Trờng THCS GIA sơn Phần I: Lý do nghiên cứu 1-C s lý lun: Trong quỏ trỡnh phỏt trin ,xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự nghiệp đào tạo con ngời .Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng đợc bổ xung và đổi mới để đáp ứng với sự ra đời của nó và sự đòi hỏi của xã hội .Vì vậy mỗi ngời giáo viên nói chung phải luôn luôn tìm tòi ,sáng tạo ,đổi mới phơng pháp dạy học để đáp ứng với chủ trơng đổi mới của Đảng và Nhà nớc đặt ra. Trong chơng trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về phơng trình vô tỉ không nhiều song lại rất quan trọng .đó là những tiền đề cơ bản để học sinh tiếp tục học lên ở THPT. Khi giải toán về phơng trình vô tỉ đòi hỏi học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về căn thức, phơng trình, hệ phơng trình, các phộp biến đổi đại số Học sinh biết vận dụng linh hoạt , sáng tạo các kiến thức , kỹ năng từ đơn giản đến phức tạp. Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ giúp học sinh phát triển t duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo trong giải toán.Đồng thời giáo dục t tởng, ý thức,thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh. 2.Cơ sở thực tiễn: Phơng trình vô tỉ là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó, nhiều học sinh không biết giải phơng trình vô tỉ nh thế nào?có những phơng pháp nào? Các bài toán về phơng trình vô tỉ là một dạng toán hay và khó, có nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT. Tuy nhiên, các tài liệu viết về vấn đề này rất hạn chế hoặc cha hệ thống thành các phơng pháp nhất định gây nhiều khó khăn trong việc học tập của học sinh, cũng nh trong công tác tự bồi dỡng của giáo viên. Mặt khác, việc tìm hiểu các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ hiện nay còn ít giáo viên nghiên cứu. Vì vậy việc nghiên cứu các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ là rất thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định đợc phơng pháp giảng dạy phần này đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lợng dạy và học, dặc biệt là chất lợng học sinh giỏi và giáo viên giỏi ở các trờng THCS. Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch Trờng THCS GIA sơn II-Mục đích nghiên cứu: + Nghiên cứu về phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trong chơng trình toán THCS. Giúp giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có phơng pháp giảng dạy phần này có hiệu quả. + Nghiên cứu vấn đề này để nắm đợc những thuận lợi, khó khăn khi dạy học phần ph- ơng trình vô tỉ trong bồi dỡng học sinh khá giỏi, từ đó định hớng nâng cao chất l- ợngdạy và học môn toán. + Nghiên cứu vấn đề này còn giúp giáo viên có t liệu tham khảo và dạy thành công về phơng trình vô tỉ. III- Nhiệm vụ nghiên cứu: 1. Nghiên cứu về tình hình dạy học và học vấn đề này ở nhà trờng. 2. Hệ thông hoá một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ. 3. Tìm hiểu mức độ và kết quả đật đợc khi triển khai đề tài. 4. Phân tích rut ra bài học kinh nghiệm. IV- Phạm vi và đối tợng nghiên cứu: 1. Đối tợng nghiên cứu: a. Các tài liệu b. Giáo viên, học sinh khá giỏi ở trờng THCS Gia Sơn 2. Phạm vi nghiên cứu: Các phơng pháp để giải phơng trình vô tỉ thờng gặp ở THCS. V- Phơng pháp nghiên cứu: 1. Phơng pháp nghiên cứu tài liệu. 2. Phơng pháp điều tra, khảo sát. 3. Phơng pháp thử nghiệm 4. Phơng pháp ttổng kết kinh nghiệm VI- Giả thuyết khoa học: Nâng cao chất lợng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả cao hơn, học sinh ham thích học dạng toán này hơn Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch Trờng THCS GIA sơn PHầN II: Nội dung A- Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ: * Khái niệm: Phơng trình vô tỉ là phơng trình đại số chứa ẩn trong dấu căn thức (ở đây tôi chỉ đề cập đến những phơng trình mà ẩn nằm dới dấu căn bậc hai và căn bậc ba) * Phơng trình vô tỉ rất phong phú và đa dạng, hớng chung để giải quyết phơng trình vô tỉ là làm cho phơng trình đợc chuyển về dạng hữu tỉ. I-Phơng pháp nâng lên luỹ thừa: 1. Kiến thức vận dụng: + (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 + (A B) 3 = A 3 3A 2 B + 3AB 2 B 3 + [ ] = = 2 )()( 0)( 0)( )()( xgxf xg xf xgxf + 3 3 mAmA == 2. Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phơng trình sau: xx =+ 122 (1) Giải Điều kiện căn có nghĩa: 012 x (2) 2 1 x (1) 212 = xx (3) Với điều kiện 02 x (4) (3) 2x - 1 = (x-2) 2 (5) 056 4412 2 2 =+ += xx xxx Giải ra ta đợc x 1 =1 không thoả mãn (4) x 2 = 5 thoả mãn (2) và (4) nghiệm duy nhất của phơng trình: x = 5 Ví dụ 2: Giải phơng trình: 23151 = xxx (1) Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch Trờng THCS GIA sơn Phơng trình (1) có nghĩa: 0 023 015 01 x x x x (2) (1) 15231 += xxx Hai vế đều dơng, bình phơng hai vế ta đợc =+ += ++= )3()72()21315(4 072 21315272 )15)(23(215231 22 2 xxx x xxx xxxxx Giải (3) ta đợc: 7 2 x không thoả mãn (1). Vậy phơng trình vô nghiệm. Ví dụ 3:Giải phơng trình 121 =+ xx (1) Giải Điều kiện: 2x (2) Viết PT (1) dới dạng 121 +=+ xx (3) Hai vế của (3) không âm, bình phơng hai vế ta đợc 22121 ++=+ xxx 31212222 ==== xxxx thoả mãn điều kiện (2) Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x= 3 Lu ý: + Nếu để (1) bình phơng ta phải đặt ĐK x+1 2 x (Đk này luôn đúng) + Nếu biến đổi (1) thành 112 += xx rồi bình phơng hai vế ta phải đặt ĐK 011 + xx Ví dụ 4: Giải phơng trình: 33 721 xx =+ (1) Giải: Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch Trờng THCS GIA sơn 33 33 33 2)71( 2271)1( =++ =++ xx xx Giải (1) 7;1 0)7)(1( 0)7)(1( 21 3 == =+ =+ xx xx xx Là nghiệm của phơng trình Chú ý: - Khi bình phơng hai vế của phơng trình cần chú ý điều kiện hai vế cùng dơng Trớc khi lên luỹ thừa cần biến đổi phơng trình về dạng thuận lợi nhất để hạn chế các trờng hợp hoặc có lời giải ngắn gọn. Ví dụ5: Giải pt: 844 2 =++ xxx (1) Giải: 8)2( 2 =+ xx 2 x + 8=x Nếu 2x thì 582 ==+ xxx Nếu x < 2 thì 82 =+ xx vô nghiệm Kết luận : x=5 là nghiệm của pt 4- Bài tập tơng tự: Giải các pt sử dụng phép bình phơng. 1/ x 2 -4x =8 1x (x=4+2 2 ) 2/ 682 2 ++ xx + 1 2 x =2x+2 3/ 2 2 7 x x + 2 7 x x =x (x=2) 4/ 1+x - 2+x = 5+x - 10+x (x=-1) Sử dụng phép lập phơng: 1/ 3 1x + 3 2x = 3 32 x (x=4; 2) 2/ 3 1+x + 3 1x = 3 5x (x=0; 2 5 ) 3/ 3 1+x + 3 13 +x = 3 1x (x=- 1) Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch Trờng THCS GIA sơn 4/ 3 1 x+ + 3 1 x =1 (x= 27 28 ) II -Phơng trình đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 1/kiến thức vận dụng : +) == )()( 2 xfxf )(xf nu 0)( xf )(xf nu 0)( <xf +)phơng pháp giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (tự tìm hiểu ) 2-Ví dụ: Ví dụ6 :Giải phơng trình : 242 + xxx + 1267 =+ xx (1) Giải: Điều kiện : x-2 0 hay x 2 (2) 13222 1)32()22( 22 =+ =+ xx xx Cách 1: Chia các trờng hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Cấch 2: Sử dụng bất đẳng thức baba ++ , dấu = xảy ra khi a,b > 0. Khi đó 123222322 =++ xxxx (3) Dấu =xảy ra khi: ( )( ) 02322 xx (4) Giải (4) ta đợc: 116 x Thoả mãn (2) Vậy nghiệm của phơng trình (1)là : 116 x 3/ Chú ý : + Phơng pháp này thờng đợc áp dụng khi các biểu thức trong dấu căn bậc hai viết đợc thành bình phơng của một biểu thức. + Có những phơng trình cần phải biến đổi mới có dạng trên. 4/ Bài tập áp dụng: Giải các phơng trình sau: 1) 21212 22 =++++ xxxx ( ) 1x 2) 211 22 =+ xxxx ( ) 2=x Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch Trờng THCS GIA sơn 3) 225225232 =+++ xxxx 3 2 5 x III- Phơng pháp đặt ẩn phụ: 1. Đặt ẩn phụ đa về phơng trình ẩn mới: Ví dụ 7: Giải phơng trình 954135 22 +=+ xxxx (1) Giải : Ta có : 4 11 2 5 95 2 + =+ xxx > 0 Đặt: 222 95095 yxxyxx =+=+ Khi đó (1) y 2 + 4 = 4y 055 455 2 2 2 =+ =+ = xx xx y = + = 2 55 2 55 x x Ví dụ 8: Giải phơng trình: 2 4 1 2 1 =++++ xxx (1) Giải: Điều kiện: 4x (2) Đặt: 0 4 1 =+ yx 4 1 2 = yx Khi đó (1) trở thành 2) 2 1 ( 4 1 22 =++ yy 0744 2 =+ yy = = 2 122 0 2 122 y y Trờng hợp 2 122 =y < 0 loại Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch Trờng THCS GIA sơn 22 = x , thoả mãn điều kiện (2) Vậy nghiệm của phơng trình là : 22 =x Ví dụ 9: Giải phơng trình: 0331 333 =+++++ xxx (1) Giải: Đặt: yx =+ 2 (1) yyy =++ 3 3 3 3 11 Lập phơng hai vế ta có : 3 63 1= yyy = = 3 62 1 0 yy y (+) Nếu: 2020 3 ==+= xxy (+) Nếu 11 66 3 62 == yyyy , vô nghiệm Vậy nghiệm của phơng trình là : x = -2 2. Đặt ẩn phụ đa về hệ phơng trình: a. Dạng: edxvuxrbax +++=+ )( (1) Với a,u,r 0 Đặt baxvyu +=+. Khi đó phơng trình (1) đa đợc về dạng : 0)12)(( =+++ urruxruyyxu Ví dụ 10: Giải phơng trình: 203232152 2 +=+ xxx (1) Giải: Điều kiện: 2 15 0152 + xx Khi đó: (1) 28)24(2152 2 +=+ xx (2) Đặt: 15224 +=+ xy (3) Điều kiện: 2 1 024 + yy Khi đó (2) trở thành (4x + 2) 2 = 2y + 15 (4) Từ (3) ta có : (4y + 2) 2 = 2x + 15 (5) Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch Trờng THCS GIA sơn Từ (4) và (5) có hệ: +=+ +=+ )5(152)24( )4(152)24( 2 2 xy yx Trừ vế với vế của (4) cho (5) ta đợc (x- y)(8x + 8y + 9) = 0 +) Nếu: x-y = 0 yx = thay vào (5) ta đợc : 16x 2 + 14x-11 =0 = = 8 11 2 1 x x với 8 11 =x , loại +) nếu 8x + 8y + 9 = 0 988 = xy , Thay vào 9 (4) ta đợc: 64x 2 + 72x-35 =0 , loại Vậy nghiệm của phơng trình là : 2 1 1 =x 16 2219 2 + =x b) Dạng: edxvuxrbax +++=+ 3 3 )( (1) Đặt 3 baxvuy +=+ (1) đa đợc về dạng: 0)1)(( 22 =+++ rQrPQrPvyu Trong đó: vuyP += vuxQ += Ví dụ 11: Giải phơng trình: 255336853 23 3 += xxxx (1) Giải (1) 3 53 x =(2x-3) 3 -x+2 (2) Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch + = = 16 2219 16 2219 x x Trờng THCS GIA sơn Đặt :2y-3= 3 53 x 3 )32(53 = yx (3) khi đó (2) 3 )32(52 =+ xxy (4) Từ (3),(4) có hệ : =+ = 3 3 )32(52 )32(53 xxy yx Trừ vế với vế ta đợc : 0)1)(( 22 =+++ PQQPyx (5) Trong đó : 32 = yP 32 = xQ Vì: 01. 22 >+++ QPQP yx, Do đó :(5) yx = Thay vào (3) ta đợc: (x-2)(8x 2 -20+11)=0 x 1 =2 ; x 2 = 2 35 + ; x 3 = 2 35 c. Một số dạng khác: Ví dụ 12: Giải phơng trình: 312 3 =++ xx (1) Giải Điều kiện: x 1 (2) Đặt: 3 3 22 yxyx == 3 101 22 2 = =+=+ yz zxzx Với điều kiện (2) thì (1) đa về hệ: = =+ 0 3 3 22 z yz zy Giải hệ này ta đợc: = = 2 1 z y Từ đó suy ra: x = 3 là nghiệm của phơng trình (1) Ví dụ 13: Giải phơng trình: 2 2 11 2 = + x x (1) Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch [...]... 1- 3 x3 + 8 = 2x 2 6x + 4 Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch Trờng THCS GIA sơn Đặt: x + 2 = a, x 2 2 x + 4 = b 2- 5 x 3 + 1 = 2( x 2 + 2) Đặt: x + 1 = a; x 2 x + 1 = b( x 5 37 ) 2 x = 3 + 13; x = 3 13 3- x Đặt: x 4- 3 1 1 + 1 = x x x 1 1 1+ 5 = a; 1 = b; x = x x 2 2 x + x 1 = 1 Đặt 3 2 x = a; x 1;2;10 5- 3x + 1 = 4 x 2 + 13x 5 (Đặt 2 y 3 = 3x + 1, x = 1; 11 11 + 37 ; ) 4 8 6 -. .. Giải phơng trình: 3x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 2 x x 2 (1) Giải Vế trái: 3( x + 1) 2 + 4 + 5( x + 1) 2 + 9 4 + 9 = 5 Vế phải: 4-2 x x2 = 5- (x+1)2 5 Do đó cả hai vế đều bằng 5 khi x =-1 , với giá trị này cả hai bất đẳng thức trên đều là đẳng thức Vậy x = -1 là nghiệm của phơng trình * Ví dụ 16: Giải phơng trình: 6 x + x + 2 = x 2 6 x + 13 (1) Giải Sử dụng bất đẳng thức: a1b1 + a 2 b2 a1... 2 x + x 1 = 1 Đặt 3 2 x = a; x 1;2;10 5- 3x + 1 = 4 x 2 + 13x 5 (Đặt 2 y 3 = 3x + 1, x = 1; 11 11 + 37 ; ) 4 8 6 - x 2 4x 3 = x 5 (Đặt x + 5 = y 2, x = 1; 5 + 29 ) 2 7 - x 3 + 2 = 33 3 2 (Đặt 3x 2 = y, x = 1;2) IV- Phơng pháp bất đẳng thức: Chứng tỏ tập giá trị ở hai vế rời nhau khi đó phơng trình vô nghiệm: * Phơng trình: f(x) = g(x) Nếu tập giá trị của f(x), g(x) lần lợt là: S1, S2 mà... = 5) 2) 3x 212 x +6 + y 2 4 y + 13 = 5 (x = y = 2) 3) x 2 + 6 = x 2 x 2 1 (Vô nghiệm) 4) x 1 + x + 3 + 2 ( x 1)( x 2 3x + 5) = 4 2 x 5) 16 x3 + 4 y 1 + 1225 z 665 = 82 - x 3 y 1 z 665 (x = 19; y = 5; z = 1890) V- Những chú ý: * Khi giải phơng trình vô tỉ cần tránh những sai lầm sau: + Không chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức + Không đặt điều kiện có nghĩa của căn thức * Để giải... không là nghiệm của phơng trình * Ví dụ 17: Giải phơng trình: 3 x 2 + x + 1 = 3 (1) Giải Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phơng trình + Với x > 3 thì 3 x 2 > 1, x + 1 < 2 vế trái của (1) lớn hơn 3 + Với -1 x < 3 thì 3 x 2 > 1, x + 1 < 2 vế trái của (1) nhỏ hơn 3 Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch Trờng THCS GIA sơn Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phơng trình d Sử dụng điều kiện xảy ra dấu... vô nghiệm * Ví dụ 14: Giải phơng trình: x 3 7 x 3 = 5 x 2 (1) Giải Điều kiện: x 3 Với điều kiện này thì: x 3 < 7 x 3 Khi đó vế trái của (1) âm, còn vế phải dơng do đó phơng trình (1) vô nghiệm 2- Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế: Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch Trờng THCS GIA sơn * Phơng trình F(x) = G(x) (1) Nếu: F(x) K, dấu đẳng thức sảy ra khi x = a G(x) K, dấu đẳng thức sảy ra... THCS GIA sơn + Các phép biến đổi căn thức + Các phép biến đổi biêủ thức đại số + Các kiến thức và phơng pháp giải các phơng trình và hệ phơng trình + Các kiến thức về bất đẳng thức PHầN III : Kết luận I-Bài học kinh nghiệm: Phơng trình vô tỷ là một dạng toán không thể thiếu đợc trong chơng trình bồi dỡng học sinh giỏi THCS Nếu chỉ dừng lại yêu cầu trong sách giáo khoa thì cha đủ, vì vậy đòi hỏi giáo... vụ, bồi dỡng học sinh giỏi có hiệu quả,ngoài ra còn giúp bản thân nâng cao phơng pháp tự học, tự nghiên cứu để có thể tiếp tục nghiên cứu các vấn đề khác tốt hơn trong suốt quá trình dạy học của mình II-Kết luận chung: Để thực hiện tốt công việc giảng dạy, đặc biệt là công tác bồi dỡng học sinh giỏi ngời thày phải thờng xuyên học, học tập, nghiên cứu Trong quá trình giảng dạy, học sinh học tập, học sinh . pt 4- Bài tập tơng tự: Giải các pt sử dụng phép bình phơng. 1/ x 2 -4 x =8 1x (x=4+2 2 ) 2/ 682 2 ++ xx + 1 2 x =2x+2 3/ 2 2 7 x x + 2 7 x x =x (x=2) 4/ 1+x - 2+x = 5+x - 10+x (x =-1 ) Sử. xb x a x x 4 - 112 3 =+ xx Đặt 10;2;1;2 3 = xax 5 - 513413 2 +=+ xxx (Đặt ) 8 3711 ; 4 11 ;1,1332 + =+= xxy 6 - 534 2 = xxx (Đặt ) 2 295 ;1,25 + ==+ xyx 7 - 3 3 2332 =+x (Đặt )2;1,23 == xyx IV-. 5949)1(54)1(3 22 =++++++ xx Vế phải: 4-2 x x 2 = 5- (x+1) 2 5 Do đó cả hai vế đều bằng 5 khi x =-1 , với giá trị này cả hai bất đẳng thức trên đều là đẳng thức. Vậy x = -1 là nghiệm của phơng trình. *