Mục lục Lời nói đầu iii Các ký hiệu khái niệm vii Bài tập Số thực 1.1 1.2 Cận cận d-ới tập số thực Liên phân số Mét sè bất đẳng thức sơ cấp 11 D·y sè thùc 19 2.1 2.2 Giíi h¹n TÝnh chÊt cđa d·y héi tơ 30 2.3 Định lý Toeplitz, định lý Stolz ứng dụng 2.4 Điểm giới hạn Giới hạn giới hạn d-ới 42 2.5 DÃy đơn điệu 23 Các toán hỗn hợp 48 Chuỗi số thực 37 63 3.1 Tỉng cđa chuỗi 67 3.2 Chuỗi d-ơng 75 3.3 DÊu hiÖu tÝch ph©n 90 3.4 Héi tơ tut đối Định lý Leibniz 93 3.5 Tiêu chuẩn Dirichlet tiêu chuẩn Abel 99 i ii Mơc lơc 3.6 TÝch Cauchy cđa c¸c chuỗi vô hạn 102 3.7 S¾p xếp lại chuỗi Chuỗi kép 104 3.8 Tích vô hạn 111 Lêi gi¶i Sè thực 121 1.1 1.2 Cận cận d-ới tập số thực Liên phân số 121 Một số bất đẳng thức sơ cấp 131 D·y sè thùc 145 2.1 2.2 Giíi h¹n TÝnh chÊt cđa d·y héi tơ 156 2.3 Định lý Toeplitz, định lÝ Stolz vµ øng dơng 173 2.4 Điểm giới hạn Giới hạn giới hạn d-ới 181 2.5 DÃy đơn ®iÖu 145 Các toán hỗn hợp 199 Chuỗi số thực 231 3.1 Tổng chuỗi 231 3.2 Chuỗi d-ơng 253 3.3 DÊu hiƯu tÝch ph©n 285 3.4 Hội tụ tuyệt đối Định lý Leibniz 291 3.5 Tiêu chuẩn Dirichlet tiêu chuẩn Abel 304 3.6 Tích Cauchy chuỗi vô hạn 3.7 Sắp xếp lại chuỗi Chuỗi kép 321 3.8 TÝch vô hạn 338 Tài liệu tham khảo 313 354 Lời nói đầu Bạn có tay tập I sách tập giải tích (theo chúng tôi) hay giới Tr-ớc đây, hầu hết ng-ời làm toán Việt Nam th-ờng sử dơng hai cn s¸ch nỉi tiÕng sau (b»ng tiÕng Nga đà đ-ợc dịch tiếng Việt): "Bài tập giải tích toán học" Demidovich (B P Demidovich; 1969, Sbornik Zadach i Uprazhnenii po Matematicheskomu Analizu, Izdatelp1stvo "Nauka", Moskva) "Giải tích toán học, ví dụ bµi tËp" cđa Ljaszko, Bojachuk, Gai, Golovach (I I Lyashko, A K Boyachuk, YA G Gai, G P Golobach; 1975, Matematicheski Analiz v Primerakh i Zadachakh, Tom 1, 2, Izdatelp1stvo Vishaya Shkola) để giảng dạy học giải tích Cần chó ý r»ng, cn thø nhÊt chØ cã bµi tËp đáp số Cuốn thứ hai cho lời giải chi tiết phần lớn tập thứ số toán khác Lần chọn sách (bằng tiếng Ba Lan đà đ-ợc dịch tiếng Anh): "Bài tập giải tích Tập I: Số thực, DÃy số Chuỗi số" (W J Kaczkor, M T Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Czesc Pierwsza, Liczby Rzeczywiste, Ciagi i Szeregi Liczbowe, Wydawnictwo Universytetu Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1996), "Bài tập giải tích Tập II: Liên tục Vi phân " (W J Kaczkor, M T Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Czesc Druga, Funkcje iii iv Lời nói đầu Jednej Zmiennej{Rachunek Rozniczowy, Wydawnictwo Universytetu Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1998) để biên dịch nhằm cung cấp thêm tài liệu tốt giúp bạn đọc học dạy giải tích Khi biên dịch, đà tham khảo tiếng Anh: 3* W J Kaczkor, M T Nowak, Problems in Mathematical Analysis I, Real Numbers, Sequences and Series, AMS, 2000 4* W J Kaczkor, M T Nowak, Problems in Mathematical Analysis II, Continuity and Differentiation, AMS, 2001 Sách có -u điểm sau: ã Các tập đ-ợc xắp xếp từ dễ khó có nhiều tập hay ã Lời giải đầy đủ chi tiết ã Kết hợp đ-ợc ý t-ởng hay toán học sơ cấp toán học đại Nhiều tập đựơc lấy từ tạp chí tiếng nh-, American Mathematical Monthly (tiÕng Anh), Mathematics Today (tiÕng Nga), Delta (tiÕng Balan) V× thế, sách dùng làm tài liệu cho học sinh phổ thông lớp chuyên nh- cho sinh viên đại học ngành toán Các kiến thức để giải tập sách tìm Nguyễn Duy Tiến, Bài Giảng Giải Tích, Tập I, NXB Đại Học Quốc Gia Hµ Néi, 2000 W Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw -Hil Book Company, New York, 1964 Tuy vËy, tr-ớc ch-ơng trình bày tóm tắt lý thuyết để giúp bạn đọc nhớ lại kiến thức cần thiết giải tập ch-ơng t-ơng ứng Tập I II sách bàn đến hàm số biến số (trừ phần không gian metric tập II) Kaczkor, Nowak viết Bài Tập Giải Tích cho hàm nhiều biến phép tính tích phân Chúng biên dịch tập II, tới xuất Lời nói đầu v Chúng biết ơn : - Giáo s- Phạm Xuân Yêm (Pháp) đà gửi cho gốc tiếng Anh tập I sách này, - Giáo s- Nguyễn Hữu Việt H-ng (Việt Nam) đà gửi cho gốc tiếng Anh tập II sách này, - Giáo s- Spencer Shaw (Mỹ) đà gửi cho gốc tiếng Anh sách tiếng W Rudin (nói trên), xuất lần thứ ba, 1976, - TS D-ơng Tất Thắng đà cổ vũ tạo điều kiện để biên dịch sách Chúng chân thành cám ơn tập thể sinh viên Toán - Lý K5 Hệ Đào Tạo Cử Nhân Khoa Học Tài Năng, Tr-ờng ĐHKHTN, ĐHQGHN, đà đọc kỹ thảo sửa nhiều lỗi chế đánh máy Chúng hy vọng sách đ-ợc đông đảo bạn đọc đón nhận góp nhiều ý kiến quí báu phần biên dịch trình bày Rất mong nhận đ-ợc giáo quý vị bạn đọc, ý kiến góp ý xin gửi về: Chi đoàn cán bộ, Khoa Toán Cơ Tin học, tr-ờng Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, 334 Nguyễn TrÃi, Thanh Xuân, Hà Nội Xin chân thành cảm ơn Hà Nội, Xuân 2002 Nhóm biên dịch Đoàn Chi Các ký hiệu khái niệm ã R - tập số thực ã R+ - tập số thực d-ơng ã Z - tập số nguyên ã N - tập số nguyên d-ơng hay số tự nhiên ã Q - tập số hữu tỷ ã (a, b) - khoảng mở có hai đầu mút a b ã [a, b] - đoạn (khoảng đóng) có hai đầu mút a b ã [x] - phần nguyên số thực x ã Với x R, hàm dấu cđa x lµ  1  sgn x = −1   víi víi víi x > 0, x < 0, x = • Víi x ∈ N, n! = · · · · n, (2n)!! = · · · · (2n − 2) · (2n), (2n − 1)!! = · · · · (2n − 3) · (2n − 1) • Ký hiƯu n = k thøc Newton n! , k!(n−k)! n, k ∈ N, n k, hệ số khai triển nhị vii viii Các ký hiệu khái niệm ã Nếu A R khác rỗng bị chặn ta ký hiệu sup A cận nó, không bị chặn ta quy -íc r»ng sup A = +∞ • NÕu A ⊂ R khác rỗng bị chặn d-ới ta ký hiệu inf A cận d-ới nó, không bị chặn d-ới ta quy -ớc inf A = ã DÃy {an } số thực đ-ợc gọi đơn điệu tăng (t-ơng ứng đơn điệu giảm) an+1 an (t-ơng ứng an+1 ≤ an ) víi mäi n ∈ N Líp c¸c dÃy đơn điệu chứa dÃy tăng giảm ã Số thực c đ-ợc gọi điểm giới hạn d·y {an } nÕu tån t¹i mét d·y {ank } cđa {an } héi tơ vỊ c • Cho S tập điểm tụ dÃy {an } Cận d-ới cận dÃy , ký hiệu lần l-ợt lim an lim an đ-ợc xác định n n nh- sau + lim an = −∞ n→∞   sup S  −∞  lim an = +∞  n→∞  inf S {an } không bị chặn trên, {an } bị chặn S = , {an } bị chặn S = , {an } không bị chặn d-ới, {an } bị chặn d-ới S = , {an } bị chặn d-íi vµ S = ∅, ∞ an héi tơ nÕu tån t¹i n0 ∈ N cho an = với ã Tích vô hạn n=1 n n0 d·y {an0 an0 +1 · · an0 +n } héi tơ n → ∞ tíi mét giíi h¹n P0 = Sè P = an0 an0 +1 · à an0 +n à P0 đ-ợc gọi giá trị tích vô hạn ã Trong phần lớn sách toán n-ớc ta từ tr-ớc đến nay, hàm tang côtang nh- hàm ng-ợc chúng đ-ợc ký hiệu tg x, cotg x, arctg x, arccotg x theo c¸ch ký hiƯu cđa c¸c s¸ch có nguồn gốc từ Pháp Nga, nhiên sách toán Mỹ phần lớn n-ớc châu Âu, chúng đ-ợc ký hiệu t-ơng tự tan x, cot x, arctan x, arccot x Trong cuèn s¸ch sử dụng ký hiệu để bạn đọc làm quen với ký hiệu đà đ-ợc chuẩn hoá giới Bài tập 3.8 Tích vô hạn 343 3.8.8 Kết đ-ợc suy tõ 3.8.7 3.8.9 Sư dơng 3.8.7 va 3.8.8 3.8.10 Sư dụng đẳng thức lim n | ln(1 + an ) − an + a2 | n = |an | tiến hành nh- cách giải 3.8.7 3.8.11 Không Thật vậy, sử dụng kết tr-ớc ta thấy tích đ-ợc nêu phần gợi ý hội tụ > Mặt khác chuỗi + 1 + 2α α 2 − + 3α 1 + 2α α 3 − + 4α vµ − 2α 1 + 2α α 2 + cïng héi tô + − 3α + 1 + 2α α 3 + − 4α + α ≤ 3.8.12 Chó ý r»ng nÕu lim an = th× n→∞ | ln(1 + an ) − an + a2 − a3 + + n n lim n→∞ |an |k+1 (−1)k k an | k = k+1 3.8.13 Sư dơng c«ng thøc Taylor ln(1 + an ) = an − ®ã a2 = an − Θn a2 , n 2(1 + θn )2 n < Θn < nÕu |an | < Do với n1 , n2 đủ lớn n1 < n2 th× n2 n2 ln(1 + an ) = n=n1 n2 a2 , ®ã Θ ∈ n −Θ n=n1 n=n1 ∞ an héi tơ theo tiªu chuẩn Cauchy Từ suy chuỗi n=1 ,2 344 Ch-ơng Chuỗi số thực 3.8.14 Nếu tích (1+an) n=1 (1a2 ) n (1−an) cïng héi tơ th× tÝch n=1 n=1 a2 hội tụ Điều phải chứng minh đ-ợc suy n hội tụ Từ suy chuỗi n=1 từ tập 3.8.15 Có, dÃy {an } đơn điệu giảm nên ta viết đ-ợc an = + n {n } dÃy đơn điệu giảm dần Sự hội tụ tích xét t-ơng đ-ơng với hội tụ chuỗi (1)n1 ln(1 + n ) n=1 Rõ ràng chuỗi xét hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz chuỗi đan dấu 3.8.16 (a) V× lim (an + bn ) = + = nên tích xét không thoả mÃn điều n→∞ kiƯn cÇn cđa tÝnh héi tơ ∞ ∞ a2 đ-ợc suy từ hội tụ chuỗi n (b) TÝnh héi tơ cđa tÝch n=1 ln a2 n n=1 (c), (d) Sù héi tơ cđa c¸c tÝch đ-ợc suy từ hội tụ chuỗi ∞ ∞ ∞ ln(an bn ) = n=1 vµ ln an + ln bn n=1 ∞ ln( n=1 an )= bn n=1 ∞ ∞ ln an − n=1 ln bn n=1 x2 hôi tụ , lim xn = 0, tÝnh héi tơ cđa n 3.8.17 Gi¶ sử ta có chuỗi n n=1 hai tích vô hạn đ-ợc suy từ 3.8.4 từ đẳng thức 1 − cos xn = , n→∞ x2 n lim vµ lim n→∞ sin xn xn x2 n 1− Bây giả thiết hai tích hội tụ, x2 đ-ợc suy từ đẳng thức kể n tụ n=1 = lim xn = vµ tÝnh héi n→∞ 3.8 Tích vô hạn 345 3.8.18 Chú ý n 1+ a1 k=2 ak Sk−1 n = a1 Sk = Sn Sk−1 k=2 3.8.19 Xem bµi tËp 3.1.9 3.8.20 Xem tập 3.1.9 3.8.21 Sử dụng tập víi an = xn ∞ 3.8.22 Gi¶ sư r»ng tÝch n Pn = an héi tơ, tøc lµ lim Pn = P = 0, ®ã n→∞ n=1 ak Từ điều ta suy tồn sè α > cho |Pn | > α víi k=1 n ∈ N D·y héi tơ {Pn } dÃy Cauchy, với > tån t¹i sè tù n0 cho |Pn+k − Pn−1 | < εα víi n > n0 vµ k N Thế nhiên Pn+k , < Pn−1 |Pn−1 | Gi¶ thiÕt r»ng víi mäi (∗) víi víi n ≥ n0 ε > tån số tự nhiên n0 cho |an an+1 à · an+k − 1| < ε n ≥ n0 vµ k ∈ N Chon ε = ta cã Pn−1 < < P n0 (∗∗) Trong (∗) thay ε b»ng 2ε 3|Pn0 n > n0 ta tìm đ-ợc số tự nhiên Pn+k 2ε −1 < Pn−1 3|Pn0 | Do ®ã víi víi víi n1 cho n ≥ n1 , k ∈ N n > max{n0 , n1 } ta đ-ợc |Pn+k Pn1 | < Điều có nghĩa dÃy hạn khác Pn1 < P n0 {Pn } dÃy Cauchy, từ () ta suy giới 346 Ch-ơng Chuỗi số thùc 3.8.23 Ta cã 2n 2n 2n (1 + xk ) = k=1 k=1 − x2k = − xk (1 − x2k ) k=1 2n (1 − xk ) k=1 2n 2n = (1 − x2k ) k=1 n = n (1 − x2k ) k=1 (1 − x2k−1) k=1 (1 − x2k ) k=n+1 n (1 − x2k−1 ) k=1 Sư dơng tiªu chn Cauchy (xem 3.8.22) ta suy điều phải chứng minh 3.8.24 Đây hệ 3.8.3 3.8.25 Chú ý r»ng víi a1, a2, , an ∈ R th× |(1 + a1)(1 + a2 ) (1 + an ) − 1| ≤ (1 + |a1|)(1 + |a2|) (1 + |an |) sử dụng tiêu chuẩn Cauchy (xem 3.8.22) 3.8.26 Đặt Pn = (1 + a1)(1 + a2 ) (1 + an ), n ∈ N ThÕ th× Pn − Pn−1 = Pn−1 an vµ Pn = P1 + (P2 − P1 ) + + (Pn − Pn−1 ) = P1 + P1 a2 + P2 a3 + Pn−1 an Cho nªn Pn = (1 + a1) + a2(1 + a1) + a3(1 + a1)(1 + a2) + + an (1 + a1)(1 + a2) (1 + an1 ), t-ơng ứng Pn = (1 + a1 ) + (a2 + a1a2 ) + (a3 + a1a3 + a2a3 + a1 a2a3) + + (an + a1an + a2an + an−1an + + an−2 an−1 an + + a1 a2 an−1an ∞ (1 + an ) ta kÐo theo sù héi tơ tut ®èi cđa Chó ý r»ng tõ hội tụ tích chuỗi + a1 + n=1 an (1 + a1)(1 + a2) (1 + an1 ) Chuỗi tạo thành từ n=2 3.8 Tích vô hạn 347 việc xếp chuỗi kép có số hạng thuộc ma trận vô hạn a2 a3 a4 a1  a1a2 a1a3 a2a3 a1 a4    a1 a2a3 a1a2 a4 a1 a3a4 a2a3a4   Tõ 3.7.18 ta suy chuỗi kép hội tụ tuyệt đối từ 3.7.22 ta đ-ợc chuỗi lặp xét hội tụ, từ chứng minh đ-ợc đẳng thức đề ∞ ∞ 3.8.27 Tõ sù héi tơ tut ®èi cđa chuỗi an ta suy chuỗi n=1 tuyệt mäi minh an x héi tô n=1 x ∈ R Sử dụng kết ta suy điều ph¶i chøng ∞ (1 + q n x) héi tơ tuyệt 3.8.28 Hiển nhiên với |q| < x R tích n=1 đối Trong chọn an = q n ta đ-ợc hàm f (x) = (1 + q n x) = n=1 + A1x + A2x2 + B©y giê chó ý r»ng f (x) = (1 + qx)f(qx) đồng hệ số ta đ-ợc A1 = q 1q An = An1 qn − qn n = 2, víi Cuèi ta đ-ợc (sử dụng quy nạp) n(n+1) q An = (1 − q)(1 − q 2) · · (1 − q n ) ∞ (1 + q 2n−1x) vµ chó ý r»ng (1 + qx)f (q 2x) = f(x) 3.8.29 Đặt f(x) = n=1 ta biƯn ln nh- ë c©u 3.8.28 3.8.30 Ta cã ∞ an (1 + an x) + x n=1 ∞ = 1+ ∞ Ak x k=1 ∞ Ak =1+ k=1 k 1+ k=1 x + k x k Ak xk ∞ ∞ + Ak x k=1 k k=1 Ak xk 348 Ch-ơng Chuỗi số thực ∞ ∞ Ak xk vµ Tõ sù héi tơ tut ®èi cña k=1 k=1 Ak xk ta suy sù hội tụ tích Cauchy chúng (xem giải 3.6.1) Chú ý tích Cauchy tạo thành chuỗi kép t-ơng ứng với ma trận vô hạn  A2A2 A3A3 A1 A1 1  A2A1 x + A3 A2 x + x A4A3 x + x  x   1 2 A3A1 x + A4A2 x + A5 A3 x +  x x x  Do ®ã tõ 3.7.18 vµ 3.7.22 ta suy ∞ ∞ Ak x k k=1 k=1 x+ x Ak = (A1 A1 + A2A2 + A3A3 + ) + (A2A1 + A3A2 + ) xk + (A3A1 + A4A2 + ) x2 + x2 + 3.8.31 [4] Tõ 3.8.30 ta cã ∞ (1 + q 2n−1 x) + n=1 ∞ q 2n−1 x Bn xn + = B0 + n=1 xn Đặt (1 + q 2n1x) + F (x) = n=1 sử dụng đẳng thức q 2n−1 x qxF (q 2x) = F (x) ta ®-ỵc B1 = B0 q, Bn = Bn−1 q 2n−1 , sư dơng quy n¹p suy Bn = B0 q n , n = 1, 2, Khi ®ã ∞ F (x) = B0 qn 1+ xn + n=1 xn n Để xác định B0 ta sử dụng kết 3.8.29 3.8.30 Đặt Pn = k=1 ∞ vµ (1 − q 2k ) 2n P = (1 − q ), thÕ th× n=1 B0 q n2 qn q (n+1) +1 = Bn = An + A1 An+1 + = + + , Pn Pn Pn+1 3.8 Tích vô hạn 349 ta ®-ỵc q 2n q 4n + + P2 P Pn B0 − < Cho n → ∞ ta ®-ỵc B0 = P 3.8.32 Sư dơng kÕt 3.8.30 với (a) x = (b) x = (c) x = q 3.8.33 Chó ý r»ng víi n > ta cã n−1 an = V× thÕ n Sn = k=1 k=1 x−k − x+k + ak = 1+x n k=2 n k=1 x−k x+k 1 ak = − 2 n k=1 x−k x+k NÕu x lµ mét sè nguyên d-ơng với n đủ lớn ta có Sn = minh r»ng víi x = 1, 2, th× lim Sn = b»ng c¸ch nhËn n→∞ lín th× x−k x+k =1− 2x x+k Ta phải chứng xét với k đủ Do sử dụng kết 3.8.4 n lim n k=1 xk = x+k ta đ-ợc điều phải chứng minh ∞ 3.8.34 Gi¶ thiÕt r»ng (1 + can ) héi tơ víi c = c0 vµ c = c1 mµ c0 = c1 n=1 Khi tích (1 + c1 an ) n=1 c0 c1 ∞ vµ c0 (1 + c1 an ) c1 + c0 an n=1 hội tụ Hơn c0 c0 (c0 − c1) (1 + c1 an ) c1 an (1 + εn ), =1+ + c0 an 350 Ch-ơng Chuỗi số thực n a2 n → n → ∞ Do ®ã sử dụng 3.8.3 3.8.4 ta suy chuỗi an hội tụ Thêm sử dụng kết 3.8.13 ta đ-ợc chuỗi n=1 n=1 hội tụ Từ suy với (can )2 chuỗi c R hai chuỗi n=1 can hội tụ Ta suy điều phải chứng minh tõ bµi 3.8.7 n=1 ∞ n 3.8.35 Râ rµng chuỗi (x2 k ) hội tụ tới với x số nguyên an n=1 k=0 x0 không nguyên d-ơng Với x R ta d-ơng Giả sử hội tụ tới giá trị xét dÃy {bn } mµ n bn = (x2 − k ) k=0 n (x2 − k ) k=0 Khi ®ã n n x2 − x2 x2 − k 1+ bn = = x2 − k k=0 x0 − k k=0 Tõ suy số dÃy đơn điệu Hơn tích n k=0 x2 −k x2 −k héi tô nên dÃy {bn } bị chặn, ta có n ∞ an n=1 n ∞ 2 (x − k ) = n=1 k=0 (x2 − k )bn an k=0 Theo tiêu chuẩn Abel chuỗi xét hội tơ víi mäi x ∈ R 3.8.36 (a) Ta cã 1− x pn Nh©n n −1 =1+ k=1 pkx n N đẳng thức đầu lại với ®-ỵc N (i) n=1 1− x pn ∞ −1 =1+ k=1 = kx pN k=1 + kx k=pN +1 , kx 3.8 Tích vô hạn 351 ký hiệu tổng số tự nhiên có -ớc số số nguyªn tè p1 , p2 , N 0< n=1 ., pN Khi ®ã pN −1 1− x pn − k=1 ∞ = k x k=p N ∞ < k x k=p +1 N kx +1 ∞ V× x N →∞ k=p +1 k N lim = ta đ-ợc 1 x pn n=1 ∞ −1 = n=1 nx (b) Tõ (i) phÇn (a) ta suy N 1− n=1 px n pN −1 > k=1 k Từ phân kỳ chuỗi n=1 1− n=1 ∞ n=1 pn pn n ta suy tích phân kỳ 0, tức t-ơng đ-ơng với phân kỳ tích (xem 3.8.4) 3.8.37 [18] (a) Dïng c«ng thøc De Moivre m = 2n + ta cã cos mt + i sin mt = (cos t + i sin t)m cho sin(2n + 1)t = (2n + 1) cos2n t sin t − 2n + cos2n−2 t sin3 t + + (1)n sin2n+1 t Hay ta viết đ-ợc thµnh (1) sin(2n + 1)t = sin tW (sin2 t), W (u) đa thức bậc n Vì hàm vế trái đẳng thức k điểm tk = 2n+1 , k = 1, 2, , n thuộc vào khoảng 0, ta 352 Ch-ơng Chuỗi số thực suy đa thức ta có W (u) điểm uk = sin2 tk , k = 1, 2, , n, n 1− W (u) = A k=1 u sin2 tk Do vËy sư dơng (1) ta ®-ỵc n (2) 1− sin(2n + 1)t = A sin t k=1 sin2 t kπ sin2 2n+1 A Ta cã A = lim sin(2n+1)t = 2n + 1, thay giá trị A sin t t0 x vào (2) chọn t = 2n+1 ta đ-ợc Ta cần phải t×m n sin2 x 1− sin x = (2n + 1) sin 2n + k=1 sin2 (3) §èi víi x R m N cho tr-íc cho n lín h¬n m, theo (3) ta ®-ỵc (4) x 2n+1 kπ 2n+1 |x| < (m + 1)π ta lÊy sin x = Pm,n Qm,n , ®ã Pm,n x = (2n + 1) sin 2n + n 1− Qm,n = k=m+1 Cho m 1− k=1 sin2 x 2n+1 kπ sin2 2n+1 sin2 x 2n+1 k sin2 2n+1 , n đ-ợc m (5) 1− lim Pm,n = x n→∞ Tõ (4) víi k=1 x2 k22 x = k ta đ-ợc lim Qm,n = Qm Để đánh giá Qm ta ý n từ giả thiết trên, 0< k nπ π |x| < ≤ < , 2n + 2n + 2n + víi k = m + 1, , n 3.8 Tích vô hạn 353 Sử dụng bất đẳng thức u n 1− k=m+1 x2 4k < sin u < u, < u < π , ta thÊy r»ng ∞ < Qm,n < V× tÝch 1− n=1 n 1− k=m+1 x2 4k x2 4n2 héi tô ta cã ≤ Qm,n ≤ Tõ ®ã suy (6) lim Qm = m Cuối đẳng thức cần tìm đ-ợc suy từ (b) Sử dụng (a) vµ chó ý r»ng 3.8.38 Thay x = π (4), (5) vµ (6) sin 2x = sin x cos x biĨu thøc nªu 3.8.37(a) 3.8.39 (a) Sự hội tụ tích đ-ợc xét t-ơng đ-ơng với hội tụ chuỗi ln + n=1 x x − , n n cßn sù héi tụ tuyệt đối chuỗi đ-ợc suy từ đẳng thức lim ln + x2 n2 n→∞ (b) Ta cã 1+ n x 1+ n x n x =1+ − x n = x(x − 1) +o 2n2 n2 Tõ 3.8.3 ta suy tích hội tụ tuyệt đối 3.8.40 Rõ ràng tích (1 + an ), an > −1 héi tô chuỗi n=1 ln(1 + an ) hội tụ Hơn P giá trị tích S tổng chuỗi n=1 P = eS 354 Tài liệu tham khảo Giả sử tích hội tụ tuyệt đối, từ đẳng thức | ln(1 + an )| = 1, n→∞ |an | (1) lim (v× lim an = 0) n→∞ ∞ ln(1 + an ) hội tụ tuyệt đối Hiển nhiên ( từ 3.7.8) ts có thay chuỗi n=1 đổi chuỗi hội tụ tổng Cuối sử dụng ý từ đầu chứng minh ta suy thay đổi phần tử tích không làm thay đổi giá trị tích (1 + an) không phụ thuộc vào trật Bây giả thiết giá trị tích n=1 ln(1+an ) tự từ nhân tử tích, điều có nghĩa tổng chuỗi n=1 độc lập với trật tự số hạng Sử dụng định lý Riemann ta suy ∞ |1 + an | héi tụ, ta có chuỗi hội tụ tuyệt đối, tức từ (1) ta suy chuỗi n=1 điều phải chứng minh 3.8.41 [20] Đặt Rn = 1− 1+ · · · · 2n+1 2n = (2n+1)!! (2n)!! Ta cã 1 + = Rα , 2α 1 1− − = 2β + Rβ 1+ ThÕ th× tÝch riêng thứ + tích xét b»ng Rnα Sư dơng c«ng thøc Rnβ Wallis (xem 3.8.38) ta đ-ợc (2n + 1)!! = , n (2n)!! n lim từ ta đ-ợc Rnα = n→∞ Rnβ lim α β ∞ 3.8.42 NÕu tÝch ∞ (1 + an ) héi tô nh-ng không hội tụ tuyệt đối chuỗi n=1 ln(1 + an ) héi tơ cã ®iỊu kiƯn (xem 3.8.40) Tõ định lý Riemann ta suy n=1 số hạng chuỗi lại để tạo thành chuỗi hội tụ có tổng số cho tr-ớc S phân kỳ (tới ) Điều phải chứng minh đ-ợc suy từ biểu thức P = eS (xem 3.8.40) Tài liệu tham khảo [1] J Banas, S Wedrychowicz, Zbiãr zadan z analizy dawnictwa Naukowo - Techniczne, Warszawa,1994 matematycznej, Win- [2] W I Bernuk, I K Zuk, O W Melnikov, Sbornik po matematike, Narodnaja Asveta, Minsk , 1980 olimpiadnych zadac [3] P Biler, A Witkowski, Problems in Dekker, Inc, New York and Base, 1990 [4] T J Bromwich, An Introduction to lan and Co., ltd., London ,1949 Mathematical Analysis, Marcel the Theory of Infinte Series, Macmil- [5] R B Burckel, An Introduction to Classical Press, New York and San Francisco, 1979 [6] B Demidovic, Sbornik Nauka, Moskva, 1969 Complex Analysis, Academic zadac i upraznenij po matemaiceskomu analizu, [7] A J Dorogovcev, Skola, Kiev, 1985 Matematiceskij analiz Spravocnoe posobe, Vyscaja [8] A J Dorogovcev, Kiev, 1987 Matematiceskij analiz Sbornik zadac, Vyscaja Skola, [9] G M Fichtenholz, Differential - und Integralrechnung, Deutscher Verlag Wiss , Berlin, 1966-1968 [10] G H Hardy, A Course Cambirige, 1946 I,II,III, V.E.B of Pure Mathematics , Cambrige University Press, [11] G H Hardy, J E Littlewood, G.Polya, Press, Cambirige, 1967 355 Inequalities , Cambrige University 356 Tài liệu tham khảo [12] G Klambauer, 1975 Mathematical Analysis, Marcel Dekker, Inc., New York, [13] G Klambauer, Problems and Propositions Inc., New York and Basel, 1979 [14] K Knopp, Theorie und Anwendung der Verlag, Berlin and Heidelberg, 1947 in Analysis, Marcel Dekker, Unendhichen Reihen, Springer- [15] L D Kudriavtsev, A D Kutasov, V I Chejlov, M I Shabunin, Problems de Ana Matematico Limite, Continuidad, Derivabilidad, Mir, Moskva, 1989 [16] K Kuratowski, Introduction to Calculus, Pergamon Press, Oxford - Eidenburg - New York, Polish Scientific Publishers, Warsaw, 1969 [17] D S Mitrinovic, 1964 Elemetary Inequalities, P Noordhoff Ltd., Gronigen, Nizovi i Redovi Definicije, stavovi zadaci, problemi (Serbo - Croatian), Naucna Knijga, Belgrade, 1971 [18] D S Mitrinovic, D D Adamovic, Aufgabensammlung zur Infinitesimalrechnung, Band I: a Funktionen einer Variablen, Birkh•user Verlag, Basel und Stuttgart, [19] A Ostrowski, 1964 [20] G Polia, G Szeg•, Problems and theorems in analysis I, Spriger - Verlag, o Berlin Heidelberg New York, 1978 [21] Ya I Rivikind, Minsk, 1973 Zadaci pr matematiceskomu analizu, Vysejsaja Skola, [22] W.I Rozhkov, V.D Kurdevanidze, N G Pafionov, Sbornik zadac matematiceskich olimpiad, Izdat Univ Druzhby Narodov, Maskva, 1987 [23] W Rudin, Principle of Mathematical Company, New York, 1964 [24] W A Sadownicij, A S Pdkolzin, matematike, Nauka, Moskva, 1978 Analysis, McGraw - Hill Book Zadaci studenceskich olimpiad po [25] W Sierpinski, Arytmetyka teoratyczna, PWN, Warszawa, 1959 [26] W Sierpinski, Dzialania nieskonczone, Czytelnik, Warszawa, 1948 Tµi liƯu tham kh¶o [27] H Silverman, 1975 357 Complex variables, Houghton Mifflin Company, Boston, [28] G A Tonojan, W N Sergeev, Universiteta, Erivan, 1985 Studencceskije oimpiady, Erevanskogo ... lim 2. 2.9 TÝnh lim n→∞ 1 + + + 1. 2. 3 2. 3.4 n.(n + 1) (n + 2) 2. 2 .10 TÝnh n k3 − n→∞ k3 + k =2 lim 2. 2 .11 TÝnh i n lim n→∞ i =1 j =1 j n3 2. 2 . 12 TÝnh lim n→∞ 1? ?? 2. 3 2. 2 .13 TÝnh n lim n→∞ 3.4 1? ??... - Schwarz 1. 2 Mét sè bÊt đẳng thức sơ cấp 1. 2 .13 Chứng minh n  ak 13 n + k =1 n a2 + b2 k k k =1 k =1 n a2 = k 1. 2 .14 Chøng minh r»ng nÕu n  bk k =1 ? ?1 b2 = th× k k =1 n ak bk k =1 1 .2 .15 Cho ak... a2 với điều kiÖn k k =1 ak = k =1 1 .2. 21 Cho p1 , p2 , , pn số d-ơng Tìm giá trị nhỏ tổng n n pk a2 víi ®iỊu kiƯn k k =1 ak = k =1 1 .2. 22 Chøng minh r»ng n n ak a2 + 2a1 a2 k (n − 1) k =1 k =1 1 .2. 23