sở giáo dục đào tạo hà nội Tr-ờng ThPt ngun gia thiỊu - Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bất ph-ơng trình chứa thức bậc hai th-ờng gặp Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn Tổ : Toán Hà Nội, / 2010 Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia Thiều mở đầu Giải bất ph-ơng trình toán khó với nhiều học sinh kể học sinh đ-ợc cho giỏi; có bất ph-ơng trình chứa thức bậc hai đ-ợc coi khó Nên chọn đề tài: Một số dạng bất ph-ơng trình chứa thức bậc hai th-ờng gặp để làm sáng kiến kinh nghiệm Với mục đích mong muốn đề tài góp phần giúp học sinh hiểu rõ mảng bất ph-ơng trình chứa thức bậc hai nói riêng bất ph-ơng trình nói chung, đồng thời mong muốn tài liệu tham khảo cho quan tâm đến môn to¸n KiÕn thøc thĨ hiƯn s¸ng kiÕn kinh nghiƯm hoàn toàn ch-ơng trình Toán Đại số lớp 10 ban Cơ bản, ban Khoa học tự nhiên, ban Khoa học xà hội nhân văn Nội dung sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để chuyển sang phần ph-ơng trình đ-ợc; xong chuyển sang ph-ơng trình có phần đ-ợc mở rộng để có toán hay Do ng-ời nghiên cứu sử dụng sáng kiến kinh nghiệm vào nhiều mục đích giáo dục khác đ-ợc Nội dung sáng kiến kinh nghiệm gồm có dạng toán khác H1 Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều Một số kiến thức sau đà có sách giáo khoa đ-a sau mà không nêu nội dung: ôn tập hàm số bậc hai đồ thị ôn tập định lý dấu nhị thức bậc ôn tập định lý dấu tam thức bậc hai Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bất ph-ơng trình chứa thức bậc hai th-ờng gặp Dạng f(x)  f(x) < g(x)   f(x) < g(x) f(x)  f(x)  g(x)   f(x)  g(x) g(x)  f(x) > g(x)   f(x) > g(x) f(x)  f(x)  g(x) f(x) g(x) Bài toán Giải bất ph-ơng trình sau: 1) x2 3x 2x  5x  (1) 2) 2x  10x   x  5x  36 (2) 3) x   2x  5x  14 (3) Gi¶i:  x   x   x  8  (1)  x  3x      x    x    0  x  1)   2   x  3x   2x  5x     x    x  8x    x  8  x   H2 Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu KÕt ln: tập nghiệm bất ph-ơng trình (1) S ( ; 8  0 ; 1   ;  )  x   x  x  36   2)      x  4  2 x  10 x   x  x  36  x  15 x  44   ( 2)  x    x  4    x  4    x  11   x  11   x  9 KÕt luËn: tập nghiệm bất ph-ơng trình (2) S  ;  11  9 ;    x3    3)    x   2x  5x  14  (3) x   (x  1)(x  x  6)  x   2  x  x    x  2x  5x    x   x  x    2x3 KÕt luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (3) S = ; Bài tập t-ơng tự Giải bất ph-ơng trình sau: 1) x 3x   2x2  x  2) x  x  13  3) x2  x   4) x  12 x  16  x  3x  28 5) x3  x   6) x3  x  x  3x  x  3x  x2  x  x2  x  H3 Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu D¹ng f (x)   f(x)  g(x)  g(x)  f (x)  g (x)  f(x)   f(x)  g(x)  g(x) f(x) g (x) Bài toán Giải bất ph-ơng trình sau: 1) x 8x  + 3x  (1) 2)  8x  x + < 9x 3) 1 (2) g(x)    g(x)    f(x)  g (x)   g(x)   f(x)  f(x)  g(x)    g(x)   f(x) g (x) Bài toán Giải bất ph-ơng trình sau: 1) 3x 10x   x  (1) 2) (x  1)(3  x)    3x (2) 3) 2x  8x   x  (3) Gi¶i:  x  1  1  x      x  1    3x  10x   x  2x    x    (1)  3x  10x   1)   x     3x  10x    x  12    x  1  4x  8x    x  