CHỦ ĐỀ 4: Hàm số – đồ thò I. MỤC TIÊU: • HS nắm vững các tính chất của hàm số bậc nhất y = ax + b và hàm số bậc hai y = ax 2 (với a ≠ 0) • Rèn luyện kỷ năng viết phương trình của đường thẳng khi biết một số điều kiện • Xác đònh quan hệ giữa các đồ thò hàm số • Rèn luyện kỹ năng vẽ hình II. NỘI DUNG: A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1. Hàm số bậc nhất:  Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y = ax + b (a; b ∈ R; a ≠ 0)  Hàm số đồng biến trong R khi a > 0; nghòch biến trong R khi a < 0  Với hai đường thẳng y = ax + b (d 1 ) và y = a’x + b’ (d 2 ) ta có: • (d 1 ) // (d 2 ) ⇔ a = a’; b ≠ b’ • (d 1 ) cắt (d 2 ) ⇔ a ≠ a’ • (d 1 ) trùng (d 2 ) ⇔ a = a’; b = b’ • (d 1 ) ⊥ (d 2 ) ⇔ a . a’ = -1  Phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm A(x A ; y A ) và B(x B ; y B ) là: y = A B A B y - y x - x x + A B B A A B x y - x y x - x 2. Hàm số bậc hai:  Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax 2 (a ≠ 0)  Nếu a > 0; hàm số đồng biến trong R + ; nghòch biến trong R - ; nếu a < 0 hàm số đồng biến trong R - , nghòch biến trong R +  Đồ thò của hàm số y = ax 2 là parabol nằm phía trên trục hoành nếu a > 0, nằm phía dưới trục hoành nếu a < 0, nhận trục tung làm trục đối xứng 3. Sự tương giao giữa đồ thò hàm số y = ax + b (d) và y = kx 2 (p) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (p) là kx 2 = ax + b (1)  (d) và (p) không có điểm chung khi và chỉ khi (1) vô nghiệm  (d) và (p) có một điểm chung khi và chỉ khi (1) có nghiệm kép  (d) và (p) có hai điểm chung khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt B. LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho hàm số y = 1 2 − x 2 a) Vẽ đồ thò b) Gọi M và N là hai điểm thuộc (P) và có hoành độ lần lượt là –2; 1. Viết phương trình của đường thẳng d song song với đường thẳng MN và tiếp xúc với (p) Hướng dẫn: a) b) Vì M(-2; y M ) thuộc (p) nên y M = 1 2 − (-2) 2 = -2 ⇒ M(-2; -2) Vì N(1; y N ) thuộc (p) nên y N = 1 2 − .1 2 = 1 2 − ⇒ N(1; 1 2 − ) Phương trình của đường thẳng MN có dạng y = ax + b ⇒ 2 = -2a + b 1 - = a + b 2 −      ⇒ 1 a = 2 b = -1      ⇒ Vậy phương trình của đường thẳng MN là y = 1 2 x – 1 Phương trình của đường thẳng d có dạng y = mx + n Vì d //MN nên m = 1 2 ⇒ y = 1 2 x + n Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (p) là: 1 2 − x 2 = 1 2 x + n ⇔ x 2 + x + 2n = 0 ⇔ ∆ = 1 – 8n (d) tiếp xúc với (p) khi 1 – 8n = 0 ⇒ n = 1 8 Vậy phương trình của đường thẳng (d) là: y = 1 2 x + 1 8 Bài 2: Trên cùng một hệ trục toạ độ gọi (P) là đồ thò của hàm số y = x 2 và (T) là đồ thò của hàm số y = -x + 2 a) Vẽ (P) và (T) b) Xác đònh toạ độ giao điểm của (P) và (T) bằng đồ thò và kiểm tra lại bằng đại số Hướng dẫn: Hàm số y = x 2 có TXĐ là R; đồng biến trong R + nghòch biến trong R - Bảng các giá trò tương ứng của x và y x -2 -1 0 1 2 y 4 1 0 1 4 Hàm số y = - x + 2 có TXĐ là R, nghòch biến trong R Điểm cắt trục tung A(0; 2); Điểm cắt trục hoành B(2; 0) Đồ thò của hai hàm số cắt nhau tại hai điểm M(-2; 4) và N(1; 1). Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (T) là: x 2 = -x + 2 x 2 + x – 2 = 0 Giải phương trình trên ta được x 1 = -2 ⇒ y 1 = 4 x 2 = 1 ⇒ y 2 = 1 Vậy (P) và (T) cắt nhau tại hai điểm M(-2; 4) và N(1; 1). Bài 3: Cho đường thẳng (D) : 5x – 7y = 3 a) Một parabol (P) có đỉnh là gốc toạ độ, trục đối xứng Oy và tiếp xúc với (D). Tìm toạ độ tiếp điểm b) Chứng minh rằng trong hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng x = 6; x = 18; y = 7; y = 23 có duy nhất 1 điểm thuộc (D) mà toạ độ của điểm đó là cặp số nguyên Hướng dẫn: a) Parabol (P) có đỉnh là gốc toạ độ, trục đối xứng Oy nên có phương trình là: y = ax 2 (a ≠ 0) . (D) có phương trình: y = 7 3-5x (P) tiếp xúc với (D) khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm của chúng có nghiệm kép: ax 2 = 7 3-5x ⇔ 7ax 2 – 5x + 3 = 0. ∆ = 25 – 84a = 0 ⇒ a = 84 25 Toạ độ của tiếp điểm: M( 7 3 ; 5 6 ) b) p dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình Diophante bậc nhất hai ẩn ta có công thức nghiệm của 5x – 7y = 3 là:    = = 5t-1y 7t- 2x với t ∈ Z Mà 6 ≤ x ≤ 18 ⇔ 7 16- t 7 4 ≥≥ − (1) 7 ≤ y ≤ 23 ⇔ 5 22- t 5 6 ≥≥ − (2) Từ (1) và (2) suy ra: 5 6- t 7 16 ≤≤ − ⇒ t = -2 (vì t ∈ Z) Khi đó x = 16; y = 11 Vậy trong hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng x = 6; x = 18; y = 7; y = 23 có duy nhất 1 điểm thuộc (D) mà toạ độ của điểm đó là cặp số nguyên là điểm A(16; 11) Bài 4: Cho hàm số: y = 4x + 7 a) Các điểm A(-1; 3) B(4; 4 7 ) có nằm trên đồ thò của hàm số trên không? b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B Cho biết vò trí tương đối của hai đường thẳng đó. Vẽ chúng trên cùng một mặt phẳng toạ độ Hướng dẫn: Cho hàm số: y = 4x + 7 a) Điểm A(-1; 3) thuộc đồ thò hàm số; Điểm B(4; 4 7 ) không thuộc đồ thò hàm số b) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là: y = - 1 4 x + 4 11 Hai đường thẳng trên vuông góc với nhau tại điểm A(-1; 3) y = 4x + 7 y = - 1 4 x + 11 4 Bài 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho các điểm A(0; 5); B(-3; 0); C(1; 1); M(-4,5; -2,5) a) Chứng minh rằng A; B; M thẳng hàng và A; B; C không thẳng hàng b) Tính diện tích tam giác ABC Hướng dẫn: a) Phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm A(0; 5) và B(-3; 0) là y = 3 5 x + 5 Điểm M(-4,5; -2,5) thuộc đường thẳng AB hay A; B; M thẳng hàng Điểm C(1; 1) không thuộc đường thẳng AB hay A; B; C không thẳng hàng b) Ta có: AB 2 = 3 2 + 5 2 = 34; AC 2 = 1 2 + 4 2 = 17; BC 2 = 4 2 + 1 2 = 17 ⇒ AB 2 = AC 2 + BC 2 nên tam giác ABC vuông cân tại C S ABC = 2 1 CA. CB = 2 1 CA 2 = 8,5 (đvdt) Bài 6: Cho parabol (P): y = - 4 x 2 và đường thẳng (D): y = mx – 2m – 1 a) Vẽ (P) b) Tìm m để (D) tiếp xúc với (P) c) Chứng tỏ rằng (D) luôn đi qua một điểm cố đònh A thuộc (P) Hướng dẫn: a) Vẽ (P): y = - 4 x 2 b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D) là: - 4 x 2 = mx – 2m - 1 ⇔ x 2 + 4mx – 8m – 4 = 0 Δ ’ = 4m 2 + 8m + 4 = (2m + 2) 2 (D) tiếp xúc với (P) khi Δ ’ = (2m + 2) 2 = 0 ⇒ m = -1 c) Giả sử A(x 0 ; y 0 ) là điểm cố đònh thuộc (D) ta có: y 0 = mx 0 – 2m – 1 với mọi m ⇔ m(x 0 – 2) – 1 – y 0 = 0 với mọi m ⇔    =−− =− 0y1 02x 0 0 ⇔    −= = 1y 2x 0 0 Vậy (D) luôn đi qua điểm cố đònh A(2; -1) thuộc (P): y = - 4 x 2 Bài 7: Cho parabol (P); y = ax 2 và điểm A(2; -1) a) Xác đònh a biết (P) đi qua điểm A. Vẽ (P) b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(0; 1) và có hệ số góc m c) Với giá trò nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt d) Chứng minh rằng có hai đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với (P) Hướng dẫn: a) (P): y = ax 2 đi qua A(2; -1) nên a = - 4 1 b) Phương trình của đường thẳng (d) đi qua M(0; 1) và có hệ số góc m là y = mx + 1 c) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: - 4 1 x 2 = mx + 1 ⇔ x 2 + 4mx + 4 = 0 Δ ’ = 4m 2 – 4 (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi Δ ’ = 4m 2 – 4 > 0 ⇔ m > 1 hoặc m < -1 d) Đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) khi Δ ’ = 4m 2 – 4 = 0 ⇔ m = ± 1 Vậy có hai đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với (P) là y = x + 1 và y = -x + 1 Bài 8: Cho parabol (p): y = ax 2 và đường thẳng (D): y = (m – 1)x – (m – 1) với m ≠ 1 a) Tìm a và m biết (p) đi qua điểm I(-2; 1) và tiếp xúc với (D) b) Chứng minh (D) luôn đi qua một điểm cố đònh với mọi giá trò của m c) Vẽ (P) và (D) tìm được ở câu a trên cùng một hệ trục toạ độ Hướng dẫn a) (P): y = ax 2 đi qua điểm I(-2; 4) nên a = 1 Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D) là: x 2 = (m – 1)x – (m – 1) x 2 – (m – 1)x + (m – 1) = 0 ∆ = (m – 1) 2 – 4(m – 1) = m 2 – 6m + 5 (P) tiếp xúc với (D) khi ∆ = m 2 – 6m + 5 = 0 ⇔ m 1 = 1 (loại); m 2 = 5 b) Giả sử (D) luôn đi qua điểm cố đònh M(x 0 ; y 0 ) với mọi m ta có: y 0 = (m – 1)x 0 – (m – 1) ⇔ m(x 0 – 1) + 1 – x 0 – y 0 = 0 với mọi m ⇔ 0 0 0 x -1=0 1-x -y =0    ⇔ 0 0 x =1 y =0    Vậy (D) luôn đi qua điểm cố đònh M(1; 0) với mọi giá trò của m c) Vẽ đồ thò Bài 9: Cho parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (D): y = mx – m + 1 a) Chứng minh rằng (D) và (P) luôn có điểm chung với mọi giá trò của m b) Với giá trò nào của m thì (D) và (P) tiếp xúc với nhau c) Vẽ trên cùng một hệ trục toạ độ đồ thò của hai hàm số tìm được ở câu b Hướng dẫn: a) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D) là: x 2 = mx – m + 1 (1) ⇔ x 2 – mx + m – 1 = 0 ∆ = m 2 – 4m + 4 = (m – 2) 2 ≥ 0 với mọi giá trò của m phương trình (1) luôn luôn có nghiệm hay (D) và (P) luôn luôn có điểm chung với mọi giá trò của m b) (D) tiếp xúc với (P) khi (1) có nghiệm kép hay: ∆ = (m – 2) 2 = 0 ⇔ m = 2 Lúc đó