Chơng 6 cấu trúc của tự đồng cấu trị riêng và véc tơ riêng A. Tóm tắt lý thuyết 1. Không gian con bất biến E là một không gian tuyến tính trên trờng K và fL(E,E). Định nghĩa: Không gian con U E gọi là không gian con bất biến đối với f, hay f là tự đồng cấu bất biến trên U nếu f(U)U. Hệ quả : Trên cơ sở W={ 1 , 2 , , n } ma trận của tự đồng cấu f có dạng đờng chéo khi và chỉ khi các không gian con L{ 1 },L{ 2 }, ,L{ n } đều là không gian con bất biến của f. Giả sử trên một cơ sở đã cho tự đồng cấu f có ma trận A, nếu ta tìm đợc một cơ sở W mà trên W ma trận của f có dạng đờng chéo khi đó ta nói f hay A chéo hoá đợc. 2. Trị riêng và véc tơ riêng Định nghĩa: Số K gọi là trị riêng của f nếu x của E sao cho: f(x)= x , x gọi là véc tơ riêng ứng với trị riêng của f. Nếu f có ma trận A khi đó: A.x=x và cũng gọi x là véc tơ riêng ứng với trị riêng của ma trận A. Hệ quả : Gọi L {x} là không gian con sinh bởi véc tơ riêng ứng với trị riêng . Khi đó x là véc tơ riêng ứng với trị riêng của f khi và chỉ khi L {x} là một không gian con bất biến của f trên E. 3. Điều kiện để ma trận của tự đồng cấu có dạng đờng chéo Định lý: Cho E là một không gian tuyến tính hữu hạn chiều trên trờng K, ma trận của fL{E,E} trên cơ sở W={ 1 , 2 , , n } có dạng đờng chéo khi và chỉ khi 1 , 2 , , n là các véc tơ riêng 223 của f. Khi đó ma trận đờng chéo B của f trên W có các phần tử trên đờng chéo là các trị riêng tơng ứng: B= 1 2 0 0 0 0 0 0 n Hệ quả 1. Cho f có ma trận A, nếu trong E có một cơ sở gồm các véc tơ riêng của f ứng với các trị riêng 1 , 2 , , n thì: : det(A)= = n i i 1 2. K là trị riêng của f khi và chỉ khi Ker(f-I){} 4. Đa thức đặc trng Giả sử fL{E,E} trên cơ sở I={e 1 , e 2 , , e n } có ma trận A. Nếu x là véc tơ riêng ứng với trị riêng của f thì f(x)=x do đó Ax=x hay x là nghiệm không tầm thờng của hệ thuần nhất: (A- I)x= Hay =+++ =+++ =+++ 0)( 0 )( 0 )( 2211 2222121 1212111 nnnnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa với ma trận các hệ số là (A- I). Để hệ có nghiệm không tầm thờng (x) ta phải có: det((A- I)= nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 =0 det(A- I) là một đa thức bậc n của , ký hiệu P A ()=det(A- I): 224 P A ()=(-1) n n +b 1 n-1 + +b n-1 +b n Định nghĩa: Nếu A là ma trận của tự đồng cấu f, khi đó đa thức: P A ()=det(A- I) gọi là đa thức đặc trng của f hay đa thức đặc trng của A và phơng trình P A ()=det(A- I) =0 gọi là phơng trình đặc trng của chúng. Hệ quả 1. là trị riêng của A khi và chỉ khi : P A ()=det(A- I) =0 2. Đa thức đặc trng của f không phụ thuộc vào cơ sở của E, hay đa thức đặc trng của các ma trận đồng dạng bằng nhau. det(B- I) = det(A- I) 3. Theo định lý Viet về nghiệm của đa thức ta có: Vet(A)= = n i ii a 1 = = n i i 1 Chú ý: E là không gian tuyến tính n chiều trên trờng K khi đó: 1. Nếu K là trờng số phức C thì fL(E,E) đa thức đặc trng của f luôn có đủ n nghiệm kể cả nghiệm bội trên C. 2. Nếu K=R thì chỉ những nghiệm thực của phơng trình det(A-I) =0 mới là trị riêng của f. Định lý: Giao của hai không gian con sinh bởi các véc tơ riêng tơng ứng với hai trị riêng khác nhau của f bằng{}. Định lý: Nếu K là nghiệm của phơng trình đặc trng det(A- I)=0 và hạng của (A-I)=r thì có m =n-r véc tơ riêng độc lập tuyến tính ứng với cùng trị riêng . Định lý: Giả sử phơng trình đặc trng det(A-I)=0 của ma trận A có p nghiệm 1 , 2 , , p K và r(A- i I)=r i (i=1, ,p). Nếu: (n- r 1 )+(n-r 2 )+ +(n-r p )=n thì trong E có hệ cơ sở gồm n véc tơ riêng của A và khi đó ma trận A có thể chéo hoá trên K. Chú ý: Phơng trình đặc trng det(A-I)=0 có thể có đủ n nghiệm (kể cả nghiệm kép) trên K nhng nếu (n-r 1 )+(n-r 2 )+ +(n-r p )<n thì sẽ không tồn tại hệ cơ sở gồm n véc tơ riêng do vậy ma trận A không thể chéo hoá. 225 Hệ quả: Nếu =0 là nghiệm của phơng trình đặc trng thì Ker(f){} và véc tơ riêng tơng ứng là x bất kỳ thuộc Ker(f). 5. Thuật toán chéo hoá ma trận 1. Giải phơng trình đặc trng det(A- i I)= . Giả sử phơng trình đặc trng có các nghiệm 1 , 2 , , p , và i (i=1,2, p) là nghiệm bội n i trên K. Nếu số các nghiệm, kể cả nghiệm bội n 1 +n 2 + +n p <n thì A không thể chéo hoá đợc trên K. 2. Nếu n 1 +n 2 + +n p =n với i=1,2, ,p lần lợt tính r(A- i I)= r i Nếu (n-r 1 )+ +(n-r p )<n không thể chéo hoá đợc ma trận A. Nếu (n- r 1 )+(n- r 2 )+ +(n- r p )=n lần lợt giải p hệ thuần nhất (A- i I).x= (i=1,2, ,p) tìm nghiệm cơ sở của chúng. Mỗi họ nghiệm cơ sở của (A- i I).x= là tập các véc tơ riêng ứng với cùng trị riêng i . Tập hợp các nghiệm cơ sở thu đợc chính là tập các véc tơ riêng của A làm thành một cơ sở của E. Gọi ma trận đã đợc chéo hoá là B, ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở ban đầu sang cơ sở gồm các véc tơ riêng là T ta có: B=T -1 AT Đó là công thức chuyển cơ sở của ánh xạ f có ma trận A trên cơ sở ban đầu sang cơ sở gồm các véc tơ riêng của f. B. Bài tập 1. Tìm trị riêng và véc tơ riêng của các ma trận sau a. 2 1 1 2 b. 3 4 5 2 c. 0 0 a a 2. Trong R 3 cho ánh xạ: f(x,y,z)=(z,y,x) a. Không giải phơng trình đặc trng, tìm các không gian con bất biến của f. b. Chứng tỏ ma trận của f có thể chéo hoá đợc, tìm ma trận chéo hoá. 3.Tìm các không gian con bất biến của tự đồng cấu a. f(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )=(x 1 +2x 2 , 2x 1 +x 2 ,x 3 -x 4 , x 3 +x 4 ) b. f(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )=(x 1 +2x 2 , 2x 1 +x 2 ,x 3 +x 4 , x 3 +x 4 ) 226 c. f(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )=(x 1 +3x 2 , 