ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN HK II A. ĐẠI SỐ: I.BẤT ĐẲNG THỨC: Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân( BĐT Cô – si): Cho a, b là hai số thực: 2 a b ab + ≥ ∀ a,b ≥ 0 Đẳng thức: xảy ra ⇔a=b Bài tập: 1. CMR: 1 2 0a a a + ≥ ∀ > 2. Cho a, b, c >0. CMR: a) 3 a b c b c a + + ≥ b) 1 1 1 ( )( ) 9a b c a b c + + + + ≥ 3. CMR: 2 , 0 a b a b b a + ≥ ∀ > 4. CMR: 1 1 ( )( ) 4 , 0a b a b b a + + ≥ ∀ > 5. CMR: 2 1 2 , 0a b a a b b + ≥ ∀ > 6. CMR: ( )( )( ) , , 0a b b c a c a b c+ + + ∀ > 7. CMR: 1 1 1 , , 0 a b c a b c bc ac ab a b c + + ≥ + + ∀ > 8. CMR: 1 1 1 ( )( )( ) 8 , , 0a b c a b c a b c + + + ≥ ∀ > II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH: 1) Nhị thức bậc nhất: x – ∞ –b/a + ∞ ax + b Trái dấu a 0 cùng dấu a 2) Tam thức bậc hai: * f(x) = 2 ax bx c+ + cùng dấu với a nếu 2 0ax bx c+ + = vô nghiệm hoặc có nghiệm kép * 2 0ax bx c+ + = có hai nhiệm phân biệt x 1 x 2 thì x – ∞ x 1 x 2 + ∞ 2 ax bx c+ + cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 cùng dấu a Bài tập: 1. Giải các bất phương trình sau: a) 2 1 0x x− + > ĐS: T = (– ∞ ; + ∞ ) b) 2 4 4x x+ < ĐS: T= ∅ c) 2 5 2 7 0x x− − ≥ ĐS: T = (– ∞ ; -1] ∪ [7/5; + ∞ ) d) (3x – 1)( 2 3 10x x+ − )>0 ĐS: T = (–5; 1/3) ∪ (2; + ∞ ) e) 2 2 (3 )( 2) 0 5 2 3 x x x x x − − + − ≤ − + + ĐS: T = (–3/5; 1) ∪ [3; + ∞ ) f) 1 1 3 2 x x − ≤ − − HD: Bpt  2 3 5 3 0 3 2 x x x − + − ≤ − …ĐS: T = (2/3; + ∞ ) g) x – 2 > 8 2 x x − − HD: Bpt  2 4 4 0 2 x x x + + > − …ĐS: T = (2; + ∞ ) Trang 1 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN HK II h) 3 2 3 2 x x > + − ĐS: T = (– ∞ ;–7/3) ∪ (2/3; 1) 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) y = 2 8 15x x − + HD: hs xác định khi 2 8 15x x− + ≥ 0… ĐS: D = (– ∞ ; 3] ∪ [5; + ∞ ) b) y = 2 3 6 x x x − + + HD: hs xác định khi 2 6x x− + + > 0… ĐS: D = (–2; 3) III. THỐNG KÊ 1. Thời gian hoàn thành một sản phẩm của môt nhóm công nhân: Thời gian (phút) 42 44 45 48 50 54 Cộng Tần số 4 5 20 10 8 3 50 Tìm số trung bình cộng, số trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số trên ĐS: 46,6x ≈ ; M e = 45; Mo = 45; Độ lệch chuẩn : S x ≈ 3; Phương sai: 2 x S ≈ 8,9 2. Cho bảng phân bố tần số ghép lớp điểm thi toán của lớp 10A: Lớp điểm thi Tần số [0 , 2) 2 [2 , 4) 4 [4 , 6) 12 [6 , 8) 28 [8 , 10] 4 Cộng 50 a)Tìm số trung bình; phương sai; độ lệch chuẩn (chính xác đến 0,1) ĐS: 6,1x ≈ ; 2 x S ≈ 3,2; S x ≈ 1,8 b) Lập bảng phân bố tần suất c)Vẽ biểu đồ hình cột, hình quạt và đường gấp khúc mô tả tần suất 3. Để khảo sát kết quả thi môn toán trong kỳ tuyển thi đại học vừa qua của trường A người điều tra chọn một mẫu gồm 60 học sinh tham gia kỳ thi tuyển sinh đó . Điểm môn toán thang điểm 10 của các học sinh này được cho ở bảng phân bố tần số sau: Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tần số 1 2 3 5 8 13 19 