Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác pptx

7 552 0
Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác pptx

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

Gv; Phan Công Trứ - Trường THPT Thanh Bình 2 – ðồng Tháp Ôn tập ðại số và giải tích 11 CHƯƠNG I : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI 1 : CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng 1 : Tìm tập xác ñịnh của hàm số lượng giác • Tập xác ñịnh của hàm số là tập hợp những giá trị của x sao cho f(x) có nghĩa. • Các hàm số y = sinx và y = cosx có tập xác ñịnh là R. • Hàm số y = tanx có tập xác ñịnh D = \ , 2 k k π π   + ∈     ℝ ℤ . • Hàm số y = cotx có tập xác ñịnh D = { } \ ,k k π ∈ ℝ ℤ . Bài 1 : Tìm tập xác ñịnh của các hàm số sau : a) y = 1 sin 2 cos x x + b) y = 2 sin3 x − c) y = 3cos sinx.cos x x d) y = 2tan3 5 os6 sin3 x c x x − Giải : a) Hàm số ñược xác ñịnh khi cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ π/2 + kπ. Vậy tập xác ñịnh của hàm số là D = \ , 2 k k π π   + ∈     ℝ ℤ . b) Ta có : 2 – sin3x > 0 , ∀x ∈ R. Do ñó tập xác ñịnh là D = R. c) Hàm số ñược xác ñịnh khi : sinx.cosx ≠ 0 ⇔ sin2x ≠ 0 ⇔ 2x ≠ kπ ⇔ x ≠ kπ/2 Vậy tập xác ñịnh của hàm số là D = \ , 2 k k π   ∈     ℝ ℤ . d) Hàm số xác ñịnh khi : os6 0 os6 0 sin3 0 sin12 0 sin6 0 12 os3 0 c x c x k x x x x c x ≠  ≠  π  ≠ ⇔ ⇔ ≠ ⇔ ≠   ≠   ≠  . Vậy tập xác ñịnh của hàm số là D = \ , 12 k k π   ∈     ℝ ℤ . Bài 2 : Tìm tập xác ñịnh của các hàm số : a) y = tan 3 4 x π   +     b) y = t 6 5 3 co x x π   − +     Giải: a) Hàm số xác ñịnh khi : 3 4 2 12 3 x k x k π π π π + ≠ + π ⇔ ≠ + Vậy tập xác ñịnh của hàm số là D = \ , 12 3 k k π π   + ∈     ℝ ℤ . b) Hàm số xác ñịnh khi : 6 3 18 6 x k x k π π π − ≠ π ⇔ ≠ − . Vậy tập xác ñịnh của hàm số là D = \ , 18 6 k k π π   − ∈     ℝ ℤ . Gv; Phan Công Trứ - Trường THPT Thanh Bình 2 – ðồng Tháp Ôn tập ðại số và giải tích 11 Dạng 2 : Xét tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác. Phương pháp: Tìm tập xác ñịnh D của hàm số Với mọi x ∈ D : + Nếu ( ) ( ) ( ) x D f x f x f x − ∈  ⇒  − =  là hàm số chẵn. + Nếu ( ) ( ) ( ) x D f x f x f x − ∈  ⇒  − = −  là hàm số lẻ. Chú ý : ðồ thị hàm số chẵn nhận trục tung là trục ñối xứng, ñồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa ñộ O làm tâm ñối xứng. Hàm số y = cosx là hàm chẵn và các hàm số y = sinx, y = tanx, y = cotx là hàm lẻ. Bài tập : Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau : a) y = −4cos2x b) y = sin 3 4x – 3sinx c) y = tan cot2 sin x x x + d) y = 3sinx + 2cosx – 1 Giải a) Hàm số y = −4cos2x có tập xác ñịnh D = R Với mọi x∈ D thì −x ∈D và f(−x) = −4cos(−2x) = −4cos2x = f(x). Vậy f(x) là hàm số chẵn. b) Là hàm số lẻ. c) Là hàm số chẵn. d) Tập xác ñịnh : D = R Với mọi x ∈D thì −x∈D. Ta có : f(−x) = 3sin(−x) + 2cos(−x) – 1 = −3sinx + 2cosx – 1. Suy ra f(−x) ≠ f(x) và f(−x) ≠ −f(x). Vậy f(x) không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ. Dạng 3: Xét chiều biến thiên của hàm số lượng giác : Phương pháp: Tìm tập xác ñịnh của hàm số Dựa vào chiều biến thiên của các hàm số lượng giác cơ bản • Hàm số y = sinx ñồng biến trên mỗi khoảng : 2 ; 2 2 2 k k   π π − + π + π     và nghịch biến trên mỗi khoảng 2 ; 2 2 2 k k   π 3π + π + π     . • Hàm số y = cosx ñồng biến trên mỗi khoảng : ( ) (2 1) ; 2 k k − π π và nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) 2 ;(2 1) k k π + π . • Hàm số y = tanx ñồng biến trên mỗi khoảng ; 2 2 k k   π π − + π + π     • Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng ( kπ ; (k +1)π). Bài 1 : Không sử dụng máy tính, hãy so sánh các giá trị lượng giác sau ñây : Gv; Phan Công Trứ - Trường THPT Thanh Bình 2 – ðồng Tháp Ôn tập ðại số và giải tích 11 a) 7 sin 24 − π và 5 sin 12 − π b) 17 cot 20 π và 4 cot 5 π Giải a) Hàm số y = sinx ñồng biến trên khoảng ; 2 2   π π −     Do ñó từ : 5 7 2 12 24 2 π − π − π π − < < < suy ra, 7 sin 24 − π > 5 sin 12 − π . b) Hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng (0 ; π). Do ñó từ 4 17 0 5 20 π π < < < π suy ra, 17 cot 20 π < 4 cot 5 π . Bài 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau ñây trên ñoạn, khoảng ñã chỉ ra : a) y = sin2x trên ñoạn 3 ; 4 4   π π −     b) y = tan3x trên khoảng ; 12 6   π π −     Giải a) Với x ∈ 3 ; 4 4   π π −     thì 2x ∈ 3 ; 2 2   π π −     Với x ∈ ; 4 4   π π −     ⇔ 2 2 2 x π π − ≤ ≤ : Hàm số y = sin2x ñồng biến. Với x ∈ ; 4 4   π 3π     ⇔ 2 2 2 x π 3π ≤ ≤ : Hàm số y = sin2x nghịch biến. Vậy hàm số ñồng biến trên khoảng ; 4 4   π π −     và nghịch biến trên khoảng 3 ; 4 4   π π     . b) Với x∈ ; 12 6   π π −     thì 3x ∈ ; ; 4 2 2 2     π π π π − ⊂ −         Do ñó hàm số y = tan3x ñồng biến trên khoảng ; 12 6   π π −     . Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác Phương pháp: + Dựa vào bảng biến thiên của hàm số lượng giác. + Dựa vào tính chất của hàm số lượng giác. ∀x∈R ta có −1 ≤ sinx ≤ 1 và −1 ≤ cosx ≤ 1. + Dựa vào các bất ñẳng thức ñã học. • Cô-si : a + b ≥ 2 ab (a, b ≥ 0), dấu “=” xảy ra khi a = b. • Bu-nhi-a-cốp-xki : (ax + by) 2 ≤ (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ), dấu “=” xảy ra khi ay = bx. • Bất ñẳng thức về giá trị tuyệt ñối : a b a b a b − ≤ + ≤ + . Bài 1: Cho hàm số y = cosπx. Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên 1 3 ; 4 2       . Gv; Phan Công Trứ - Trường THPT Thanh Bình 2 – ðồng Tháp Ôn tập ðại số và giải tích 11 Giải Với x∈[1/4 ; 3/2] thì πx ∈[π/4 ; 3π/2]. Xét 2 trường hợp : Xét π/4 ≤ πx ≤ π ⇔ ¼ ≤ x ≤ 1 : Hàm số y = cosπx nghịch biến. Xét π ≤ πx ≤ 3π/2 ⇔ 1 ≤ x ≤ 3/2 : Hàm số y = cosπx ñồng biến. BBT : (trên ñoạn [1/4 ; 3/2] x ¼ 1 3/2 2 2 0 y −1 Từ BBT ta có : Hàm số ñạt GTNN tại x = 1 và miny = −1. Hàm số ñạt GTLN tại x = ¼ và maxy = 2 2 . Bài 2 : Tìm GTLN và GTNN của các hàm số : a) y = 5sin(2x + π/4) + 8 b) y = 2 4 os 3 1 c x − + c) y = cos 2 x – 2cosx + 3 Giải a) ∀x∈R, ta có : −1 ≤ sin(2x + π/4) ≤ 1 ⇔ −5 ≤ 5sin(2x + π/4) ≤ 5 ⇔ 3 ≤ 5sin(2x + π/4) + 8 ≤ 13 Do ñó : maxy = 13 và miny = 3. b) ∀x∈R, ta có : 0 ≤ cos 2 3x ≤ 1 ⇔ 3 ≤ 4 – cos 2 3x ≤ 4 ⇔ 3 ≤ 2 4 – cos 3x ≤ 2 ⇔ 3 + 1≤ 2 4 – cos 3x + 1 ≤ 3. Do ñó : maxy = 3 và miny = 3 + 1. c) Ta có : y = cos 2 x – 2cosx + 3 = (cosx – 1) 2 + 2 ∀x∈R, ta có : −1 ≤ cosx ≤ 1 ⇔ −2 ≤ cosx – 1 ≤ 0 ⇔ 0 ≤ (cosx – 1) 2 ≤ 4 ⇔ 2 ≤ (cosx – 1) 2 + 2 ≤ 6 Do ñó : maxy = 6 và miny = 2. Dạng 5: Xét tính tuần hoàn của hàm số lượng giác. Phương pháp. Tìm tập xác ñịnh của hàm số. Chứng minh tồn tại số T ≠ 0 sao cho với mọi x∈D, ta có : x ± T ∈D và f(x + T) = f(x). Nhận xét : Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên ñược gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn . Các hàm số y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b) tuần hoàn có chu kì T = 2 a π . Các hàm số y = tan(ax + b) và y = cot(ax + b) tuần hoàn có chu kì T = a π . Bài tập : Chứng minh rằng hàm số sau tuần hoàn và tìm chu kì của nó : y = f(x) = sin2x. Gv; Phan Công Trứ - Trường THPT Thanh Bình 2 – ðồng Tháp Ôn tập ðại số và giải tích 11 Giải Tập xác ñịnh : D = R Với mọi x∈D ta có : x ± π∈D và f(x + π) = sin2(x + π) = sin2x = f(x). Vậy hàm số y = sin2x tuần hoàn với chu kì là T = π. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản : • sinu = sinv ⇔ u = v + k2π hoặc u = π − v + k2π (k∈Z) • cosu = cosv ⇔ u = ±v + k2π ⇔ 2 2 u v k u v k  = + π  = − + π  • tanu = tanv ⇔ u = v + kπ • cotu = cotv ⇔ u = v + kπ • Với ñiều kiện m ∈ [−1 ; 1], ta có : sinx = m ⇔ x = arcsinm + k2π hoặc x = π − arcsinm + k2π (k∈Z) cosx = m ⇔ x = ±arccosm + k2π. • tanx = m ⇔ x = arctanm + kπ • cotx = m ⇔ x = arccotm + kπ 2. Chú ý : a. Chuyển ñổi giữa sin và cos ; giữa tan và cot : sinx = cos 2 x   π −     ; cosx = sin 2 x   π −     tanx = cot 2 x   π −     ; cotx = tan 2 x   π −     b. ðổi dấu hàm số lượng giác : −sinx = sin(−x) ; −cosx = cos(π −x) −tanx = tan(−x) ; −cotx = cot(−x) c. Các trường hợp ñặc biệt : sinx = 1 ⇔ x = π/2 + k2π. sinx = −1 ⇔ x = −π/2 + k2π. sinx = 0 ⇔ x = kπ ⇔ cosx = ±1. cosx = 0 ⇔ x = π/2 + kπ ⇔ sinx = ±1. cosx = 1 ⇔ x = k2π. cosx = −1 ⇔ x = π + k2π. d. Ghép nghiệm (gộp nghiệm) phương trình lượng giác : Một nghiệm của phương trình lượng giác thwongf là một họ cung và một phương trình lượng giác thường có các nghiệm gồm nhiều họ cung như thế ; các họ cung nhiều khi có các giá trị trùng lặp nhau nên ta thường ghép nghiệm. ðể việc ghép nghiệm ñược nhanh và dễ dàng ta thường biểu diễn nghiệm trên ñường tròn lượng giác và ghép các giá trị có ñiểm cuối (ngọn) của cung trùng nhau trên ñường tròn lượng giác hoặc dựa vào hình vẽ tìm công thức chung cho các nghiệm. y x A3 A4 A1 A2 O B3 B1 B4 B2 Gv; Phan Công Trứ - Trường THPT Thanh Bình 2 – ðồng Tháp Ôn tập ðại số và giải tích 11 Ví dụ : 2 ( ) 4 4 2 x k x k k Z x l  π =  π ⇔ = ∈  π π  = +   3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN : Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản Phương pháp : Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản. Bài 1: Giải các phương trình sau : a) sinx = 1 2 b) cosx = 3 2 − c) sin2x = sin 6 x   π +     d) cos(2x – 60 o ) = cos(x + 30 o ) e) sin4x = cos3x f) cos 2 x = sin 2 (3x – 15 o ) g) tan(2x + 3) + cot(x – 1) = 0 h) sin2x + 5 .cosx = 0 Giải a) Ta có : sinx = 1 2 ⇔ sinx = sin 6 π ⇔ 2 6 5 2 6 x k x k  π = + π   π  = + π   Vậy phương trình có nghiệm x = π/6 + k2π , x = 5π/6 + k2π. b) Ta có : cosx = 3 2 − = − 5 os os os 6 6 6 c c c   π π π = π− =     ⇔ x = ± 5π/6 + k2π Vậy phương trình có nghiệm x = ± 5π/6 + k2π. c) Ta có : sin2x = sin 6 x   π +     ⇔ 2 2 2 6 6 5 2 2 2 6 8 3 x x k x k x x k x k  π  π = + + π = + π    ⇔    π  π π  = π − + + π = +         Vậy phương trình có nghiệm x = π/6 + k2π , x = 5π/8 + k2π/3. d) Ta có : cos(2x – 60 o ) = cos(x + 30 o ) ⇔ 2 60 30 360 90 360 2 60 ( 30 ) 360 10 120 o o o o o o o o o o x x k x k x x k x k   − = + + = + ⇔   − = − + + = +     Vậy phương trình có nghiệm x = 90 o + k360 o , x = 10 o + k120 o . e) Ta có : sin4x = cos3x ⇔ sin4x = sin 2 14 7 3 2 2 2 k x x x k  π π = +    π − ⇔    π    = + π   f) cos 2 x = sin 2 (3x – 15 o ) ⇔ 1 os2 1 os(6 30 ) os(6 30 ) os2 os(180 ) 2 2 o o o c x c x c x c x c x + − − = ⇔ − = − = − Gv; Phan Công Trứ - Trường THPT Thanh Bình 2 – ðồng Tháp Ôn tập ðại số và giải tích 11 ⇔ 105 45 4 150 90 4 o o o o x k x k  = +   −  = +   g) tan(2x + 3) + cot(x – 1) = 0 ⇔ tan(2x + 3) = −cot(x − 1) = cot(1 − x) = tan 1 2 x   π + −     ⇔ x = 4 2 k π − + π h) sin2x + 5 .cosx = 0 ⇔ 2sinx.cosx + 5 .cosx = 0 ⇔ cosx(2sinx + 5 ) = 0 ⇔ cosx = 0 hoặc 2sinx + 5 = 0(VN) ⇔ cosx = 0 ⇔ x = π/2 + kπ. Dạng 2 : Giải phương trình lượng giác cơ bản thỏa mãn ñiều kiện cho trước. Bài 2: Giải các phương trình sau với ñiều kiện ñã chỉ ra : a) 2sin2x = 1 với 0 < x < 2π. b) cos3x = 3 2 − với −π < x < π. Giải a) Ta có : 2sin2x = 1 ⇔ sin2x = ½ = sin 6 π ⇔ 12 5 12 x k x k  π = + π   π  = + π   (k∈Z) Xét : x = 12 k π + π . Vì 0 < x < 2π nên 0 < 12 k π + π < 2π ⇔ 1 23 0 2 12 12 12 12 k k π π − < π < π − ⇔ − < < Do k ∈Z suy ra k = 0, k = 1. ( chú ý ta có thể xét thêm họ nghiệm còn lại). Vậy ta ñược các nghiệm thỏa ñề bài là : x = 12 π , x = 12 5π , x = 12 13π , x = 12 17π . b) Ta có : cos3x = 3 2 − = − 5 os os os 6 6 6 c c c   π π π = π− =     ⇔ x = ± 5 2 18 3 k π π + (k∈Z) . ðại số và giải tích 11 CHƯƠNG I : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI 1 : CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng 1 : Tìm tập xác ñịnh của hàm số lượng giác • Tập xác ñịnh của hàm số là. f(x) và f(−x) ≠ −f(x). Vậy f(x) không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ. Dạng 3: Xét chiều biến thiên của hàm số lượng giác : Phương pháp: Tìm tập xác ñịnh của hàm số Dựa vào. ñó hàm số y = tan3x ñồng biến trên khoảng ; 12 6   π π −     . Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác Phương pháp: + Dựa vào bảng biến thiên của hàm số lượng giác. + Dựa vào

Ngày đăng: 04/07/2014, 10:20

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan