Chủ đề : chứng minh tứ giác nội tiếp I/ MỤC TIÊU CỦA CHỦ ĐỀ Qua chủ đề giúp học sinh: - Biết số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn - Vận dụng linh hoạt phương pháp để chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn - Vận dụng tính chất tứ giác nội tiếp đường tròn để chứng minh tốn hình học có liên quan - Rèn kỹ tìm lời giải trình bày lời giải tốn hình học - Biết cách khai thác tốn hình học, từ rèn luyện tư độc lập sáng tạo học tập ca hc sinh II/ Một số gợi ý để ®Õn chøng minh tø gi¸c néi tiÕp A B D C Chøng minh cho đỉnh tứ giác cách điểm ®ã Chøng minh tø gi¸c cã tỉng gãc ®èi 180 Chứng minh từ hai đỉnh liên tiếp nhìn hai đỉnh lại dới hai góc Chứng minh tứ giác có tổng góc đối Sử dụng định lí đảo hệ thức lợng đờng tròn Trờng hợp phải chứng minh điểm trở lên nằm đờng tròn, ta chọn điểm cố định, chọn điểm thứ chứng minh cho điểm nằm đờng tròn Sau lại chứng minh điểm cố định với điểm thứ năm nằm đờng tròn tiếp tục nh điểm cuối Nh tất điểm ®ã, kĨ tõ ®iĨm thø trë ®i ®Ịu n»m đờng tròn qua điểm đà chọn làm cè định, từ suy điểm nằm đường trịn II/ MỘT SỐ BÀI TỐN MINH HỌA 1 Bài toán 1: Cho tam giác ABC vuông A Trên AC lấy điểm M dựng đường trịn đường kính MC Nối BM kéo dài gặp đường tròn D Đường thẳng DA gặp đường trò S Chứng minh a ABCD tứ giác nội tiếp b CA phân giác góc SCB 1.1 Phân tích tìm cách giải GT ˆ ∆ABC có A = 90o Đường trịn đường kính MC MB cắt đường tròn D KL a/ ABCD tứ giác nội tiếp b/ CA tia phân giác ∠SCB K O3 D S A M O2 B O1 T C Nhận xét: ˆ a Vì A D nằm phía đoạn thẳng BC mà A = 90o theo GT nên để chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp ta phải chứng minh ∠BDC = 900 Ta có ∠ MDC = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn), từ suy điều phải chứng minh b Để chứng minh cho CA đường phân giác ∠ SCB, lợi dụng kết chứng minh câu a, ta có ∠ ACB = ∠ ADB ( chắn cung AB ) Mặt khác ∠ SCA = ∠ ADB ( chắn cung SM đường tròn đường kính MC) Từ suy ĐPCM 1.2 Lời giải ( tóm tắt ) a/ ∠ MDC = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính MC ) Mà ∠ BAC = 900 (GT) Từ A D nằm phía BC nhìn đoạn BC góc 900 nên A D nằm đường trịn đường kính BC ⇒ ABCD tứ giác nội tiếp ∠ ADB = ∠ ACB ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) b/ ∠ ADB = ∠ SCM ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ) ⇒ ∠ SCM = ∠ ACB ⇒ CA phân giác ∠ SCB 1.3 Khai thác tốn: • Nhận xét 1: Gọi K giao điểm BA CD kéo dài T giao điểm đường tròn đường kính MC với cạnh BC Vì M trực tâm tam giác KBC nên KM kéo dài phải qua T Ta có câu hỏi cho tốn c/ Gọi T giao điểm đường tròn đường kính MC với BC K giao điểm AB CD kéo dài Chứng minh rằng: + K, M, T thẳng hàng + ∠ ATK = ∠ DTK • Nhận xét 2: Theo kết chứng minh câu b ∠ SCM = ∠ TCM suy cung MS = cung TM ⇒ TS ⊥ MC ⇒ ST // AB Ta có câu hỏi tiếp cho toán d/ Chứng minh tứ giác KBTS hình thang • Nhận xét 3: Ta thấy tam giác ASC đồng dạng với tam giác AMD Ta có câu hỏi cho tốn AS SC AC = = e/ Chứng minh rằng: AM MD AD • Nhận xét 4: Nhờ kết câu c ta nhận KT, BD CA đường phân giác tam V ATD ˆ ˆ Mặt khác: A1 + ∠DAT + A2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Mà