Sở giáo dục và đào tạo phú thọ kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên hùng vơng năm học 2009-2010 Môn: Toán (Chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có 01 trang) Cõu 1(2 im). Cho h phng trỡnh: 2 (1) 5 (2) mx y x my = + = (m l tham s) a) Chng t h ó cho luụn cú nghim duy nht vi mi m. b) Tỡm giỏ tr ca m h phng trỡnh trờn cú nghim (x, y) tho món x + y = 5. Cõu 2(1 im). Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng , ,x y z tha món 3 3 2 x y z = trong ú y l s nguyờn t, ( ) ( ) ;3 ; 1z z y = = Cõu 3(3 im). a) Gii phng trỡnh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2009 2008 2007 2 2008 2009 1 1 2 1 2 1 2 2 0x x x x x x x x + + + + + + + + + + + + + = L b) Cho ,x y l cỏc s thc dng tho món iu kin 5 4 x y+ = . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 4 1 4 A x y = + . Cõu 4(3 im). Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn, ni tip trong ng trũn ( )O v im P nm trong tam giỏc ABC sao cho ã ã ã ã ;BAP PBC CAP PCB= = . ng thng AP ct cnh BC ti .M a) Chng minh rng M l trung im ca cnh BC . b) Chng minh rng t giỏc BHPC ni tip trong mt ng trũn ( ) , trong ú H l trc tõm tam giỏc ABC . c) ng trung trc ca on thng PA ct ng thng BC ti Q . Chng minh rng QA tip xỳc vi ( )O v QP tip xỳc vi ( ) . Cõu 5(1 im). Cho cỏc s thc khụng õm , ,a b c tha món 3ab bc ca + + = . Chng minh rng: 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2a b c + + + + + Ht Chỳ ý: Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm. H tờn thớ sinh SBD Đề chính thức SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (Chuyªn To¸n) Câu Ý Nội dung Điểm 1 a) (1đ) Từ (1) ⇒ y = mx -2 (3) 0.25 Thế vào (2) được x = 2 2 5 ; 1 m m m + ∀ + 0.25 Từ đó tính được y = 2 5 2 1 m m − + 0.25 Kết luận 0.25 b) (1đ) x + y = 7 ⇔ 2 7 3 1 m m + + = 7 0.5 Tìm được 1 2 5 m m =    =  ; kết luận 0.5 2 (1đ) Phương trình đã cho tương đương với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3x y x xy y z x y x y xy z − + + = ⇔ − − + = (1) Do y là số nguyên tố, ( ) ( ) ;3 ; 1z z y = = nên từ (1), ⇒ ( ) ( ) ; 1, ;3 1x y x y = − = (2) 0.25 Từ (1),(2) suy ra 2 2 2 2 , ,x y m x xy y n z mn− = + + = = với ,m n + ∈ ¢ . Từ đó ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2 3 3 2 2 2 2n x xy y x y y y n x y n x y = + + = + + ⇒ = − − + + 0.25 Từ đó, do y là số nguyên tố, nên có các trường hợp sau xảy ra • 2 2 2 3 ,2 2 1n x y y n x y+ + = − − = : Suy ra ( ) ( ) 2 2 3 1 2 2 2 2 3y x y m y − = + = + suy ra 2 2 2 1 3 6 3 3m y y m+ = − − M , nhưng 2 1 3m m / + ∀M , vô lý • 2 2 3 , 2 2n x y y n x y y + + = − − = . Suy ra 2 4 2 0y x y x = + ⇒ = , loại 0.25 • 2 2 2 ,2 2 3n x y y n x y+ + = − − = . Suy ra ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 3y x y m y − = + = + do đó ( ) 2 2 3 4 12y m − − = . Tìm được 7, 1, 8, 13y m x z = = = = Vậy ( ) ( ) ; ; 8;7;13x y z = là nghiệm duy nhất của phương trình. 