ThS. Phan Thế Công Đại học Thương mại Bổ sung lý thuyết Chương: 5 Cho hàm chi phí: AVC = a + bQ + cQ 2 và có được bảng dữ liệu thu được từ việc ước lượng phương trình này: DEPENDENT VARIABLE: Q R-SQUARE F-RATIO P-VALUE ON F OBSERVATIONS: 9 0.9382 45.527 0.0002 VARIABLE PARAMETER ESTIMATE STANDARD ERROR T-RATIO P-VALUE Intercept 44.473 6.487 6.856 0.0005 Q -0.143 0.0482 -2.967 0.0254 Q2 0.000362 0.000079 4.582 0.0037 Sau khi đã ước lượng được các tham số, nhà quản lý ước lượng rằng các hệ số được ước lượng có dấu theo đúng yêu cầu về lý thuyết là: ˆ 0a > , ˆ 0b < và 0c > $ . Để ước lượng khi nào các hệ số này có ý nghĩa thống kê thì phải kiểm tra giá trị p , và độ tin cậy cho mỗi tham số được ước lượng có thể chấp nhận ở mức thấp (tất cả hệ số t có mức ý nghĩa lớn hơn 5%). Do đó, hàm chi phí biến đổi bình quân được ước lượng cho tập đoàn Rockford là: · 2 44,73 - 0,143Q + 0,000362QAVC = Như đã được nhấn mạnh ở trên, phương trình chi phí cận biên và phương trình tổng chi phí biến đổi có thể dễ dàng được ước lượng từ các tham số được ước lượng của AVC, và phân tích hồi quy là không cần thiết. Trong trường hợp này, · $ 2 2 SMC = a + bQ + 3cQ = 44,473 - 0,286Q + 0,0011Q $ $ và · $ 2 3 2 3 TVC = aQ + 2bQ + 3cQ = 44,473Q - 0,143Q + 0,000362Q $ $ MỐI QUAN HỆ GIỮA HÀM CHI PHÍ VÀ HÀM SẢN XUẤT THỰC NGHIỆM Hàm sản xuất bậc 3 Trong chương này, dạng hàm sản xuất bậc 3 đã được giới thiệu là: Q = aK 3 L 3 + bK 2 L 2 Dạng hàm này là thích hợp nhất cho việc ứng dụng phân tích hàm sản xuất trong ngắn hạn, hơn là ứng dụng trong dài hạn. Khi vốn được cố định ( K K= ), hàm sản xuất ngắn hạn bậc 3 là: 3 2 3 2 3 2 Q = aK L + bK L = AL + BL trong đó 3 A = aK và 2 B = bK . Phần phụ lục này giới thiệu những tính chất toán học của hàm chi phí ngắn hạn bậc ba. Sử dụng đầu vào lao động Để sản xuất ra sản phẩm, cần phải có một số dương lượng lao động Q = A(0) 3 + B(0) 2 = 0 1 ThS. Phan Thế Công Đại học Thương mại Sản phẩm cận biên Hàm sản phẩm cận biên của lao động là: dQ/dL = Q L = 3AL 2 + 2BL Độ dốc của đường sản phẩm cận biên là: d 2 Q/dL 2 = Q LL = 6AL + 2B Sản phẩm cận biên của lao động ban đầu tăng lên, sau đó lại giảm xuống, Q LL đầu tiên phải là số dương, sau đó phải là số âm (do có nhiều lao động được sử dụng hơn) khi A âm và B dương. Các điều kiện khác trong hàm sản xuất ngắn hạn bậc 3: A < 0 và B > 0 Sản phẩm cận biên của lao động tiến tới giá trị cực đại tại L m đơn vị lao động. Điều này xảy ra khi 0= LL Q . Xác định giá trị L m khi Q LL = 0 ta được: L m = -B/3A Sản phẩm bình quân Hàm Sản phẩm bình quân của lao động là: AP = Q/L = AL 2 + BL Sản phẩm bình quân của lao động tiến tới giá trị cực đại tại L a đơn vị lao động. Điều này xảy ra khi dAP/dL = 2AL + B = 0. Ta tìm được: L a = -B/2A Hàm chi phí bậc ba Hàm chi phí bậc ba có dạng: TVC = aQ + bQ 2 + cQ 3 ta tìm được các hàm chi phí bình quân và chi phí cận biên có dạng đặc trưng hình chữ U đã được minh họa ở chương 8. Nếu AVC = TVC/Q, AVC = a + bQ + cQ 2 độ dốc của đường chi phí biến đổi bình quân là: dAVC/dQ = b + 2cQ Chi phí biến đổi bình quân đạt giá trị nhỏ nhất khi dAVC/dQ = 0, xảy ra khi Q = -b/2c. Để đảm bảo là chi phí biến đổi bình quân là nhỏ nhất, chúng ta xác định đạo hàm cấp 2: 2 2 d AVC = 2c dQ phải là số dương, vì vậy c phải có giá trị dương. Khi Q = 0, AVC = a, phải có giá trị dương. Vì đường chi phí biến đổi bình quân có vùng chiều dốc xuống cho nên b phải là số âm. Như vậy, các tham số của phương trình bậc ba có điều kiện về dấu là: a > 0, b < 0, và c > 0 Hàm chi phí cận biên là: 2 dTVC SMC = = a + 2bQ + 3cQ dQ Hàm sản xuất Cobb - Douglas Trong chương này, chúng ta đã sử dụng dạng bậc ba để ước lượng hàm chi phí. Trong phần phụ lục này, chúng tôi sẽ giới thiệu cho bạn thấy một dạng phi hồi quy tuyến tính khác của hàm sản xuất được sử dụng rộng rãi trong hoạt động kinh tế ứng dụng. Chúng ta sẽ mô tả các tính chất toán học của hàm sản xuất Cobb - Douglas trong cả ngắn hạn và dài hạn và giải thích xem làm thế nào để ước 2 ThS. Phan Thế Công Đại học Thương mại lượng các tham số sử dụng phân tích hồi quy. Để giúp bạn phân biệt giữa dạng Cobb - Douglas và dạng bậc ba, chúng ta sẽ sử dụng chữ cái Hy lạp để biểu thị các tham số của các hàm Cobb - Douglas. Hàm sản xuất Cobb - Douglas dài hạn: Q K L α β γ = Sử dụng đầu vào: Để sản xuất ra sản phẩm, thì cần phải sử dụng cả hai đầu vào: ( ) 0, 0 ( ,0) 0 0Q L L Q K K α β α β γ γ = = = = Sản phẩm cận biên Sản phẩm cận biên của vốn và lao động là: 1 . K Q Q Q K L K K α β αγ α − ∂ = = = ∂ Và 1 . L Q Q Q K L L L α β βγ β − ∂ = = = ∂ Với sản phẩm cận biên dương, α và β phải dương. Tính đạo hàm cấp 2 ta được: 2 2 2 ( 1) KK Q Q K L K α β α α γ − ∂ = = − ∂ Và 2 2 2 ( 1) LL Q Q K L L α β β β γ − ∂ = = − ∂ Từ công thức trên, nếu sản phẩm cận biên giảm (ví dụ: Q KK < 0 và Q LL < 0), α và β phải nhỏ hơn 1. Tỷ lệ thay thế kỹ thuật cận biên Trong chương 9, MRTS của L cho K là L K Q Q . Theo dạng hàm Cobb - Douglas thì: . L K Q K MRTS Q L β α = = Chú ý rằng MRTS là không thay đổi theo sản lượng, 0 MRTS Q ∂ = ∂ Do vậy, hàm sản xuất Cobb - Douglas là hàm đồng nhất - hàm sản xuất có dạng đường tuyến tính và việc thay đổi mức sản lượng không ảnh tới việc sử dụng các đầu vào liên quan. Hơn nữa, MRTS chỉ ra rằng hàm sản xuất Cobb - Douglas được miêu tả như là các đường đồng lượng cong lồi. Lấy đạo hàm của MRTS tương ứng với L ta được: 2 . MRTS K L L β α ∂ = − ∂ Do đó, MRTS giảm khi vốn được thay thế bởi lao động, các đuờng đồng lượng có dạng cong lồi. Độ co dãn của sản lượng Độ co dãn của sản lượng được xác định là: . . K K Q K K E Q K Q Q ∂ = = ∂ và . . L L Q L L E Q L Q Q ∂ = = ∂ Sử dụng hàm Cobb-Douglas, . K Q K E K Q α α   = =  ÷   và . L Q L E L Q β β   = =  ÷   Hệ số của phương trình 3 ThS. Phan Thế Công Đại học Thương mại Bắt đầu với hàm sản xuất, Q(K,L). Giả định rằng mức sử dụng của cả hai yếu tố đấu vào tăng cùng tỷ lệ (λ), có nghĩa là, ( , )Q Q K L λ λ = . Tham số của