24 14 10 2 N= 100 a/ Tìm mốt b/ Tìm số trung bình ( chính xác đến hàng phần trăm) c/ Tìm số trung vị d/ Tìm phương sai độ lệch chuẩn ( chính xác đến hàng phần nghìn) 4.Cho bảng tần số, tần suất ghép lớp như sau: Lớp Tần Số Tần Suất [160;162] 6 16,7% [163;165] 12 33,3% [166; * ] ** 27,8% [169;171] 5 *** [172;174] 3 8,3% N =36 100% a/ Hãy điền số thích hợp vào dấu * b/ tìm các giá trị đại diện của các lớp c/ Tìm số trung bình ( chính xác đến hàng phần trăm) d/ Tìm phương sai độ lệch chuẩn ( chính xác đến hàng phần nghìn) IV. LƯỢNG GIÁC 1. Các công thức lượng giác cơ bản: Trang 2 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN HK II 2 2 2 2 2 2 sin 1 os sin os 1 os 1 sin x c x x c x c x x = −  + = ⇒  = −  1 cot tanx tanx.cotx 1 1 tan cot x x x  =   = ⇒   =   2 2 2 2 2 2 1 tan 1 1 os 1 tan (cos 0) 1 os os 1 tan x c x x x c x c x x  = −   + = ⇒ ≠   =  +  2 2 2 2 2 2 1 cot 1 1 sin 1 cot (sinx 0) 1 sin sin 1 cot x x x x x x  = −   + = ⇒ ≠   =  +  2. Chú ý: 1) cos( +k2 )=cos sin( +k2 )=sin α π α α π α 2) 1 1, 1 sin 1,cos α α α − ≤ ≤ − ≤ ≤ ∀ 3. Công thức cộng: *cos( βα ± ) =cos α cos β  sin α sin β *sin( βα ± ) =sin α cos β ± sin β cos β * tan( α + β ) = βα βα tan.tan1 tantan − + * tan( α - β ) = βα βα tan.tan1 tantan + − 4. CT nhân đôi : *cos2 α = cos 2 α -sin 2 α =2cos 2 α -1. =1 - 2sin 2 α * sin2 α = 2sin α cos α * tan2 α = α α 2 tan1 tan2 − (Với tan2 α ; tan α ) có nghĩa. 5. công thức hạ bậc: 2 1 cos2 sin 2 x x − = ; 2 1 cos2 os 2 x c x + = ; 2 1 cos2 tan 1 os2 x x c x − = + 6. Công thức biến đổi tích thành tổng: *cosα cosβ= 1 2 [cos(α +β) + cos(α -β) ] *sinα sinβ= 1 2 [cos(α +β) - cos(α -β)] *sinα cosβ= 1 2 [sin(α +β) + sin(α -β)] 7. Công thức biến đổi tổng thành tích: + − + − + = + = + − + − − = − − = cos cos 2 cos cos ; sin si n 2 sin cos 2 2 2 2 cos cos 2 sin sin ; sin sin 2 cos sin 2 2 2 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y Bài tập: 1.Cho 3 sin = 5 α và 0 2 π α < < . Tính cos α , tan α , cot α , sin2 α . ĐS: cos α = 4/5, tan α = ¾, cot α = 4/3, sin2 α = 24/25 2.Cho 3 cos = 5 α − và 2 π α π < < . Tính sin α , cot α , cos2 α . ĐS: sin α = 4/5, cot α = –3/4, cos2 α = –7/25 3.Cho tan α = 2 và 3 2 π π α < < . Tính cot α , sin α . Trang 3 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN HK II ĐS: cot α = ½, sin α = – 2 5 5 4. Cho cot α = –3 và 3 2 2 π α π < < . Tính tan α , cos α . ĐS: tan α = –1/3, cos α = 3 10 10 5. Tính các GTLG của góc α biết :       <<−= πα π α 217 8 cos 6 * . Tính : ( ) 1 A 4. cos5x cosx .sinx 2 = + ; B= 4sinx .sin2x . sin3x; C = 4 cos. 24 5 sin ππ 7* Biến đôi thành tích : M = sin 2x – sin 4x + sin 6x . 8* Chứng minh rằng: 1 1 2 3 sin sin 10 10 π π − = 9 * . Chứng minh đẳng thức : a) 1cot.cot 1cot.cot )cos( )cos( − + = + − ba ba ba ba *HD: +BĐ vế phải +Đưa cot về sin ; cos b) sin(a+b).sin(a-b)= abba 2222 coscossinsin −=− *HD: +BĐVT theo CT cộng +sử dụng hđt (a-b).