3x 1 +x 2 ,x 3 +x 4 , x 3 -x 4 ) 4. Tính các trị riêng, kiểm tra công thức tính det(A) và Vet(A) của ma trận bằng định nghĩa và công thức tính qua các trị riêng. A= 12000 21000 00310 00121 00013 5. Tìm trị riêng và véc tơ riêng của các ma trận trên R a. 2 2 3 0 1 0 0 0 1 b. 1 2 3 0 1 0 0 0 2 c. 0 2 3 0 1 0 0 0 2 d. 1 1 0 1 2 1 1 0 1 e. 1 3 4 4 7 8 6 7 7 f. 132412 101910 6127 g. 2 1 2 5 3 3 1 0 2 h. 0 1 0 4 4 0 2 1 2 i. 4 5 2 5 7 3 6 9 4 6. Tìm các trị riêng và các véc tơ riêng a. 0100 2300 0011 0012 b. 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 c. 3 1 0 0 1 1 0 0 3 0 5 3 4 1 3 1 d. 0001 0010 0100 1000 227 e. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − − − −             f. 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1             7. T×m c¸c kh«ng gian con bÊt biÕn cña tù ®ång cÊu sau a. f(x 1 , x 2 , , x n ) = (x 1 , 2x 2 , , nx n ) b. f(x 1 , x 2 , , x n ) = (x 1 , 2 2 x 2 , , n 2 x n ) c. f(x 1 , x 2 , x 3 ,x 4 ) = (x 1 , x 2 + x 3 , x 3 + x 4 , x 2 + x 3 ) 8. T×m ma trËn T vµ ma trËn chÐo B mµ B=T -1 AT trªn C cña c¸c ma trËn A sau a. A= cos sin sin cos ϕ ϕ ϕ ϕ −       b. A= 0 0 1 1 0 0 0 1 0           c. A= 3 0 3 0 0 0 4 −           i i 9. T×m c¸c trÞ riªng cña c¸c ma trËn a. 0 0 0 0 x x x y x x y y x y y y                 b. a a a a a a a a a n n n 1 2 1 1 2 3 1 −             c. A=           ++ −−−− −−+ 16226 62345 26534 ii iii iii 10. T×m c¸c kh«ng gian con cña R 3 mµ bÊt biÕn trong phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh víi ma trËn a. 4 2 2 2 0 2 1 1 1 − −           b.           200 010 121 c. 0 0 1 0 1 0 1 0 0           228 11. Chứng tỏ A,B có thể chéo hoá. Tìm đa thức đặc trng của A,B. a. A= 0 0 0 0 0 0 a a a b. B= 00 0 00 0 0 00 0 00 1 2 2 1 a a a a 12. Cho f(a 0 +a 1 t+a 2 t 2 )=(a 0 +2a 1 +2a 2 )+(a 1 +a 2 )t+a 2 t 2 Tìm các trị riêng và các véc tơ riêng tơng ứng của f. 13. Đa tự đồng cấu f(a 0 +a 1 t+a 2 t 2 )=(a 0 +a 2 )+(a 1 -2a 2 )t+(2a 0 -a 1 +a 2 )t 2 về dạng đờng chéo. 14. Trên P 2 (t) cho f(a 0 +a 1 t+a 2 t 2 )=2a 0 +(a 0 +2a 1 )t+(a 0 +a 1 +2a 2 )t 2 a. Chứng tỏ f là một tự đồng cấu. b. Lập ma trận của f trên cơ sở {1,t,t 2 }, f có chéo hoá đ- ợc không? 15. Trên P 2 (t) cho f(a 0 +a 1 t+a 2 t 2 )=a 0 +(a 0 +2a 1 )t+(a 1 +3a 2 )t 2 a. Chứng tỏ f là một tự đồng cấu. b. Lập ma trận của f trên cơ sở {1,t,t 2 }, f có chéo hoá đ- ợc không? Nếu đợc hãy chéo hoá f. 16. Trên P 2 (t) cho f(a 0 +a 1 t+a 2 t 2 )=(2a 0 +a 1 )+(a 0 +2a 1 +a 2 )t+(a 1 +2a 2 )t 2 a. Chứng tỏ f là một tự đồng cấu. b. Lập ma trận của f trên cơ sở {1,t,t 2 }, f có chéo hoá đ- ợc không? Chéo hoá f và tìm ma trận chuyển cơ sở. 17. Trên P 3 (t) cho f(a 0 +a 1 t+a 2 t 2 +a 3 t 3 )=2a 0 +(a 0 +2a 1 )t+(a 1 +2a 2 )t 2 +(a 2 +2a 3 )t 3 a. Chứng tỏ f là một tự đồng cấu. b. Lập ma trận của f trên cơ sở {1,t,t 2 ,t 3 }, f có chéo hoá đợc không? 