hàm là ( ξ ): / / dQ Q d ξ λ λ = Lấy đạo hàm của hàm sản xuất: dQ = Q K dK + Q L L và viết lại thành: K L dK dL dQ Q K Q L K L = + VÌ K và L đều tăng cùng tỷ lệ, nên / / /dK K dL L d λ λ = = . Do đó: ( ) K L d dQ Q K Q L λ λ = + Khi chúng ta sử dụng phương trình này, hệ số phương trình là: K L K L K L Q Q E E Q Q ξ = + = + Với hàm sản xuất Cobb-Douglas, ta có: ξ α β = + Ước lượng hàm sản suất Cobb - Douglas trong dài hạn Những tính chất toán học của hàm sản xuất Cobb-Douglas là những tính chất thông thường được sử dụng để ước lượng hàm chi phí trong dài hạn. Sau khi biến đổi theo logarit tự nhiên, dạng của hàm Cobb-Douglas ( Q K L α β γ = ) là: ln ln ln lnQ K L γ α β = + + Nhắc lại từ những phần thảo luận trước là µ α và µ β là các giá trị được ước lượng của độ co dãn sản lượng theo vốn và lao động. Thêm vào đó, sản phẩm cận biên được ước lượng là: µ K Q MP K α = và µ L Q MP L β = mang dấu dương và giảm (đặc điểm đúng về mặt lý thuyết) nếu kiểm định t hay giá trị p của µ α và µ β chỉ ra rằng những tham số này có giá trị là dương nhưng nhỏ hơn 1. Hệ số phương trình được ước lượng là: $ µ µ ξ α β = + và cho ta một thước đo hiệu suất theo quy mô. Để ước lượng khi nào ( µ µ α β + ) lớn hơn hay nhỏ hơn 1, một kiểm định-t sẽ được thực hiện. Nếu ( µ µ α β + ) không lớn hơn hay nhỏ hơn 1, chúng ta không thể bác bỏ sự tồn tại của hiệu suất cố định theo quy mô. Để ước lượng xem liệu tổng ( µ µ α β + ) khác 1 hay không, chúng ta sử dụng thống kê t: µ µ µ µ ( ) µ µ 1 t S α β α β α β + + + − = Khi giá trị bằng 1 hàm ý rằng chúng ta đang kiểm định đặc điểm “khác” được nhắc đến trong câu trên và µ µ S α β + là độ lệch chuẩn được ước lượng của tổng hệ số được ước lượng ( µ µ α β + ). Sau khi tính toán thống kê t, so sánh với giá trị t ở trong bảng. Một lần nữa chú ý rằng do tính thống kê t có 4 ThS. Phan Thế Công Đại học Thương mại thể âm (khi ( µ µ α β + ) nhỏ hơn 1), chính giá trị tuyệt đối của thống kê t phải được so sánh với giá trị t chuẩn. Một vài phần mềm máy tính có thể đưa ra giá trị p cho thống kê này. Vấn đề khó khăn duy nhất khi thực hiện kiểm tra là độ lệch chuẩn được ước lượng của ( µ µ α β + ). Tất cả những phân tích hồi quy có thể cung cấp cho nhà phân tích phương sai và hợp phương sai của hệ số hồi quy, ( µ α và µ β ), trong ma trận phương sai và hợp phương sai a. Thông thường, phương sai µ α và µ β được viết là µ ( ) arV α và µ ( ) arV β và hợp phương sai giữa µ α và µ β được viết là µ µ ( ) ,Cov α β . Nếu bạn còn nhớ kiến thức của khóa học thống kê thì: µ µ ( ) µ ( ) µ ( ) µ µ ( ) ar ar ar 2 ,V V V Cov α β α β α β + = + + Và độ lệch chuẩn được ước lượng của ( µ µ α β + ) ) là: $ ˆ ˆ α β ˆ ˆ ˆ ˆ S Var(α) Var(β) 2Cov(α,β) + = + + Hàm sản xuất Cobb-Douglas trong ngắn hạn Khi chi phí là cố định trong ngắn hạn tại K, hàm sản xuất Cobb-douglas ngắn hạn là: Q K L L α β β γ δ = = trong đó K α δ γ = . Chú ý rằng, nếu L = 0, thì không sản phẩm nào được tạo ra. Để sản lượng dương, δ phải dương. Sản phẩm lao động cận biên là: 1 L Q L β δβ − = . Với sản phẩm cận biên dương, β phải dương, biến đổi lần hai ta được: 2 ( 1) LL Q L β δβ β − = − Điều này cho ta thấy, nếu sản phẩm cận biên của lao động giảm, β phải nhỏ hơn 1. Do đó, điều kiện cho hàm sản xuất Cobb-Douglas trong ngắn hạn là: δ >0 và 0 < β <1 Ước lượng hàm sản xuất Cobb-Douglas trong ngắn hạn Như trong trường hợp của hàm sản xuất dài hạn Cobb-Douglas, hàm sản xuất Cobb-Douglas ngắn hạn cũng phải được chuyển sang dạng tuyến tính bằng cách biến đổi sang logarit tự nhiên. Phương trình được ước lượng là: lnLln βτ +=Q trong đó τ bằng ln δ . Nhớ rằng δ phải dương với sản phẩm cận biên của lao động là lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1, với sản phẩm cận biên giảm (0 < β < 1). Thường thì người ta thực hiện một kiểm định để kiểm tra rằng β > 0 và β < 1 thông qua việc kiểm định t. Ước lượng hàm chi phí trong dài hạn Bởi dạng tổng quát của hàm chi phí dài hạn với hai đầu vào là: LTC = f(Q, w, r) và bởi dữ liệu dưới dạng bảng (cross-sectional data) thường được dùng cho ước lượng dài hạn, nên như đã được nhấn mạnh từ trước việc xác định hàm sản xuất thực nghiệm phải bao gồm giá của các đầu vào, được xem như là biến giải thích. Khi mới nhìn qua, dường như cách giải quyết chỉ đơn giản là bổ sung giá đầu vào như biến giải thích trong phương trình chi phí được xác định ở trên và ta có tổng chi phí là: LTC = aQ + bQ + cQ 3 + dw + er 5 ThS. Phan Thế Công Đại học Thương mại Tuy nhiên, hàm này không thỏa mãn những tính chất cơ bản của hàm chi phí. Một hàm tổng chi phí có thể được viết là: LTC’ = wL + rK. Nếu cả hai giá đầu vào tăng gấp đôi, giữ sản lượng không đổi, thì sử dụng đầu vào không thay đổi nhưng chi phí tăng gấp đôi. Để LTC’ biểu thị chi phí sau khi giá đầu vào tăng gấp đôi, ta có phương trình: LTC’ = (2w)L + (2r)K = 2(wL + rK) = 2LTC Hàm chi phí trong dài hạn ở đây là không thoả mãn yêu cầu. Với một sản lượng cố định, nếu giá đầu vào tăng gấp đôi thì: LTC = aQ + bQ 2 + cQ 3 + d(2w) + e(2r) = aQ + bQ 2 + cQ 3 + dw + er + (dw + er) = LTC + dw + er và LTC’ không bằng 2LTC. Do đó, ta cần tìm một cách khác để ước lượng hàm chi phí dài hạn. Dạng thường được sử dụng nhất là dạng hàm tuyến tính log như dạng hàm Cobb-Douglas. Với dạng đặc trưng này, hàm tổng chi phí là: wLTC Q r β γ δ α = Sử dụng dạng hàm này, khi giá đầu vào tăng gấp đôi trong khi sản lượng giữ cố định thì: ( ) * ( ) ( ) (2w) (2 ) 2 w 2 LTC Q r Q r LTC β γ δ γ δ β γ δ γ δ α α + + = = = Nếu 1 γ δ + = , giá đầu vào tăng gấp đôi trên thực tế là gấp đôi tổng chi phí sản xuất với một mức sản lượng nhất định – đây là đặc điểm bắt buộc của hàm chi phí. Do đó, cần thiết phải áp đặt điều kiện này vào hàm chi phí tuyến tính lôga bằng cách ước lượng 1 γ δ − = , vì vậy ( ) 1 w w w/r LTC Q r Q r r Q r β γ γ β γ γ γ β α α α − − = = = Các điều kiện các hệ số là α > 0, β > 0 và 0 < γ < 1 đảm bảo rằng tổng chi phí có giá trị dương và tăng khi sản