A1 = M = M = A2 M1 = M = ∠DCT ( bù với ∠ DMT), ˆ ˆ ta lại có ∠ DCT = ∠ DO T ⇒ ∠ DO T = A1 + A2 ⇒ tứ giác DATO nội tiếp ⇒ O trung điểm đoạn thẳng MC nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADT Ta có câu hỏi cho toán f/ Gọi O , O O3 trung điểm đoạn thẳng MC, MB, MK Chứng minh O , O O3 nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác DAT Bài toán Cho tam giác ABC có đường phân giác BN Từ A kẻ tia vng góc với tia BN, cắt BC H Gọi O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh bốn điểm A, O, H, C nằm đường tròn Hướng dẫn A A M K I N K I M O B H H' H2a C N O H' B C H H2b Ta phân biệt hai trường hợp - H O nằm phía với AC ( H2a ) - H O nằm khác phía với AC ( H2b ) • Cách AH cắt BN I Kẻ AH ' vng góc với đường phân giác CM cắt CM K Dể · thấy IK đường trung bình tam giác AHH ' Từ đó, ta có IKO ( · · · ˆ bù ) OCH Tứ giác AKOI nội tiếp ( K = Iˆ = 900 ) nên IKO = OAI Từ suy ĐPCM • Cách Nối OA OH Dễ thấy BN đường trung trực tam giác ABH · · · · · · ⇒ BHO = BAO , BAO = OAC Do BHO = OAC , ta suy ĐPCM • Cách · · · · · Tam giác ABI vuông nên IBA + BAI = 900 hayIBA + BAO + OAI = 900 ˆ ˆ ˆ B A C · · · · Suy OAI + + = 900 hayOAI = nên OAI (hoặc) OCH 2 Suy ĐPCM • Cách ˆ ˆ B B · AHC = 900 + ( H 2a) · AHC = 900 − 2 ˆ B · AOC = 900 + ( O tâm đường trịn nội tiếp ) Do · AHC ( ) · AOC Suy ĐPCM • Cánh ˆ ˆ A+ B · AON = ( góc ngồi đỉnh O tam giác AOB ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ AOH + C = 1800 ( H 2a) · AOH = · ACH = A + C ( H 2b) Nên · AOH = A + B Do · Suy ĐPCM Bài tốn 3: Cho hình vẽ a/ CMR: Tứ giác EMFC nội tiếp b/ Từ hình vẽ đặt đề tốn có áp dụng kết câu a A D E M B F C a/ Gợi ý: · ˆ DME = 1800 − A · ˆ DMF = 1800 − B · ˆ ˆ Tính EMF = 3600 − 3600 + A + B · ˆ ˆ ˆ ˆ ⇒ EMF + C = A + B + C = 1800 ⇒ DPCM b/ Có thể ta có đề tốn khác có vận dụng kết câu a, chẳng hạn Cho điểm D, E F theo thứ tự cạnh AB, AC, BC tam giác ABC cho trước Giọ M giao điểm thứ hai hai đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE BDF Chứng minh M nằm đường trịn ngoại tiếp tam giác EFC Bài tốn 4: Cho tứ giác ABCD, gọi O giao điểm hai đường chéo I giao điểm hai cạnh bên AD BC Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD nội tiếp OA.OC = OB.OD b) Tứ giác ABCD nội tiếp IA ID = IB IC Gợi ý: Việc chứng minh tốn khơng có khó khăn, việc chứng minh tam đồng dạng suy kết Nhưng qua toán cho ta ý tưởng chứng minh tứ giác nội tiếp : chứng minh đẳng thức cạnh Hãy dùng ý tưởng để giải tốn sau: Bài tốn 5: Cho đườn trịn (O), A điểm nằm ngồi đường trịn Một cát tuyến qua A cắt (O) B C Vẽ tiếp tuyến QP với (O) (P tiếp điểm), gọi H hình chiếu P OA Chứng minh điểm O, H, B, C thuộc đường tròn Gợi ý: Chúng ta thấy BC OH cắt A, để chứng minh tứ giác OHBC nội tiếp ta nghĩ đến việc chứng minh AH.AO = AB.AC Thật ta có: (hệ thức lượng tam giác vng APO) (tam giác APB ACP đồng dạng) Từ ta có , theo ta có điều cần chứng minh Bài toán 6: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Đường tròn tâm O tiếp xúc với AB B tiếp xúc với AC C Gọi H giao điểm OA BC Vẽ dây cung DE (O) qua H Chứng minh tứ giác ADOE nội