15 chuyên ôn thi i h c – Cao Chun ng mơn Tốn Ths Lê Văn ồn NGUN HÀM – TÍCH PHÂN – NG D NG A – NGUYÊN HÀM I – KI N TH C CƠ B N 1/ Khái ni m nguyên hàm Hàm s f ( x ) xác nh K Hàm s F ( x ) c g i nguyên hàm c a f ( x ) K n u: F' ( x ) = f ( x ), ∀x ∈ K N u F ( x ) m t nguyên hàm c a f ( x ) K h nguyên hàm c a f ( x ) K N u m i hàm s ∫ f ( x).dx = F (x ) + C , const = C ∈ » f ( x ) liên t c K u có nguyên hàm K 2/ Tính ch t nguyên hàm Tính ch t 1: Tính ch t 2: Tính ch t 3:    ∫ f ( x ).dx  = ' ∫ f ' (x ).dx = f ( x ) + C ∫ k.f (x ).dx = k.∫ f (x ).dx (k : const ≠ 0) ∫ f (x ) ± g (x ).dx = ∫ f (x ).dx ± ∫ g (x ).dx 3/ B ng nguyên hàm b n ∫ 0.dx = C ∫ ∫ dx = x + C ∫ ∫ ∫ cosx.dx = sinx + C x α +1 x dx = + C α +1 dx = ln x + C x α ∫ e dx = e x M r ng: ∫ x2 x ∫ sinx.dx = −cosx + C ∫ ∫ +C dx = − ax a dx = +C lna x +C x dx = ∫ (1 + tan x ).dx = tanx + C cos x dx = −∫ + cot x dx = −cotx + C sin x   dx  x−a  + C  = ln  ∫ x − a 2a  x + a        ( ) Lưu ý r ng: Khi thay x b ng (ax + b) b ng nguyên hàm, l y nguyên hàm, ta ph i nhân dx k t qu thêm Ch ng h n như: ∫ = ln ax + b + C , a ax + b a “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - - Chuyên Ths Lê Văn oàn Nguyên hàm – Tích phân ng d ng 4/ Các phương pháp tính nguyên hàm thư ng g p PP Tích c a a th c ho c lũy th a   Khai tri n → PP Tích hàm mũ   Khai tri n theo công th c mũ → PP Ch a   Chuy n v lũy th a → PP Tích lư ng giác b c m t   Bi n i t ng thành tích → PP B c ch n c a sinx cosx   Dùng công th c h b c → PP  N u: B c t ≥ B c m u   Chia a th c →  Hàm h u t (không ch a căn)  PP ng nh t th c  N u: B c t < B c m u   → Phương pháp i bi n s N u ∫ f (u ).du = F (u) + C, C ∈ » u = u (x ) có o hàm liên t ∫ f (x ) u' (x).dx = F u (x) + C Tách t hàm Nhân thêm Nguyên hàm t ng ph n  N u u, v hai hàm s có c thì: Có s n o hàm liên t c K ∫ u.dv = u.v −∫ v.du Vi phân u =   du = dx  →  Ch n  Nguyên hàm dv = dx    v = →     Nh n d ng : Tích hàm khác lo i nhân (mũ nhân lư ng giác, log nhân ã th c,…)  Cách ch n : th t ưu tiên ch n u “log – a – lư ng – mũ” dv ph n l i Nghĩa : N u tốn tìm ngun hàm có ch a lnx ta ch n u = lnx, dv ph n l i, n u khơng có ln ho c log ta ch n u a th c, dv ph n l i,… Lưu ý r ng:  Trong nguyên hàm t ng ph n: B c c a a th c b c c a lnx tương ng v i s l n l y nguyên hàm t ng ph n Cách ch n u dv tuân theo qui lu t Ch ng h n t u = ln2x ho c u = x2 + ta ph i l y nguyên hàm t ng ph n hai l n cách gi i m i i n k t qu sau  Khi tính nguyên hàm c n ph i n m v ng b ng nguyên hàm b n phép tính vi phân  Nguyên hàm c a m t t hàm c a nh ng hàm s tìm nguyên hàm c a m hi u c a nh ng hàm s ng (hi u) c a nhi u hàm s t ng (hi u) c a nguyên thành ph n i u ó ng nghĩa v i kh ng nh: “Mu n t hàm s , ta ph i bi n i hàm s thành m t t ng ho c tìm c nguyên hàm (d a vào b ng nguyên hàm)”  Nguyên hàm c a m t tích (thương) c a nhi u hàm hàm s khơng bao gi b ng tích (thương) c a nguyên hàm c a nh ng hàm s thành ph n  Khi tính nguyên hàm c a hàm lư ng giác, c n n m v ng công th c bi n lư ng giác Page - - i “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” 15 chuyên ôn thi i h c – Cao ng mơn Tốn Ths Lê Văn ồn II – D ng tốn Tính ngun hàm d a vào b ng nguyên hàm b n Phương pháp: Bi n i bi u th c hàm s s d ng c b ng nguyên hàm b n Lưu ý : s d ng c phương pháp c n ph i : N m v ng b ng nguyên hàm N m v ng phép tính vi phân ch ng minh F ( x ) m t nguyên hàm c a hàm s f ( x ) Ta ch ng minh: F' ( x ) = f ( x ) tìm i u ki n c a tham s cho F ( x ) nguyên hàm c a hàm s f ( x ) , ta th c hi n: Cho F' ( x ) = f ( x ) S d ng ng nh t th c suy tham s Tìm nguyên hàm c a hàm s th a i u ki n cho trư c, nghĩa : Tìm F' ( x ) = f ( x ) + C K t h p i u ki n tìm h ng s C Bài t p áp d ng Bài Tìm nguyên hàm c a hàm s sau a/ f (x ) = x − 4x + x x4 S: F (x ) = + 2x + 3.ln x + C b/ f (x ) = x + x + x S: F (x ) = 33 44 x + x + x +C c/ f (x ) = 2x + S: F (x ) = x − + C x d/ f (x ) = x2 + x x −1 3 x + 5 x S: F (x ) = x + 25 x + x + C S: F (x ) = ln x + + C x e/ f (x ) = f/ f (x ) = sin2 g/ f (x ) = tan2 x S: F (x ) = tan x − x + C h/ f (x ) = cos2 x S: F (x ) = x x S: F (x ) = x + sin x + C “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” 1 x + sin 2x + C Page - - Chuyên Ths Lê Văn oàn i/ f (x ) = j/ f (x ) = sin x cos x S: F (x ) = −2 cot 2x + C sin x cos2 x sin5 x sin6 x − + C S: F (x ) = S: F (x ) = − cos 5x − cos x + C k/ f (x ) = sin 3x cos 2x l/ ( Nguyên hàm – Tích phân ng d ng ) S: F (x ) = e 2x − e x + C f (x ) = e x e x −   e −x    m/ f (x ) = e x 2 +    cos2 x    S: F (x ) = 2e x + tan x + C n/ f (x ) = e 3x +1 S: F (x ) = x +1 e + C Bài Tìm nguyên hàm F ( x ) c a hàm s f ( x ) th a mãn i u ki n cho trư c x4 − x + 5x − 4 a/ f (x ) = x − 4x + , F (1) = S: F (x ) = b/ f (x ) = − cos x , F (π ) = S: F (x ) = 3x − sin x + − 3π c/ f (x ) = − 5x , F (e ) = x S: F (x ) = ln x − x2 + d/ f (x ) = , F (1) = x e/ f (x ) = x x + x x2 S: F (x ) = + ln x + , F (1) = −2 S: F (x ) = π    f/ f (x ) = sin 2x cos x , F '   = 3    g/ f (x ) = 3x − 2x + h/ f (x ) = x + 3x + 3x − x2 i/ f (x ) = sin2 Page - - π π x , F =    2   22 x +2 x − 5 1 S: F (x ) = − cos x − cos x + 12 , F (1) = (x + 1) 5x 5e + −2 2 S: F (x ) = x − x − +7 x S: F (x ) = x2 +x + x +1 S: F (x ) = , F (0) = x sin x + − 2 “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” 15 chuyên ôn thi i h c – Cao ng mơn Tốn Ths Lê Văn ồn Bài Ch ng minh F ( x ) m t nguyên hàm c a hàm s f ( x ) ( )   F (x ) = 5x + 4x − 7x + 120 a/  f (x ) = 15x + 8x −     F x = ln x + x +  ( )   b/   f (x ) =    x2 +   F (x ) = (4x − 5)e x   c/  f (x ) = (4x − 1)e x      F (x ) = tan x + 3x − d/  f (x ) = tan x + tan x +          x +  F (x ) = ln  x + 3        e/  −2x  f (x ) =   x2 + x2 +      x2 − x +  F (x ) = ln   x2 + x + f/    2 x2 −1   f (x ) =   x4 +1   ( )( ( ) Bài Tìm i u ki n tham s m, a, b, c ) F ( x ) m t nguyên hàm c a hàm s f ( x ) F (x ) = mx + (3m + 2) x − 4x +   a/  f (x ) = 3x + 10x −    S: m = F x = ln x − mx +  ( )   b/   f (x ) = 2x +   x + 3x +   S: m = − ( ) ( ) x   F (x ) = ax + bx + c e  c/   f (x ) = (x − 3)e x    F x = ax + bx + c e −2x  ( )  d/   f (x ) = − 2x − 8x + e −2x    ( ( ( ) ) S: a = 0, b = 1, c = −4 S: a = 1, b = −3, c = F x = ax + bx + c e −x  ( )  e/   f (x ) = x − 3x + e −x    S: a = −1, b = 1, c = −1   F (x ) = (a + 