phương trình của đường thẳng (D) là: y = 2x – 1 c) Vẽ đồ thò Trên đồ thò ta thấy (P) và (D) tiếp xúc nhau tại điểm A(1; 1) -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 x y A Bài 10: Cho hàm số y = x 2 + bx + c a) Xác đònh các hệ số b và c biết đồ thò hàm số đi qua các điểm A(1; 2) và B(2; 1) b) Với b; c vừa tìm được, hãy tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số c) Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x – 4 tiếp xúc với đồ thò của hàm số trên Hướng dẫn: a) Đồ thò hàm số y = x 2 + bx + c đi qua các điểm A(1; 2) và B(2; 1) nên: b c 1 2b c 3 + =   + = −  ⇔ c 5 b 4 =   = −  b) y = x 2 – 4x + 5 = (x – 2) 2 + 1 1 với mọi x Vậy giá trò nhỏ nhất của hàm số là 1 khi x = 2 c) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 2x – 4 và đồ thò hàm số trên là x 2 – 4x + 5 = 2x – 4 x 2 – 6x + 9 = 0 (x – 3) 2 = 0 Phương trình có nghiệm kép x= 3 Vậy hai đồ thò tiếp xúc nhau tại M(3; 2) Bài 11: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho (P): y = x 2 . Gọi A; B; C là ba điểm thuộc (P) thoả mãn x A – x B = x B – x C = a (a > 0). Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC không thay đổi khi A; B; C di chuyển trên (P). Hướng dẫn: Ta có: S ABC = S AHKC – (S AHIB + S BIKC ) = ( ) 2 2 A C x + x 2a 2 - ( ) 2 2 A B x + x a 2 - ( ) 2 2 B C x + x a 2 = a 2 (2 2 A x + 2 2 C x - 2 A x - 2 B x - 2 B x - 2 C x ) = a 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 A B B C x - x - x - x     = a 2 ( ) ( ) A B B C a x + x - a x + x     = 2 a 2 (x A – x B + x B – x C ) = 2 a 2 .2a = a 3 không đổi Bài 12: Cho hàm số y = 2x 2 (P) a) Vẽ (P) b) Tìm quỹ tích các điểm M sao cho qua M có thể vẽ được hai đường thẳng vuông góc và cùng tiếp xúc với (P) Hướng dẫn: a) vẽ (P) b) Giả sử M(a; b) và đường thẳng (D) qua M có phương trình y = kx + m ⇒ b = ka + m ⇒ m = b – ka (D): y = kx + b – ka Phương trình hoành độ giao điểm của (P) Và (D) là: 2x 2 = kx + b – ka 2x 2 – kx + ka – b = 0 ∆ = k 2 – 8ka + 8b (D) tiếp xúc với (P) khi ∆ = 0 ⇒ k 2 – 8ka + 8b Để có hai tiếp tuyến vuông góc thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt k 1 ; k 2 và tích k 1 .k 2 = -1 ⇒ 2 1 16a - 8b > 0 8b = -1  ∆ =     ⇒ 2 b < 2a 1 b = - 8      Vậy M thuộc đường thẳng y = - 1 8 và nằm ngoài (P) y = 2x 2 . m 2 – 4m + 4 = (m – 2) 2 ≥ 0 với mọi giá trò của m phương trình (1) luôn luôn có nghiệm hay (D) và (P) luôn luôn có điểm chung với mọi giá trò của m b) (D) tiếp xúc với (P) khi (1) có nghiệm. =0    Vậy (D) luôn đi qua điểm cố đònh M(1; 0) với mọi giá trò của m c) Vẽ đồ thò Bài 9: Cho parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (D): y = mx – m + 1 a) Chứng minh rằng (D) và (P) luôn có điểm chung. 1) không thuộc đường thẳng AB hay A; B; C không thẳng hàng b) Ta có: AB 2 = 3 2 + 5 2 = 34; AC 2 = 1 2 + 4 2 = 17; BC 2 = 4 2 + 1 2 = 17 ⇒ AB 2 = AC 2 + BC 2 nên tam giác ABC vuông