lượng và giá đầu vào tăng. Để ước lượng phương trình tổng chi phí nói trên, phải biến đổi sang dạng logarit tự nhiên: w ln ln ln ln 1.lnLTC Q r r α β γ   = + + +  ÷   Trong khi chúng ta có thể ước lượng các hệ số α, β, và γ này, công thức này đòi hỏi rằng hệ số của lnr phải đúng bằng 1. Nếu chúng ta đã ước lượng phương trình này, thì giá trị như vậy không thể được đảm bảo. Để áp đặt điều kiện này cho hàm chi phí thực nghiệm, chúng ta chỉ cần chuyển lnr sang vế trái của phương trình để có được: w ln ln ln ln lnLTC r Q r α β γ   − = + +  ÷   Sử dung các quy tắc của logarit, phương trình này có thể được viết là: 6 ThS. Phan Thế Công Đại học Thương mại w ln ln ln ln LTC Q r r α β γ   = + +  ÷   Sau đó, phương trình này được ước lượng để đạt được một ước lượng hàm chi phí dài hạn. Như đã được trình bày trên đây, tác dụng chính của hàm chi phí trong dài hạn là để đưa ra các quyết định về đầu tư của hãng. Do đó, khi phương trình chi phí trước được ước lượng, thì tác dụng quan trọng nhất của nó là xác định mức độ tính kinh tế của quy mô. Từ việc phân tích hàm tuyến tính looga trong chương 4, hệ số β chỉ ra độ co dãn của tổng chi phí tương ứng với sản lượng, đó là: β = tỷ lệ % thay đổi của tổng chi phí / %thay đổi sản lượng Khi β > 1, chi phí tăng nhanh hơn tỷ lệ tăng của đầu vào (nếu sản lượng thay đổi 25% và chi phí thay đổi 50%, β = 2), do đó chi phí bình quân dài hạn sẽ tăng. Nếu β >1, thì dẫn đến tính phi kinh tế của quy mô. Nếu β < 1 thì tỷ lệ tăng của tổng chi phí nhỏ hơn tỷ lệ tăng của sản lượng, và dẫn đến tính kinh tế của quy mô. Hơn nữa, chú ý rằng, độ lớn của giá trị ước lượng β chỉ ra “mức độ” của tính kinh tế và tính phi kinh tế của quy mô. Cuối cùng, nếu β = 1 thì hiệu suất không đổi theo quy mô. Độ tin cậy thống kê của β được kiểm định ở bảng hướng dẫn tra cứu trước đó. Bảng 10A.1 tổng kết các tính chất toán học của hàm Cobb-Douglas cho hàm tổng chi phí trong dài hạn. Bảng 10A.1: Tổng kết dạng hàm tổng chi phí dài hạn Cobb-Douglas Tổng chi phí dài hạn ( ) 1 w w/r LTC Q r Q r β γ γ γ β α α − = = Dạng có thể ước lượng w ln ln ln ln LTC Q r r α β γ   = + +  ÷   Độ co dãn của tổng chi phí % % LTC Q β ∆ = ∆ Nếu: β < 1 thì hiệu suất tăng theo quy mô β = 1 thì hiệu suất cố định theo quy mô β > 1 thì hiệu suất giảm theo quy mô Điều kiện của các tham số: α > 0; β > 0; 0 < γ < 1. 7 . học Thương mại Bổ sung lý thuyết Chương: 5 Cho hàm chi phí: AVC = a + bQ + cQ 2 và có được bảng dữ liệu thu được từ việc ước lượng phương trình này: DEPENDENT VARIABLE: Q R-SQUARE F-RATIO P-VALUE. F OBSERVATIONS: 9 0.9382 45. 527 0.0002 VARIABLE PARAMETER ESTIMATE STANDARD ERROR T-RATIO P-VALUE Intercept 44.473 6.487 6. 856 0.00 05 Q -0 .143 0.0482 -2 .967 0.0 254 Q2 0.000362 0.000079 4 .58 2 0.0037 Sau. giản là bổ sung giá đầu vào như biến giải thích trong phương trình chi phí được xác định ở trên và ta có tổng chi phí là: LTC = aQ + bQ + cQ 3 + dw + er 5 ThS. Phan Thế Công Đại học Thương mại Tuy