0.25 3 a) (1,5đ) Do ( ) ( ) 1 2 3 2 2 1n n n n n n n a b a b a a b a b ab b − − − − − − = − + + + + + L , 0.25 với 1, 2a x b x = + = + suy ra phương trình đã cho tương đương với ( ) ( ) 2010 2010 1 2x x + = + 0.5 ( ) ( ) 2 2 1 2 3 1 2 1 2 2 x x x x x x x + = +  ⇔ + = + ⇔ ⇔ = −  + = − −  0.5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 3 2 x = − 0.25 b) (1,5đ) Với x > 0 ta có: 4 4 4 2 .4 8x x x x + ≥ = 0.5 Với y > 0 ta có: 1 1 4 2 .4 2 4 4 y y y y + ≥ = 0.5 4 1 4 1 4( ) 10 5 4 4 x y A x y x y + + + ≥ ⇒ = + ≥ Dấu đẳng thức xảy ra 4 4 1 1 4 1 4 4 5 4 x x x y y y x y  =   =    ⇔ = ⇔   =     + =   Giá trị nhỏ nhất của A là 5 đạt được khi x = 1; y = 1 4 0.5 4 a) (1đ) A Q P M H F E O B C 0.25 Từ giả thiết, suy ra ( . )ABM BPM g g ∆ ∆ : suy ra 2 BM AM PM= × (1) 0.25 Tương tự, ( . )ACM CPM g g ∆ ∆ : suy ra 2 CM AM PM = × (2) 0.25 Từ (1),(2) suy ra BM CM = suy ra điều phải chứng minh. 0.25 b) (1đ) Gọi ,E F là giao điểm của ,BH CH với các cạnh ,AC AB . Khi đó do · · 0 90AEH AFH = = nên tứ giác AEHF nội tiếp, 0.25 suy ra · · · 0 180BHC EHF BAC = = − (1) 0.25 Từ cách xác định điểm P suy ra · · · · · · 0 0 0 180 180 180BPC PBC PCB PAB PAC BAC = − − = − − = − (2) 0.25 Từ (1) và (2), do tam giác ABC nhọn, nên bốn điểm , , ,B C H P cùng nằm trên một đường tròn. 0.25 c) (1đ) M N P X + Phát biểu và chứng minh bổ đề. Điểm X nằm trên cạnh NP của tam giác MNP sao cho · · .NMX MPN = Khi đó 2 NX MX NP MP   =  ÷   0.25 + Tiếp tuyến tại A của đường tròn ( )O cắt BC tại 1 .Q Do · · 1 1 Q AB ACQ= , nên 2 1 1 Q B AB Q C AC   =  ÷   (3) + Tiếp tuyến tại P của đường tròn ( ) ω cắt BC tại 2 .Q Do · · 2 Q PB PCB= , nên 2 2 2 Q B PB Q C PC   =  ÷   (4) 0.25 + Theo kết quả phần 1, M là trung điểm BC suy ra · · · · sin sin sin sin ABM ACM AB CAP S S AB BAP AC CAP AC BAP = ⇒ = ⇒ = (5) cũng vậy · · · · · sin sin sin sin sin sin PBM PCM PB PCM PAC S S PB PBM PC PCM PC PBM PAB = ⇒ ∠ = ⇒ = = (6) 0.25 Từ (3),(4),(5),(6) suy ra 1 2 1 2 1 2 Q B Q B Q Q Q C Q C = ⇔ ≡ Do 1 1 Q AB Q CA∆ ∆: và 1 1 Q PB Q CP∆ ∆: , nên 2 2 1 1 1 1 Q A Q B Q C Q P = × = suy ra 1 1 Q A Q P= . Suy ra 1 Q Q≡ . Điều phải chứng minh. 0.25 5 (1đ) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4a b b c c a a b c + + + ≥ 0.25 Đặt , ,bc x ca y ab z = = = . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 2 2 2 4x y z xyz+ + + ≥ với , , 0: 3x y z x y z ≥ + + = 0.25 Không giảm tổng quát, coi ( ) min , ,x x y z = , thế thì 1x ≤ và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 1 2 4 4 2 2 4 3 4 4 4 1 1 2 0 4 x y z xyz x y z yz x x y z y z x x x x y z x x x x + + + − = + + + − − ≥ + + + + − − + + = + + − = + − − = − + ≥ Suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 1x y z a b c = = = ⇔ = = = 0.5 Ghi chú: Nếu học sinh giải theo cách khác đúng thì cho điểm tối đa. . và đào tạo phú thọ kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên hùng vơng năm học 2009-2010 Môn: Toán (Chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có 01 trang) Cõu 1(2. coi thi khụng gii thớch gỡ thờm. H tờn thớ sinh SBD Đề chính thức SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (Chuyªn. giao điểm của ,BH CH với các cạnh ,AC AB . Khi đó do · · 0 90AEH AFH = = nên tứ giác AEHF nội tiếp, 0.25 suy ra · · · 0 180BHC EHF BAC = = − (1) 0.25 Từ cách xác định điểm P suy ra