Đang tải... (xem toàn văn)
ĐA TẠP GRASSMANN VỚI MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NÓLuận văn được chia làm hai chươngCHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊCHƯƠNG 2. ĐA TẠP GRASSMANN VỚI MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NÓ
MỤC LỤC 1 LỜI NÓI ĐẦU Ta đã được biết nhiều về hình học xạ ảnh. Về mặt tập hợp, không gian xạ ảnh là tập tất cả các đường thẳng của không gian affine cùng đi qua một điểm và một tập hợp như vậy được gọi là bó đường thẳng. Vậy không gian tất cả các mặt phẳng cùng đi qua một điểm; hay tổng quát hơn là tập tất cả các p- phẳng (p ≥ 2) của không gian affine cùng đi qua một điểm là không gian gì? Không gian tổng quát này chính là không gian Grassmann hay đa tạp Grassmann. Đa tạp Grassmann này có các tính chất gì liên quan đến hình học nói chung, hình học đại số nói riêng? Với mong muốn hiểu biết tốt hơn vấn đề vừa nêu nên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán, tôi chọn đề tài: “ĐA TẠP GRASSMANN VỚI MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NÓ” Luận văn được chia làm hai chương CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này trình bày một số các khái niệm, định nghĩa, tính chất liên quan chuẩn bị cho nội dung chính của luận văn như đa tạp khả vi,tác động của một nhóm trên một tập hợp và không gian quỹ đạo và một số kiến thức liên quan CHƯƠNG 2. ĐA TẠP GRASSMANN VỚI MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NÓ Trong chương này trình bày một số định nghĩa về đa tạp Stiefel, đa tạp Grassmann ; trình bày và chứng minh một số tính chất hình học và tính chất hình học đại số của nó. Đây là một trong những nội dung chính của đề tài. Nhiều kết quả của chương này là đã được đề cập trong các tài liệu tham khảo, 2 nhưng hầu hết các chứng minh là do chúng tôi trình bày, sắp xếp theo cách hiểu của bản thân. Ngoài ra, có một số kết quả, nhất là những kết quả về tính chất hình học đại số của đa tạp Grassmann, đều do chúng tôi phát biểu và chứng minh, chứ chưa được đề cập trong tài liệu tham khảo. 3 LỜI CẢM ƠN Với việc hoàn thành bản Luận văn này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới Phó Giáo sư – Tiến sĩ Nguyễn Huỳnh Phán – người đã nhiệt tình từng bước hướng dẫn tôi thực hiện việc nghiên cứu đề tài: từ việc gợi ý, cung cấp các tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn các phương pháp thực hiện và truyền đạt nhiều kiến thức quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn đến việc chỉnh sửa và hoàn chỉnh nội dung của bài luận. Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy trong tổ Bộ môn Hình Học, khoa Toán của Trường Đại học Vinh và khoa quản lý Sau đại học của Trường Đại học Đồng Tháp đã giúp tôi hoàn thành tất cả các học phần của Khóa học, nâng cao được trình độ kiến thức chuyên môn và các phương pháp học tập hữu ích; giúp tôi hoàn thành các học trình, đặc biệt là luận văn tốt nghiệp. Xin chân thành cảm ơn sự quan các bạn cùng khóa học, gia đình đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Chân thành cảm ơn! Đồng Tháp, ngày 31 tháng 08 năm 2013 Tác giả Huỳnh Đình Bảo Huy 4 CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này trình bày một số các khái niệm, định nghĩa, tính chất liên quan chuẩn bị cho nội dung chính của luận văn như đa tạp khả vi,tác động của một nhóm trên một tập hợp và không gian quỹ đạo và một số kiến thức liên quan. 1.1 ĐA TẠP KHẢ VI Trong mục này trình bày lý thuyết về đa tạp khả vi như là định nghĩa, ví dụ minh họa, một số tính chất của đa tạp khả vi và có chứng minh chi tiết. 1.1.1 Định nghĩa • Giả sử M là 2 T không gian. Nếu U mở trong M và * U là tập mở trong n R và * :U U ϕ → đồng phôi thì ( , )U ϕ được gọi là một bản đồ của M . • Với p U∈ thì ( ) n p R ϕ ∈ , nên ( ) 1 2 ( ) , , , n p x x x ϕ = . Khi đó ( ) 1 2 , , , n x x x được gọi là tọa độ của p đối với ( , )U ϕ và ( , )U ϕ được gọi là hệ tọa độ địa phương • Giả sử 1 1 ( , )U ϕ và 2 2 ( , )U ϕ là 2 bản đồ của M sao cho 1 2 W U U= ∩ ≠ ∅ . Khi đó 1 1 ( , )U ϕ và 2 2 ( , )U ϕ được gọi là phù hợp nếu ánh xạ 1 2 1 ϕ ϕ − o : 1 1 2 2 1 2 ( ) ( )U U U U ϕ ϕ ∩ → ∩ là vi phôi ( song ánh và khả vi hai chiều) Chú ý: Ta thấy 1 2 U U∩ ≠ ∅ và 1 2 1 1 1 2 2 : W (W) W (W) ϕ ϕ ϕ ϕ − = → =o , 1 1 1 2 1 1 2 ( ) ϕ ϕ ϕ ϕ − − − =o o và 1 2 1 ϕ ϕ − o được gọi là công thức đổi tọa độ từ 1 1 ( , )U ϕ sang 2 2 ( , )U ϕ đối với các điểm Wp ∈ . Ta quy ước là nếu 1 2 U U∩ = ∅ thì 1 1 ( , )U ϕ và 2 2 ( , )U ϕ là phù hợp. Ví dụ 1: Trong 2 ¡ ta lấy ( ) { } 1 2 2 ; / 1M S x y x y= = + = 5 Đặt ( ) { } ( ) ( ) { } ( ) 1 2 * 1 ; S / x 0 1 ; 1;1 , U 1;1U x y y y y= ∈ > = − ∈ − = − Và * 1 1 :U U ϕ → ; ( ) 2 1 ;y y y− a Khi đó 1 1 ( , )U ϕ là một bản đồ của 1 S Chứng minh: * 1 ϕ là song ánh Giả sử ( ) 2 1 ;A a a− và ( ) 2 1 1 ;bB b U− ∈ sao cho 1 1 ( ) ( )A B ϕ ϕ = . Khi đó a b = và do đó A B= . Vậy 1 ϕ là đơn ánh. Với bất kỳ ( ) 1;1y ∈ − , lấy ( ) 2 1 ;X y y− thì 1 X U∈ và ( ) 1 X y ϕ = . Vậy 1 ϕ là toàn ánh * 1 ϕ là liên tục: điều này hiển nhiên vì 1 ϕ là phép chiếu. * 1 1 ϕ − là liên tục Ta có 1 * 1 1 :U U ϕ − → ( ) 2 1 ;x x x − a Vì các hàm tọa độ 1 2 1 2 1 1 1 : 1 , :x x x x ϕ ϕ − − − a a liên tục nên 1 1 ϕ − liên tục Do đó 1 ϕ là đồng phôi Vậy 1 1 ( , )U ϕ là một bản đồ của 1 S . Ví dụ 2: Trong 2 ¡ ta lấy ( ) { } 1 2 2 ; / 1M S x y x y = = + = Đặt ( ) { } ( ) ( ) { } ( ) 1 2 * 2 2 ; / 0 ; 1 / 1;1 , 1;1U x y S y x x x U= ∈ > = − ∈ − = − 6 và * 2 2 2 :U U ϕ → ( ) 2 ; 1x x x − a Khi đó ( ) 2 2 ;U ϕ là một bản đồ của 1 M S= và ( ) 1 1 ;U ϕ với ( ) 2 2 ;U ϕ là phù hợp Chứng minh: + Chứng minh tương tự ví dụ 1 thì ta có ( ) 2 2 ;U ϕ là bản đồ của 1 S + Ta chứng minh ( ) 1 1 ;U ϕ và ( ) 2 2 ;U ϕ là phù hợp. Thật vậy ( ) { } 1 1 2 W ; / 0, 0U U x y S x y= ∩ = ∈ > > ( ) 1 1 W (W) 0;1 ϕ = = , ( ) 2 2 W (W) 0;1 ϕ = = Do đó ( ) ( ) 1 2 1 : : 0;1 0;1f ϕ ϕ − → o 2 1t t → − Khi đó: f là song ánh f là hàm số khả vi vì ( ) ' 2 ( ) , 0;1 1 t f t t t − = ∈ − 1 f − là hàm số khả vi vì ( ) 1 : (0;1) 0;1f − → 2 1x x − a Vậy ( ) 1 1 ;U ϕ và ( ) 2 2 ;U ϕ là phù hợp 1.1.2 Định nghĩa 7 • Giả sử Giả sử M là 2 T không gian. A = { ( ) ; i i i I U ϕ ∈ là họ các bản đồ trên M } nếu A thỏa mãn: i/ i i I U M ∈ ∪ = ii/ ( ) ; i i U ϕ và ( ) ; j j U ϕ là phù hợp, với mọi i j≠ thì ta nói A là một Atlat của M • Hai Atlat ( ) { } ( ) { } ; , ; i i j j i I j J A U B V ϕ ϕ ∈ ∈ = = được gọi là phù hợp nếu ( ) ; i i U ϕ và ( ) ; j j V ϕ phù hợp với ,i j∀ Nhận xét: Nếu A và B là hai Atlat phù hợp thì A B∪ cũng là một Atlat 1.1.3 Định nghĩa • Nếu A là một Atlat cực đại trên M ( tức là A không nằm trong bất kỳ Atlat nào) thì A được gọi là một cấu trúc khả vi trên M • Một 2 T - không gian M có cấu trúc khả vi được gọi là đa tạp khả vi n- chiều. Nhận xét: • Atlat cực đại A gọi là cấu trúc khả vi thì 1 i j ϕ ϕ − o là vi phôi với mọi i, j • Khi nói M là đa tạp khả vi thì ta chỉ cần chỉ ra một Atlat với số bản đồ ít nhất có thể để tính toán các phép tính khả vi trên nó. Ví dụ 1: Lấy ( ) { } 1 2 2 ; / 1M S x y x y = = + = . Ta đã chứng minh được ( ) 1 1 ;U ϕ và ( ) 2 2 ;U ϕ là hai bản đồ của M. Đặt ( ) { } ( ) ( ) { } ( ) 1 2 * 3 3 ; / x 0 1 ;y / y 1;1 , 1;1U x y S y U= ∈ < = − − ∈ − = − 8 và * 3 3 3 :U U ϕ → ( ) 2 1 ;yy y − − a ( ) { } ( ) ( ) { } ( ) 1 2 * 4 4 ; / 0 ; 1 / 1;1 , 1;1U x y S y x x x U= ∈ < = − − ∈ − = − và * 4 4 4 :U U ϕ → ( ) 2 ; 1x x x − − a Tương tự, ta cũng chứng minh được ( ) 3 3 ;U ϕ và ( ) 4 4 ;U ϕ là hai bản đồ của M Do đó ( ) { } 4 1 ; i i i U ϕ = là một Atlat của M Vậy 1 M S = là một đa tạp khả vi 1 – chiều Nhận xét: Cho M là đa tạp n – chiều . Ta thấy nếu N là tập mở trong M thì N cũng là một đa tạp n – chiều Chứng minh: Thật vậy, ta thường lấy Atlat của N là thu hẹp của Atlat của M trên N. Bây giờ giả sử M là đa tạp m – chiều với tập bản đồ bảo hòa là ( ) { } ; i i i I A U ϕ ∈ = và N là đa tạp n – chiều với tập bản đồ bảo hòa là ( ) { } ; j j j J B V ϕ ∈ = . Ký hiệu i j : ( ) ( ) n m i j i i j j f U V U V ϕ ϕ + × → × ⊂ ¡ ( ) 1 1 ( ; ) ; ; ; ; ; m n a b a a b ba 9 Khi đó { } , i j i j i j U V f × là một Atlat của tập tích Đềcác M × N Vậy M × N là một đa tạp (m + n ) – chiều. Ví dụ 2 : Xét GL(n, R) ={các tự đẳng cấu tuyến tính của n R }. Khi đó GL(n, R) là đa tạp khả vi 2 n - chiều. Chứng minh: Ta đồng nhất 2 n Mat(n n, R) R × ≡ . Xét ánh xạ det : Mat(n n, R) R × → ign ij S 1i 2i ni 1 2 n n A = x detA = (-1) x x x s σ σ ∈ → ∑ Ở đây phần tử (hay là biến) ti t x , t = 1, 2, …, n là phần tử nằm ở hàng t, cột i t của ma trận A. Do đó, rõ ràng det A là một đa thức bậc n, thuần nhất của n 2 biến từ biến x 11 , x 12 ,…, x 1n , …. cho tới các biến x n1 , x n2 , , x nn . S n là nhóm tất cả các song ánh (còn gọi là phép thế) trên tập n số 1, 2, …, n (có n! song ánh như vậy), sgn σ là dấu của phép thế σ . Cho nên khi đó: • det là ánh xạ (chính xác là hàm số) khả vi • 1 1 det ( ,0) det (0, ) GL(n,R) − − −∞ ∪ +∞ = suy ra GL(n,R) là mở trong 2 n R . Do đó GL(n,R) , đa tạp khả vi n 2 - chiều. 10 [...]... ứng, với nền X/G Ký hiệu: là phép chiếu Ta xây dựng vi phôi π : X ×G (G / H ) → X / H sao cho sơ đồ sau giao hoán: X ×G (G / H ) u X/H π π0 X/G 20 CHƯƠNG II ĐA TẠP GRASSMANN VỚI MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NÓ Trong chương này trình bày một số định nghĩa về đa tạp Stiefel, đa tạp Grassmann ; trình bày và chứng minh một số tính chất hình học và tính chất hình học đại số của. .. Định nghĩa đa tạp Grassmann Đa tạp Grassmann G p, n là họ tất cả các p- phẳng cùng đi qua 1 điểm trong không gian afin Rn Khi p = 1, như ta đã biết, đó là không gian xạ ảnh Pn-1 Như vậy, khái niệm đa tạp Grassmann là sự tổng quát hóa khái niệm không gian xạ ảnh 2.4 Một số cách xây dựng đa tạp Grassmann Trong mục này ta sẽ trình bày các cách xây sựng đa tạp Grassmann 22 2.4.1 Ta xét một tác động của nhóm... tính chất hình học đại số của nó Đây là một trong những nội dung chính của đề tài, nó bao gồm nhiều kết quả đã được đề cập trong các tài liệu tham khảo, nhưng hầu hết các chứng minh là do chúng tôi trình bày, sắp xếp theo cách hiểu của bản thân Ngoài ra, có một số kết quả, đặc biệt là những kết quả về tính chất hình học đại số của đa tạp Grassmann, đều do chúng tôi phát biểu và tự chứng minh, chứ chưa...1.2 TÁC ĐỘNG CỦA MỘT NHÓM TRÊN MỘT TẬP HỢP VÀ KHÔNG GIAN QUỸ ĐẠO 1.2.1 Định nghĩa tác động của một nhóm trên một tập hợp Cho G là nhóm và E là tập hợp Ta nói một phép toán trái của G trên E hoặc nói nhóm G tác động trái trên tập hợp E nếu có ánh xạ từ G × E vào E; (s, x) a s x thỏa mãn 2 điều kiện sau: • e.x=x với mọi x trong E • (s.t).x = s.