18. Trên P 3 (t) cho f(a 0 +a 1 t+a 2 t 2 +a 3 t 3 )=a 0 +(a 0 +2a 1 )t+(a 1 +3a 2 )t 2 +(a 2 +4a 3 )t 3 a. Chứng tỏ f là một tự đồng cấu. 229 b. Lập ma trận của f trên cơ sở {1,t,t 2 ,t 3 }, f có chéo hoá đợc không? Chéo hoá f và tìm ma trận chuyển cơ sở. 19. Chứng minh rằng mọi không gian con bất biến với ánh xạ không suy biến f thì cũng bất biến với f -1 . 20. Chứng minh rằng mọi tự đồng cấu f trong không gian tuyến tính n chiều trên cơ sở e 1 , e 2 , , e n có dạng ma trận khối a. A B C trong đó A là ma trận vuông cấp k<n khi và chỉ khi không gian con sinh bởi k véc tơ e 1 , e 2 , , e k là bất biến đối với f. b. A B trong đó A là ma trận vuông cấp k<n khi và chỉ khi không gian con sinh bởi k véc tơ e 1 , e 2 , , e k và không gian con sinh bởi n-k véc tơ e k+1 , e k+2 , , e n là bất biến đối với f. 21. Cho E là không gian các đa thức bậc n trên trờng hữu tỉ Q. f:EE là phép lấy đạo hàm của đa thức. Tìm đa thức đặc trng của f, ma trận của f có chéo hoá đợc không? 22. Chứng minh rằng ma trận vuông A giao hoán đợc với mọi ma trận cùng cấp có thể chéo hoá đợc. 23. Với mỗi ma trận vuông A cấp n chứng minh rằng A và chuyển vị A T có cùng đa thức đặc trng do đó có cùng các trị riêng. 24. Với mỗi ma trận vuông A chứng minh rằng a. det(A)=0 khi và chỉ khi 0 là một trị riêng của A. b. det(A)0 khi và chỉ khi mọi trị riêng của A đều khác không. c. Nếu det(A)0 và là một trị riêng của A thì 1 là trị riêng của A -1 . d. Det(A)= = n i i 1 ( i (i=1,2, ,n) là các trị riêng của A). 230 e. Vet(A)= = n i i 1 ( i (i=1,2, ,n) là các trị riêng của A). 25. Với mỗi trị riêng của ma trận vuông A cấp n, và mỗi số nguyên dơng k, chứng minh rằng k là trị riêng của ma trận A k . Hơn nữa, nếu u thuộc R n là véc tơ riêng của A ứng với trị riêng thì u cũng là trị riêng của A k ứng với trị riêng k . 26. Ma trận vuông A gọi là luỹ linh nếu và chỉ nếu A k = với số nguyên dơng k nào đó. Chứng minh rằng trị riêng của ma trận luỹ linh A bằng 0. 27. Gọi P n là không gian mọi đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n. Xác định Trị riêng và véc tơ riêng của các ánh xạ sau đây a. f: x(t)x(t) b. f: x(t) t.x(t) với x(t)=a 0 +a 1 t+ +a n t n 28. Cho D= B A trong đó A,B là các ma trận vuông. Chứng minh rằng mọi trị riêng của A,B đều là trị riêng của D. 29. Trên không gian M 2x2 = = dc ba A cho f(A)= +++++ + dcbacba baa a. Chứng tỏ f là một tự đồng cấu trên M 2x2 . b. Tìm ma trận của f, f có chéo hoá đợc không? 