1) sin x + b sin 2x + c sin 3x  f/   f (x ) = cos x    S: a = b = c = F x = ax + bx + c 2x −  ( )   g/   f (x ) = 20x − 30x +   2x −   S: a = 4, b = −2, c = ( ) ) “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - - Chuyên Ths Lê Văn oàn Nguyên hàm – Tích phân ng d ng III – D ng tốn Tính ngun hàm ∫ f (x) dx b ng phương pháp i bi n s Phương pháp N u f ( x ) có d ng f ( x ) = g  u ( x ) u' ( x )   Khi ó: ∫ f (x).dx = ∫ g(t).dt Trong ó t t = u ( x ) ⇒ dt = u' ( x ) dx ∫ g(t).dt d tìm c Lưu ý r ng: Sau tính ∫ g(t).dt ta ph i tr l i t = u ( x ) Lưu ý Thư ng g p trư ng h p sau: D ng nguyên hàm Cách   ∫ f  f (x ) f ' ( x ).dx t = n f ( x ) ⇒ t n = f ( x ) ⇒ n.t n −1 dt = f ' ( x ) dx n   t = ( ) ⇒ dt = dx ∫ f ( )  x.dx n ∫ f (lnx ) .dx x ∫ f ∫ f ( ( ( ) )   dx = a dt = a + tan t dt  x = a.tant   cos t ⇒  x = a.cott a    dx = − dt = −a + cot t dt  sin t ch n a + x x ) dx x − a xch n.dx ∫  a   dx  f x     e + b  ( ) ( )    x = a = a + cot x x = a  sin t ⇒  sin t  a  x = a = a + tan x x =   cos t cos t  ( ( x = e t ⇒ t = lnx ⇒ dt = ) ) dx x ta thư ng hay s d ng công th c: sin2x + cos2x =  Trong d ng Page - - dx x    x = a.sint ⇒  dx = a.cost.dt  x = a.cost  dx = −a.cost.dt   ∫  Trong d ng t = ln x ⇒ dt = a − x xch n dx f  Trong d ng i bi n , ta thư ng s d ng công th c: + tan x = cos x x ta thư ng s d ng công th c: a = b ⇔ x = log a b ; + cot x = sin x “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” 15 chuyên ôn thi i h c – Cao ng mơn Tốn Ths Lê Văn ồn Bài t p áp d ng Bài Tính nguyên hàm sau a/ ∫ (5x − 1) d/ ∫ (2x g/ ∫ x + 1.xdx ∫ sin x cos xdx j/ m/ p/ 11 ) + xdx dx b/ ∫ e/ ∫ (x h/ (3 − 2x ) ) + x 2dx 3x ∫ + 2x sin x e −3 k/ ∫ ∫ x e x ln x dx x q/ ∫e b/ ∫ dx dx +1 − 2xdx f/ ∫x i/ ∫ x +5 dx dx ( x 1+ x ∫ ∫ e ∫ e tan x +1 c/ ∫ f/ ∫ 1+x i/ ∫x l/ ∫ ) tan xdx l/ o/ dx dx x ∫ r/ cos x x c/ n/ e xdx ∫ ∫ xdx cos2 x x dx x cos2 x dx Bài Tính nguyên hàm sau a/ d/ ∫ ∫ g/ ∫ j/ ∫x dx (1 − x ) dx − x2 x 2dx 1−x 2 x − 1.dx dx (1 + x ) e/ ∫x h/ ∫x k/ ∫ − x dx dx +x +1 x2 x2 − dx “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” − x dx dx x + 1.dx x2 − dx Page - - Chuyên Ths Lê Văn oàn Nguyên hàm – Tích phân ng d ng IV – D ng tốn Tính ngun hàm b ng phương pháp nguyên hàm t ng ph n Phương pháp  N u u, v hai hàm s có o hàm liên t c K ∫ u.dv = u.v −∫ v.du Vi phân   → u =   du = dx Ch n  Nguyên hàm dv = dx    v = →     Nh n d ng : Tích hàm khác lo i nhân (mũ nhân lư ng giác, log nhân ã th c,…)  Cách ch n : th t ưu tiên ch n u “log – a – lư ng – mũ” dv ph n l i Nghĩa : N u tốn tìm ngun hàm có ch a lnx ta ch n u = lnx,cịn dv ph n cịn l i, n u khơng có ln ho c log ta ch n u a th c, dv ph n l i,… Bài t p áp d ng Bài Tìm nguyên hàm c a hàm s sau x x − ln (1 + x ) − x + + C x S: F (x ) = e x − + C ( ( ∫ x ln (1 + x ) ∫ (x + 2x − 1)e dx S: F (x ) = ∫ x sin (2x + 1)dx ∫ (1 − x ) cos xdx e/ x ∫ e sin 2x dx S: F (x ) = f/ ∫ x cos x.dx ) ) S: F (x ) = − a/ b/ c/ d/ x x cos (2x + 1) + sin (2x + 1) + C S: F (x ) = (1 − x ) sin x − cos x + C e x sin 2x − 2e x cos 2x + C S: F (x ) = x sin x − (x sin x + cos x ) + C Bài Tính nguyên hàm sau a/ ∫e b/ ∫ x sin c/ ∫ cos (ln x )dx