Chuyên đề : Các Phương Pháp sai phân hữu hạn Mục lục: A/Các phương pháp sai phân hữu hạn : 1/ Dạng tổng các phân số 2/Dạng tích các phân số 3/ Dạng tổng các đa thức: +Mỗi đơn thức ở dạng tích +Mỗi đơn thức ở dạng luỹ thừa bậc thấp: - Phương pháp dùng hằng đẳng thức - Phương pháp Giải phương trình sai tuyến tính không thuần nhất bậc nhất - Phương pháp Tìm đa thức bằng PP đồng nhất thức + Mỗi đơn thức luỹ thừa bậc cao - Dạng đưa về cấp số nhân * Một số bài tập cần linh hoạt sáng tạo để đưa vầ các dạng cơ bản Nội Dung chuyên đề: I) Các phương pháp sai phân hữu hạn: 1) Dạng tổng các phân số. Ví Dụ: A = 1 2.3 + 1 3.4 + + 1 ( 1)n n + , n ≥ 2, n ∈ N Ta phân tích : 1 ( 1)k k + = 1 k - 1 1k + .(1) Để tính A ta thay k từ 2,3,,,n vào biểu thức (1) ta tính dễ dàng 2) Dạng tích các phân số: Ví dụ: B = 2 2 2 1 2 − . 2 2 3 1 3 − ,n ≥ 2, n ∈ N Ta phân tích: 2 2 1k k − = 1k k − : 1 k k + .(2) Để tính B ta thay k từ 2,3,,,n vào biểu thức (2) ta tính dễ dàng 3) Dạng đa thức: a) Mỗi đơn thức ở dạng tích: Ví Dụ: C= 1.2.3 + 2.3.4 + 99.100.101. Ta tách : 4 k(k+1)(k+2):4= k(k+1)(k+2)[(k + 3) - (k - 1)] , k ≥ 1, k ∈ N = (-(k-1)k(k+1)(k+2) + k(k+1)(k+2)(k+3)) :4 (3) Để tính C ta thay k từ :1, 2,3,,,99 vào biểu thức (3) ta tính dễ dàng Ví Dụ: D = 3.5.7 + 5.7.9 + +(2n+1)(2n+3)(2n+5) ,n ≥ 1, n ∈ N. Ta tách: (2k+1)(2k+3)(2k+5)= (2k+1)(2k+3)(2k+5)[(2k+7) - (2k+1)] :8 = ((2k+1)(2k+3)(2k+5)(2k+7) - (2k-1)(2k+1)(2k+3) (2k+5)):8 (4) Để tính D ta thay k từ :1, 2,3,,,n vào biểu thức (4) ta tính dễ dàng b) Mỗi đơn thức ở dạng lũy thừa: Khi gặp dạng tính tổng mà các số hạng dạng luỹ thừa thì ta không thể sai phân từng số hạng ,nên ta có thể dùng các phương pháp sau: b 1 ) Dùng hằng đẳng thức: Ví Dụ: Tính E = 1 2 + 2 2 + + n 2 , n ∈ N.n ≥ 1 Ta dùng hằng đẳng thức : (x+1) 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1. x = 1 2 3 = 1 3 …+ 3.1 2 + 3.1 + 1 x = 2 3 3 = 2 3 .+ 3.2 2 + 3.2 + 1 x = n (n+1) 3 = n 2 + 3.n 2 + 3.n + 1 (n+1) 3 -1 3 = 3(1 2 + 2 2 + + n2) + 3( 1+ 2 + 3 + n) + n n 3 + 3n 2 + 3n = 3E + 3. ( 1) 2 n n n + + 3E = n 3 + 3n 2 + 3n -( 3. ( 1) 2 n n n + + ) = 3 2 2 3 2 n n n + + ( 1)(2 1) E = 6 n n n + + Ghi chú: Tương tự ta dùng hằng đẳng thức (x+1) 4 ,(x+1) 5 …. cho các tổng các số tự nhiên luỹ thừa 3,4… b 2 / Dùng pt sai phân bậc nhất không thuần nhất: Đây là dạng khi dạy giải toán bằng máy tính casio ta thường gặp tìm số hạng tổng quát u n Vd: Tính: E = 1 2 + 2 2 + + n 2 , , n ∈ N.n ≥ 1 Ta đưa về dạng phương trình : x n+1 = x n + (n+1) 2 (1) Ta có pt đặc trựng 1 0 1 λ λ − = ⇒ = Pt tổng quát có nghiệm : x n = 2 ( )c n an bn c λ + + + Trong đó x n * = 2 ( )n an bn c+ + thay vào (1) 2 ( 1) ( 1) ( 1)n a n b n c   + + + + + −   2 ( )n an bn c+ + = (n+1) 2 (1) PP đồng nhất thức: Ta tìm được a=1/3 ,b=1/2 ,c=1/6 Vậy : 3 2 1 1 1 = C + 3 2 6 n x n n n+ + Nếu cho trước x 0 ta có 0 0 c c = x x λ = ⇒ Nếu 0 0 0n x= ⇒ = nên ( 1)(2 1) E = 6 n n n + + b 3 / Dùng đa thức : Vd: Tính: E = 1 2 + 2 2 + + n 2 , , n ∈ N.n ≥ 1 Ta gọi f(x) - f(x-1) = x 2 Ta có: (1)f 2 (0) 1f− = (2)f (1)f− 2 2= − = 2 ( ) ( 1)f n f n n − − = Suy ra: ( ) (0) Ef n f− = E là đa thức bậc 2 nên f(x) là đa thức bậc 3 f(x) = 3 2 ax bx cx d + + + Ta có: 3 2 3 2 2 ( 1) ( 1) ( 1)a x b x c x d ax bx cx d x   − − + − + − + + + + + =   3 ax 2 bx + cx + 3 d ax + − 2 2 3 3ax ax a bx − + − + 2bx b cx − − + 2 ( 1)c d x d x   − + − + =   [ ] 2 2 3 2 3ax b a x a b c d x + − + + + + = 3 2 1 3 1 a = 3 1 1 1 1 2b - 3a = 0 b = ( ) 2 3 2 6 1 a + b + c + d = 0 c = 6 a f x x x x  =    ⇒ = + +      Suy ra : f(n)-f(0)= (2n 3 +2n 2 +n) :6 ( 1)(2 1) E = 6 n n n + + Với lũy thừa dạng mũ cao, ta dùng phương pháp này không thuận lợi. Ta dùng phương pháp có thể đưa về cấp số nhân: b 4 ) Đưa về dạng cấp số nhân: Ví dụ: F = x 1 + 2x 2 + 3x 3 + … + nx n , n ∈ N, n ≥ 1 Ta có Fx = x 2 + 2x 3 + 3x 4 +…+ nx n+1 . Fx – F = -x – x 2 – x 3 - … - x n + nx n+1 . F(x-1) = nx n+1 - x 1 1 n x x − − . (x - 1) 2 F = n(x) n+1 [x-1] – x n+1 + x = nx.x n+1 – nx n+1 – x n+1 + x = x[nx n+1 – (n+1)x n + 1]. F = 2 ( 1) x x − [nx n+1 – (n+1)x n + 1] Ghi chú: Trên đây là một số dạng cơ bản, khi làm toán ta phải biết biến đổi linh hoạt để đưa về dạng cơ bản.Sau đây là một số ví dụ để ta đưa về các dạng cơ bản như sau: Ví Dụ: 1/ S = 4 1 1.3 + 4 2 3.5 + … + 4 (2 1).(2 1) n n n − + 16S = 4 1 16 (2 1)(2 1) n k k k k = − + ∑ = 4 2 1 16 1 1 4 1 n k k k = − + − ∑ = 2 1 1 1 1 (4 1) ( ) 2 2 1 2 1 n n k k k k k = = + + − − + ∑ ∑ 2/ Tính P = 1 1x + + 2 2 1x + + … + 2 2 1 n n x + ( dùng HĐT sai phân) Ta có : 1 1x + = 1 1x − - 2 2 1x − 2 2 1x + = 2 2 1x − - 4 4 1x − … 3/ S = 1 + 3 2 + 5 4 + … + 1 2 1 2 n n − − + 2 1 2 n n + Q = 1 - 3 2 + 5 4 - … + (-1) n-1 . 1 2 1 2 n n − − Có thể gọi S= 1 + 3x + 5x 2 + … +(2n-1)x n-1 = 1 1 (2 1) n k k k x − = − ∑ = 2 1 1 1 1 n n k k k k kx x − − = = − ∑ ∑ 2 2 ( 1) ( 1)( 1) ( 1) n n nx x x x x − − + − = − (ta thay x = 1 2 ) Tương tự: Q 1 1 2 ( 1) (6 1) 9.2 n n n n + − + − + = (ta thay x = - 1 2 ) Cách 2: Ta có thể sai phân: 2 1 2 n n + = 1 2 2 n n − + - 3 2 n n + . Chuyên đề : Các Phương Pháp sai phân hữu hạn Mục lục: A /Các phương pháp sai phân hữu hạn : 1/ Dạng tổng các phân số 2/Dạng tích các phân số 3/ Dạng tổng các đa thức: +Mỗi đơn thức. tạo để đưa vầ các dạng cơ bản Nội Dung chuyên đề: I) Các phương pháp sai phân hữu hạn: 1) Dạng tổng các phân số. Ví Dụ: A = 1 2.3 + 1 3.4 + + 1 ( 1)n n + , n ≥ 2, n ∈ N Ta phân tích : 1 (. đơn thức ở dạng lũy thừa: Khi gặp dạng tính tổng mà các số hạng dạng luỹ thừa thì ta không thể sai phân từng số hạng ,nên ta có thể dùng các phương pháp sau: b 1 ) Dùng hằng đẳng thức: Ví