Chương ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT  Không gian mẫu biến cố  Định nghĩa xác suất  Xác suất có điều kiện  Cơng thức nhân xác suất  Các biến cố độc lập  Công thức Bayes Khơng gian mẫu biến cố • Phép thử khái niệm không định nghĩa Ta hiểu phép thử thí nghiệm hay quan sát • Phép thử gọi ngẫu nhiên ta không dự báo trước kết xảy • Thường phép thử có nhiều kết khác • Tập hợp gồm tất kết phép thử gọi không gian mẫu phép thử ký hiệu S Không gian mẫu biến cố • Mỗi tập không gian mẫu gọi biến cố • Biến cố gồm kết gọi biến cố sơ cấp • Chú ý: Thông thường ta xem biến cố sơ cấp kết • Ký hiệu:  : biến cố sơ cấp S : Không gian mẫu A, B, C,…: biến cố Không gian mẫu biến cố Ví dụ : Gieo đồng tiền xu lần Xác định khơng gian mẫu Ví dụ : Gieo đồng tiền xu hai lần Xác định không gian mẫu Ví dụ : Gieo xúc xắc lần Gọi làBi kết “Mặt có i chấm” Xác định khơng gian mẫu Ví dụ : Gieo xúc xắc liên tiếp hai lần Xác định khơng gian mẫu Ví dụ : Gieo xúc xắc lần Gọi A biến cố “mặt xúc xắc có số chấm chẵn” Xác định A Khơng gian mẫu biến cố • Phép thử có khơng gian mẫu S biến cố A Biến cố A xảy có kết A xảy • S gọi biến cố chắn;  gọi biến cố khơng • Quan hệ kéo theo: A  B A  B • Quan hệ tương đương: A  B   B  A • Tổng, hiệu, tích: A  B,A  B,AB • Xung khắc: AB   • Đối lập: A  S  A, A  B  A.B, A.B  A  B Định nghĩa xác suất cổ điển Phép thử có khơng gian mẫu   1, 2 , mà biến cố sơ cấp đồng khả , n  Biến cố A gồm m số biến cố sơ cấp có xác suất m A P(A)   n  Số m gọi số trường hợp thuận lợi cho A Ví dụ : Gieo xúc xắc cân đối đồng chất Tính xác suất để: Mặt xúc xắc có chấm; Mặt xúc xắc có số chấm số chẵn Định nghĩa xác suất cổ điển Ví dụ : Một lớp học có 30 học sinh, có 10 nữ Chọn ngẫu nhiên người trực lớp Tính xác suất biến cố người chọn có người nữ Ví dụ : Một lơ hàng gồm 10 sản phẩm, có sản phẩm xấu a Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lô hàng Tính xác suất để lấy sản phẩm tốt b Lấy ngẫu nhiên, khơng hồn lại, sản phẩm từ lơ hàng Tính xác suất để sản phẩm lấy có sản phẩm tốt Định nghĩa xác suất hình học Độ đo: Ta gọi độ đo tập đường độ dài, mặt diện tích, khơng gian thể tích tập Quy ước: Trong mặt phẳng, tập nằm đường có độ đo 0; không gian, tập nằm mặt có độ đo Định nghĩa: Cho tập S, khác rỗng D tập S Gọi A biến cố “điểm M thuộc D” Ta định nghĩa m(D) P(A)  m(S) m(D) độ đo D Định nghĩa xác suất thống kê Giả sử ta thực n lần phép thử, biến cố A xuất k lần Ta gọi k fn (A)  n tần suất biến cố A n phép thử Ta định nghĩa P(A)  lim fn (A) n Ví dụ : Quan sát 10 000 em bé sinh, thấy có 5097 bé trai Gọi A biến cố em bé sinh trai Tính P(A) Cơng thức cộng xác suất P()  P()   P(A)  Công thức cộng xác suất Giả sử A B hai biến cố phép thử Ta có P(A  B)  P(A)  P(B)  P(AB) (1) Hệ quả: P(A  B)  P(A)  P(B),AB   P(A)   P(A) Khái quát cho (1) (2)! (2) Xác suất có điều kiện Ví dụ : Gieo xúc xắc cân đối đồng chất hai lần Gọi A biến cố “lần gieo đầu xuất mặt chấm”, B biến cố “tổng số chấm hai lần gieo không vượt 3”.Ta thấy S  (i, j) :  i, j  6 B  (1 ,1);(1 ,2);(2,1) A  (1 ,1);(1 ,2);(1 ,3);(1 ,4);(1 ,5);(1  ,6); P(A)  36 P(B)  36 P(AB)  36 Biết B xảy hỏi A xảy nào? Tính xác suất A B xảy ra, P(A | B) Xác suất có điều kiện P(A | B)   36 36 P(AB)  P(B) Giả sử A B hai biến cố P(B)  Ta gọi tỉ số P(AB)  P(A | B) P(B) xác suất biến cố A với điều kiện biến cố B xảy Xác suất có điều kiện Ví dụ: Một lớp có 50 sinh viên có 20 nữ 30 nam Trong kỳ thi mơn Tốn có 10 sinh viên đạt điểm giỏi, gồm nam nữ Gọi tên ngẫu nhiên sinh viên danh sách lớp Tìm xác suất gọi sinh viên giỏi mơn Tốn biết sinh viên nữ Đáp số : 0,2 Hướng dẫn: A biến cố “gọi sinh viên nữ”, B biến cố “gọi sinh viên đạt điểm giỏi mơn Tốn” Tính p(B/A) Cơng thức nhân xác suất Định lý: Với A, B hai biến cố bất kỳ, ta có P(AB)  P(A)P(B | A) P(AB)  P(B)P(A | B) P(ABC)  P(A)P(B | A)P(C | AB) Ví dụ: Một hộp có bi đỏ bi xanh Lấy ngẫu nhiên bi Sau lấy tiếp bi từ số bi cịn lại Tính xác suất hai bi đỏ Ví dụ: Một hộp có 10 sản phẩm, gồm phẩm phế phẩm Một người lấy ngẫu nhiên sản phẩm gặp phế phẩm dừng Tính xác suất để người dừng lại lần thứ ba Công thức nhân xác suất Ví dụ: Một lơ hàng gồm 12 sản phẩm có sản phẩm tốt sản phẩm xấu Rút ngẫu nhiên liên tiếp khơng hồn lại hai sản phẩm từ lơ hàng Tìm xác suất để hai sản phẩm sản phẩm tốt Rút ngẫu nhiên sản phẩm từ lô hàng không để ý tới sản phẩm Rút tiếp sản phẩm thứ hai Tìm xác suất để sản phẩm lấy lần thứ hai sản phẩm tốt Đáp số : 14/33; 2/3 Hướng dẫn: A biến cố “sản phẩm lấy lần sản phẩm tốt”, B biến cố “sản phẩm lấy lần sản phẩm tốt” Cơng thức nhân xác suất Ví dụ: Một lơ hàng gồm 100 sản phẩm có 90 sản phẩm tốt 10 phế phẩm Kiểm tra ngẫu nhiên liên tiếp khơng hồn lại sản phẩm từ lơ hàng Nếu có phế phẩm sản phẩm kiểm tra khơng nhận lơ hàng Tìm xác suất để nhận lô hàng Đáp số : Hướng dẫn: A i biến cố “sản phẩm lấy lần i sản phẩm tốt”, i=1,…,5; B biến cố “nhận lô hàng” B  A1A A3 A A Các biến cố độc lập Định nghĩa: Hai biến cố A, B gọi độc lập P(AB)  P(A)P(B) Định lý: Hai biến cố A, B độc lập P(A | B)  P(A) P(B | A)  P(B) Ví dụ: Tung đồng xu Gọi A = “đồng xu thứ sấp”, B = “đồng xu thứ hai sấp”, C = “có mặt sấp” Hỏi A B có độc lập? Các biến cố độc lập Định nghĩa: Dãy n biến cố A1,A 2, ,Anđược gọi độc lập toàn thể ta lấy dãy biến cố từ n biến cố xác suất tích biến cố dãy tích xác suất biến cố Nếu đơi dãy độc lập dãy gọi độc lập đơi Ví dụ: Tung đồng xu Gọi A = “đồng xu thứ sấp”, B = “đồng xu thứ hai sấp”, C = “có mặt sấp” Hỏi A, B C có độc lập tồn thể? Các biến cố độc lập Định lý A, B độc lập  A,B độc lập  A,B độc lập  A,B độc lập Ví dụ: Một phân xưởng có máy hoạt động độc lập Xác suất máy ngày bị hỏng : 0,1;0,2;0,15 Tính xác suất có máy hỏng ngày Đáp số :0,329 Công thức Bayes Ví dụ: Một nhà máy sản xuất bóng đèn có hai phân xưởng: I II Phân xưởng II sản xuất gấp lần phân xưởng I Tỷ lệ bóng hư phân xưởng I 10%, phân xưởng II 20% Mua bóng đèn nhà máy sản xuất a.Tính xác suất để mua bóng tốt b.Biết mua bóng tốt, tính xác suất để bóng đèn phân xưởng I sản xuất Công thức Bayes n P(A)   P(Bk )P(A | Bk ) (1) k 1 Nếu có thêm p(A)  P(B j / A)  P(B j )P(A | B j ) n  P(B )P(A | B ) k 1 k k (1) công thức XSTP; (2) công thức Bayes (2) Công thức Bayes A  A.S  A(B1  B2   Bn )  AB1  AB2  n n k 1  ABn k 1 P(A)   P(ABk )  P(Bk )P(A / Bk ) P(Bk )P(A / Bk )  P(ABk )  P(A)P(Bk / A) P(Bk )P(A / Bk ) P(Bk )P(A / Bk )  n P(Bk / A)  P(A)  P(Bk )P(A / Bk ) k 1 Công thức Bayes Ví dụ: Có lơ sản phẩm, tỷ lệ phế phẩm lô tương ứng 6%, 2%, 1% Chọn ngẫu nhiên lô, từ lô chọn ngẫu nhiên sản phẩm Tìm xác suất để lấy phế phẩm Biết lấy phế phẩm Tìm xác suất chọn lơ hàng Đáp số : 1) 0,03 2) 6/9;2/9;1/9 Hướng dẫn: A biến cố “lấy phế phẩm”, Bk biến cố “sản phẩm lấy thuộc lô k”,k=1;2;3 Cơng thức Bayes Ví dụ: Trong trạm cấp cứu có 80% bệnh nhân nóng 20% hóa chất Loại nóng có 30% bị biến chứng Loại hóa chất có 50% bị biến chứng Tính xác suất bác sĩ mở tập hồ sơ bệnh nhân gặp bệnh án bệnh nhân bị biến chứng Biết gặp bệnh án bệnh nhân bị biến chứng Tính xác suất do: a Nóng gây nên; b Hóa chất gây nên Cơng thức Bayes Ví dụ: Trong đám đông người mà số đàn ông nửa số đàn bà Xác suất để người đàn ông bị bệnh bạch tạng 0,06 xác suất người đàn bà bị bệnh bạch tạng 0,0036 Tính xác suất để cá thể bị bệnh bạch tạng Tính xác suất để người bị bệnh bạch tạng đám đơng đàn ơng Ví dụ: Tỉ số ô tô tải ô tô qua đường có trạm bơm dầu 2,5 Xác suất để ô tô tải qua đường nhận dầu 0,1; xác suất để ô tô qua đường nhận dầu 0,2 Có tơ vào trạm nhận dầu Tìm xác suất để ô tô tải ... j  6 B   (1 ,1) ; (1 ,2);(2 ,1)  A   (1 ,1) ; (1 ,2); (1 ,3); (1 ,4); (1 ,5); (1  ,6); P(A)  36 P(B)  36 P(AB)  36 Biết B xảy hỏi A xảy nào? Tính xác suất A B xảy ra, P(A | B) Xác suất có điều... chất Tính xác suất để: Mặt xúc xắc có chấm; Mặt xúc xắc có số chấm số chẵn Định nghĩa xác suất cổ điển Ví dụ : Một lớp học có 30 học sinh, có 10 nữ Chọn ngẫu nhiên người trực lớp Tính xác suất biến... Tính xác suất hai bi đỏ Ví dụ: Một hộp có 10 sản phẩm, gồm phẩm phế phẩm Một người lấy ngẫu nhiên sản phẩm gặp phế phẩm dừng Tính xác suất để người dừng lại lần thứ ba Cơng thức nhân xác suất