ln (cos x ) ∫ cos x dx d/ e/ Page - - x xdx (ÐHL − 1999) S: F (x ) = ln (cos x ) tan x + tan x − x + C ∫ ( x ln x + x + k x2 + k (5 + cos 2x + sin 2x )e x + C 10 x S: F (x ) = x + sin 2x + cos 2x + C 4 x S: F (x ) =  cos (ln x ) + sin (ln x ) + C  2 S: F (x ) = cos2 xdx )dx S: F (x ) = x + k ln(x + x + k ) − x + C “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” 15 chuyên ôn thi i h c – Cao ng mơn Tốn Ths Lê Văn oàn f/ ∫ g/ ∫ + cos x e dx ex +C x +1 x     S: F (x ) = e x tan   + C   2  h/ ∫ sin x ln(tan x )dx x  S: F (x ) = − cos x ln (tan x ) + ln tan   + C    2   xe x S: F (x ) = dx (x + 1)2 + sin x x Bài t p rèn luy n Bài Tính nguyên hàm c a hàm s sau: ∫ x.e dx d/ ∫ ln (x + + x ).dx g/ ∫ x sin(2x + 1).dx j/ ∫ x e dx m/ ∫ e (x + 1).dx p/ ∫ e sin x dx s/ ∫ sin x dx ∫ x cos x dx e/ ∫ (−x + 3x + 1).e dx h/ ∫ (1 − x ) cos x dx k/ ∫ x ln x dx n/ ∫ (x + 1) cos x dx q/ ∫ x cos x dx t/ ∫ cos x dx x a/ b/ −x 2 x x x c/ f/ i/ l/ o/ r/ u/ ∫ ln x.dx ∫ x sin x dx ∫ (1 − 2x )e dx ∫ x e dx ∫ e cos x dx ∫ x cos x.dx ∫ x sin x dx x −x x Bài Tính nguyên hàm c a hàm s sau a/ d/ ∫e x b/ dx ∫ sin ln x e/ x dx g/ ∫ j/ ∫ m/ x (ln x ) dx p/ ∫ s/ ∫ (1 + tan x + tan x )e dx dx x ∫ x ln2 x dx ∫ ∫ e sin (2x + 1).dx ∫ sin x ∫ e cos x dx x x cos x (1 + sin x )  ln x        x  dx    dx ∫ l/ ∫ cos x ln(sin x ).dx o/ ∫ r/ ∫ “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” u/ x + sin x cos2 x dx x 2e xdx ∫ (x + 2) 2 t/ x e x dx x +1 i/ q/ 1+x ln x dx x f/ ∫ x dx n/ ∫ x ln − x dx ∫ x k/ x5 x sin x dx sin x c/ ln x dx h/ dx x ∫ ∫ x3 + x2 dx Page - - Chuyên Ths Lê Văn oàn Nguyên hàm – Tích phân ng d ng V – D ng tốn Tính ngun hàm b ng phương pháp dùng hàm ph tv n : Xác nh nguyên hàm c a hàm s f ( x ) , ta c n tìm m t hàm g ( x ) cho nguyên hàm c a hàm s f ( x ) ± g ( x ) d xác nh so v i f ( x ) T ó suy nguyên hàm c a f ( x ) M t th c hành: Bư c Tìm hàm g ( x ) nh nguyên hàm c a hàm s f ( x ) ± g ( x ) Nghĩa là: Bư c Xác   F ( x ) + G ( x ) = A ( x ) + C1  F ( x ) − G ( x ) = B ( x ) + C2    Bư c C ng (1) v i (2) , ta c: F ( x ) = hàm s f ( x ) c n tìm (1) (2) 1 A ( x ) + B ( x ) + C nguyên hàm c a   Bài t p áp d ng Tính nguyên hàm c a hàm s sau sin x dx sin x − cos x 1/ ∫ 3/ ∫ sin x + cos xdx sin x sin x 5/ ∫ 7/ ∫ sin 9/ ∫e ∫ sin x + cos xdx cos x cos4 x x sin 2xdx 8/ ∫ cos dx −x 10/ −e ex dx 11/ ∫ e x + e −x 13/ ∫ sin x dx 2013 sin x + cos x Page - 10 - 4/ ∫ ex x ∫ 6/ sin x + cos x cos x dx sin x − cos x 2/ dx 12/ sin x + cos x ∫e ∫e 14/ ∫ x sin 2xdx e −x x − e −x e −x x dx + e −x dx dx cos x dx sin x + cos x “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” 15 chuyên ôn thi i h c – Cao D – TRÍCH CÁC ng mơn Tốn THI TUY N SINH Ths Lê Văn oàn I H C – CAO NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TRONG CÁC Cao NG ng kh i A, B, D – 2011 I =∫ Cao 2x + x (x + 1) S: I = ln − ln dx ng kh i A, B, D – 2010 I =∫ Cao 2x − dx x +1 S: I = − ln ng kh i B – 2009 ( ) S: I = − e I = ∫ e −2x + x e xdx Cao ng kh i D – 2007 I = THI CAO NG ∫ Cao x (x − 1) x2 − S: I = + ln − dx ln ng kh i B – 2007 I = ∫ x + dx S: I = −2 Cao ng kh i A – 2007 I = ∫ Cao 32008 − 22008 S: I = 