(t.x) với mọi t,s trong G và mọi x trong E Từ định... Vp,n khi và chỉ khi mọi định thức p con cấp p của X đều triệt tiêu Mỗi ma trận X, có tất cả Cn định thức con cấp p như vậy, mà mỗi chúng, như đã nói ở Ví dụ 2, mục 1.1.3, Chương I, là một đa thức thuần nhất bậc p gồm p 2 biến Như vậy, phần bù của V p,n trong không p gian ma trận R p×n là nghiệm của một họ Cn các đa thức Do đó nó là một tập đóng đại số Zariski, cho nên V p, n là một tập mở Zariski với cấu... ma trận X(a) này, số 1 trên hàng i luôn nằm ở cột thứ a(i) Những vị trí còn lại, nếu không là số không thì là một số thực tự do x t l nào đó 33 Vậy tương ứng giữa một bộ chỉ số Schubert a của S p ,n và một ngăn Schubert U a của Grassmann G p ,n là tương ứng với 1 – 1 và dim U a = a1 + a2 + + a p 2.6.1 Định lý: Ký hiệu ∂U a là biên trong G p ,n của U a Thế thì ngăn U b ⊂ ∂U a khi và chỉ khi b < a trong... R) cũng là một đa tạp Grassmann Chứng minh Mỗi p- phẳng đi qua điểm O được xác định bởi một một p-cơ sở trực chuẩn của không gian vec tơ nền (hay cũng là p- mục tiêu trựcc chuẩn trong nó) Và hai p-cơ sở trực chuẩn cùng cho một không gian vec tơ nên có chiều p khi và chỉ khi chsung vùng một quỹ đạo bởi atsc động của nhóm truwjkc gia O(p, R) trên NV p, n Do đó các không gian V p, n/ GL(p, R) và NVp, n... xạ và f.Pr = g , nên f với là C ∞ - ánh xạ Cuối cùng, vì o U k là C ∞ - đa tạp con (k+1) – chiều R* - bất biến n +1 o của R \ { 0} nên không gian thương U k = U k / R* là C ∞ - đa tạp con của o Pn có chiều bằng dim U k - dim R* = ( k + 1) − 1 = k ( mệnh đề được chứng minh) 2.5.4 Định nghĩa: Mỗi đa tạp con U k của không gian xạ ảnh Pn gọi là một ngăn k – chiều 2.5.5 Hệ quả: n Pn = U U k và các U k của. .. chính đẳng cấu với nó gọi là khả tầm thường 1.2.6 Một số tính chất của phân thớ chính 1.2.6.1 Mệnh đề: Cho G - phân thớ chính ( X , B, π ) và G còn tác động khả vi bên trái trên đa tạp F Khi đó G tác động tự do trên X × F bởi ( x, y).s a (x s,s −1y) Với tác động này: 18 • Đa tạp quĩ đạo tồn tại, ký hiệu là X ×G F • Mỗi quĩ đạo Z ∈ X ×G F , ký hiệu π F (Z) là phần tử của B bằng π (X) với mọi ( x, y )... ngược của (b, y ) a σ (b) y Từ đây ta nhận được (ii) 1.2.6.2 Định nghĩa X ×G F gọi là không gian phân thớ với thớ loại F ứng với X và tác động của G lên F 1.2.6.3 Định lý 19 Cho G – phân thớ chính ( X , B, π ) và H là nhóm con ( đóng) của G tác động trên X bởi thu hẹp của G Thì đa tạp quĩ đạo X/H tồn tại và ( X , X / H , π ) là H – phân thớ chính Hơn nữa nếu mỗi H – quĩ dạo được chứa trong một G – . mọi u U∈ và tại mỗi u U∈ , ( ) ( ) u T u σ σ là phần bù của 1 ( ) ( ( )) u T u σ π − trong ( ) ( ) u T X σ . Hơn nữa 1 : ( )U G U ϕ π − × → cho bởi ( , ) . (u)u s s σ → là song ánh nên. tại ( ) 0 ,u e . Bây giờ giả sử ( ) 0 0 , /u x X G G∈ × . Thế thì ϕ phân tích được: ( / )X G G × X ( , )u s ϕ . ( )s u σ 16 (3 ) (1 ) s 0 .x 1 0 ( , . )u s s − (2 ) 1 0 . . ( )s. chứng minh ( ) 1 1 ;U ϕ và ( ) 2 2 ;U ϕ là phù hợp. Thật vậy ( ) { } 1 1 2 W ; / 0, 0U U x y S x y= ∩ = ∈ > > ( ) 1 1 W (W) 0;1 ϕ = = , ( ) 2 2 W (W) 0;1 ϕ = = Do đó ( ) ( ) 1 2 1 :