tiếp Gợi ý: Tam giác OCA vuông C, CH đường cao nên ta có: Dây cung BC DE (O) cắt H nên ta có Từ ta có , chứng minh tương tự ta có tứ giác ADOE nội tiếp III/ BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập 1: Cho tứ giác ABCD nội tiế đường tròn đường kính AD Hai đường chéo AC BD cắt E Vẽ EF vng góc với AD Chứng minh: a/ Tứ giác EBEF, tứ giác DCEF nội tiếp · b/ CA phân giác BCF c/ Gọi M trung điểm DE Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp Bài tập 2: Tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AD Hai đường chéo AC, BD cắt E Hình chiếu vng góc E AD F Đường thẳng CF cắt đường tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N Chứng minh: a/ CEFD tứ giác nội tiếp b/ Tia FA phân giác góc BFM c/ BE.DN = EN.BD Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đường trịn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn điểm thứ hai F, G Chứng minh: a/ Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD b/ Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp đường tròn c/ AC song song với FG d/ Các đường thẳng AC, DE, BF đồng quy Bài tập 4: ˆ Cho tam giác ABC có A = 900 ; AB > AC, điểm M nằm đoạn AC ( M không trùng với A C ) Gọi N D giao điểm thứ hai BC MB với đường trịn đường kính MC; gọi S giao điểm thứ hai AD với đường trịn đường kính MC; T giao điểm MN AB Chứng minh: a/ Bốn điểm A, M, N, B thuộc đường trịn b/ CM phân giác góc BCS TA TC = c/ TD TB Bài tập 5: Cho đường trịn (O) điểm A nằm ngồi đường tròn Qua A dựng hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn ( M, N tiếp điểm ) cact tuyến cắt đường tròn P, Q Gọi L trung điểm PQ a/ Chứng minh điểm: O, L, M, A, N thuộc đường tròn b/ Chứng minh LA phân giác góc MLN c/ Gọi I giao điểm MN LA Chứng minh: MA = AI AL d/ Gọi K giao điểm ML với (O) Chứng minh rằng: KN // AQ e/ Chứng minh tam giác KLN cân Bài tập 6: Cho đường tròn (O;R) tiếp xúc với đường thẳng d A Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A AH < R Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng cắt đường trịn hai điểm E B ( E nằm B H ) a/ Chứng minh: góc ABE góc EAH tam giác AHB đồng dạng với tam giác EAH b/ Lấy điểm C d cho H trung điểm đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB K Chứng minh: AHEK tứ giác nội tiếp c/ Xác định vị trí điểm H để AB = R Bài tập 7: Từ điểm P nằm ngồi đường trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM PN với đường tròn (O) ( M, N tiếp điểm ) Đường thẳng qua điểm P cắt đường tròn (O) hai điểm E F Đường thẳng qua O song song với MP cắt PN Q Gọi H trung điểm đoạn EF Chứng minh: a/ Tứ giác PMON nội tiếp đường tròn b/ Các điểm P, N, O, H nằm đường tròn c/ Tam giác PQO cân d/ MP = PE PF · · e/ PHM = PH N Bài tập 8: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt H cắt đường tròn (O) M, N, P Chứng minh rằng: a/ Các tứ giác AEHF, BFHD nội tiếp b/ Bốn điểm B, C, E, F nằm đường tròn c/ AE AC = AH AD AD BC = BE AC d/ H M đối xứng qua BC e/ Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Bài tập 9: Cho tam giác ABC không cân, đường cao AH, nội tiếp đường tròn tâm O Gọi E, F thứ tự hình