Câu 1:(1,5 điểm)Cho hàm số 2 ( ) 4 2 2f x x x m= − + + (m là tham số) a)Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 4 b)Tìm m để ( ) 5f x ≤ với mọi x thuộc đoạn [-1;1] Câu 2:(1,5điểm)Giải các phương trình và hệ phương trình sau a) 2 2 7 2 1 8 7 1x x x x x+ − = − + − + − + b) 3 3 19 ( )(8 ) 2 x y x y xy  + =  + + =  Câu3 :(2 điểm)Giải bất phương trình sau a) 2 4 (4 )(2 ) 2 12x x x x− − + ≤ − − b) 2 2 2 3 2 0 ( 2 3)(4 ) x x x x x x − + ≥ − − − Câu 4:(1 điểm)Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình : 2 2 (2 6) (2 3) 1 0m m x m x+ − + − − ≥ vô nghiệm Câu 5: (3điểm) 1)Cho tam giác ABC cân tại C có phương trình cạnh (AB) là:2x-3y+11=0,phương trình cạnh (AC):x+5y-14=0.Cạnh BC đi qua điểm M(3;-3).Hãy viết phương trình cạnh (BC). 2)Cho ba điểm A(-1;-2) ,B(4;-1),C(3;2) và đường thẳng ( ) : 2 2 0x y∆ − − = a)Tìm trên đường thẳng ( ∆ ) điểm M sao cho MA MB MC+ + uuur uuur uuuur đạt giá trị nhỏ nhất. b)Viết phương trình đường thẳng (d) đối xứng với đường thẳng (AC) qua đường thẳng ( ∆ ) Câu 6(1 điểm)Cho ba số thực dương a,b,c.Chứng minh rằng: 3 (1 )(1 )(1 ) 2(1 ) a b c a b c b c a abc + + + + + ≥ + HẾT TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1 ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN 2 NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN: TOÁN LỚP 10 Thời gian làm bài :150 phút ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH KHÁ GIỎI LÀN 2 MÔN TOÁN - LỚP 10 - NĂM HỌC 2009– 2010 Dưới đây chỉ là sơ lược cách giải và phân chia điểm; bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận chặt chẽ, chi tiết. Mọi cách giải khác đúng thì cho điểm từng phần tương ứng. Câu1 1)Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) tìm được giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) là f(2)=2m-2. Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 4 khi và chỉ khi f(2)=4 tương đương với 2m-2=4,suy ra m=3. 2)Lập luận được ( ) 5f x ≤ với mọi x thuộc đoạn [-1;1] khi và chỉ khi giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [-1;1] nhỏ hơn hoặc bằng 5. Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) trên đoạn [-1;1] tìm được giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [-1;1] là f(-1)=2m+7 Do đó giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn [-1;1] nhỏ hơn hoặc bằng 5 khi và chỉ khi: ( 1) 5 2 7 5 1f m m− ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ − .KL 0,5 điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm Câu2 a)điều kiện : 1 7x≤ ≤ Biến đổi phương trình: 2 2 7 2 1 8 7 1x x x x x+ − = − + − + − + 2 7 2 1 (7 )( 1) 1 1 2 1 2 7 ( 1)(7 ) 0x x x x x x x x x x⇔ + − = − + − − + ⇔ − − − + − − − − = 1( 1 2) 7 ( 1 2) 0 ( 1 2)( 1 7 ) 0x x x x x x x⇔ − − − − − − − = ⇔ − − − − − = +) 1 2 0 5x x− − = ⇔ = (thoả mãn) +) 1 7 4x x x− = − ⇔ = (thoả mãn) (Có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ : Đặt 1 7 u x v x  = −   = −   điều kiện , 0u v ≥ .Từ đó suy ra phương trình hai ẩn u,v có dạng tích để giải) b)Biến đổi hệ phương trình 3 3 2 2 19 ( )( ) 19 ( )(8 ) 2 ( )(8 ) 2 x y x y x y xy x y xy x y xy   + = + + − = ⇔   + + = + + =   Đặt u x y v xy = +   =  có hệ phương trình: 2 ( 3 ) 19 ( 8) 2 u u uv u v  − =  + =  .Giải hệ phương trình được 1 1 3 6 6 2 u x y x v xy y = + = =    ⇒ ⇒    = − = − = −    hoặc 2 3 x y = −   =  0,5điểm 0,25điểm 0,75điểm Cách khác: 3 3 19(1) ( )(8 ) 2(2) x y x y xy  + =  + + =  .Nhân hai vế của phương trình(2) với 3 rồi cộng vế theo vế vào phương trình (1)ta có phương trình: 3 3 3 3 3 3( )(8 ) 19 6 3 ( ) 24( ) 25 ( ) 24( ) 25 0 x y x y xy x y xy x y x y x y x y + + + + = + ⇔ + + + + + = ⇔ + + + − = Đặt x+y=t,có phương trình: 3 24 25 0t t+ − = hay 2 1 99 ( 1)( 25) 0 ( 1)[(t+ ) ] 0 1 1 2 4 t t t t t x y− + + = ⇔ − + = ⇔ = ⇒ + = .Do vậy hệ phương trình đã cho tương đương với: 1 1 3 ( )(8 ) 2 6 2 x y x y x x y xy xy y + = + = =    ⇔ ⇔    + + = = − = −    hoặc 2 3 x y = −   =  Câu 3 a)Biến đổi bất phương trình 2 2 2 4 (4 )(2 ) 2 12 4 2 8 2 12x x x x x x x x− − + ≤ − − ⇔ − − + + ≤ − − . Đặt 2 2 2 2 2 2 8( 0) 2 8 2 8t x x t t x x x x t= − + + ≥ ⇒ = − + + ⇒ − = − .Ta có bất phương trình 2 2 2 4 8 12 4 4 0 ( 2) 0 2t t t t t t− ≤ − − ⇔ − + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ = với t=2 có phương trình: 2 2 2 2 8 2 2 8 4 2 4 0 1 5x x x x x x x− + + = ⇔ − + + = ⇔ − + + = ⇒ = ± .KL b) Đặt 2 2 2 3 2 ( 2 3)(4 ) x x P x x x x − + = − − − Lập bảng xét dấu biểu thức P. Từ đó tìm được nghiệm của bất phương trình là: [ ] ( 1;0) 1;2 (3;4)T = − ∪ ∪ 0,5điểm 0,25điểm 0,5điểm 0,25điểm Câu 4 Bất phương trình 2 2 (2 6) (2 3) 1 0m m x m x+ − + − − ≥ vô nghiệm khi và chỉ khi 2 2 (2 6) (2 3) 1 0m m x m x+ − + − − < (*) nghiệm đúng với mọi x thuộc R +)Xét trường hợp 2 2 6 0 2m m m+ − = ⇔ = − hoặc 3 2 m = Với m=-2 Bất phương trình (*) trở thành 7 1 0x− − < (Không thoả mãn) Với m= 3 2 Bất phương trình (*) trở thành -1<0 (luôn đúng) +)Xét trường hợp 2 2 6 0 2m m m+ − ≠ ⇔ ≠ − và 3 2 m ≠ .Khi đó 0,25điểm 0,25điểm 2 2 ( ) (2 6) (2 3) 1f x m m x m x= + − + − − là một tam thức bậc hai có 2 12 8 15m m∆ = − − .Suy ra (*) thoả mãn với mọi x thuộc R khi và chỉ khi 2 2 3 2 2 6 0 5 3 2 5 3 6 2 12 8 15 0 6 2 m m m m m m m  − < <   + − < −   ⇔ ⇔ < <   − − − <    < <   .KL 5 3 ; 6 2 m −   ∈     là giá trị cần tìm 0,5điểm Câu 5 1)Ta có góc A của tam giác ABC là góc tạo bởi hai đường thẳng (AB) và (AC) ,do đó 0 2.1 ( 3)5 13 2 cos 45 2 4 9 1 25 13 2 A A + − = = = ⇒ = + + .Gọi ( ; )n a b r với ( 2 2 0a b+ ≠ ) là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng (BC) ,vì (BC) đi qua M(3;-3) nên phương trình (BC) có dạng: a(x-3)+b(y+3)=0 hay ax+by-3a+3b=0 .Tam giác ABC cân tại C nên góc A bằng góc B,suy ra 2 cos cos 2 A B= = .Từ đó 2 2 2 2 2 2 2 3 2 26( ) 2 2 3 5 24 5 0. 0 0 2 4 9 a b a b a b a ab b Khia b a b − = ⇔ + = − ⇔ + − = = ⇒ = + + (vô lý).Xét 2 1 0 5 24 5 0 5 a a a b b b b   ≠ ⇒ + − = ⇒ =  ÷   hoặc 5 a b = − Với 1 5 a b = thì phương trình (BC):x+5y+12=0.Với 5 a b = − thì phương tinh (BC):5x-y-18=0.Nhận thấy đường thẳng x+5y+12=0 song song với (AC) nên bị loại.Do đó phương trình đường thẳng (BC) là 5x-y- 18=0 2)a/Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì 1 (2; ) 3 G − .M thuộc ( ∆ ) ta có 3 3MA MB MC MG MA MB MC MG+ + = ⇒ + + = uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur .Từ đó MA MB MC+ + uuur uuur uuuur nhỏ nhất khi MG uuuur nhỏ nhất dẫn đến M là hình chiếu vuông góc của G trên ( ∆ ). Từ đó tìm được 28 1 ( ; ) 15 15 M − . 0,5điểm 0,5điểm 0,5 điểm 0,5điểm 1điểm b/Lập được phương trình đường thẳng ( 1 ∆ )đối xứng với (AC) qua ( ∆ ):x-7y-7=0 Câu 6 Biếnđổi: (1 )(1 )(1 ) 2 1 a b c a b c a c b a a a b b b c c c b c a b c a c b a b c a a c b a b c       + + + = + + + + + + = + + + + + + + + −  ÷  ÷  ÷       Sau đó dùng bbất đẳng thức Cô si cho ba số dương ta có điều phải chứng minh. 1điểm . THPT LẠNG GIANG SỐ 1 ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN 2 NĂM HỌC 2009 – 2 010 MÔN: TOÁN LỚP 10 Thời gian làm bài :150 phút ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH KHÁ GIỎI LÀN 2 MÔN TOÁN - LỚP 10 - NĂM. làm bài :150 phút ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH KHÁ GIỎI LÀN 2 MÔN TOÁN - LỚP 10 - NĂM HỌC 2009– 2 010 Dưới đây chỉ là sơ lược cách giải và phân chia điểm; bài làm của học sinh yêu cầu phải lập. chẽ, chi tiết. Mọi cách giải khác đúng thì cho điểm từng phần tương ứng. Câu1 1)Lập bảng biến thi n của hàm số f(x) tìm được giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) là f(2)=2m-2. Từ đó suy ra giá