1  4(x  1)   x  1  x 1  x  KÕt ln: tËp nghiƯm bÊt ph-¬ng trình (1) S = (2) 2)  4x  x2  3x   3x     4x  x   3x     4x  x  (3x  4)2  H6 Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu   x    0  x    x     4x  x  9x  24x  16   0  x     x     10x  28x  16   0x    x       x     0x   4  x  3  0x2 KÕt ln: tËp nghiƯm bÊt ph-¬ng trình (2) S = ; (3) 3)  2x2  8x   (x2  1)2  2x2  8x   x  2x2   x4  8x   x(x3  8)   x(x  2)(x2  2x  4)   x(x  2)   2  x  KÕt luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (3) S = ; Bài tập t-ơng tự Giải bất ph-ơng trình sau: 1) (x 3)(5  x)  15   2x 2) x  5x    3x 3) x  4x   x  11 4) x  x2   x  5) x  x    2x 6) 2x  5x   2x  H7 Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu D¹ng f (x)  g(x)  p(x)  q(x) hc: f (x)  g(x)  p(x)  q(x) (Trong ®ã: f(x) + g(x) = p(x) + q(x)) Ph-ơng pháp: f (x) g(x)   §iỊu kiƯn:  p(x)  q(x) Bình ph-ơng hai vế bất ph-ơng trình, sau đ-a dạng Bài toán Giải bất ph-ơng trình sau: 1) x  2x  2x   3x (1) 2) x   2x    3x   2x (2) 3)  2x   3x  2x   x (3) Giải: 1) Điều kiện: x  (1)   x    2x    2x   3x   x    2x  x   2x  2x   3x  2x  3x  (x  2)(5  2x)  2x(7  3x)  2x  x  10  6x  14x  2x  x  10  6x  14 x  4x  13x  10  x ; thoả mÃn điều kiện Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (1) 5  S =  ; 2 4  2) §iỊu kiƯn:   x 1 H8 Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu (2)  x    2x   3x  2x    x    2x    3x  2x    x    2x   x  2x   3x  2x    3x 2x   (3  x)(5  2x)  (3  3x)(2x  5)  2x  x  15  6x  9x  15  2x2  x  15  6x2  9x  15  4x2  8x  x   x  2 Kết hợp điều kiện, có tập nghiệm bất ph-ơng trình (2) lµ   S =   ;    0 ; 1   3) §iỊu kiƯn: –1  x  (3)   2x  x    3x  2x     2x  x      3x  2x     2x  x    2x x    3x  2x    3x 2x   (3  2x)(x  3)  (4  3x)(2x  2)  2x2  3x   6x2  2x   2x2  3x   6x2  2x   4x2  5x    x  1; thoả mÃn điều kiện Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (3) S = ; Bài tập t-ơng tự Giải bất ph-ơng trình sau: 1) x  3x   2x   2x  H9 Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiÒu  2x  5x   18  3x   18  3x   x    x3  x     x    18  3x     x   x      4  2x  5x  3  324  108x  9x  x  88x  336    x6    3  x   4  x  84  x   4  x  KÕt luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (9) S = 4 ;    10) §iỊu kiƯn: x   (10)   x  1   x     x   x   x    3 x     x   x   x       x  2 x   x    +) Tr-êng hỵp 1: x  (10)  x 1  x     x 1  x   Bất ph-ơng trình nghiệm thoả mÃn x  , v×: 2 x   2      x2  22 2  x  +) Tr-êng hỵp 2: x = 2, thay vào bất ph-ơng trình không thoả mÃn +) Tr-ờng hợp 3: x (10)  x   x     x 1  x     x  1  x   x   x    x  x   11  5x  16  x2  x    121  110x  25x2  9x  126x  153 H 39 (Hai vế không âm) x4 Nguyễn Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu  x  14x  17  74 x74 Kết hợp điều kiện, có: x  +) KÕt ln: tËp nghiƯm bÊt ph-¬ng trình (10) S = 74 ;2 11) §iỊu kiƯn: 2  x  (11) 2x     x    x  x   x  4x  4x    x    2 x  x   4x  4x  Đặt: t x2 x ;  t  x  x   2t    t   (*) VËy: x  x   *  t 0  x2  x   t  4t  2t      t 1  x  x    x2  