chiếu B, C lên đường kính AD đường tròn (O) M, N thứ tự trung điểm BC, AB Chứng minh: a/ Bốn điểm A, B, H, E nằm đường tròn tâm N HE // CD b/ M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF Bài tập 10: Cho đường trịn (O) điểm A bên ngồi đường tròn Vẽ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE với đường tròn ( B C tiếp điểm ) Gọi H trung điểm DE a/ CMR: A, B,糈 H, O, C thuộc đường tròn Xác định tâm đường tròn · b/ Chứng minh: HA tia phân giác BHC c/ Gọi I giao điểm BC DE Chứng minh: AB = AI.AH d/ BH cắt (O) K Chứng minh: AE // CK Bài tập 11: Từ điểm S ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB cát tuyến SCD đường trịn a/ Gọi E trung điểm dây CD Chứng minh điểm S, A, E, O, B thuộc đường tròn b/ Nếu SA = AO SAOB hình gì? Tại sao? AB.CD c/ CMR: AC.BD = BC.DA = Bài tập 12: Trên đường thẳng d lấy điểm A, B, C theo thứ tự Trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By vng góc với d Trên tia Ax lấy I Tia vng góc với CI C cắt By K Đường trịn đường kính IC cắt IK P a/ Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp đường tròn b/ Chứng minh: AI BK = AC CB 10 * So sánh nghiệm với số α ; β   V>  ⇔ a f (α ) >  S  0(câu a)  m >1 ⇔ ⇔ P > ⇔ m2 − > ⇔   m < −1  P>0 Vậy với m > m < - phương trình (1) có nghiệm phân biệt dấu c/ Để phương trình có nghiệm thỏa mãn: -2 < x <   V>  a f (−2) >  S > −2  −2 < x1 < x  ⇔ −2 < x1 < x2 < ⇔  ⇔ x1 < x2 <     V>  a f (4) >   S  - 39 • Giải (II) ta được: m < Vậy với - < m < phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn -2 < x < 2.Bài tốn 2: Cho phương trình: x2 – (a2 + )x +a2 + = (*) CMR: phương trình ln có hai nghiệm dương phân biệt HD  V> 0(1)  Để pt có hai nghiệm dương phân biệt: ⇔  S > 0(2)  P > 0(3)  Ta có: V=  − ( a + 3)  − 4.(a + 2)   Vậy (1) với a Ta có: = a + 2a + = (a + 1) > 0∀a S = x1 + x2 = a2 + ≥ ∀a Vậy (2) ln với a Ta có: P = x1.x2 = a2 + ≥ ∀a Vậy (3) ln với a KL: Phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt dương với a 3.BÀI TẬP VẬN DỤNG 2 Cho phương trình : x − ( 2m + 1) x + m + m − = a) Chứng minh : phương trình ln có nghiệm với m b) Chứng minh có hệ thức liên hệ nghiệm số không phụ thuộc m Tìm giá trị nguyên k để biệt thức ∆ phương trình sau số phương : kx + ( 2k − 1) x + k − = 0; ( k ≠ ) Tìm a để phương trình x − ( a + 1) x + 2a + = có nghiệm phân biệt cho biểu diễn nghiệm lên trục số chắn trục số thành đoạn Tìm k để phương trình sau có nghiệm phân biệt : ( x − ) ( x + kx + k − 3) = 40 Chứng minh phương trình bậc hai : ax + bx + c = khơng thể có nghiệm hữu tỷ a, b, c số lẻ Tìm a, b để hai phương trình sau tương đương : x + ( 3a + 2b ) x − = x + ( 2a + 3b ) x + 2b = Giả sử b, c nghiệm phương trình : x − ax − = 2a ( a ≠ 0) Chứng minh : b + c ≥ + Chứng minh hệ số a, b, c phương trình sau ln có nghiệm : a ( x − b) ( x − c) + b ( x − c ) ( x − a ) + c ( x − a ) ( x − b) = Chứng minh hệ số a, b, c phương trình : ax + bx + c = ( a ≠ ) thỏa mãn điều kiện : 2b2 − 9ac = phương trình có nghiệm gấp đơi nghiệm 10.Chứng minh m + n > p, m − n < p với m, n, p số dương 2 2 2 phương trình sau vô nghiệm : m x + ( m + n − p ) x + n = 11.Chứng minh : x0 = a + a + b3 − a + b3 − a nghiệm phương trình : x + 3bx − 2a = 12.Tìm giá trị tham số a để bất phương trình sau có nghiệm chung : a ( x − ) + ≤ x, a ( x − 1) ≥ x − 13.Cho phương trình x + 2bx + c = 0, x + 2cx + b = Chứng minh b + c ≥ có phương trình phải có nghiệm 14.Cho phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) có nghiệm x1 , x2 a) Tính theo a, b, c biểu thức sau : P = ( x1 − x2 ) ( x2 − 3x1 ) , Q = x1 x2 + x2 − 3x1 x1 − x2 b) Cho a = m; b = −2 ( 2m + 1) ; c = 3m + Tìm hệ thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào m 15.Chứng minh phương trình ax + bx + c = có nghiệm dương phương trình cx + bx + a = có nghiệm dương 16.Với giá trị m hai phương trình sau có nghiệm chung : 41 x − ( m + ) x + m + = 0, x − ( m + ) x + m + = 2 17.Cho hai phương trình : x − ( a + 3b ) x − = ( 1) , x − ( 2a + b ) x − 3a ( 2) Tìm a, b để phương trình (1), (2) có tập hợp nghiệm 2 18.Tìm m để phương trình x − ( 2m + 1) x + m − = có nghiệm x1 , x2 cho x12 + x2 = 2 19.Cho hàm số y = x − ( 2m + 1) x + m − , tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn : x1 < 0; x2 > 0; x2 > x1 20.Tìm giá trị a cho phương trình x − ax + 2a + = 0, ax − ( 2a + 1) x − = có nghiệm chung 21.Cho phương trình : ( m − 1) x − 2mx + m + = ( m tham số) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 Khi tìm hệ thức khơng phụ thuộc vào m Tìm m để phương trình có x1 x2 + +6=0 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn hệ thức : x2 x1 liên hệ IV/ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI • Phương pháp 1: - Trường hợp phương trình có ẩn số mẫu, ta thu tất vế, vế lại - Đặt điều kiện mẫu khác Do suy điều kiện ẩn phương trình - Giải phương trình cách quy đồng mẫu thức So với điều kiện trước trả lời • Phương pháp 2: Trường hợp ẩn x có bậc cao - Biến đổi phương trình thành phương trình tích - Hoặc vận dụng cách đặt ẩn phụ • Các ví dụ: Giải phương trình: 42 x +1 a/ −2= x x−2 c / x + x − 80 =  y+2  y+2 b/ − 5 ÷ ÷+ = 0(2) y −1  y −1    d / x + x3 + 3x − x − = HD y+2 = x với y ≠ 1, x (*) y −1 Do (2) ⇔ x2 - 5x + = Phương trình có hai nghiệm là: x1 = 3; x2 = 2( thỏa mãn (*)) c/ Đặt x3 = t phương trình cho tương đương với: t2 – 2y – 80 = d/ Phương trình cho tương đương với: (x + 1)2(x2 + 2)(x – 1) = b/ Đặt V/ BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Giải phương trình sau: 1) x − 2x + = ( ( ) 4) x − + x + = 3) 0,7x − 2,3x − = 5) x 2 − 2) 2x + 7x + = ) −1 x − = 6) x − ( 2m + 1) x + 2m = 7) x − ( m + n ) x + mn = 8) 9) x − + x + + = 10) 4x − + x + = 5x − ) 11) ( 12) ( ) − ( 5x + ) = x + Bài 2: Giải phương trình sau: 1) x − 7x + 12 = 3) 4x − 5x − = 5) 2x + 5x − = 1 7) x − x + = ( 2m − 3) x ( ( x − 2) 2 − 2mx + = ) − ( x + 3) = ( x − ) 2) x − 18x + 81 = 4) x − x + = 6) 2x + 5x − = Bài 3: Giải cỏc phng trỡnh sau: a/ ( x − 1) − = b/ c/ ( x − 1) − ( x + ) = d/ x + 4x + = 16x − 8x + e/ x − 4x + 8x − = f/ ( x + x ) + ( x + x ) − 12 = 2 ( 2x − 3) − 16 = 43 g/ ( x − x + 1) ( x − x + ) − 12 = h/ x − 12 x − 14 x − 18 x − 16 − = − 13 11 1  19   k*/  x + ÷ =  x − ÷+ x  x Bài 11: Giải cỏc phng trỡnh: x + 2x − a/ + =2 2x − x + 1 c/ − =0 2x − 2x − x + 2x − e/ + =2 2x − x + y + = / 2 y − 6y + 2y y − 3y 2x + x g/ − =0 2x 2x + 1 + + =0 x −1 x +1 x − n*/ x − x − =2 x −x k/ s/ 14 4−x + = − x2 − + x x + 3 x Bài Giải phơng tr×nh sau: a) x − 10 x + 26 x − 10 x + = c) x + x − x − x + = e) x − x − x + x + = Bài Giải phơng tr×nh sau: a) x + x − + x +4=0 x x + x −5 21 c) − x2 + 4x − = x − x + 10 e) ( x + 3) + ( x + 5) = u/ x + x + 2x + = b/ 1 − = x ( x + ) ( x + 1) 12 x − 1) d/ 2x + + ( =6 x −1 x +1 1 f/ + = x −1 x − x 32 1 + = ¬/ x − 2x − x − ( x − 1) ( x − ) x + h/ + = −2 x +x−5 x +x−4 1 =x+ x3 x 2  x +1  x −1 x +1 x −1 u*/  + =0 ÷ + ÷+  x −1  x +1 x −1 x +1 m*/ x + t/ x +1 x −1 + =3 x −1 x +1 b) d) x + x − 14 x − x + = f) x + x + 10 x + 15 x + = =5 x + x −5 2  d) x + =  x − ÷ x x  b) x + x Phơng pháp vẽ hình phụ giải toán hình học Chủ đề: 44 I/ MC TIấU CA CH ĐỀ Qua chủ đề giúp học sinh: - Biết cách vẽ thêm yếu tố phụ để giải tốn hình học - Biết số kỹ giải số dạng tốn hình học - Rèn kỹ tìm lời giải trình bày lời giải tốn hình học - Rèn tư suy luận lôgic cho học sinh, tạo cho học sinh thêm u thích học mơn hình học II/ MỘT PHƯƠNG PHÁP VẼ ĐƯỜNG PHỤ Trong q trình học tốn bậc THCS, có lẽ hấp dẫn khó khăn việc vượt qua tốn hình học, mà để giải chúng cần phải vẽ thêm đường phụ Sau xin nêu phương pháp thường dùng để tìm đường phụ cần thiết giải tốn hình học : Xét vị trí đặc biệt yếu tố hình học có tốn cần giải Bài tốn : Cho góc xOy Trên Ox lấy hai điểm A, B Oy lấy hai điểm C, D cho AB = CD Gọi M N trung điểm AC BD Chứng minh đường thẳng MN song song với phân giác góc xOy Suy luận : Vị trí đặc biệt CD CD đối xứng với AB qua Oz, phân giác góc xOy Gọi C1 D1 điểm đối xứng A B qua Oz ; E F giao điểm AC1 BD1 với Oz Khi E F trung điểm AC1 BD1, vị trí MN EF Vì ta cần chứng minh MN // EF đủ (xem hình 1) Thật vậy, AB = CD (gt), AB = C1D1 (tính chất đối xứng) nên CD = C1D1 45 Mặt khác: ME NF đường trung bình V ACC1 BDD1 nên NF // DD1, NF = 1/2DD1 , ME // CC1 , ME = 1/2 CC1 suy ME // NF NE = 1/2 NF suy tứ giác MEFN hình bình hành suy MN // EF suy đpcm Bài toán có nhiều biến dạng” thú vị, sau vài biến dạng nó, sau đề xuất “biến dạng” tương tự Bài toán : Cho tam giác ABC Trên AB CD có hai điểm D E chuyển động cho BD = CE Đường thẳng qua trung điểm BC DE cắt AB AC I J Chứng minh ΔAIJ cân Bài toán : Cho tam giác ABC, AB ≠ AC AD AE phân giác trung tuyến tam giác ABC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt AB AC M N Gọi F trung điểm MN Chứng minh AD // EF Trong việc giải toán chứa điểm di động, việc xét vị trí đặc biệt tỏ hữu ích, đặc biệt tốn “tìm tập hợp điểm” Bài tốn : Cho nửa đường trịn đường kính AB cố định điểm C chuyển động nửa đường trịn Dựng hình vng BCDE Tìm tập hợp C, D tâm hình vng Ta xét trường hợp hình vng BCDE “nằm ngồi” nửa đường trịn cho (trường hợp hình vng BCDE nằm đường trịn cho xét tương tự, đề nghị tự làm lấy xem tập) Suy luận : Xét trường hợp C trùng với B Khi hình vng BCDE thu lại điểm B điểm I, D, E trùng với B, I tâm hình vuông BCDE Vậy B điểm thuộc tập hợp cần tìm Xét trường hợp C trùng với A Dựng hình vng BAD1E1 D trùng với D1, E trùng với E1 I trùng với I1 (trung điểm cung AB ) Trước hết, ta tìm tập hợp E Vì B E thuộc tập hợp cần tìm nên ta nghĩ đến việc thử chứng minh góc BEE1 khơng đổi Điều khơng khó góc ACB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ΔBEE1 = ΔBCA (c g c) suy góc BEE1 = góc BCA = 90o suy E nằm nửa đường trịn đường kính BE1 (1/2 đường tròn 1/2 đường tròn cho nằm hai nửa mặt phẳng khác với “bờ” đường thằng BE1) 46 Vì góc DEB = góc E1EB = 90o nên D nằm EE1 (xem hình 2) Suy góc ADE1 = 90o = góc ABE1 suy D nằm đường trịn đường kính AE 1, ABE1D1 hình vng nên đường trịn đường kính AE đường trịn đường kính BD1 Chú ý B D1 vị trí giới hạn tập hợp cần tìm, ta suy tập hợp D nửa đường trịn đường kính BD1 (nửa đường tròn điểm A hai nửa mặt phẳng khác với bờ đường thẳng BD1) Cuối cùng, để tìm tập hợp I, ta cần ý II đường trung bình ΔB 䢠 D1 nên II1 // DD1 suy góc BII1 = 90 suy tập hợp I nửa đường tròn đường kính BI (đường trịn A hai nửa mặt phẳng khác với bờ BD1) Bài tốn 5: ( Kẻ đường vng góc nhằm tạo hai tam giác vuông ) Cho tam giác ABC vuông A đường phân giác BD, biết DB = 7, DC = 15 Tính độ dài AD? Giải A x D y H y x 15 K x B E C Kẻ DE ⊥ BC Ta có VABD =VEBD ( cạnh huyền – góc nhọn ) Nên DA = DE, BA = BE, suy BD đường trung trực AE Gọi H giao điểm AE BD Lấy 47 K đối xứng với D qua H Tứ giác AKED hình thoi Đặt EK = ED = AD = x, DH = HK = y Tam giác EBD vuông nên: ED = DB.DH, suy x2 = 7y (1) Do EK // AC nên EK BK x − 2y = ⇔ = (2) Từ (1) (2) suy 30x2 + 49x – 735 =0 Nghiệm CD BD 15 dương phương trình x= 4,2 Vậy AD = 4,2 III/ BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Nếu M khơng nằm đường trịn (O; R), đường thẳng thay đổi qua M cắt (O) A B Khi tích MA MB khơng đổi Gợi ý: Chứng minh toán cần vẽ đường thẳng qua M O cắt (O) C, D Bài toán cho ta ý tưởng để giải tốn họ đường trịn qua điểm cố định Ta xét toán sau: ( Từ đến ) Bài : Cho đường tròn (O) điểm A khác O nằm đường tròn Một đường thẳng thay đổi qua A không qua O cắt (O) M N Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN qua điểm cố định khác O Gợi ý: Gọi P giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN tia đối tia AO Ta có khơng đổi A (O) cố định Hơn P thuộc tia đối tia AO cố định nên P điểm cố định Bài 3: Cho đường tròn (O), AB dây cung cố định E trung điểm AB Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường trịn tâm O bán kính OE P Q Chứng minh tích AP AQ khơng đổi đường trịn ngoại tiếp tam giác BPQ ln qua điểm cố định Gợi ý: 48 Vì E trung điểm AB nên OE vng góc với AB, suy AB tiếp tuyến (O; OE) Ta chứng minh không đổi Gọi I giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ AB Khi ta có: khơng đổi Suy I điểm cố định Bài 4: Từ điểm A nằm đường tròn (O) vẽ tuyến ABC (B, C thuộc (O)) Chứng minh cát tuyến thay đổi tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OBC ln thuộc đường thẳng cố định Gợi ý: Gọi E giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC AO Tương tự hai ta chứng minh E điểm cố định Từ suy tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OBC ln thuộc đường trung trực OE Bài 5: Cho