Tuyển tập đề thi Toán vào lớp 10 Nguyễn Công Minh S GIO DC O TO THI TUYN SINH LP 10 NM HC 2009 - 2010 NAM NH MễN: TON - chuyờn Thi gian lm bi: 150 phỳt, khụng k thi gian giao CHNH THC thi gm 1 trang Cõu1: (2,0 im) 1) Gii phng trỡnh: 6 2x x+ = 2) Chng minh: 1 1 1 9 4 1 3 5 7 97 99 + + + > + + + Cõu II: (3,0 im) 1) Cho phng trỡnh: x 4 6x 2 + 4 = 0. Chng minh phng trỡnh ó cho cú bn nghim phõn bit. Gi bn nghim ú l x 1, x 2, x 3 , v x 4 , hóy tớnh giỏ tr ca biu thc T = 6 1 x + 6 2 x + 6 3 x + 6 4 x ( vi kt qu c rỳt gn ). 2) Gii h phng trỡnh: 3 2 2 2 2 x 3y 6y 4 0 x x y 2y 0 + + = + = Cõu III: (2,0im) Cho tam giỏc nhn ABC. V v phớa ngoi ca tam giỏc ABC na ng trũn ng kớnh AB v na ng trũn ng kớnh AC. ng thng d thay i i qua A, ct hai na ng trũn va v theo th t ti M v N ( M v N khỏc A). Chng minh rng: 1) ng trung trc ca on thng MN luụn i qua mt im c nh. 2) MB + MN + NC < 2 (AB + AC). Cõu IV (1,0 im) Bờn trong mt hỡnh vuụng cú cnh bng 8cm, ly 100 im bt k. Chng minh rng trong 100 im va ly, cú ớt nht 4 im cựng nm trong mt ng trũn cú bỏn kớnh bng 1cm. Cõu V (2,0 im) 1) Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = 2x + 2 1 4x x . 2) Chng minh rng: Nu cỏc s nguyờn dng x, y, z ( vi x > 1 v y > 1) tho món iu kin x 2 y 2 4x + 4y = z 2 thỡ x = y. Ht Trờng THCS Nam Hoa Nam Trực Nam Định 1 Tuyển tập đề thi Toán vào lớp 10 Nguyễn Công Minh S GIO DC O TO THI TUYN SINH LP 10 NM HC 2009 - 2010 NAM NH MễN: TON - chuyờn Thi gian lm bi: 150 phỳt, khụng k thi gian giao CHNH THC HNG DN CHM THI Bn hng dn gm 3 trang I . Hng dn chung 1) Nu thớ sinh lm bi khụng theo cỏch nờu trong ỏp ỏn m vn ỳng thỡ cho im tng phn nh hng dn quy nh. 2) Vic chi tit hoỏ thang im ( nu cú) so vi thang im trong hng dn chm phi m bo khụng sai lch vi hng dn chm , khụng chia nh di 0,25 im v c thng nht thc hin trong Hi ng chm thi. 3) im ton bi khụng lm trũn. II. ỏp ỏn v thang im Cõu ỏp ỏn i m Cõu I (2,0 im) 1) (1,00 im) iu kin xỏc nh : x 0 0,25 t x t= , t 0. Phng trỡnh ó cho tr thnh 6 t t 2+ = + (1) Hai v ca (1) khụng õm , nờn (1) tng ng vi 6 + t = (t + 2) 2 t 2 + 3t 2 = 0 0,25 Phng trỡnh trờn cú nghim khụng õm l t = 3 17 2 + 0,25 Vy phng trỡnh ó cho cú nghim x = 2 3 17 13 3 17 2 2 + = ữ ữ 0,25 2) ( 1,00 im) t S = 1 1 1 1 3 5 7 97 99 + + + + + + v S 1 = 1 1 1 5 7 7 9 99 101 + + + + + + Ta cú S > S 1 suy ra 2S > S + S 1 0,50 Mt khỏc S + S 1 1 1 1 1 3 3 5 99 101 = + + + + + + 3 1 5 3 101 99 2 2 2 101 1 9 2 2 = + + + = > Vy S > 9 4 0,50 Cõu II (3,0 im) 1) (1,5 im) t x 2 = t, t 0. Phng trỡnh ó cho tr thnh t 2 6t + 4 = 0 (1). 0.25 Phng trỡnh (1) l phng trỡnh bc hai cú Trờng THCS Nam Hoa Nam Trực Nam Định 2 Tuyển tập đề thi Toán vào lớp 10 Nguyễn Công Minh / = 5 > 0, b a = 6 > 0, c a = 4 > 0 phng trỡnh (1) cú hai nghim dng phõn bit t 1 , t 2 nờn phng trỡnh ó cho cú bn nghim phõn bit. Bn nghim ca phng trỡnh ó cho l: x 1 = - 1 t , x 2 = 1 t , x 3 = - 2 t , x 4 = 2 t . Trong ú t 1 + t 2 = 6, t 1t t 2 = 4 0,50 0,25 Suy ra 6 1 x + 6 2 x + 6 3 x + 6 4 x = 2( 3 1 t + 3 2 t ) = 2(t 1 + t 2 ) 3 6t 1 t 2 (t 1 + t 2 ) = 288 Vy T = 288. 0,50 2) (1,50 im) Gi s h cú nghim ( x; y). T phng trỡnh th nht ca h suy ra x 3 = -3(y 1) 2 -1 x 3 -1 (1). 0,50 Mt khỏc, t phng trỡnh th hai ca h suy ra x 2 (y 2 + 1) = 2y x 3 = 2 2 1 1 1 1 y x y + (2) 0,50 T (1) v (2) suy ra x = -1. thay x = -1 vo phng trỡng th nhõt ca h ta c y = 1. 0,25 Th li: x 1 x 1 = = nghim ỳng h ó cho. Vy h ó cho cú mt nghim x 1 x 1 = = 0,25 Cõu III (2,0 im) 1) (1,00 im) n m j i c b a Ta cú ã 0 90AMB = ( gúc ni tip chn na ng trũn ng kớnh AB), Suy ra MB MN. Tng t ta cú NC MN MB // NC. 0,50 Gi J l trung im ca MN. ng trung trc ca on thng MN i qua J v ct BC ti I. Ta cú IJ MN IJ // MB, suy ra I l trung im BC. Tam giỏc ABC c nh nờn I c nh. Vy ng trung trc ca on thng MN luụn i qua im I c nh l trung im ca BC. 0,50 2) (1,00 im) Ta cú ( x y) 2 2 2 2 0 ( ) 2( )x y x y + + (1), du bng xy ra khi v ch khi x = y. MB + MN + NC = (MB + MA) + ( NC + NA) p dng (1) ta cú MB + MN + NC 2 2 2 2 2( ) 2( ) 2( )MB MA NC NA AB AC + + + = + 0,50 Du bng xy ra khi v ch khi MA = MB v NA = NC cỏc tam giỏc MAB v NAC l tam giỏc vuụng cõn ln lt M v N. ã ã 0 45MAB NAC= = , iu ny khụng th xy ra vỡ ã 0 90BAC < . Vy MB + MN + NC < 2 (AB + AC). 0,50 Trờng THCS Nam Hoa Nam Trực Nam Định 3 TuyÓn tËp ®Ò thi To¸n vµo líp 10 NguyÔn C«ng Minh Câu IV (1,0 điểm) a i q p n m d c b a Gọi ABCD là hình vuông có cạnh bằng 8cm. Giả sử 100 điểm được vẽ bên trong hình vuông ABCD là A 1 , A 2,… , A 100 . Ta tự dựng 100 đường tròn tâm A i có cùng bán kính bằng 1cm, ký hiệu mỗi đường tròn này là (A i ), i ∈ { } 1,2, ,100 . Tồng diện tích của 100 hình tròn vừa vẽ là S = 100 π cm 2 . 0,50 Ta vẽ một hình vuông MNPQ có tâm trùng với tâm hình vuông ABCD, có MN // AB và MN = 10cm. Vậy, tất cả các đường tròn đã vẽ ở trên đều nằm bên trong hình vuông MNPQ và hình vuông MNPQ có diện tích S 1 = 100cm 2 . Do π >3 nên S > 3S 1 , suy ra tồn tại điểm O là điểm trong của ít nhất 4 đường tròn trong số các đường tròn (A i ). Giả sử 4 đường tròn này là (A 1 ), (A 2 ), (A 3 ), (A 4 ). Khi đó 4 điểm A 1 , A 2 , A 3 , A 4 sẽ nằm bên trong đường tròn tâm O bán kính băng 1cm (điều phải chứng minh) 0,50 Câu V (2,0 điểm) 1) ( 0,75 điểm) Với điều kiện 1 - 4x – x 2 ≥ 0 (1) , ta có 2 2 1 (1 4x x ) 1 4x x 2 + − − ≥ − − 2 2 2 x x P 2x 1 4x x 2x 1 2x 1 1 2 2 ⇒ = + − − ≤ + − − = − ≤ 0,50 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0 , thoả mãn điều kiện (1) . Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1. 0,25 2) ( 1,25 điểm) * Nếu x ≥ y 4x 4y 0⇒ − ≥ . Từ giả thiết x 2 y 2 – 4x + 4y = z 2 (1) suy ra x 2 y 2 = 4x – 4y + z 2 ≥ z 2 xy z⇒ ≥ (2) . Mặt khác do x, y nguyên và cùng lớn hơn 1 nên x(2y – 4 ) > 1 – 4y ⇒ 2xy – 1 > 4x – 4y (3) 0,50 Từ (1), (3) suy ra z 2 = x 2 y 2 - ( 4x – 4y) > x 2 y 2 - 2xy + 1 = (xy – 1) 2 ⇒ z > xy – 1 (4) Mà (xy – 1) và xy là hai số nguyên dương liên tiếp nên từ (2) và (4) suy ra xy = z . Thay xy = z vào (1) suy ra x = y . 0,25 * Nếu x < y , lập luận tương tự như trên suy ra xy < z (5) Mặt khác y(2x – 4) > -1 – 4x ⇒ - (4x – 4y) < 2xy + 1 2 2 2 2 2 z x y (4x 4y) x y 2xy 1 z xy 1⇒ = − − < + + ⇒ < + (6) Từ (5),(6) suy ra xy < z < xy + 1 (vô lý vì z là một số nguyên và xy; xy + 1 là hai số nguyên liên tiếp). Vậy x = y. 0,50 Trêng THCS Nam Hoa – Nam Trùc – Nam §Þnh 4 . BC. 0,50 2) (1 ,00 im) Ta cú ( x y) 2 2 2 2 0 ( ) 2( )x y x y + + (1 ), du bng xy ra khi v ch khi x = y. MB + MN + NC = (MB + MA) + ( NC + NA) p dng (1 ) ta cú MB + MN + NC 2 2 2 2 2( ) 2( ) 2( )MB. II (3 ,0 im) 1) (1 ,5 im) t x 2 = t, t 0. Phng trỡnh ó cho tr thnh t 2 6t + 4 = 0 (1 ). 0.25 Phng trỡnh (1 ) l phng trỡnh bc hai cú Trờng THCS Nam Hoa Nam Trực Nam Định 2 Tuyển tập đề. hơn 1 nên x(2y – 4 ) > 1 – 4y ⇒ 2xy – 1 > 4x – 4y (3 ) 0,50 Từ (1 ), (3 ) suy ra z 2 = x 2 y 2 - ( 4x – 4y) > x 2 y 2 - 2xy + 1 = (xy – 1) 2 ⇒ z > xy – 1 (4 ) Mà (xy – 1) và