x 1   1  x    1  x Kết hợp điều kiện  x  , ta cã tËp nghiÖm bÊt ph-ơng trình (11) ; 1 S=     x  4x  12  12) §iỊu kiƯn:  x  x    x     x  2   x    x  2  x6   x  2 +) Tr-êng hỵp 1: x , bất ph-ơng trình (12) +) Tr-êng hỵp 2: x  H 40 Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu (12)   x   x     x   x  3   x    x 6  x 3  x   x   x   x  x   x   x  9x  18  11  x  x    11  x     11  x    x     4  x  9x  18   121  22x  x   x    x  11   x  11   x    3x  14x  49   x  11     x  11    x      x     x  11  7  x  11 x7 +) KÕt luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (12) S =   ;  2  7 ;   Bài toán x x  1  1) §iỊu kiƯn:    x 1 1 x    x 1 1  x2    2x  x 11     x    x   2x   x    x  1  (1)    x    2x    x   x   x  1   2  x     x  1    x 1    x  1  x Kết hợp điều kiện, có tập nghiệm bất ph-ơng trình (1) S = ; 3 \ 0 H 41  x  1  x  Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu 2  x  2) §iỊu kiÖn:  2x     x    x       x       x    x   (2)   x2  2x2   x  x     2 2 2  x  2x   2  x 2x   x  2x   x  1  x  1     4  2x  5x   x 2 2x  5x   2x   x   2 2x  5x   x x   2x  4x   x    2 2  x  1   x   x   x  x    x x Kết hợp điều kiện, có tập nghiệm bất ph-ơng trình (2) ;  \ 1 S=    (3) 3)   x  1    x  1   11 Đặt: t x ; t  (3)  t   2t   11  t   2t   t  2t   121  2t  19t   131  3t  131  3t    t     131  3t    t     4  2t  19t    9t  786t  17161  H 42  131 t   131   9  t      t  710t  17125  Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu  131 t     131 9  t      25  t  685  t  25  131 t    25  t  131   x   x    x   5  x  4 KÕt luËn: tËp nghiÖm bất ph-ơng trình (3) Vậy: x  25 S =   ;  4  6 ;     x      x  1   x 1  x   x   x x     4) §iỊu kiƯn:  x  x    x  x     x 1 (4)  x  x2   x  x2   x  x  x  x    2x  x   x  1   2x    x 1 KÕt luËn: tập nghiệm bất ph-ơng trình (4) S = ;     x  16  5) §iỊu kiƯn:  x4 x 3    x2  16   x    x   x  16   10  2x  x    10  2x     x    10  2x     2  x  16   100  40x  4x   x    x    x    x    2x  40x  132  x     4  x    10  34  x  10  34   x   10  34  x  (5) H 43  x  10  34 Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (5)  S = 10  34 ;   x  x   6) §iỊu kiÖn:    x2 + x + ≥   ≤ x ≤  x  x   (6)   x  x2   x  x2    x  x2   x  x   2  x  x  2  x  x2  2x2  2x   x x2 x2 x Đặt : t  x  x ; t 0  t   x  x2  x2  x   t (6) t   t   t2  t2  t      t  2 (lo¹i)  x  x2  VËy :   x  x2  1 1 x 2 KÕt luËn: tËp nghiÖm bất ph-ơng trình (6) x2 x   1 1  ; S=   2   x  7) Điều kiện: x Đặt: t = (7)  t x2 ; x 1 t 0   t   5t t    VËy:     x2 2 x 1 x2 3 x 1   3x  x 1    11  8x   x 1   t  5t   2t 3 x  4   x 1  x    x 1   x   4x  0   x 1   x   9x     x 1 1  x    11   x     x    H 44 11 x2 Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu KÕt ln: tập nghiệm bất ph-ơng trình (7) 11 S =  ; 2 8  x   x  8) §iỊu kiƯn:   x2 (x  1)(x  2)  x x20   (8)  x  1  x      x2       x 1   x 1               x    x 1    x 1    x  1  x 1    x     x    x    x    x    x  1  x 1    x  1  x 1   x  1  x   x   x   Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (8) S = [2 ; +  ) 9) §iỊu kiƯn: ≠ x ≤ (9)  4x    x  2x  x  2x x x Đặt: t = x;  t   t2   x (9)   t  22  t2    t2 1 t 0 t t   t  0   Do :    x   t2 2t  t   0  t2   (1  t)(2t  1) t  t  0 2t       t        x 1   2x    2  x     2  x  2  x   H 45  x     x  x   1  x   x  Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu KÕt ln: tập nghiệm bất ph-ơng trình (9) S = (   ; 0)  [1 ; 2] x   10) +) §iỊu kiƯn:   x 1  x   x   x  x  x  x 1 = x –     2  x  7x  10   x   x  6x  V×: x     x   x   (10) +)   x 5 x   12  6x  x    x  x 1   x  x    5x 0 x 1   x 0  §Ỉt : t  x  ;  t   t2  x  (10)   t   5 t  1 t    t  1 1 t 0 2t t   t  0   Do :   x  t2  5t  t   0 t  t   1  t  5t     t  1  t  t      5t     x 1    x 1    x      x   x    1  x   x  Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (10) S = 1 ; 2   ;    11) §iỊu kiƯn: 2  x  (11)  x 2 5x x 7 x    2x 0  0 x7 x7 §Ỉt : t  x  2;  t2  x  (11)  t   2t2  2 t2   0 0t 3  x  t2   2t  t  0 t2  H 46 NguyÔn Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu    t  2t  3   t  3 t  3 2t 3   x2 2    x2 3  2t 0 t 3  2t     Do :   t     x    x   x   x  KÕt luËn: tập nghiệm bất ph-ơng trình (11) S ;  x  x   12) §iỊu kiƯn:   1  x 1  4x    (12)   1  4x  x     4x   4x    4x  1    4x  4x  ; nghiƯm ®óng  x   ;  \ 0  2 KÕt luËn: tập nghiệm bất ph-ơng trình (12)   S   ; 0  0 ; Bài toán 1) Đặt: t x2 1; t (1)   4x  1 t  2t  2x   2t   4x  1 t  2x   +) 2t   4x  1 t  2x  lµ mét tam thøc bËc hai cã nghiƯm t  ; t  2x  +) Tr-êng hỵp 1: 2x    t  2x    t   (1) x  x   2x    x   : v« nghiƯm    x   2x  H 47 Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu  x     x     3x  4x   2x      2x     x   4x  4x    x    1  x  2  x  x    x      0  x    3 x 3 +) Tr-êng hỵp 2: 2x – <  x< KÕt hỵp víi ®iỊu kiƯn, cã:  §óng  x   x 1  t      x   2x  Không có nghiệm thoả mÃn x t  2x    +) KÕt luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (1) (1)  S =   ;  3  2) Đặt: t = x 2x ; t ≥  t2 = x2 – 2x +  x2 + = t2 + 2x – ( 2) 2  (x + 1)t ≥ t + 2x −  t  (x  1)t  2x   +) t2 – (x +1)t + 2x – tam thức bậc hai có nghiệm t = 2; t = x − +) Trường hợp 1: x − ≥  x ≥ ( 2)  2≤t≤x−1 (Vì:  x  2x     Vô Nghiệm  x  2x   x   x  2x  = (x  1)2  > (x  1)2 = x  ≥ x − 1) +) Tr-êng hỵp 2: x – <  x  ( 2)  x–1≤t≤2  x  2x   x      x  2x    H 48 Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiÒu  x  2x   (Vì:  x2 – 2x + ≤ x  2x  > x – 1, x )  x2 – 2x – ≤ 1  ≤ x≤1+ +) Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (2) S = 1  ; 3) Đặt: t = x  2x  ; t ≥  t2 = x2 – 2x +  x2 + 4x + = t2 + 6x (3)  t2  (3x + 2)t + 6x ≥  t2 + 6x ≥ (3x +2 )t +) t2  (3x + 2)t + 6x tam thức bậc hai có nghiệm t = 2; t = 3x +) Trường hợp 1: 3x ≥  x ≥   t  3x t   (3)  x  2x   3x    x  2x    Kết hợp điều kiện, có:  x 1 +) Trường hợp 2: 3x <  x <  x  2x     x   8x  2x     x  2x   9x   x  2x     x   1   x    8x  2x     x  2x   (3) t2    t  3x 3  x  2x      x  2x   3x    x 1    x 1   x0      x        x    H 49  x  2x     x    x  2x   9x   x     x    x    x   x    Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu Kết hợp điều kiện, có: x   , x +) Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (3)  1  S =  ;     ;    2  Bài toán 1) Điều kiện: x ≥ Lập luận để tìm tËp nghiệm bất phương trình (1) là: S = { } 2) +) 2x3 + x2 – 4x + = (x + 2)(2x2 – 3x +2) Điều kiện: 2x3 + x2 – 4x + ≥  x + ≥  x ≥ –2 +) x   2x  3x  2x  x  4x   x  2x  3x    2x  x  4x  ≤ x2 – x + 2 Dấu “=” xảy  x2 =  x  2 2x  3x     x   2x  3x   x  2  2x  4x  (2) +)    x  2    x   x   2x  x  4x  ≥ x2 – x + x  2x  x  4x  = x2 – x +   x  Vậy tËp nghiệm bất phương trình (2) là: S = {0 ; 2} 3) +) Điều kiện: ≤ x ≤ +) x2 – 6x + 11 = (x – 3)2 + ≥ x2 – 6x + 11 =  x = +)  x2  4x  ≤ (1 + 1)(x – + – x) = H 50 x   x  Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu  x2 + 4x =  x2 + (3) +)  4x ≤ x2 = 4x  x  =  x  x =  x = x2 – 6x + 11 =  x = x2 + Vậy tËp nghiệm bất phương trình (3) là: S = { } 4) Đặt: t = x2 – 6x + ; t ≥ (4) t 9 ≤  +) t6 t2 t24 t6 = =1+ ≤ 1+ =3 t2 t2 t2 t 9 ≥ +) (4) +)  =3 t 9 = t6 =3 t=0 t2  x2 – 6x + =  (x – 3)2 = x=3 Vậy tËp nghiệm bất phương trình (4) là: S = { } 5) +) Điều kiện: ≤ x ≤ +) (x – 3)(5 – x) = − x2 + 8x − 15 = − (x − 4)2 ≤ (x – 3)(5 – x) =  x = +)  x 3  4 x  = x − + − x + x 3 4 x = + x 3 4 x ≥  x  x    x ≥ Dấu “=” xảy   x  (5) +)  x    x = (x – 3)(5 – x) =  x = Vậy tËp nghiệm bất phương trình (5) là: S = { } H 51 Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu Mơc lơc Trang D¹ng D¹ng D¹ng D¹ng D¹ng 10 D¹ng 15 D¹ng 18 D¹ng 26 D¹ng 30 Tài liệu tham khảo Sách tập toán lớp 10 Các sách giới thiệu đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Các sách ph-ơng trình, bất ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình H 52 Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu KÕt luận Trên sáng kiến kinh nghiệm đúc rút đ-ợc trình giảng dạy Toán lớp 10 Tôi thấy học sinh học tập hào hứng say mê, nên kết thu đ-ợc nh- sau: thân yêu thích công việc giảng dạy nghiên cứu khoa học; học sinh học tốt hơn, nhiều học sinh bình th-ờng trở lên khá, học sinh giỏi giỏi Và quan trọng học sinh yêu thích môn toán cố gắng học tốt phần khác môn toán Mặc dù thân đà cố gắng, nh-ng trình viết sáng kiến kinh nghiệm không tránh hết thiếu sót đáng tiếc, mong nhận đ-ợc góp ý xây dựng thầy giáo cô giáo, ng-ời quan tâm đến môn toán nghiệp giáo dục để sáng kiến kinh nghiệm ngày hoàn thiện phổ biến Xin trân trọng cảm ơn Hà Nội, ngày 19 / / 2010 Ng-êi viÕt Ngun Qc Hoµn H 53 ... Giải bất ph-ơng trình toán khó với nhiều học sinh kể học sinh đ-ợc cho giỏi; có bất ph-ơng trình chứa thức bậc hai đ-ợc coi khó Nên chọn đề tài: Một số dạng bất ph-ơng trình chứa thức bậc hai. .. nhị thức bậc ôn tập định lý vỊ dÊu cđa tam thøc bËc hai S¸ng kiÕn kinh nghiệm: Một số dạng bất ph-ơng trình chứa thức bậc hai th-ờng gặp Dạng f(x) f(x) < g(x)   f(x) < g(x) f(x)  f(x)... giống dạng dạng 3, nh-ng g(x) tam thức bậc hai, bình ph-ơng hai vế dẫn đến bất ph-ơng trình bậc bốn khó giải Do ta có cách giải khác đặt ẩn phụ, d-ới số toán minh hoạ Bài toán Giải bất ph-ơng trình