2008 dx ng GTVT III kh i A – 2007 I = 2007 1 1   1 +     x x2   ∫ x + x + 3x + 2x − x2 + x Cao dx S: I = 16 + ln 8 ng GTVT III kh i B – 2007 π2 I = ∫ sin x dx Cao S: I = − π + 3 ng xây d ng s – 2007 e I =∫ dx x + ln x “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” 33 − S: I = Page - 59 - Chuyên Ths Lê Văn oàn 10 Cao ng GTVT s II – 2007 π I = Nguyên hàm – Tích phân ng d ng ∫ 11 Cao cos x dx + sin x ng kinh t I =∫ 12 Cao i ngo i Tp.HCM – 2007 ln 2x + (2x + 1) S: I = S: I = − ln + 3 dx ng kinh t Tp.HCM – 2007 π I = S: I = π S: I = ln S: I = 231 10 S: I = ∫ x sin 2x dx 5e − 27 13 Cao ng Tài h i quan – 2007 π I = ∫ π 14 Cao ng DL Công nghi thông tin Tp.HCM – 2007 I = sin x dx cos 2x − cos x ∫ 15 Cao x +2 x +1 dx ng Cơ khí luy n kim – 2007 e I = ∫ (x ln x ) dx 16 Cao π3 π2 S: I = − + 384 32 ∫ (x sin x ) dx 17 Cao ng D t may th i trang Tp.HCM – 2007 I = ∫x 18 Cao dx (x S: I = − ) +1 π − 12 ng Công nghi p th c ph m Tp.HCM – 2007 I =∫ 19 Cao x +1 x2 + dx S: I = π ln + S: I = 14 ng Hàng h i – 2007 I = ∫ x x − dx Page - 60 - ) ng SP Vĩnh Phúc – 2007 π I = ( “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” 15 chuyên ôn thi i h c – Cao Ths Lê Văn oàn ng Kinh t kĩ thu t Thái Bình – 2007 20 Cao I = ng mơn Tốn ∫ x (e ) + x + dx 2x −1 21 Cao S: I = −2 31 e − 60 ng Công Nghi p Phú Yên – 2007 I = ∫ xe x S: I = dx 22 Cao ng KTKT Công nghi p II – 2006 ( ) I = ∫ x ln + x dx S: I = ln − 23 Cao ng Cơ khí luy n kim – 2006 I = ∫ ln (1 + x ) x 24 Cao S: I = ln − dx S: I = 2 −1 S: I = I = ∫ x x + 1dx ln 25 Cao ng H i Phòng – 2006 I =∫ 26 Cao x 1+x dx ng Y t Tp.HCM – 2006 π sin x − cos x ∫ + sin 2x π 27 Cao S: I = ln dx ng tài k toán – 2006 ( ) S: I = I = ∫ x ln x + dx (14 ln 14 − ln − 9) S: I = 32 S: I = ln 28 Cao ng sư ph m H i Dương – 2006 π I = ∫ 29 Cao cos 2x dx (sin x − cos x + 3) ng KTKT ông Du – 2006 π I = ln ng Nông lâm – 2006 I = cos 2x ∫ + sin 2x dx 30 H Cao ng trư ng H Hùng Vư ng – 2006 “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 61 - Chun Ths Lê Văn ồn Ngun hàm – Tích phân ng d ng π I = ∫ (x − 1) cos x dx S: I = 31 Cao ng sư ph m Quãng Bình – 2006 ln e 2x I =∫ ex + 32 Cao ∫ 33 Cao sin x dx + cos x ∫ 34 Cao x cos2 x S: I = S: I = dx π + ln ng bán công – Công ngh Tp.HCM – 2006 I =∫ −1 35 Cao x −3 x +1 +x + S: I = ln − dx ng sư ph m Ti n Giang – 2006 I = ∫ x − x dx S: I = − 36 Cao ∫ 37 Cao  x + 1      x  ln x dx     ∫x 38 Cao ∫ 39 Cao ∫ 40 Cao Page - 62 - + 2x + S: I = π S: I = 46 15 S: I = dx x +2 3x + dx π − ln ng Kinh t công ngh Tp.HCM Kh i A – 2006 π I = ng i n l c Tp.HCM – 2006 I = 2e 11 S: I = + 18 ng lương th c th c ph m Tp.HCM – 2006 I = 468 ng sư ph m B n Tre – 2006 e I = ng sư ph m Trà Vinh – 2006 π I = S: I = − dx ng sư ph m Quãng Ngãi – 2006 π I = π −1 x cos2 x dx ng Kinh t công ngh Tp.HCM Kh i D1 – 2006 “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” 15 chuyên ôn thi i h c – Cao ng mơn Tốn Ths Lê Văn ồn I = ∫ (4x − 1) ln x dx S: I = ln − 41 Cao ng SP Hà N i Kh i D1 – 2006 π I = ∫ π 42 Cao dx  π   sin x sin x +     3  ln ng KT-KT Công Nghi p I – 2006 π I = S: I = sin 3x ∫ cos 3x + dx S: Không t n t i 43 Cao ng KT-KT Công