(a+b) 10. Tính sin 2a ; cos 2a ; tan 2a biết : a) sina = -0,6 & 2 3 π π << a ; b)sina + cosa = -5/9 & π π << a 4 3 *HD:a) + Tính cosa + Tính sin 2a ; tan 2a theo CT nhân đôi . b) + Bình phương 2 vế đẳng thức đã cho +Tìm được sin 2a ; cos 2a ; tan 2a . 11 * . Rút gọn biểu thức : A= xxx xxx 5cos3coscos 5sin3sinsin ++ ++ Từ kết quả tìm được hãy tính giá trị của A biết cot 3x = -5/7 *HD :+BĐ tử & mẩu thành tích +Đưa về tan 3x + Tính A theo cot 3x 12 * Chứng minh rằng: α αα αα tan 2cos2sin1 2cos2sin1 = ++ −+ ( Khi các biếu thức có nghĩa) Trang 4 c b a h a A B C H CNG ễN TP TON HK II B. HèNH HC: I. TCH Vễ HNG CA HAI VECT V CC H THC LNG TRONG TAM GIC - GII TAM GIC: 1.nh ngha tớch vụ hng ca hai vect : cos. baba = vi = ( ba; ) 2.Bỡnh phng vụ hng hai vect : a . a = a 2 = ( a ) 2 = | a | 2 3.Bieồu thửực toùa ủoọ : Cho a =(a 1, a 2 ) ; b =(b 1 ,b 2 ) . Khi ú: a . b = a 1 .b 1 + a 2 .b 2 4. di ca vect: | a |= 2 2 2 1 aa + 5. Gúc to gia hai vect: 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos( , ) . a b a b a b a b a b + = + + r r ( a o , b o ) * a b <=> a 1 .b 1 + a 2 .b 2 = 0 6. Khong cỏch gia hai im: Cho A( x A; y A ) ; B(x B; y B ) Khi ú AB = 2 2 ( ) ( ) B A B A AB AB x x y y= = + uuur 7. nh lý cụsin trong tam giỏc : ABC cú AB= c, BC=a, AC =b a 2 = b 2 + c 2 - 2 bc.cosA b 2 = a 2 + c 2 - 2ac.cosB c 2 = a 2 + b 2 - 2ab.cosC 8. HQ: * bc acb A 2 cos 222 + = ; * ac bca B 2 cos 222 + = ; * ab cba C 2 cos 222 + = 9. Cụng thc trung tuyn 42 222 2 acb m a + = ; 42 222 2 bca m b + = ; 42 222 2 cba m c + = 10.nh lý sin trong tam giỏc: C c B b A a sinsinsin == = 2R (R: bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC) 11.Cụng thc tớnh din tớch tam giỏc: 1 1 1 S . . . 2 2 2 a b c a h b h c h= = = 1 1 1 S sin .sin sin 2 2 2 ab C ac B bc A= = = S = R abc 4 S = pr S = ))()(( cpbpapp (CT: Hờ-rụng) Bi tp: 1.Cho ABC vuụng cõn cú AB=AC =a . Tớnh cỏc tớch vụ hn . ; .AB AC AC CB uuur uuur uuur uuur 2. Trờn mt phng Oxy hóy tớnh gúc gia hai bva bit: a.) a =(2;-3).; b = (6;4) b) a .=(3;2) ; b =(5;-1) 3. Cho ABC cú AB = 5; AC = 8, 0 60A = ) . Tớnh BC. 4. ABC a = 7; b = 24; c = 23. Tớnh gúc A , B, C ca tam giỏc ABC, tớnh di trung tuyn m a 5. Cho tam giỏc ABC cú 0 0 20 ; 31B C= = v b= 210. Tớnh gúc A , cỏc cnh cũn li v bỏn kớnh R ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ú. 6.Cho ABC cú a=13 , b= 14 ; c=15 .Tớnh S ABC, R, r . 