đường tròn (O) dây cung AB cố định M điểm di chuyển cung lớn AB, H hình chiếu M AB Tìm vị trí M để MH đạt giá trị lớn Giải toán trường hợp M thuộc cung nhỏ AB Gợi ý 49 Vẽ OI vng góc với AB (I thuộc AB) Ta có Dấu ” =” xảy M, O, I thẳng hàng hay M trung điểm cung AB Vậy MA + MB đạt giá trị lớn M trung điểm cung AB Tương tự trường hợp M trung điểm cung nhỏ AB Bài 6: Cho đường tròn (O) dây cung AB cố định M điểm thay đổi cung nhỏ AB Tìm vị trí M để tổng MA + MB đạt giá trị lớn Gợi ý Trên tia đối tia MA lấy điểm C cho MB = MC Khi ta có MA + MB = AC Ta có Suy C thuộc cung chứa góc dựng đoạn AB Từ AC lớn AC đường kính Khi M trung điểm cung AB Vậy MA + MB lớn M trung điểm cung AB Bài 7: Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O( AB < BC) Vẽ đường tròn tâm I qua điểm A C cắt đoạn AB, BC M, N Vẽ đường tròn tâm J qua điểm B, N, M cắt đường tròn (O) điểm H Chứng minh a) OB vng góc với MN b) IOBJ hình bình hành c) BH vng góc với IH Gợi ý 50 a) Vẽ tiếp tuyến Bx (O) Chứng minh Bx // MN b) Vẽ tiếp tuyến By (J), chứng minh By // AC Suy Ta có OI đường trung trực AC, suy Và IJ đường trung trực MN, suy Tứ ta có: BJ// IO (cùng vng góc AC) OB // IJ (cùng vng góc MN) Suy tứ giác BJIO hình bình hành c) Gọi G giao điểm BI OJ, suy G trung điểm BI Ta có OJ đường trung trực BH (B, H giao điểm (O) (I)), mà G thuộc OJ nên GB = GH Trong tam giác BHI có HG trung tuyến BHI vng H nên Bài 8: Cho hai đường trịn (O) (O’) cắt A B Qua A vẽ hai cát tuyến CAD EAF ( C E nằm đường tròn (O), D F nằm đường tròn (O’)) cho · · CAB = BAF Chứng minh rằng: CD = EF Gợi ý: E D A H K F O' C O B · AB tia phân giác CAF , ta vẽ BH ⊥ CD, BK ⊥ EF Ta vừa có BH = BK lại vừa có tam giác vng Từ có lời giải tốn Bài 9: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O) trực tâm H Lấy M thuộc cung nhỏ BC Gọi R, S hình chiếu M đường thẳng AB, AC Chứng minh RS qua trung điểm MH Gợi ý: 51 E A S H N C B R M Chọn điểm phụ cần vẽ thêm N, E điểm đối xứng M qua AB, AC Chứng minh N, H, E thẳng hàng Mà RS đường trung bình tam giác MNE, RS qua trung điểm MH Bài 10: Cho tam giác ABC M điểm di động cạnh AC, N điểm di động tia đối tia BA cho BN = CM Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN qua điểm cố định khác A Gợi ý: A M M' B C N' N D Sau vẽ xong hình ta tiếp tục lấy M’ cạnh AC lấy N’ tia đối tia BA cho BN’ = CM’ Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác AM’N’ D giao điểm hai đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN, AM’N’ D điểm cố định, mà ta cần đến Từ hình vẽ nhận DB = DC, giúp ta có · · VBDN =VCDM ⇒ DBN = DCM ⇒ Tứ giác ABCD nội tiếp giúp ta nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D trung điểm cung BC yếu tố phụ giúp ta có lời giải tốn 52 53 ... IBA + BAI = 90 0 hayIBA + BAO + OAI = 90 0 ˆ ˆ ˆ B A C · · · · Suy OAI + + = 90 0 hayOAI = nên OAI (hoặc) OCH 2 Suy ĐPCM • Cách ˆ ˆ B B · AHC = 90 0 + ( H 2a) · AHC = 90 0 − 2 ˆ B · AOC = 90 0 + ( O... (4) −2 (4) trở thành = 29/ 3 vơ nghiệm −2 9? ??m + Nếu + 3m ≠ ; m ≠ : (4) ⇔ y = + 3m 9? ??m m2 + ⇔x= Thế vào (1) ta có : 3x – =m + 3m + 3m Khi x > y > + Nếu + 3m = ⇔m = −2 ⇒−