Nghi p II – 2006 ( ) I = ∫ x ln + x dx S: I = ln − 44 Cao ng Xây d ng s – 2006 I = ∫ 45 Cao x x −1 dx x −5 S: I = 32 − 10 ln S: I = S: I = ln ng Xây d ng s – 2006 ( ) I = ∫ x + cos3 x sin x dx 46 Cao ng GTVT III – 2006 π I = ∫ cos x dx − sin x J = ∫ (2x + ) ln (x + 1)dx S: I = 24 ln − 14 47 Cao ng Kinh t i ngo i – 2006 π I = ∫ (1 − tan x )dx 48 Cao 76 105 ng SP Hưng Yên - Kh i A– 2006 I =∫ 49 Cao S: I = 4x + x − 3x + dx S: I = 18 ln − ln ng SP Hưng Yên - Kh i B– 2006 “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 63 - Chuyên Ths Lê Văn oàn π I = ∫ 50 Cao ∫ ln x + ln2 x x 51 Cao ∫ (cos 52 Cao S: I = S: I = ln S: I = ) x − sin x dx ng C Bán công Hoa Sen – Kh i D – 2006 π cos 2x ∫ + sin 2x dx 53 Cao ng C SP Trung Ương – 2006 π I = ∫ sin x sin 2xdx 54 Cao ng C SP Hà Nam – Kh i A – 2006 I = ∫ 55 Cao x (x + 3) S: I = ln dx ∫ S: I = π2 −2 S: I = x cos xdx π 56 Cao ng SP Hà Nam – Kh i A (DB) – 2006 e I =∫ 57 Cao ∫ π 58 Cao ∫ π Page - 64 - x + ln2 x ) sin x − cos x + sin 2x S: I = ln dx ng Tài Chính H i Quan – 2006 π I = ( dx ng KT Y T I – 2006 π I = − ng SP Hà Nam – Kh i M – 2006 π I = ) 3 3 − 22 I = ( S: I = dx ng C Bán công Hoa Sen – Kh i A – 2006 π I = 1 + ln S: I = − ng SP Hưng Yên - Kh i D1 , M – 2006 e I = sin 3x − sin 3x dx + cos 3x Nguyên hàm – Tích phân ng d ng ln (tan x ) sin 2x dx S: I = ln 16 “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” 15 chuyên ôn thi i h c – Cao Ths Lê Văn oàn ng Kĩ thu t Cao Th ng – 2006 59 Cao π I = ng mơn Tốn ∫ sin 2x (1 + sin x ) dx S: I = 60 Cao ng KT Tp.HCM Khóa II – 2006 e I = ∫ ln x 61 Cao ng CN Th c ph m Tp.HCM – 2006 ∫x 62 Cao ∫ 63 Cao + 2x + S: I = π S: I = 46 15 S: I = dx x +2 3x + dx π − ln ng Kinh t công ngh Tp.HCM Kh i A – 2006 π I = ng i n l c Tp.HCM – 2006 I = S: I = − e dx x I = 15 ∫ 64 Cao x cos2 x dx ng Kinh t công ngh Tp.HCM Kh i D1 – 2006 I = ∫ (4x − 1) ln x dx S: I = ln − 65 Cao ng SP Hà N i Kh i D1 – 2006 π I = ∫ π 66 Cao ∫ 67 Cao ln sin x dx + cos x S: I = ng SP Hà N i – 2005 π I = S: I = ng SP KonTum – 2005 π I = dx  π   sin x sin x +     3  ∫ 68 Cao sin2004 x sin 2004 x + cos 2004 x dx S: I = π ng SP Tp.HCM – 2005 I =∫ −1 dx x + 2x + “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” S: I = 3π 18 Page - 65 - Chuyên Ths Lê Văn oàn 69 Cao ng KT-KT C n Thơ – 2005 e I = ∫ 70 Cao ln x x ∫ 71 Cao S: I = − e dx x +1 ∫ 72 Cao cos 3x dx sin x + ∫ S: I = − ln sin xdx J =∫ 73 Cao I = ln    S:   J = π −     x sin x + cos x cos 2 π x sin2 xdx sin 2x cos2 x ng C ng ng Vĩnh Long – 2005 e I = ∫ S: I = e2 + S: I = x ln xdx π2 −4 74 Cao ng Công Nghi p Hà N i – 2005 π2 I =∫ x sin xdx 75 Cao ng SP Hà N i – 2005 I =∫ 76 Cao x + 2x + 4x + dx x2 + ∫ 77 Cao Page - 66 - π S: I = (x + 1) π ng SP Vĩnh Phúc – 2005 ∫x 78 Cao S: I = xdx e I = S: I = + ng Tài Chính – 2005 I = 46 15 ng SP Sóc Trăng Kh i A – 2005 π I = S: I = dx 3x + ng B n Tre – 2005 π I = ng SP Vĩnh Long – 2005 I = Nguyên hàm – Tích phân ng d ng dx − ln2 x ng Truy n Hình Kh i A – 2005 “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” 15 chuyên ôn thi π I = ∫ 79 Cao i h c – Cao ng mơn Tốn − sin2 x dx + sin 2x Ths Lê Văn oàn S: I = ln S: I = −8 ng Kh i A, B – 2005 I = ∫ x x + 3dx 80 Cao ng Xây D ng S – 2005 I =∫ −1 81 Cao x −3 x +1 +x + dx S: I = ln − ng GTVT – 2005 I = ∫ x − x dx S: I = 82 Cao ng Kinh T K Thu t I – 2005 3π π I = ∫e 3x sin 5xdx 83 Cao 3.e + S: I = 34 ng Tài Chính K Tốn IV – 2005 I = 105 ∫ x + 1.x 5dx “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” S: I = 848 105 Page - 67 - Chuyên Ths Lê Văn oàn Nguyên hàm – Tích phân ng d ng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TRONG CÁC THI IH C i h c kh i D – 2011 I =∫ 4x − 2x + + S: I = dx 34 + 10 ln i h c kh i B – 2011 π I = ∫ + x sin x cos x S: I = + dx ( ) 2π + ln − i h c kh i A – 2011 π I = ∫ x (sin x + cos x ) + cos x x sin x + cos x dx S: I =  π  π   + ln   + 1       i h c kh i D – 2010 e I = ∫  3   2x −  ln x dx   x   e2 S: I = − i h c kh i B – 2010 e I = ∫ ln x x (2 + ln x ) S: I = − dx + ln i h c kh i A – 2010 I = ∫ x + e x + 2x 2e x + 2e x dx S: I = 1 + 2e + ln 3 i h c kh i D – 2009 I =∫ e −1 x ( ) S: I = ln e + e + − dx i h c kh i B – 2009 I = ∫ + ln x (x + 1) dx S: I = 1 27    3 + ln    4 16    S: I = π − 15 i h c kh i A – 2009 π I = ∫ (cos ) x − cos2 x dx 10 Page - 68 - i h c kh i D – 2008 “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” 15 chuyên ôn thi I =∫ i h c – Cao ln x x3 11 D b – S: I = ∫x ln x + 12 D b – dx 76 15 i h c kh i D – 2008 π ∫ (2x − 1) cos π2 π S: I = − − x dx 13 − ln 16 S: I = dx ln2 x I = Ths Lê Văn oàn i h c kh i D – 2008 e3 I = ng môn Toán i h c kh i B – 2008  π  sin x −  dx    4   π I = ∫ sin 2x + (1 + sin x + cos x ) 14 D b – ∫x 2 S: I = e + 9 ln x dx 15 D b – i h c kh i B – 2008 π I = 4−3 i h c kh i B – 2008 e I = S: I = ∫ (tan x + e sin x ) cos x dx S: I = ln + e −1 16 i h c kh i A – 2008 π I = ∫ tan x dx cos 2x 17 D b – S: I = +1 10 ln − −1 i h c kh i A – 2008 π I = ∫ sin x tan x dx S: I = ln − 18 D b – I =∫ 19 i h c kh i A – 2008 x +2 3 x +1 dx S: I = 231 10 S: I = 5e − 32 i h c kh i D – 2007 e I = ∫ x ln2 x dx 20 D b – i h c kh i D – 2007 “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 69 - Chuyên Ths Lê Văn oàn I = ∫ x (x − 1) x −4 21 D b – Nguyên hàm – Tích phân ng d ng S: I = + ln − dx i h c kh i D – 2007 π I = ∫ x cos x dx S: I = 22 D b – ∫ 1+ 23 π2 −2 i h c kh i A – 2007 I = ln 2x + 2x + dx S: I = + ln i h c kh i D – 2006 I = ∫ (x − 2)e 2x dx S: I = 24 D b – i h c kh i D – 2006 π I = ∫ (x + 1) sin 2x dx 25 D b – − 3e S: I = i h c kh i D – 2006 I = − 3e ∫ (x − 2) ln x dx S: I = − ln i h c kh i B – 20006 26 ln I = ∫e x ln 27 D b – Page - 70 - + 2.e −x −3 dx S: I = ln i h c kh i B – 2006 “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” 15 chuyên ôn thi i h c – Cao ng mơn Tốn Ths Lê Văn ồn DI N TÍCH HÌNH PH NG – TH TÍCH V T TH TRỊN XOAY TRONG CÁC THI I H C VÀ CAO NG Cao ng kh i A, B, D – 2008 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i parabol (P ) : y = −x + 4x ng th ng d : y = x S: S = Cao ( vdt) ng kh i B – 2007 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i ng y = x , y = x + cos2 x , x = 0, x = π S: S = π ( vdt) i h c kh i B – 2007 Cho hình ph ng H gi i h n b i ng y = x ln x , y = 0, y = e Tính th tích c a kh i trịn xoay t o thành quay hình H quanh tr c Ox S: S = ( π 5e3 − 27 ) ( vtt) i h c kh i A – 2007 ( ) Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i ng: y = (e + 1) x , y = + e x x S: S = D b – e − ( vdt) i h c kh i B – 2007 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i ng y = y = S: S = D b – x (1 − x ) x2 + π + ln − ( vdt) i h c kh i B – 2007 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i ng y = x y = − x S: S = D b – π + ( vdt) i h c kh i A – 2007 Cho hình ph ng (H) gi i h n b i ng 4y = x , y = x Tính v t th trịn xoay t o thành Quay hình (H) quanh tr c Ox “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 71 - Chuyên Ths Lê Văn oàn S: V = Cao Nguyên hàm – Tích phân ng d ng 128 ( vtt) 15 ng sư ph m TW2 – 2007 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i ng: y = x − 2, y = x , x = −1, x = S: S = Cao ( vdt) ng kĩ thu t Cao Th ng 2007 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i ng sau: y = − 2x y = x + S: S = ( vdt) 10 D b – i h c kh i A – 2006 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i parabol: y = x − x + ng th ng d : y = 2x + S: S = 11 ( vdt) i h c kh i A – 2002 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i ng: y = x − 4x + y = x + S: S = 12 109 ( vdt) i h c kh i B – 2002 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i ng: y = − S: S = 2π + 13 x2 x2 y = 4 ( vdt) i h c Hàng H i – 1999 a/ Theo chương trình phân ban Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i: (P1 ) : y = x − 2x (P2 ) : y = −x + 4x b/ Theo chương trình chưa phân ban Tính th tích v t th trịn xoay sinh b i hình gi i h n b i ng: y = S: a/ S = ( vdt) x3 , y = x2 b/ 14 H c vi n Ngân hàng Tp.HCM – 2000   (C ) : y = x + x   a/ Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i ng: Ox  x =     Page - 72 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” 15 chuyên ôn thi i h c – Cao ng môn Tốn Ths Lê Văn ồn   L : y = x ln + x ( )   b/ Tính th tích v t th trịn xoay quay quanh tr c Ox gi i h n b i: Ox   x =     ( ) S: a/ 15 H c vi n Bưu vi n thơng – 1999 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i ng: x = 0, y = x , y = − x S: 16 H c vi n Bưu vi n thơng – 1998 x2 8x 7 −x Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i ng: y = − + − , y= 3 x −3 S: S = − ln ( vdt) 17 i h c Qu c gia Tp.HCM kh i B – 1999 Tính th tích kh i tròn xoay c t o thành quay tr c Ox m t mi n D gi i h n b i ng: π y = x sin 2x , y = 0, x = 0, x = S: V = π π2 ( vtt) − 48 32 “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 73 - ... ln(x + 1) dx x +1 Page - 49 - Chuyên Ths Lê Văn oàn Nguyên hàm – Tích phân ng d ng VII – D ng tốn Tích phân m t s hàm c bi t D ng Tích phân c a hàm s ch n – hàm s l N u hàm s f ( x ) liên t c l −a;... Page - 27 - Chuyên Ths Lê Văn oàn Nguyên hàm – Tích phân ng d ng II – D ng tốn Tính tích phân d a vào b ng nguyên hàm b n Phương pháp  Bi n s d ng c b ng nguyên hàm b n Sau ó, tìm ngun hàm F ( x... - - Chuyên Ths Lê Văn oàn Nguyên hàm – Tích phân ng d ng V – D ng tốn Tính ngun hàm b ng phương pháp dùng hàm ph tv n : Xác nh nguyên hàm c a hàm s f ( x ) , ta c n tìm m t hàm g ( x ) cho nguyên