tại điểm M(x 0 ; y 0 )là: (x 0 -a)(x-x 0 )+(y 0 -b)(x-y 0 ) • Đường elip: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1, a b c x y b a c a b c a b  = + + = = − ⇒  = −  Có trục lớn A 1 A 2 = 2a, trục nhỏ B 1 B 2 = 2b, tiêu cự F 1 F 2 = 2c, các tiêu điểm F 1 (–c; 0), F 2 (c; 0); Các đỉnh A 1 (– a; 0), A 2 (a; 0), B 1 (0; –b), B 2 (0; b), tâm sai: 1 c e a = < • Khoảng cách từ M(x 0 ; y 0 ) đến ∆ : ax + by + c = 0 là: 0 0 2 2 | | ( , ) ax by c d M a b + + ∆ = + • Góc giữa 1 1 1 1 : 0a x b y c∆ + + = và 2 2 2 2 : 0a x b y c∆ + + = là: 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 | . . | cos . a a b b a b a b ϕ + = + + • Hệ 1 1 1 1 2 2 2 2 0 ( ) 0 ( ) a x b y c a x b y c + + = ∆   + + = ∆  + Có nghiệm duy nhất ( 1 1 2 2 a b a b ≠ ) là (x 0 ; y 0 ) thì 1 ∆ cắt 2 ∆ tại (x 0 ; y 0 ) Trang 6 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN HK II +Vô nghiệm ( 1 1 1 2 2 2 a b c a b c = ≠ ) thì 1 ∆ // 2 ∆ +Vô số nghiệm ( 1 1 1 2 2 2 a b c a b c = = ) thì 1 ∆ trùng với 2 ∆ • Vị trí tương đối giữa đường tròn ( C) có tâm I(a; b), bán kính Rvà đường thẳng : + d(I,) < R thì  cắt( C) tại hai điểm + d(I,) = R thì  tiếp xúc với (C) tại điểm M(x 0 ; y 0 ) + d(I,) > R thì  nằm ngoài (C) Bài tập: 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(-1;3) , B(-3;1) và C(2;-1). a)Viết PTTQ của đường thẳng AB ĐS: 04 =+− yx b) Viết PT TQ của đường cao CH ĐS: 01 =−+ yx c) Viết PT TS của đường thẳng BC ĐS: x = –3+5t, y = 1–2t d) Viết PT TS của đường cao AK ĐS: x = –1+2t, y = 3+5t c) Viết phương trình tròn đương kính AB ĐS: (x + 2) 2 + (y –2) 2 = 2 d)Viết phương trình đường tròn tâm B và đi qua C ĐS: (x +3) 2 + (y –1) 2 = 29 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : 0143 =−− yx a)Tính khoảng cách từ I(2;5) đến đường thẳng ∆ . ĐS: 3);( =∆Id b)Viết phương trình đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng ∆ ĐS: ( ) ( ) 952 22 =−+− yx 3. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua N(2;-1) và có vectơ chỉ phương ( 3;2)u = − r 4. Tính góc giữa hai đường thẳng sau: 0152: 1 =+− yxd và 053: 2 =−+ yxd ĐS: 86 0 38’ 5. Cho 2 đường thẳng : 1 : 2 5 1 0x y∆ − + = và 2 :3 4 2 0x y∆ − + = a) Chứng minh rằng: 1 ∆ và 2 ∆ cắt nhau.Tìm toạ độ giao điểm của 1 ∆ và 2 ∆ ĐS: (–6/7; –1/7) b)Viết phương trình tổng quát đường thẳng d đi qua điểm M(1;-3) và song song 1 ∆ ĐS: 2x–5y–17= 0 6. a)Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(3;-2) và bán kính R= 5. ĐS: ( ) ( ) 2 2 3 2 25x y− + + = b)Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M(0;2) ĐS: 3 4 8 0x y− + = 7. Cho đường tròn 2 2 ( ) : 4 2 5 0C x y x y + + − − = . Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) ĐS: I(–2; 1), R = 10 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm, điểm ( ) 1; 4A và 1 2; 2 B −    ÷   : a) Chứng minh rằng OAB∆ vuông tại O; b) Tính độ dài và viết phương trình đường cao OH của OAB∆ ; c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp OAB∆ . 9. Cho elip có phương trình: 1 49 22 =+ yx . Hãy xác định độ dài các trục, tiêu cự, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh, tâm sai. 10. Viết phương trình chính tắc của (E) có đỉnh (-3,0) và tiêu điểm (1 , 0) ĐS: 2 2 1 9 8 x y + = 11. Viết phương trình chính tắc của (E) có trục lớn 10 và tiêu điểm ( 3 , 0) ĐS: 2 2 1 25 16 x y + = Trang 7 . học sinh này được cho ở bảng phân bố tần số sau: Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tần số 1 2 3 5 8 13 19 24 14 10 2 N= 100 a/ Tìm mốt b/ Tìm số trung bình ( chính xác đến hàng phần trăm) c/ Tìm. cot α = ½, sin α = – 2 5 5 Trang 3 CNG ễN TP TON HK II 4. Cho cot = 3 v 3 2 2 < < . Tớnh tan , cos . S: tan = 1/3, cos = 3 10 10 5. Tớnh cỏc GTLG ca gúc bit : <<= 217 8 cos 6 * 5cm. Tính a, sinA và S  ABC , ha, R. (ĐS: 10 3 7 3 2 7 ; 10 3 ; ; 7 3 a cm S cm ha cm R ABC = = = = ∆ ) 15. Cho ∆ ABC, biết a = 21cm, b = 17cm, c = 10cm. Tính S  ABC , ha, r, ma. (ĐS: 2 84