7. Cho ABC bit a =17,4 B = 44 0 30 , C =64 0 . Tớnh gúc A v cỏc cnh b , c . S: A = 71 0 31 b= A Ba sin sin 12.9 ; c= A Ca sin sin 16.5 8. Cho ABC bit a =49.4, b = 26.4 , C =47 0 20 . Tớnh gúc A , B v cnh c Trang 5 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN HK II *HD: Theo định lí cosin ta có : c 2 = a 2 +b 2 -2abcosC ≈ 1369.58 ⇒ c ≈ 37.0; cosA = bc acb 2 222 −+ ≈ -0.1913 ⇒ A ≈ 101 0 2 ’ ; B ≈ 180 0 –(101 0 2 ’ +47 0 20 ’ ) ≈ 31 0 38 ’ 9. Cho ∆ ABC có a=24 b= 13 c=15 .Tính các góc A,B,C *HD: Theo hệ quả của định lí cosin tacó cosA = bc acb 2 222 −+ ≈ -0.4667 ⇒ A ≈ 117 0 49 ’ Vì A a sin = B b sin nên sinB = a Absin ≈ 0.4791vì AC ngắn nhất nên B nhọn B ≈ 28 0 38 ’ 10. Giải ∆ ABC vuông tại A, biết a= 72, B= 58 0 . Tính đường cao h a, . *HD: µ C = 90 0 - µ B = 32 0 ; b = asinB = 72 . sịn58 0 ; c = a isnC = 72.sin32 0 ≈ 38,15; h a = . 32,36 b c a ≈ ; C ≈ 33 0 33 ’ 11. Cho ∆ ABC, biết a= 50,1; b= 85 ; c = 5442, Tính góc A, B,C. *HD: Theo đl côsin ta có 2 2 2 7225 2916 2714,41 cos 2 2.85.54 b c a A bc + − + − = = ≈ 0,8090 ⇒ A = 36 0 CosB = 2 2 2 2 b c a bc + − ≈ -0,2834 ⇒ B ≈ 106 0 28’ ; µ C ≈ 3732’ 12. Giải ∆ ABC. Biết A=120 0 b= 8, c =5 . Tính góc B,C và cạnh a. *HD: Theo đl côsin ta có a 2 = b 2 +c 2 -2bc cosA= 126 ⇒ a ≈ 11,36 CosB = 2 2 2 2 b c a bc + − ≈ 0,79 ⇒ B ≈ 37 0 48’ & C ≈ 22 0 12’ 13. Cho ∆ ABC có b=7cm, c = 5cm và 3 cos 5 A = . Tính a, sinA và S  ABC , ha, R. (ĐS: 2 4 1 2 7 2 5 2 4 2 ;sin ; sin 14 ; ; 5 2 2 2 ABC S a cm A S bc A cm ha R a ∆ = = = = = = = ) 14. Cho ∆ ABC. Biết A=60 0 , b = 8cm, c = 5cm. Tính a, sinA và S  ABC , ha, R. (ĐS: 2 10 3 7 3 7 ; 10 3 ; ; 7 3 ABC a cm S cm ha cm R ∆ = = = = ) 15. Cho ∆ ABC, biết a = 21cm, b = 17cm, c = 10cm. Tính S  ABC , ha, r, ma. (ĐS: 2 84 ; 8 ; 3,5 ; 9,18 ) ABC S cm ha cm r cm ma cm ∆ = = = = 16. Cho ∆ ABC, biết b = 14cm, c = 10cm, A= 145 0 . Tính a, ;B C ) ) 0 0 ( : 23; 20 ; 14 )HD a B C= = = ) ) 17.Cho ∆ ABC, biết a = 4cm, b = 5cm, c = 7cm. Tính . ; ;A B C ) ) ) 0 0 0 ( : 34 ; 44 ; 101 )HD A B C= = = ) ) ) II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG TRÒN, ELIP, KHOẢNG CÁCH… VÀ GÓC…, VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI… • ∆ đi qua M(x 0 ; y 0 ) và có VTCP u r = (u 1 ; u 2 ), PTTS là : 0 1 0 2 x x u t y y u t = +   = +  • ∆ đi qua M(x 0 ; y 0 ) và có VTPT n r = (a; b), PTTQ là: a(x – x 0 ) + b(y – y 0 ) = 0 • Đường tròn tâm I(a; b), bán kính R, PTCT: (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 Dạng khai triển(PTTQ) : x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c =0 có tâm I(a; b), bán kính R = 2 2 a b c+ − • Đường elip: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1, a c b x y c a b a b b a c  = + + = = − ⇒  = +  có trục lớn A 1 A 2 = 2a, trục nhỏ B 1 B 2 = 2b, tiêu cự F 1 F 2 = 2c, các tiêu điểm F 1 (–c; 0), F 2 (c; 0); Các đỉnh A 1 (–a; 0), A 2 (a; 0), B 1 (0; –b), B 2 (0; b), tâm sai: 1 c e a = < Trang 6 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN HK II • Khoảng cách từ M(x 0 ; y 0 ) đến ∆ : ax + by + c = 0 là: 0 0 2 2 | | ( , ) ax by c d M a b + + ∆ = + • Góc giữa 1 1 1 1 : 0a x b y c∆ + + = và 2 2 2 2 : 0a x b y c∆ + + = là: 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 | . . | cos . a a b b a b a b ϕ + = + + • Hệ 1 1 1 1 2 2 2 2 0 ( ) 0 ( ) a x b y c a x b y c + + = ∆   + + = ∆  + Có nghiệm duy nhất ( 1 1 2 2 a b a b ≠ ) là (x 0 ; y 0 ) thì 1 ∆ cắt 2 ∆ tại (x 0 ; y 0 ) +Vô nghiệm ( 1 1 1 2 2 2 a b c a b c = ≠ ) thì 1 ∆ // 2 ∆ +Vô số nghiệm ( 1 1 1 2 2 2 a b c a b c = = ) thì 1 ∆ trùng với 2 ∆ Bài tập: 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(-1;3) , B(-3;1) và C(2;-1). a)Viết PTTQ của đường thẳng AB ĐS: 04 =+− yx b) Viết PT TQ của đường cao CH ĐS: 01 =−+ yx c) Viết PT TS của đường thẳng BC ĐS: x = –3+5t, y = 1–2t d) Viết PT TS của đường cao AK ĐS: x = –1+2t, y = 3+5t c) Viết phương trình tròn đương kính AB ĐS: (x + 2) 2 + (y –2) 2 = 2 d)Viết phương trình đường tròn tâm B và đi qua C ĐS: (x +3) 2 + (y –1) 2 = 29 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : 0143 =−− yx a)Tính khoảng cách từ I(2;5) đến đường thẳng ∆ . ĐS: 3);( =∆Id b)Viết phương trình đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng ∆ ĐS: ( ) ( ) 952 22 =−+− yx 3. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua N(2;-1) và có vectơ chỉ phương ( 3;2)u = − r ĐS: 0132 =−+ yx 4. Tính góc giữa hai đường thẳng sau: 0152: 1 =+− yxd và 053: 2 =−+ yxd ĐS: 86 0 38’ 5. Cho 2 đường thẳng : 1 : 2 5 1 0x y∆ − + = và 2 :3 4 2 0x y∆ − + = a) Chứng minh rằng: 1 ∆ và 2 ∆ cắt nhau.Tìm toạ độ giao điểm của 1 ∆ và 2 ∆ ĐS: (–6/7; –1/7) b)Viết phương trình tổng quát đường thẳng d đi qua điểm M(1;-3) và song song 1 ∆ ĐS: 2x–5y–17= 0 6. a)Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(3;-2) và bán kính R= 5. ĐS: ( ) ( ) 2 2 3 2 25x y− + + = b)Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M(0;2) ĐS: 0843 =+− yx 7. Cho đường tròn 2 2 ( ) : 4 2 5 0C x y x y + + − − = . Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) ĐS: I(–2; 1), R = 10 8. Cho elip có phương trình: 1 49 22 =+ yx . Hãy xác định độ dài các trục, tiêu cự, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh, tâm sai. 9. Viết phương trình chính tắc của (E) có đỉnh (-3,0) và tiêu điểm (1 , 0) ĐS: 2 2 1 9 8 x y + = 10. Viết phương trình chính tắc của (E) có trục lớn 10 và tiêu điểm ( 3 , 0) ĐS: 2 2 1 25 16 x y + = Trang 7 . sát kết quả thi môn toán trong kỳ tuyển thi đại học vừa qua của trường A người điều tra chọn một mẫu gồm 60 học sinh tham gia kỳ thi tuyển sinh đó . Điểm môn toán thang điểm 10 của các học sinh. sin α . Trang 3 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN HK II ĐS: cot α = ½, sin α = – 2 5 5 4. Cho cot α = –3 và 3 2 2 π α π < < . Tính tan α , cos α . ĐS: tan α = –1/3, cos α = 3 10 10 5. Tính các GTLG. 5 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN HK II *HD: Theo định lí cosin ta có : c 2 = a 2 +b 2 -2abcosC ≈ 1369.58 ⇒ c ≈ 37.0; cosA = bc acb 2 222 −+ ≈ -0.1913 ⇒ A ≈ 101 0 2 ’ ; B ≈ 180 0 – (101 0 2 ’