30. Trên không gian M 2x2 cho f(A)= +++++ + dcbacba baa 43 2 a. Tìm ma trận của f. b. f có chéo hoá đợc không? Nếu đợc hãy chéo hoá ma trận của f. 231 31. Chứng minh rằng nếu f có n trị riêng khác nhau 1 , 2 , , n ứng với n véc tơ riêng 1 , 2 , , n , gọi Ei=L{ i } (i=1,2, ,n) khi đó: E=E1 E2 En là tổng trực tiếp của các không gian con bất biến một chiều, và mọi xE đều có duy nhất các biểu diễn: x=x 1 1 +x 2 2 + +x n n =(x 1 ,x 2 , ,x n ) f(x)= 1 x 1 1 + 2 x 2 2 + + n x n n =( 1 x 1 , 2 x 2 , , n x n ) C. Lời giải, hớng dẫn hoặc đáp số 1. a. 1 =1 u 1 =(1,-1) 2 =3 u 2 =(1,1) b. 1 =7 u 1 =(1,1) 2 =-2 u 2 =(-4,5) c. 1 =ia u 1 =(1,i) 2 =-ia u 2 =(1,-i) 2.a. Ta thấy trên cơ sở chính tắc f có ma trận: A= 0 0 1 0 1 0 1 0 0 Xét cơ sở 1 = 1 0 1 2 = 1 0 1 3 = 0 1 0 Khi đó ta có: A 1 = 1 A 2 =- 2 A 3 = 3 Chứng tỏ E1=L{ 1 }, E2=L{ 2 },E3=L{ 3 } là các không gian con bất biến của f. Vậy các không gian con bất biến của f là: L{ 1 },L{ 2 },L{ 3 }, L{ 1 , 2 }, L{ 1 , 3 },L{ 2 , 3 } b. Vì r(A)=3 trên cơ sở W{ 1 , 2 , 3 } f có ma trận đờng chéo: B-= 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3.a. Trên cơ sở chính tắc f có ma trận: A= 1100 1100 0012 0021 232 [...]... a Nếu det(A)=0 hiển nhiên =0 là nghiệm và ngợc lại b Nếu det(A)0 hiển nhiên mọi trị riêng 0 và ngợc lại, vì nếu có trị riêng =0 thay vào phơng trình ta thấy det(A)=0 c Nếu det(A) 0 và 0 là một trị riêng của A Giả sử x véc tơ riêng ứng với trị riêng , khi đó: A.x=x, do tồn tại A-1 nên 1 1 có: x=A-1x, hay A-1x= x Vậy là một trị riêng của A-1 d Nếu A có n trị riêng i (i=1,2, ,n), khi đó: 245 1 0... ma trận đồng dạng của A dó đó pA()=pB()= i i =1 e áp dụng định lý Viet cho đa thức đặc trng, tổng các nghiệm của phơng trình đặc trng p()=(-1)nn+b1n-1+ +bn =0 n b i = b1 = Vet(A) i =1 0 25 Aku=Ak-1(Au)= Ak-1u= =ku 26.Giả sử x là véc tơ riêng ứng với trị riêng , khi đó: Akx=kx=x==0.x Vậy =0 27 a Các trị riêng 1=2= =n+1=0 véc tơ riêng x=(1,0, ,0) b.Các trị riêng 1=0,2=1, ,=n+1=n các véc tơ riêng là... = 2 Với các véc tơ riêng tơng ứng: 1 1 0 0 1 2 1 3 0 4 0 1 = , = , = , = 0 0 1 1 0 0 1 1 Mọi không gian con sinh bởi họ bất kỳ các véc tơ riêng trên đều là không gian con bất biến Det(A-I)= 233 1 3 c Ma trận của f là: A= 0 0 3 1 0 0 0 0 0 có các trị riêng là: 1 1 1 1 0 1 = 2 , 2 = 4 , 3 = 2 , 4 = 2 Với các véc tơ riêng tơng ứng: 0... 0 đó là véc tơ riêng ứng với trị riêng 2=1 Vì chỉ có hai véc tơ riêng độc lập tuyến tính nên không chéo hoá đợc A c Phơng trình đặc trng 2 3 1 0 =- (2-)(1-)=0 det(A-I)= 0 0 0 2 235 có 3 nghiệm 1=0, 2 =1, 3 =2 trên R Với 1 =0 ma trận A-0I có hạng r=2 nên hệ thuần nhất 0 2 3 x1 0 1 1 0 1 0 x2 = 0 có nghiệm cơ sở: u = 0 0 0 2 x3 0 0 đó là véc tơ riêng ứng với trị riêng 1=0... u1=(0,0,0,1) 7 Tơng ứng f có ma trận là: 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 2 2 0 0 2 0 0 1 1 0 A= C= 0 0 1 1 B= 0 0 n 0 1 1 0 0 0 n 2 a f