Chương QUAN HỆ HAI NGÔI 2.1 Định nghĩa 2.2 Quan hệ tương đương 2.3 Quan hệ thứ tự 2.1 ĐỊNH NGHĨA a) Tích đề-các:  Tích đề-các hai tập A&B tập: A  B  {( a, b) / a  A, b  B}  Tích đề-các tập A1, A2, …, An tập: A1  A2   An  {( a1 , a2 , an ) /  Ai } Ví dụ: Cho tập: A = {1; 2; 3}, B = {a, b} AB = {(1; a), (1; b), (2; a), (2; b), (3; a), (3; b)} BA = {(a; 1), (a; 2), (b; 1), (b; 2), (c; 1), (c; 2)} AA = A2 = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3)} b) Định nghĩa:  Quan hệ hai R tập A tập B tập tích đề-các AB + Nếu A = B ta nói R quan hệ (hai ngơi) A + Nếu (a, b)  R ta viết aRb, (a, b)  R, a R b  Quan hệ R tập A gọi phản xạ nếu:  a  A, aRa  Quan hệ R tập A gọi đối xứng nếu:  a, b  A, aRb  bRa  Quan hệ R tập A gọi phản đối xứng nếu:  a, b  A, aRb & bRa  a = b  Quan hệ R tập A gọi bắc cầu nếu:  a, b, c  A, aRb & bRc  aRc Ví dụ Xét quan hệ hai ngơi R N sau: “ a, b  N, aRb  (a + b) số chẵn” Hãy kiểm tra tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu, phản đối xứng quan hệ R Ví dụ Quan hệ “chia hết”: Trên tập N* định nghĩa quan hệ sau: m, n  N*, mRn  n chia hết cho m Quan hệ đồng dư “mod n”: Trên tập số nguyên z, định nghĩa quan hệ sau: a, b  z, aRb  (a – b) chia hết cho n c) Ma trận biểu diễn quan hệ: Cho tập A = {a1, a2, …, an}, B = {b1, b2, …, bn} Ma trận biểu diễn quan hệ A&B, kí hiệu: MR = (mij)mxn Sắp xếp phần tử A&B theo trật tự hàng ngang & hàng dọc, đó: 1 a i Rb j  m ij   0 a i Rb j  Ví dụ Cho A = {1; 3; 7; 9}, B = {1; 21; 28} Xét quan hệ hai R A&B sau: aRb  “a ước b” Một ma trận biểu diễn quan hệ trên: 1 0 0 M R  21 1 1 0   28 1 0   2.2 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG Quan hệ R gọi quan hệ tương đương có tính phản xạ, đối xứng bắc cầu Ví dụ Chứng minh quan hệ đồng dư “mod n” quan hệ tương đương a, b  z, aRb  (a – b) chia hết cho n HD  Tính phản xạ: a  Z, (a  a)   n  aRa  R có tính phản xạ  Tính đối xứng: a, b  Z, aRb  (a  b)  n  (b  a)  n  (b  a)  n  bRa  R có tính đối xứng  Bắc cầu: aRb (a  b)  n a, b, c  Z,   bRc (b - c)  n  (a  b  b  c)  n  (a  c)  n  aRc  R có tính bắc cầu Vậy R quan hệ tương đương Lớp tương đương phân hoạch  Cho tập A Một phân hoạch A: S = {A1, A2, …, An, …/Ai  A} Thỏa điều kiện sau: i Ai  A j   , i  j ii A1  A2   An   A  Cho R quan hệ tương đương tập A xA Lớp tương đương chứa x tập hợp phần tử A có quan hệ với x, kí hiệu: [x] (hay x )  {a  A/aRx} Và S  {x / x  A} phân hoạch A  Ghi chú: Tập hợp lớp tương đương S A gọi tập thương A Ví dụ Cho f(x) = x2 + 2x Trên tập số thực R, xét quan hệ tương đương R sau: a, bR, aRb  f(a) = f(b) Xác định lớp tương đương [0], [1],[2]? HD [0] = {x/ xR0} = {x/ f(x) = f(0)} = {x/ x2 + 2x = 0} = {0; -2} [1] = {1; -3}, [2] = {2; -4} Ví dụ Tìm lớp tương đương quan hệ đồng dư “mod 5”: a, b  z, aRb  (a – b) chia hết cho HD Các lớp tương đương: [ 0]  { x  Z / x  5k , k  Z } [1]  {x  Z / x  5k  1, k  Z } [ 4]  {x  Z / x  5k  4, k  Z } Và S = {[0], [1], [2], [3], [4]} phân hoạch z 2.3 QUAN HỆ THỨ TỰ Quan hệ R gọi quan hệ thứ tự có tính phản xạ, phản đối xứng bắc cầu Ví dụ Chứng tỏ quan hệ sau quan hệ thứ tự: Trên tập số thực R, xét quan hệ “” thông thường: a, b  R, aRb  a  b Trên tập N*, xét quan hệ chia hết sau: a, b N*, aRb  “b chia hết cho a” HD Ta kiểm tra tính chất sau:  Tính đối xứng: a N*, a  a  aRa  R có tính phản xạ  Tính phản đối xứng: a, b N*, aRb & bRa  a  b & b  a  a = b  R có tính phản đối xứng  Tính bắc cầu: a, b, c N*, aRb & bRc  a  b & b  c  a  c  R có tính bắc cầu Vậy R quan hệ thứ tự ... 9}, B = {1; 21 ; 28 } Xét quan hệ hai R A&B sau: aRb  “a ước b” Một ma trận biểu diễn quan hệ trên: 1 0 0 M R  21 1 1 0   28 1 0   2. 2 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG Quan hệ R gọi quan hệ tương đương.. .QUAN HỆ HAI NGÔI 2. 1 Định nghĩa 2. 2 Quan hệ tương đương 2. 3 Quan hệ thứ tự 2. 1 ĐỊNH NGHĨA a) Tích đề-các:  Tích đề-các hai tập A&B tập: A  B  {( a, b) /... [1], [2] , [3], [4]} phân hoạch z 2. 3 QUAN HỆ THỨ TỰ Quan hệ R gọi quan hệ thứ tự có tính phản xạ, phản đối xứng bắc cầu Ví dụ Chứng tỏ quan hệ sau quan hệ thứ tự: Trên tập số thực R, xét quan hệ