Có các trị riêng là k=k (k= 1, n ) b f Có các trị riêng là k=k2 (k= 1, n ).Cơ sở chính tắc của Rn chính là cơ sở gồm các véc tơ riêng Vậy mọi không gian con sinh bởi hệ con bất kỳ của hệ cơ sở chính tắc đều là bất biến c Có các trị riêng: ... Khi và chỉ khi A I = 0 và B I = 0 1 1 29 Ma trận của f: 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 246 0 0 không chéo hoá đợc 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 30 Ma trận của f là chéo hoá đợc 1 1 3 0 1 1 1 4 31 Vì dim(E)=dim(E1)+ +dim(En)=n và EiEk=(ik) nên: E=E1 E2 En Vì {1,2, ,n } là cơ sở của E nên nếu x=x11+x22+ +xnn thì biểu diễn là duy nhất Ta có: f(x)=1x11+2x22+ +nxnn vì k là trị riêng của véc tơ riêng k... nghiệm 1=1 2=-1 3=3 Các trị riêng và véc tơ riêng tơng ứng là: 1 1 1 1=1, u1= 2 ; 2=-1, u2= 2 ; 3=3 ,u3= 2 0 2 2 Vậy trên cơ sở {u1=(a0+2a1t),u2=(-a0+2a1t+2a2t2),u3=(a0-2a1t+2a2t2)} f có dạng đờng chéo f(b0u1+b1u2+b2u3)=b0u1-b1u2+3b2u3 Ma trận chuyển cơ sở và ma trận của f trong cơ sở mới là 1 0 0 1 1 1 2 2 0 T= 2 B= 0 1 0 0 2 2 0 3 2 14 Ma trận của f là A= 1 1 0... bất biến của f và f tồn tại f -1 Khi đó {f(u1), ,f(um)} cũng là một cơ sở của U Với mọi yU, khi đó: y=y1f(u1)+ +ymf(um)=f(y1u1+ +ymum)=f(x) Nh vậy với mọi yU, x=y1u1+ +ymumU để y=f(x), hay x=f -1(y)U Vậy f -1 bất biến trên U 20 Gọi U=L{e1, ,ek} và V=L{ek+1, ,en} a Nếu f bất biến trên U hiển nhiên ma trận của f có dạng a A B ngợc lại, dễ dàng kiểm tra f(x)= x U C b Tơng tự a kiểm tra cho U và V 21... với các véc tơ riêng tơng ứng: 1 1 1 1 0 0 1 2 1 1 2 1 3 0 4 0 1= = , trên c.s 1= = e = e = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 3 f có ma trận B= 0 0 1 1 0 0 1 1 nên các không gian con bất biến của f là: L{1},L{2}, L{e3,e4}, L{1,2}, L{1,e3,e4}, L{2,e3,e4} 1 2 0 0 0 0 2 1 b Ma trận của f là: A= , có các trị riêng: 0... đợc và bằng 0 0 (1) n 1 a 10 b Chéo hoá đợc và bằng 0 0 a1 a1 0 0 n + 1 k= 2 n 1 0 0 (1) a k 2 1 2 12 f có ma trận A= 0 1 1 0 0 1 Phơng trình 1 2 2 1 1 = (1-)3=0 det(A-I)= 0 0 0 1 có nghiệm =1 bội 3 trên R 241 Với =1 nên hệ thuần nhất 0 2 2 x1 0 0 0 1 x2 = 0 cho nghiệm cơ sở: 0 0 0 x 0 3 1 u= 0 0 Đó là véc tơ riêng ứng với trị riêng . véc tơ riêng Định nghĩa: Số K gọi là trị riêng của f nếu x của E sao cho: f(x)= x , x gọi là véc tơ riêng ứng với trị riêng của f. Nếu f có ma trận A khi đó: A.x=x và cũng gọi x là véc tơ riêng. riêng ứng với trị riêng của ma trận A. Hệ quả : Gọi L {x} là không gian con sinh bởi véc tơ riêng ứng với trị riêng . Khi đó x là véc tơ riêng ứng với trị riêng của f khi và chỉ khi L {x}. Chơng 6 cấu trúc của tự đồng cấu trị riêng và véc tơ riêng A. Tóm tắt lý thuyết 1. Không gian con bất biến E là một không gian tuyến tính trên trờng K và fL(E,E). Định nghĩa: